摘 要：本文針對(duì)402家供應(yīng)商進(jìn)行量化分析排名。首先，整體分析A、B、C的需求量，整體的供貨量，誤差在某范圍內(nèi)的訂單數(shù)。然后，個(gè)體分析每家供應(yīng)商，確定評(píng)價(jià)指標(biāo)，用主成分分析法各供應(yīng)商按供應(yīng)的原材料對(duì)應(yīng)，將這個(gè)結(jié)果作為第一個(gè)指標(biāo)。最后，利用SPSS求解，給出最終的供應(yīng)商排名。

關(guān)鍵詞：量化分析;主成分分析;SPSS

一、研究背景

某生產(chǎn)企業(yè)所用原材料總體可分為A、B、C三種類型。企業(yè)每年按 48 周安排生產(chǎn)，需要提前制定 24 周的原材料訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)計(jì)劃，企業(yè)需要根據(jù)產(chǎn)能要求確定需要的供應(yīng)商和訂貨量，確定轉(zhuǎn)運(yùn)商，并讓轉(zhuǎn)運(yùn)商將供應(yīng)商每周的供貨量轉(zhuǎn)運(yùn)到企業(yè)倉(cāng)庫(kù)。該企業(yè)每周的產(chǎn)能為2.82萬(wàn)立方米，每立方米產(chǎn)品需消耗的各類材料用量以及各類原料的采購(gòu)單價(jià)和儲(chǔ)存費(fèi)用。本文建立數(shù)學(xué)模型對(duì)402家供應(yīng)商的供貨特征進(jìn)行量化分析，確定50家最重要的供應(yīng)商。

二、基于主成分分析的模型

1.模型的建立

（1） 利用主成分分析算法對(duì)商家數(shù)量進(jìn)行數(shù)學(xué)降維

問(wèn)題一要求對(duì) 402 家原材料供應(yīng)商進(jìn)行量化分析，建立反映保障企業(yè)生產(chǎn)重要性的數(shù)學(xué)模型，并從中選出 50 家最重要的供應(yīng)商。即從多個(gè)存在一定相關(guān)性的變量之間，當(dāng)變量的個(gè)數(shù)較多且變量之間存在復(fù)雜的關(guān)系時(shí)，增加了問(wèn)題分析的難度?？梢圆捎弥鞒煞址治鏊惴▉?lái)解決這個(gè)問(wèn)題，主成分分析是一種數(shù)學(xué)降維的方法，該方法主要將原來(lái)眾多具有一定相關(guān)性的變量，重新組合成為一種新的相互無(wú)關(guān)的綜合變量。

（2） 主成分分析算法相關(guān)介紹

基本概念：主成分分析，英文簡(jiǎn)寫(xiě) PCA（Principal Component Analysis），提取數(shù)據(jù)集的主要特征成分，忽略次要特征成分，達(dá)到降維目的。

（3） 主成分分析算法特點(diǎn)

PCA 通過(guò)線性變換，將 N 維空間的原始數(shù)據(jù)變換到一個(gè)較低的 R 維空間（R

在降維過(guò)程中，不可避免地要造成信息損失。如原來(lái)在高維空間可分的點(diǎn)，在低維空間可能變成一個(gè)點(diǎn)，變得不可分。因此，要在降維過(guò)程中盡量減少這種損失。

特征之間的相關(guān)性越弱，則特征就越應(yīng)該作為主要成分被保留。

反之，如果兩個(gè)特征有較高的相關(guān)性，則只保留其中一個(gè)特征即可。為使樣本投影到低維空間后盡可能分散，它們的方差要盡可能大。

（4） 主成分分析算法的基本思想

數(shù)據(jù)集 X 有 N 個(gè)特征，M 個(gè)樣本。若將每個(gè)樣本用列向量 xj（j=1，2，...，M）表示，則該數(shù)據(jù)集可以用下面的矩陣表示：

選擇 N 個(gè) R 維的正交基 pi（i=1，2，...，R）組成的矩陣：

所謂正交可以理解為兩個(gè)向量 Pij（i≠j）相互垂直，即一個(gè)向量在另一個(gè)向量的投影為 0。

通過(guò)正交基將維數(shù) N 降到 R 后，可能帶來(lái)的一個(gè)問(wèn)題是原本在 N 維空間可分的點(diǎn)，在 R 維空間變得不可分。

例如在三維空間上，位于垂直于某坐標(biāo)平面的一條直線上的不同點(diǎn)，投影到該坐標(biāo)平面上后成為一個(gè)點(diǎn)，從而使樣本的可區(qū)分性喪失，造成信息丟失。

為了避免這類問(wèn)題，降維的一個(gè)基本原則是，降維后的點(diǎn)（或投影后的值）在新的低維空間里盡可能的分散。

于是 PCA 問(wèn)題就變成一個(gè)正交基的優(yōu)化問(wèn)題，即尋找一組最優(yōu)正交基，使得將 N 維數(shù)據(jù)集的樣本點(diǎn)投影到 R 維空間后，新的樣本點(diǎn)在 R 維空間盡可能的分散。

方差是刻畫(huà)樣本分散程度的統(tǒng)計(jì)量。對(duì)特征xj（j=1，2，…，M），其方差為：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將 xj 平移μ個(gè)單位，則樣本均值變換為 0。

用 a 表示變換過(guò)的 x，上式變換為：

方差值越大，則特征 aj（j=1，2，...，M）的各個(gè)分量越分散。另外，對(duì)多維特征空間，如果兩個(gè)特征是線性相關(guān)的，則這兩個(gè)特征是冗余的，只保留一個(gè)即可。因此，降維后的特征間應(yīng)盡可能不相關(guān)?？坍?huà)特征相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量是協(xié)方差。協(xié)方差表示了兩個(gè)隨機(jī)變量 X，Y 同向（或反向）變化的程度。其絕對(duì)值越大，則同向（反向）變化的程度越明顯，說(shuō)明兩者相關(guān)性越強(qiáng)。其值越接近 0，說(shuō)明兩者同向（反向）變化的程度越不明顯，說(shuō)明兩者的相關(guān)性越弱。

對(duì)降維問(wèn)題來(lái)說(shuō)，希望保留下來(lái)的特征兩兩間是不相關(guān)的。因此要使其協(xié)方差的絕對(duì)值盡量小。由于各個(gè)特征經(jīng)過(guò)平移，均值已為 0，因此有式：

特征均值為 0 的情況下，兩個(gè)特征的協(xié)方差簡(jiǎn)潔地表示為其內(nèi)積除以元素?cái)?shù) M。

當(dāng)協(xié)方差為 0 時(shí)，表示兩個(gè)特征完全獨(dú)立。

為了讓協(xié)方差為 0，選擇基的方向一定是正交的。

則降維問(wèn)題的優(yōu)化目標(biāo)為：將一組 N 維向量降為 R 維（R 大于 0，小于 N），其目標(biāo)是選擇 R 個(gè)單位（模為 1）正交基，使得原始數(shù)據(jù)變換到這組基上后，各特征兩兩間協(xié)方差為 0，而特征的方差則盡可能大。

即在正交約束下，取最大的 R 個(gè)方差。

多個(gè)特征兩兩間的協(xié)方差可以通過(guò)協(xié)方差矩陣來(lái)表示。

將數(shù)據(jù)集 X 的特征進(jìn)行 0 均值以后記為 A，即式：

N 維特征向量的協(xié)方差矩陣：

PCA 的優(yōu)化目標(biāo)是在新的低維空間，特征間的協(xié)方差為 0，特征維數(shù)為 R.則應(yīng)該尋找一個(gè)能使上式變換為形如下式的 R 階對(duì)角方陣：

且對(duì)角線元素應(yīng)是前式中對(duì)角線上前 R 個(gè)最大的元素，以滿足特征方差越大數(shù)據(jù)越分散的要求。

令 P 為 R×N 單位對(duì)角矩陣：

至此，使用 P 將特征 0 均值化的 N 維數(shù)據(jù)集，降維至 R 維。

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，還需要保證留下來(lái)的 R 維空間中的特征內(nèi)積（方差）之和最大，以使樣本盡可能分散。

因此，要調(diào)整 P 的行向量與式（6-17）中對(duì)角線上最大的前R 個(gè)值相適應(yīng)，以保證選擇的 R 維向量方差之和最大。

對(duì) M 條 N 維特征數(shù)據(jù)，PCA 算法步驟可以描述如下：

（1） 將原始數(shù)據(jù)按列組成 N 行 M 列矩陣 X;

（2） 將 X 的每一行（代表一個(gè)特征）進(jìn)行零均值化，即減去這一行的均值;

（3） 求出協(xié)方差矩陣 C=;

（4） 求出協(xié)方差矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量;

（5） 將特征向量按對(duì)應(yīng)特征值大小從上到下按行排列成矩陣，取前 R 行組成矩陣 P;

（6） Y=PX 即為降維到 R 維后的數(shù)據(jù)。

本題主要采用主成分分析算法來(lái)求解問(wèn)題。

2.模型的分析

（1） 利用 SPSS 進(jìn)行主成分分析求解

使用 SPSS 軟件對(duì)本模型進(jìn)行主成分分析，根據(jù)近五年某 402 家企業(yè)訂貨量和供應(yīng)商供貨量中的數(shù)據(jù)，對(duì)表格中的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行量化處理，并將因子分析-選項(xiàng)-系數(shù)顯示方式選擇“按大小排序”，得到關(guān)于訂貨量和供貨量的成分分析圖。其中二者總方差累計(jì)的數(shù)據(jù)分別為 89.636%（供貨量總方差解釋圖）和 89.727%（訂貨量總方差解釋圖），相差并不大。但是比較二者的前 50 項(xiàng)主成分總方差分析圖發(fā)現(xiàn)，前 50 項(xiàng)二者的總方差累計(jì)的數(shù)據(jù)分別為 80.814%（供貨量總方差解釋圖）和 69.604%（訂貨量總方差解釋圖），因此在從 402 家供應(yīng)商中選擇主要的 50 家供應(yīng)商時(shí)，由供貨量進(jìn)行主成分分析的結(jié)果時(shí)更準(zhǔn)確。

（2） 從成分矩陣中選擇前 50 項(xiàng)得出最重要的 50 家供應(yīng)商將因子分析-選項(xiàng)-系數(shù)顯示方式選擇“按大小排序”，得到關(guān)于供貨量的成分矩陣圖。從中選擇前 50 項(xiàng)，即可確定最重要的 50 家供應(yīng)商。

故對(duì) 402 家供應(yīng)商的供貨特征進(jìn)行量化分析，建立反映保障企業(yè)生產(chǎn)重要性的主成分分析模型，確定 50 家最重要的供應(yīng)商為 S259、S032、S401、S145、S389、S097、S164、S187、S399、S220、S278、S079、S018、S053、S061、S370、S106、S311、S316、S243、S302、S020、S029、S198、S043、S391、S107、S118、S230、S087、S354、S309、S274、S325、S171、S101、S052、S050、S006、S377、S021、S047、S249、S091、S398、S109、S048、S179、S205、S192。

3.模型評(píng)價(jià)

（1） 模型的優(yōu)點(diǎn)

主成分分析法的優(yōu)點(diǎn)：第一，可消除評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的相關(guān)影響。第二，可減少指標(biāo)選擇的工作量。第三，當(dāng)評(píng)級(jí)指標(biāo)較多時(shí)還可以在保留絕大部分信息的情況下用少數(shù)綜合指標(biāo)代替原指標(biāo)進(jìn)行分析，主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列順序的，在分析問(wèn)題時(shí)，可以舍棄一部分主成分，只取前后方差較大的幾個(gè)主成分來(lái)代表原變量，從而減少了計(jì)算工作量。

（2） 模型的缺點(diǎn)

主成分分析法的缺點(diǎn)：主成分的解釋其含義一般多少帶有點(diǎn)模糊性，不像原始變量的含義那么清楚、確切。

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作者簡(jiǎn)介：侯星竹（2001.12- ），女，漢族，遼寧省鐵嶺市人，渤海大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，本科在讀