楊宏偉

［摘 要］教師要聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)，抓住知識(shí)間的橫向和縱向聯(lián)系，將復(fù)雜問(wèn)題回歸本源，讓靜態(tài)的數(shù)學(xué)課堂走向動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中充分經(jīng)歷操作、想象、推理、驗(yàn)證等一系列數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，讓課堂呈現(xiàn)素養(yǎng)生長(zhǎng)的勃勃生機(jī)。文章以“三角形三邊的關(guān)系”一課為例，闡釋指向素養(yǎng)生長(zhǎng)的教學(xué)思考與具體實(shí)踐，探索從“教材重構(gòu)”到“活動(dòng)重建”的有效路徑。

［關(guān)鍵詞］教材；活動(dòng)；素養(yǎng)；課堂

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）35-0020-04

“三角形三邊的關(guān)系”屬于“圖形與幾何”板塊的內(nèi)容，是在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)三角形的基礎(chǔ)上繼續(xù)開(kāi)展的研究學(xué)習(xí)活動(dòng)，目的是使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)三角形特征的理解，掌握三角形的邊的重要特征，并靈活利用這一特征解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

一、指向素養(yǎng)生長(zhǎng)的教學(xué)思考與教材重構(gòu)

在“三角形三邊的關(guān)系”的教學(xué)中，教師通常根據(jù)教材的編排，讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺、看一看、說(shuō)一說(shuō)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)有的小棒能?chē)扇切?，有的圍不成。接著，教師利用給定的數(shù)據(jù)揭示本課的重點(diǎn)：三角形任意兩邊的和大于第三邊。這樣直接引出結(jié)論，鋪墊不足，教學(xué)效果不盡如人意。

鑒于此，筆者對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)思維視角下的整體把握。具體做法如下。

首先，借助“工具庫(kù)——兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”喚醒學(xué)生對(duì)三角形三邊的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為著力點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，讓學(xué)生從解決問(wèn)題開(kāi)始，初步感悟“圍得成”和“圍不成”。

其次，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)潛能。通過(guò)“猜想—驗(yàn)證—?dú)w納”數(shù)學(xué)活動(dòng)，將核心問(wèn)題“三角形三邊的關(guān)系”貫穿課堂的始終，由淺入深探究“圍得成”和“圍不成”。

最后，設(shè)計(jì)具有思維張力的練習(xí)。讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)快速判斷所給的數(shù)據(jù)能不能?chē)扇切?，以練?xí)促進(jìn)學(xué)力提升，使學(xué)生能夠構(gòu)建探究三角形三邊的關(guān)系的方法，優(yōu)化“圍得成”。（如圖1）

整節(jié)課圍繞探索三角形三邊的關(guān)系展開(kāi)，設(shè)置不同的學(xué)習(xí)推進(jìn)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生表達(dá)自己的觀點(diǎn)與思考。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷“初悟—深究—思辨”的學(xué)習(xí)路徑，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、促進(jìn)素養(yǎng)生長(zhǎng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)重建與教學(xué)應(yīng)用

為了促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的生長(zhǎng)，筆者對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行了系統(tǒng)重建，通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)引、任務(wù)驅(qū)動(dòng)、活動(dòng)參與等方式，引領(lǐng)學(xué)生充分經(jīng)歷具有挑戰(zhàn)性與開(kāi)放性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)理解，感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.操作辨?zhèn)危撼醪襟w會(huì)“圍不成”

核心素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)聚焦“圖形與幾何”知識(shí)的特性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心概念的理解與認(rèn)同。因此，教師可以以問(wèn)題探究的形式拋出問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)啟對(duì)本課知識(shí)的學(xué)習(xí)。

問(wèn)題：如圖2，將左邊的三角形的三條邊展開(kāi)，就得到了一條長(zhǎng)12米的線(xiàn)段。想一想，把這條線(xiàn)段任意分成三段，是不是都能?chē)扇切危?/p>

筆者讓學(xué)生小組合作，想一想、剪一剪、擺一擺、說(shuō)一說(shuō)。學(xué)生將圖與算式有機(jī)結(jié)合，列出了六種可能的情況（如圖3）。筆者基于學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，追加問(wèn)題，有序推進(jìn)知識(shí)建構(gòu)，讓學(xué)生初步掌握知識(shí)。

本環(huán)節(jié)中，筆者依次提出三個(gè)問(wèn)題：“這三條線(xiàn)段能?chē)扇切螁?？我們是怎樣進(jìn)行比較的？這三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？”學(xué)生借助圖形觀察與思考，實(shí)現(xiàn)圖形與結(jié)論的關(guān)聯(lián)，初步感受到：能不能?chē)扇切魏途€(xiàn)段的長(zhǎng)短有關(guān)；圍得成三角形時(shí)，任意兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和都大于第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度。為引導(dǎo)學(xué)生深入分析，在抽象算式的過(guò)程中理解核心問(wèn)題，筆者又提出三個(gè)問(wèn)題： “長(zhǎng)1米、4米和7米的三條線(xiàn)段，為什么圍不成三角形？長(zhǎng)3米、4米和5米的三條線(xiàn)段長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？長(zhǎng)2米、4米和6米的三條線(xiàn)段能?chē)扇切螁?？”教師引?dǎo)學(xué)生緊緊圍繞問(wèn)題有序進(jìn)行探索，以自己圍成的圖形為素材，用算式分析“圍得成”與“圍不成”，初步發(fā)現(xiàn)三角形三邊之間的關(guān)系：1+4<7，1+7>4，4+7>1；3+4>5，3+5>4，4+5>3。由此，學(xué)生初步猜想：只要有兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和小于第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，這三條線(xiàn)段就圍不成三角形。學(xué)生用算式進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，梳理三角形三邊的關(guān)系，提升了邏輯思維能力，為深入探索知識(shí)奠定了基礎(chǔ)。

2.推理揭秘：深度理解“圍得成”

本環(huán)節(jié)是整節(jié)課的核心環(huán)節(jié)。培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，不但要讓學(xué)生明白“是什么”，而且要讓學(xué)生明白“為什么”。在第一階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)初步了解了三角形三邊的關(guān)系的相關(guān)結(jié)論，此時(shí)的教學(xué)應(yīng)逐步爬坡，讓學(xué)生進(jìn)一步推理，揭秘“為什么”，引領(lǐng)學(xué)生的思維走向高階，使其對(duì)三角形三邊的關(guān)系的理解從淺顯走向深刻。

（1）深入挖掘，探究活動(dòng)數(shù)據(jù)

本環(huán)節(jié)設(shè)置了兩個(gè)教學(xué)推進(jìn)點(diǎn)。第一個(gè)是先把12米改寫(xiě)成120分米和1200厘米（如圖4），提問(wèn)：這三條線(xiàn)段能?chē)扇切螁幔咳龡l線(xiàn)段之間又有怎么樣的關(guān)系？第二個(gè)是提問(wèn)：如果把120分米改寫(xiě)成1200厘米、12000毫米，再將其任意分成三段后圍三角形，有多少種不同的圍法？

同樣長(zhǎng)的三條線(xiàn)段，由于單位不同，分成三段的長(zhǎng)度組合也不同，提供了多樣化的研究數(shù)據(jù)。用多樣化的數(shù)據(jù)引發(fā)多元的“推算—推理—驗(yàn)證”，從特殊到一般，在實(shí)現(xiàn)更高層次的抽象與概括的同時(shí)不斷完善結(jié)論。

（2）溯本求源，強(qiáng)化知識(shí)本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)既要溯源而上，揭示知識(shí)從何處來(lái)，又要順勢(shì)而下，抵近知識(shí)本質(zhì)。在此環(huán)節(jié)中，教師將學(xué)生的課堂生成轉(zhuǎn)化為教學(xué)素材，緊扣三角形三邊的關(guān)系這一核心，圍繞一個(gè)觀察點(diǎn)和一個(gè)研究點(diǎn)，凸顯知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解。

觀察點(diǎn)在于“圍得成”與“圍不成”。先把12米改寫(xiě)成120分米，再把長(zhǎng)120分米的線(xiàn)段任意分成三段，就多了許多分法，分得的線(xiàn)段是否符合之前的猜想呢？“（30，89，1）這三條線(xiàn)段能?chē)扇切螁?？這三條線(xiàn)段之間有怎樣的關(guān)系？（30，88，2）能?chē)扇切螁?？列出算式。?0，60，30）這組線(xiàn)段為什么圍不成三角形？”筆者借助動(dòng)態(tài)演示，通過(guò)一系列問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生用算式來(lái)辨別三條線(xiàn)段能否圍成三角形，給學(xué)生提供了豐富的想象空間，讓他們直觀感知“圍得成”與“圍不成”。

同時(shí)，引發(fā)一個(gè)研究點(diǎn)：辨析“圍得成”與“圍不成”。筆者引導(dǎo)學(xué)生在觀看動(dòng)態(tài)演示的過(guò)程中思考：“長(zhǎng)度由（30，60，30）開(kāi)始慢慢變化，變?yōu)椋?0，59，31）時(shí)（如圖5），這三條線(xiàn)段為什么能?chē)扇切文?？”這一問(wèn)題成功激發(fā)了學(xué)生進(jìn)行深度思考。有學(xué)生說(shuō)是因?yàn)樵谶@組線(xiàn)段中，無(wú)論是哪兩條邊的長(zhǎng)度之和都比第三條邊的長(zhǎng)度大。學(xué)生帶著這樣的認(rèn)識(shí)，繼續(xù)探索（30，58，32）、（30，57，33）、（30，59，31）……（30，30，60）（如圖6）。這時(shí)，又回到了“圍不成”的情況。學(xué)生漸漸領(lǐng)悟到：只要任意兩條邊的長(zhǎng)度之和大于第三邊，就能?chē)扇切巍４送?，學(xué)生加深了對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解，真切體會(huì)了“圍得成”與“圍不成”的區(qū)別與聯(lián)系。

筆者在突破教學(xué)難點(diǎn)時(shí)注重推理揭秘，引領(lǐng)學(xué)生層層深入，深挖知識(shí)內(nèi)涵，直抵知識(shí)本質(zhì)，使學(xué)生不斷經(jīng)歷“圍得成”與“圍不成”的轉(zhuǎn)換過(guò)程，提升思維能力。

3.思辨生成：精準(zhǔn)把握“圍得成”與“圍不成”

本環(huán)節(jié)既有學(xué)生的“思”——思考知識(shí)體系的構(gòu)建，又有學(xué)生的“辨”——運(yùn)用結(jié)論進(jìn)行辨析，優(yōu)化判別方法。

（1）凸顯知識(shí)延伸的一致性

筆者提問(wèn)：“用a、b、c分別表示三角形三條邊的長(zhǎng)度，它們之間有什么關(guān)系？”學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)脫口而出：“三角形任意兩條邊的長(zhǎng)度之和大于第三邊的長(zhǎng)度。”這時(shí)，筆者基于結(jié)構(gòu)化、整體性的意識(shí)與思維，利用知識(shí)間的聯(lián)系順勢(shì)而導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生聚焦到“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”上（如圖7），體會(huì)兩者的一致性。

（2）強(qiáng)化深度理解的優(yōu)越性

練習(xí)是鞏固學(xué)習(xí)成果的重要手段，也是構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)的重要一環(huán)。筆者利用已有的教學(xué)資源做了一個(gè)有機(jī)整合，設(shè)置了一定量的練習(xí)（如圖8），既包括知識(shí)的鞏固，又包括方法的靈活應(yīng)用和逐步優(yōu)化，以促進(jìn)學(xué)生思維碰撞。

判斷下面三條線(xiàn)段能否圍成三角形。（在□里畫(huà)“√”）

這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，卻包含著數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階。學(xué)生在理解并運(yùn)用結(jié)論的基礎(chǔ)上，快速優(yōu)化方法，即只需要比較較短的兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和是否大于最長(zhǎng)的線(xiàn)段即可，從而提升了學(xué)習(xí)力。

三、深化素養(yǎng)生長(zhǎng)的習(xí)題拓展與持續(xù)發(fā)展

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、主動(dòng)建構(gòu)，不斷擴(kuò)充與完善知識(shí)體系的過(guò)程。適度進(jìn)行習(xí)題拓展有助于延伸知識(shí)點(diǎn)，促進(jìn)思維爬坡，提升解決問(wèn)題的能力。對(duì)三角形三邊的關(guān)系的理解屬于數(shù)學(xué)知識(shí)理解的基本范疇。教學(xué)需要超越知識(shí)，學(xué)生只有理解了“為什么”，才能觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

拓展性練習(xí)：用一根長(zhǎng)12米的籬笆一面靠墻圍一塊三角形菜地，墻長(zhǎng)6米（如圖9），有多少種不同的圍法？（取整厘米數(shù)）

這是一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。教學(xué)中，筆者抓住學(xué)生討論過(guò)程中出現(xiàn)的兩個(gè)疑問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生深入探究。疑問(wèn)一：怎么運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系解題？要解決這一疑問(wèn)，需要學(xué)生感悟所學(xué)的知識(shí)，既要實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的融合，又要掌握將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。筆者以素養(yǎng)的生長(zhǎng)為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)—再創(chuàng)造”的過(guò)程，真正提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。疑問(wèn)二：如何采用有效的方法來(lái)解答？筆者認(rèn)為，一方面，教師要啟發(fā)學(xué)生厘清問(wèn)題，從所學(xué)知識(shí)著手，將問(wèn)題納入已有的知識(shí)框架，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)與創(chuàng)造，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)充與生長(zhǎng)；另一方面，教師要鼓勵(lì)學(xué)生分小組合作，用好已有的材料，進(jìn)行多路徑辨析，并相互交流。學(xué)生經(jīng)過(guò)嘗試和思辨后找到解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法，即一一列舉法（如圖10）。用一一列舉法既能完整地列舉出所有符合條件的情況，又能幫助學(xué)生養(yǎng)成全面思考的習(xí)慣。另外，學(xué)生在對(duì)每一種情況都進(jìn)行辨析的過(guò)程中，還能養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，從而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

拓展練習(xí)的設(shè)計(jì)需要考慮學(xué)生對(duì)新知識(shí)的整體理解與感悟，素材及問(wèn)題共同指向?qū)W生的素養(yǎng)生長(zhǎng)。同時(shí)，學(xué)生生成性資源的展示與交流，也會(huì)促使學(xué)生進(jìn)一步打開(kāi)思路，加深理解，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)，并掌握解決一類(lèi)問(wèn)題的基本方法，形成基本技能。這既是數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，也是數(shù)學(xué)技能的提升，為學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)性發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（責(zé)編吳美玲）