李 惠

(株洲市第二中學(xué) 湖南 株洲 412007)

1 建模

1.1 提出問(wèn)題

圖1 提出問(wèn)題的情境配圖

1.2 解決問(wèn)題

因?yàn)榇艌?chǎng)分布區(qū)域未知，粒子可以在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做一小段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再離開(kāi)磁場(chǎng)做一小段勻速直線運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)……最后從CD邊沿+x軸方向射出磁場(chǎng)；粒子也可以一直在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，待到速度方向?yàn)?x軸方向時(shí)離開(kāi)磁場(chǎng).粒子入射的初速度方向不同，進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)刻不同，進(jìn)出磁場(chǎng)的次數(shù)也無(wú)限制，所以磁場(chǎng)的區(qū)域會(huì)有很多種不同的分布形式，我們?cè)趯ふ掖艌?chǎng)的幾何邊界方程的過(guò)程中，尤其是磁場(chǎng)區(qū)域有洞的情形，會(huì)出現(xiàn)超越方程，只能采用近似數(shù)值解.筆者在下文中僅考慮有精確解析解的前提下來(lái)定量探討磁場(chǎng)的分布以及對(duì)應(yīng)的最小面積.

給定磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恒定為r,且

(1)

對(duì)于從確定方向射出的粒子要達(dá)到題目要求必須要偏轉(zhuǎn)確定的角度.例如入射速度方向與+x軸方向成θ角的粒子要偏轉(zhuǎn)(θ+2nπ)后才能沿+x軸方向射出，也就是說(shuō)它必須至少在磁場(chǎng)中走過(guò)半徑為r，圓心角為θ的一段圓弧，把所有的粒子至少需要走過(guò)的圓弧密排在一起形成的平面圖形的面積就是該磁感應(yīng)強(qiáng)度B下對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)的最小面積Smin.

接下來(lái)我們來(lái)尋求Smin與r的關(guān)系.

如圖2所示，入射方向與+x軸方向成θ角的粒子1在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧為OF，圓心在F′,圓心角為θ，與+x軸方向成角(θ+dθ)的粒子2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧為OE, 圓心在E′,圓心角為(θ+dθ).當(dāng)dθ→0時(shí)，兩條弧線密排形成的面積就是月牙形區(qū)域OEFO的面積.

圖2 計(jì)算粒子最短軌跡密排成的圖形面積

設(shè)為dS，其大小為扇形OEE′O的面積加上EFF′E′區(qū)域面積再加上小扇形OF′E′區(qū)域的面積，減去扇形OFF′O的面積，即

若入射粒子的速度方向與+x軸夾角從θ1到θ2分布，則密排形成的面積為S，即

r2[(θ2-θ1)-(sinθ2-sinθ1)]

(2)

(3)

若粒子入射方向?yàn)閇0,π],則

S=πr2

(4)

由此可見(jiàn)，對(duì)于磁感應(yīng)強(qiáng)度B為確定大小的磁場(chǎng)，要滿足題目要求，磁場(chǎng)的最小面積由式(1)、(2)確定，但磁場(chǎng)區(qū)域的形狀有多種可能.

2 應(yīng)用

【例1】(2009年海南卷)如圖3所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域.在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng).電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng).不計(jì)重力，求：

圖3 2009年海南卷第16題圖

(1)求勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；

(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積.

用模型解答該題：我們知道，對(duì)于確定的磁感應(yīng)強(qiáng)度B一定有對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積，該題把這個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系放在獨(dú)立的兩小問(wèn)中，是頗讓筆者費(fèi)解的，而且磁場(chǎng)的分布有多種可能，此題的參考答案僅給出了一種情形，即當(dāng)粒子的軌跡圓半徑r等于正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)時(shí)磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)閳A形區(qū)域的情形.筆者現(xiàn)就這種磁感應(yīng)強(qiáng)度提出3組分布，且定量求出3組分布中磁場(chǎng)的最小面積都是相等的，具體如下.

第一種分布：如圖4陰影部分所示，假設(shè)粒子可以先做直線運(yùn)動(dòng)，再?gòu)?x1,y1)處進(jìn)入磁場(chǎng)再聚集到坐標(biāo)原點(diǎn)，則

圖4 磁場(chǎng)分布的第一種情形

x1=rsinθ

y1=r(1-cosθ)

(5)

這就是磁場(chǎng)的下邊界，它是圓心在(0，r)處，半徑為r的圓的一部分，上邊界自然是從(0，0)處射出的粒子的軌跡

(6)

上邊界如式(6)所示，二者所圍面積即磁場(chǎng)的最小面積

與模型中式(3)相符.

第二種分布：如圖5所示，粒子從

圖5 磁場(chǎng)分布的第二種情形

x=r

(7)

處邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)一定角度后出磁場(chǎng)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)聚集于O點(diǎn)，設(shè)粒子在P(x3,y3)處出磁場(chǎng)，則由幾何關(guān)系得

(8)

式(6)、(7)、(8)分別作為磁場(chǎng)的上邊界、右邊界和下邊界，我們用積分求解其面積.

與第一種分布的最小面積相等.

圖6 磁場(chǎng)分布的第三種情形

(9)

(10)

面積計(jì)算如下

由以上積分可以看出，此面積與l(θ)的具體形式無(wú)關(guān)，且最小面積是個(gè)定值.也即，磁場(chǎng)區(qū)域中即使有有限個(gè)洞(圖7)，粒子按題目所述方式入射再聚集在O點(diǎn)，磁場(chǎng)的最小面積是個(gè)定值.

圖7 解析配圖

若是把磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑減小，也是可以達(dá)到題目要求完成磁聚集的.例如，我們把粒子的圓周運(yùn)動(dòng)半徑設(shè)為R，但R

(x6-a)2+[y6-(a-R)]2=R2

(11)

左邊界為

(12)

右邊界

x8=a

(13)

粒子的圓周運(yùn)動(dòng)半徑R不同，磁場(chǎng)形狀就不同，圖8所示為可能存在的兩種情形.我們用Mathmatical軟件計(jì)算R

圖8 圓周運(yùn)動(dòng)半徑R不同解析配圖

設(shè)有以下4種參數(shù)對(duì)應(yīng)的情形，腳本運(yùn)行結(jié)果如表1所示.

表1 計(jì)算結(jié)果

可以看出，R越小，磁場(chǎng)面積越小，但都比本文建模得到的結(jié)論的最小面積大.也即在該解析解的情形中，粒子軌道在磁場(chǎng)中沒(méi)有達(dá)到密排.若要達(dá)到密排，必須由更高級(jí)方法才能達(dá)到，但可以肯定，密排之后磁場(chǎng)的最小面積一定如本文文首模型所述.

【例2】(2021年高考湖南卷)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一.帶電粒子流(每個(gè)粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q)以初速度v垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用.對(duì)處在xOy平面內(nèi)的粒子，求解以下問(wèn)題.

(1)如圖9(a)所示，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0，r1)、半徑為r1的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若帶電粒子流經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小.

(2)如圖9(a)所示，虛線框?yàn)檫呴L(zhǎng)等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0，-r2).在虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使匯聚到O點(diǎn)的帶電粒子流經(jīng)過(guò)該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2，并沿x軸正方向射出.求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小和方向，以及該磁場(chǎng)區(qū)域的面積(無(wú)需寫(xiě)出面積最小的證明過(guò)程).

(3)如圖9(b)所示，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長(zhǎng)等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長(zhǎng)等于r4的正方形.在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，再經(jīng)過(guò)Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4，并沿x軸正方向射出，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束.求Ⅰ和Ⅲ中磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的面積(無(wú)需寫(xiě)出面積最小的證明過(guò)程).

圖9 2021年高考湖南卷第13題配圖