王艾雪， 張 晨， 王蜀泉， 張 皓

(1.中國科學(xué)院太空應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心， 北京 100094；2.中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049)

1 引言

地月空間蘊(yùn)藏著巨大的商業(yè)和經(jīng)濟(jì)價值，如廣域信息服務(wù)、低成本進(jìn)入深空、月球資源開發(fā)等。 近10 年以來，各航天強(qiáng)國紛紛制定了前瞻性的航天計(jì)劃，期望在本次地月空間開發(fā)中搶占先機(jī)。 與20 世紀(jì)60 年代不計(jì)成本的阿波羅計(jì)劃不同，新時期月球開發(fā)計(jì)劃將采用最新的工程技術(shù)和理論研究成果，以滿足地月空間開發(fā)利用“成本代價可控”和“可持續(xù)發(fā)展”的新需求。

近年來，隨著人們對動力系統(tǒng)理論理解的不斷深入，多項(xiàng)計(jì)劃圍繞三體系統(tǒng)中的大幅值逆行軌道(Distant Retrograde Orbit， DRO)展開，這類軌道具有長期穩(wěn)定性好、覆蓋范圍廣以及入軌代價低的特點(diǎn)。 例如小行星重定向任務(wù)(ARM)計(jì)劃從小行星上抓取一塊巨石并拖至地月DRO軌道上，后續(xù)執(zhí)行研究任務(wù)并采集樣本返回地球。阿爾忒彌斯(Artemis)計(jì)劃的首星任務(wù)將成為獵戶座飛船(Orion)和太空發(fā)射系統(tǒng)(SLS)重型火箭的首次綜合飛行驗(yàn)證，獵戶座飛船將被送入一個25.5 d 的任務(wù)軌道，其中的6 d 將位于地月系統(tǒng)的DRO 軌道。 彭坤等提出利用DRO 開展載人月球探測任務(wù)。 除了地月系統(tǒng)，美國還針對火衛(wèi)和木衛(wèi)提出了基于DRO 的任務(wù)方案。

國內(nèi)外學(xué)者對DRO 轉(zhuǎn)移問題進(jìn)行了深入研究。 Weltch 等以2 ∶1 共振周期的DRO 為目標(biāo)軌道，設(shè)計(jì)了從近地軌道出發(fā)直接轉(zhuǎn)移和月球借力(Lunar Gravity Assist， LGA)2 種轉(zhuǎn)移方式的轉(zhuǎn)移軌道，并分析了入軌相位對轉(zhuǎn)移時間和速度增量的影響。 對于DRO 與其他軌道的轉(zhuǎn)移問題，Parrish 等采用直接配點(diǎn)法設(shè)計(jì)了DRO 到Halo的小推力轉(zhuǎn)移軌道。 Oshima分析了垂直不穩(wěn)定流形的作用并設(shè)計(jì)了NRHO 到DRO 的轉(zhuǎn)移軌道。 Dawn 等在Artemis 任務(wù)的背景下，設(shè)計(jì)了一種通過月球借力到達(dá)2 ∶1 共振周期DRO 并能夠返回地球近地軌道的載人往返軌道。 Conte等設(shè)計(jì)了從地球到DRO 軌道，并轉(zhuǎn)移至火星的轉(zhuǎn)移方案，并從脈沖消耗等角度分析了這種方案帶來的效益。 曾豪等針對地月系統(tǒng)中低能量往返軌道轉(zhuǎn)移問題，以NRHO 和DRO 為研究對象，結(jié)合天體借力飛行技術(shù)，分析了近月點(diǎn)高度、目標(biāo)軌道等對于飛行時間和燃料消耗等參數(shù)的影響。 上述研究大多以脈沖消耗為指標(biāo)設(shè)計(jì)，所獲得的轉(zhuǎn)移軌道較為適合貨運(yùn)飛船或者無人探測飛行器。 面向未來基于DRO 軌道的載人深空探測任務(wù)，DRO 轉(zhuǎn)移軌道應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注飛行過程的安全性。

在早期載人月球任務(wù)中，自由返回軌道被用于提高地月轉(zhuǎn)移任務(wù)的可靠性，這類軌道從近地軌道出發(fā)后無需軌道機(jī)動就能夠自由返回地球。阿波羅13 號飛船在指令艙受損后，曾借助登月艙下降級姿態(tài)推進(jìn)系統(tǒng)沿自由返回軌道返回地球，成功保障了航天員的生命安全。 這類軌道不僅適用于載人飛船，也可用于挽救無人探測器。 休斯公司使入軌失敗的AsiaSat-3 衛(wèi)星沿繞月自由返回軌道進(jìn)入地球同步軌道，完成了一次成功的衛(wèi)星營救活動。 面向月球探測任務(wù)，國內(nèi)外學(xué)者對自由返回軌道的解空間分類、轉(zhuǎn)移速度增量、任務(wù)時間、通信測控等性能進(jìn)行了深入研究。Jesick 等在圓型限制性三體模型下提出自由返回軌道的延拓算法，并采用圖像對稱原理將平面自由返回軌道延拓至三維自由返回軌道。 彭坤等提出了一種快速計(jì)算地月空間自由返回軌道的算法，并分析了不同近月點(diǎn)高度的自由返回軌道速度增量、飛行時間等特性。 近年來，隨著地月空間探測任務(wù)相繼提出，一些學(xué)者進(jìn)一步將自由返回軌道用于地月Halo 軌道的任務(wù)方案設(shè)計(jì)。路毅等基于自由返回軌道設(shè)計(jì)了月球背面載人著陸以及布設(shè)位于Halo 軌道中繼衛(wèi)星的轉(zhuǎn)移軌道方案。 Jesick在Halo 軌道探測任務(wù)背景下，基于自由返回軌道設(shè)計(jì)了具有中止能力的任務(wù)軌道。 Pratt 等以Halo 軌道為目標(biāo)構(gòu)建了基于自由返回軌道的月球借力入軌方案。

上述研究主要圍繞Halo 軌道探測任務(wù)展開，利用自由返回軌道特性設(shè)計(jì)DRO 轉(zhuǎn)移軌道的研究較為有限。 本文面向DRO 月球和火星探測任務(wù)，研究了基于自由返回軌道的DRO 入軌方案。首先，依據(jù)DRO 平面特性提出基于自由返回軌道的兩脈沖直接入軌方案。 其次，將自由返回軌道與LGA 結(jié)合提出四脈沖月球借力方案，以降低轉(zhuǎn)移過程中的脈沖消耗。 在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)分析了不同共振比DRO 和不同離軌相位對入軌速度增量和飛行時間的影響。

2 動力學(xué)模型及研究對象

2.1 動力學(xué)模型

衛(wèi)星在地月引力場共同作用下的運(yùn)動采用圓型限制性三體問題(Circular Restricted Three-Body Problem，CRTBP)描述。 衛(wèi)星的動力學(xué)方程表示如式(1)。

其中，，和表示航天器在地月旋轉(zhuǎn)系下的位置，表示地月質(zhì)量系數(shù)，和分別代表衛(wèi)星到地球和月球的距離，其計(jì)算方式如式(2)。

2.2 DRO 軌道

DRO 是CRTBP 問題中一類穩(wěn)定的平面軌道族，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下該軌道沿順時針(逆行)運(yùn)動。 圖 1 展示了DRO 軌道族，軌道顏色用于區(qū)分軌道周期，可以發(fā)現(xiàn)振幅越小的DRO 軌道周期越短。

圖1 DRO 軌道族Fig.1 DRO family in the CRTBP

軌道共振比是指月球公轉(zhuǎn)周期與軌道周期之比，具有典型共振比的周期軌道通?？杀ＷC地球、月球之間具有周期性的幾何關(guān)系。 本文在數(shù)值分析當(dāng)中用到了共振比為2 ∶1，3 ∶1，4 ∶1 和3 ∶2 的DRO 軌道。

2.3 自由返回軌道

自由返回軌道三體動力學(xué)坐標(biāo)系下具有對稱性，對于月球探測任務(wù)，該軌道可以保證衛(wèi)星面臨突發(fā)狀況時(任務(wù)中止或推進(jìn)系統(tǒng)故障)，不需要機(jī)動就能返回地球。 地月自由返回軌道根據(jù)衛(wèi)星出發(fā)和到達(dá)方向，分為地心順行月心逆行、地心逆行月心逆行、地心順行月心順行和地心逆行月心順行4 種類型。 在設(shè)計(jì)自由返回軌道的過程中，為了避免轉(zhuǎn)移軌道從地球出發(fā)數(shù)值敏感的問題，可以在近月點(diǎn)構(gòu)造轉(zhuǎn)移軌道初值以提高算法收斂性。

在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，自由返回軌道在近月點(diǎn)的狀態(tài)如式(4)。

其中，表示近月點(diǎn)月心距，為近月點(diǎn)速度模。 自由返回軌道的設(shè)計(jì)變量如式(5)。

以為初始狀態(tài)正向積分CRTBP 動力學(xué)方程，衛(wèi)星在地球附近需滿足近地點(diǎn)高度和再入航跡角約束如式(6)。

其中，為地球再入高度，為地球再入航跡角。 表1 展示了自由返回軌道的設(shè)計(jì)參數(shù)。

表1 自由返回軌道的設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Prameters of free-return trajectory

至此，自由返回軌道設(shè)計(jì)問題被轉(zhuǎn)換為非線性方程形式的求解問題，即給定近月點(diǎn)的2 個打靶變量(式5)，正向積分CRTBP 動力學(xué)方程至地球附近并滿足2 個等式約束(式6)。 通過二體軌道給定初值可以得到近月點(diǎn)月心距為100 km 的4 類自由返回軌道，如表2 所示。 為了描述方便，下文以A、B、C 和D 分別代指4 類自由返回軌道。

表2 自由返回軌道仿真結(jié)果(rM ＝100 km)Table 2 Search results of free-return trajectories(rM ＝100 km)

進(jìn)一步以表2 的收斂解作為初值，逐漸增加近月點(diǎn)月心距，延拓出4 類自由返回軌道的解族。 具體而言，以Δ＝100 km 為步長逐漸增加近月點(diǎn)月心距，并使用上一條軌道的收斂解和t作為當(dāng)前軌道的初值直到近月點(diǎn)月心距達(dá)到900 000 km。 圖2 展示了4 類自由返回軌道解族，通過插值即可得到任意近月點(diǎn)月心距對應(yīng)的自由返回軌道。

圖2 4 種類型自由返回軌道族Fig.2 Four types of free-return trajectory families

3 基于自由返回軌道的DRO 入軌方案

本節(jié)基于自由返回軌道的4 類解族，設(shè)計(jì)從地球低軌至DRO 的轉(zhuǎn)移軌道，轉(zhuǎn)移方式包括兩脈沖直接轉(zhuǎn)移和四脈沖月球借力2 種情況。

3.1 兩脈沖直接轉(zhuǎn)移方式

兩脈沖直接轉(zhuǎn)移方式可描述為:衛(wèi)星初始位于近地停泊軌道，施加第1 次脈沖后進(jìn)入任意類型的自由返回軌道，之后施加第2 次速度脈沖入軌DRO 軌道。 由于采用自由返回軌道，即使DRO 制動脈沖失敗衛(wèi)星也可安全返回地球。

在地月旋轉(zhuǎn)系下，自由返回軌道和DRO 軌道的4 類解族都垂直穿越軸，可以設(shè)置自由返回軌道的近月點(diǎn)作為DRO 軌道的入軌點(diǎn)。 DRO 軌道正向/反向穿越軸的狀態(tài)可通過設(shè)置DRO 軌道相位因子＝0 和＝0.5 得到，調(diào)整使得4 類自由返回軌道和DRO 軌道在近月點(diǎn)位置重合。 則DRO 入軌速度增量為2 條軌道在拼接點(diǎn)處的速度差。

3.2 四脈沖月球借力方式

四脈沖月球借力軌道轉(zhuǎn)移方式可描述為:衛(wèi)星初始位于近地停泊軌道，施加第1 次脈沖后進(jìn)入任意類型的自由返回軌道，在地月飛行過程中施加第2 次脈沖離開自由返回軌道，在近月點(diǎn)施加第3 次脈沖改變軌道能量，并最終施加第4 次脈沖嵌入DRO 軌道。 與兩脈沖直接入軌方式不同，四脈沖月球借力軌道轉(zhuǎn)移方式需構(gòu)造局部優(yōu)化問題，通過優(yōu)化自由返回軌道離軌時刻、月球借力參數(shù)以及DRO 入軌相位等設(shè)計(jì)參數(shù)，最小化任務(wù)總脈沖。

構(gòu)造以下非線性規(guī)劃問題P:如式(8)。

其中，∈R是優(yōu)化變量，J:R→是目標(biāo)函數(shù)，∈R和∈R是優(yōu)化變量的邊界，:R→R為等式約束，:R→R是不等式約束，優(yōu)化變量如式(9)。

其中，為自由返回軌道月心距。為環(huán)月圓軌道半徑，為軌道傾角，為升交點(diǎn)赤經(jīng)，為真近點(diǎn)角。 假設(shè)衛(wèi)星在近月點(diǎn)的狀態(tài)表示為環(huán)月圓軌道上一點(diǎn)施加切向脈沖，和分別表示借力前后衛(wèi)星速度與環(huán)月圓軌道的速度模之比，為衛(wèi)星從自由返回軌道離軌后至近月點(diǎn)的飛行時間，為衛(wèi)星從近月點(diǎn)至DRO 入軌的飛行時間。衛(wèi)星在月球借力前后的狀態(tài)分別表示為式(10)和式(11)。

則衛(wèi)星在近月點(diǎn)的速度脈沖Δ表示為式(15)。

假設(shè)第一次脈沖由火箭提供，目標(biāo)函數(shù)為最小化衛(wèi)星施加的3 次脈沖和，目標(biāo)函數(shù)表示為式(20)。

4 數(shù)值仿真

4.1 兩脈沖直接轉(zhuǎn)移方式

選擇共振比為2 ∶1 的DRO 軌道作為目標(biāo)軌道。 圖3 展示了采用直接轉(zhuǎn)移方式，4 類地月自由返回軌道至DRO 軌道的仿真圖。 通過采用自由返回軌道，即使DRO 制動脈沖失效，飛行器也可安全返回地球。

圖3 兩脈沖直接轉(zhuǎn)移軌道Fig.3 Two-burn direct transfers

圖3 展示了自由返回軌道至DRO 的轉(zhuǎn)移軌道。 表3 列出了飛行時間和所需速度增量。 Δ表示總速度增量，從表中可以發(fā)現(xiàn)A 類和B 類軌道入軌方向和DRO 運(yùn)行方向相同，因而速度脈沖遠(yuǎn)低于C 類和D 類軌道。 此外A 類和B 類轉(zhuǎn)移軌道的飛行時間較為接近(都約為6 d)，但是A 類轉(zhuǎn)移軌道的DRO 制動脈沖更低，僅需0.60 km/s。

表3 直接轉(zhuǎn)移軌道仿真結(jié)果Table 3 Simulation results of direct transfers

綜合考慮飛行時間以及入軌脈沖消耗，對于共振比2 ∶1 的DRO 軌道，A 類飛行軌道更為適合部署載人飛行器。 進(jìn)一步采用A 類自由返回軌道，計(jì)算不同DRO 周期的兩脈沖直接轉(zhuǎn)移軌道，如圖4 所示。

圖4 中黑色粗實(shí)線為自由返回軌道，藍(lán)色細(xì)實(shí)線為DRO 軌道族，粉色粗線標(biāo)識了4 條特殊共振比的DRO 軌道，紅色“×”表示變軌位置。 繪制速度脈沖和與飛行時間隨DRO 軌道周期的變化曲線，如圖5 所示。

圖4 不同DRO 周期的兩脈沖直接轉(zhuǎn)移軌道Fig.4 Direct transfers with different DRO orbit period

圖5 中橫軸表示DRO 軌道的周期，縱軸分別為總速度脈沖和飛行時間。 藍(lán)色實(shí)線為速度增量變化曲線，黑色虛線為飛行時間變化曲線。 可以發(fā)現(xiàn)隨著DRO 軌道周期的增加，總速度脈沖先略微增加然后急劇減小，而飛行時間則單調(diào)增加。

圖5 速度增量與飛行時間隨DRO 周期的變化曲線Fig.5 Variations of transfer cost and flight time with DRO orbit period

圖5 中速度增量最低的位置位于軌道周期為27.3 d 處，此時共振比接近1 ∶1，總速度增量為3.33 km/s。 此外，圖中特別標(biāo)注了四條典型共振比的DRO 軌道(共振比分別為2 ∶1、3 ∶1、4 ∶1和3 ∶2)。 可以發(fā)現(xiàn)4 條DRO 軌道的總速度脈沖差別不大(3.72～3.74 km/s)，飛行時間隨著軌道周期增大而增加，但均低于10 d。 因而這4 條典型共振比的DRO 軌道都可采用兩脈沖直接入軌方式。

4.2 四脈沖月球借力方式

給定DRO 軌道共振比為2 ∶1，月球借力轉(zhuǎn)移方式的優(yōu)化變量和邊界如表4 所示。

表4 月球借力轉(zhuǎn)移方式的優(yōu)化變量和邊界Table 4 Optimal variables and boundaries of LGA

對于4 類不同的自由返回軌道，通過求解非線性規(guī)劃問題得到收斂解集，非線性規(guī)劃求解器采用Matlab 中的函數(shù)，算法采用“Activeset”。 圖6 展示了解集中速度脈沖最低的轉(zhuǎn)移軌道。 表5 列出了這4 條軌道的速度脈沖和飛行時間。

表5 借力轉(zhuǎn)移軌道策略最優(yōu)解Table 5 Optimal results of LGA transfers

圖6 四脈沖月球借力轉(zhuǎn)移軌道Fig.6 Four-burn LGA transfers

觀察表5 發(fā)現(xiàn)，A 類軌道的飛行時間和總速度脈沖最低，假設(shè)從近地軌道出發(fā)的第一次脈沖由火箭提供，則衛(wèi)星需要施加的3 次脈沖和為0.241 km/s，飛行時間約為14.53 d。

進(jìn)一步選擇A 類轉(zhuǎn)移軌道，分析自由返回軌道離軌相位因子對轉(zhuǎn)移軌道速度脈沖的影響。 圖7 顯示了相位因子分別等于0.2、0.4、0.6 和0.8的月球借力轉(zhuǎn)移軌道。

圖7 中藍(lán)色細(xì)實(shí)線表示DRO 軌道族，黑色虛線表示自由返回軌道，綠色粗實(shí)線為離軌后的轉(zhuǎn)移軌道，紅色“×”表示變軌位置。 圖8 和圖9 展示了對于不同的自由返回軌道相位因子，速度增量和飛行時間隨DRO 周期的變化曲線。

圖7 月球借力轉(zhuǎn)移軌道(自由返回軌道相位因子分別為0.2、0.4、0.6 和0.8)Fig.7 LGA transfers (phase factors of free return orbit were 0.2， 0.4， 0.6 and 0.8)

圖8 展示了對于不同的自由返回軌道離軌相位因子，速度脈沖隨DRO 軌道周期的變化曲線。從圖中可以發(fā)現(xiàn)離軌時間越早，總速度脈沖越低。表6 顯示了圖8 中幾類特定振幅DRO 軌道的仿真結(jié)果。

圖8 不同自由返回軌道相位因子，速度增量隨DRO周期變化曲線Fig.8 Variations of phase factor and transfer cost with DRO orbit period

表6 不同相位LGA 轉(zhuǎn)移軌道速度增量對比Table 6 Comparison of transfer maneuver of LGA transfer orbit with different phase factors

從表6 可知，軌道周期越長的DRO 軌道，總速度脈沖越低。 總脈沖最低目標(biāo)軌道為3 ∶2共振比DRO 軌道。

圖9 展示了對于不同的自由返回軌道離軌相位因子，飛行時間隨DRO 軌道周期的變化曲線。從圖中可以發(fā)現(xiàn)出發(fā)時間越晚，飛行時間越小，但變化范圍不大(18.86～19.49 d)。 表7 顯示了圖9 中幾類特定振幅DRO 軌道的仿真結(jié)果。

圖9 不同自由返回軌道相位因子，飛行時間隨DRO周期變化曲線Fig.9 Variations of phase factor and flight time with DRO orbit period

表7 對比了特定振幅DRO 結(jié)果，結(jié)果顯示軌道周期越大的轉(zhuǎn)移軌道，飛行時間越小，但相差不到1 d。 因此采用月球借力方式有效降低了任務(wù)總脈沖，但是飛行器只有第一次脈沖失效才可返回地球附近。

表7 不同相位LGA 轉(zhuǎn)移軌道飛行時間對比Table 7 Comparison of flight time of LGA transfer orbit with different phase factors

5 結(jié)論

本文研究了基于自由返回軌道的DRO 入軌問題，提出了兩脈沖直接轉(zhuǎn)移和四脈沖月球借力軌道轉(zhuǎn)移策略。 此策略充分利用了自由返回軌道無需動力就能返回地球的特點(diǎn)，有效提高了DRO部署任務(wù)的可靠性。 在圓型限制性三體模型下計(jì)算了4 類自由返回軌道的解族，采用地心順行月心逆行自由返回軌道，獲得了2 種入軌方式進(jìn)入不同周期DRO 所需的飛行時間和脈沖消耗。 通過數(shù)值仿真得到如下結(jié)論:

1)對于共振比2 ∶1 的DRO 軌道，直接入軌方式所需的制動速度脈沖約為607 m/s，飛行時間約為6.17 d，飛行器在DRO 入軌脈沖失效的情況下也可無動力返回地球，適用于載人探測任務(wù)。四脈沖月球借力方式所需的速度脈沖約為241 m/s，飛行時間約為14.53 d，這種方式與直接入軌相比，速度增量明顯下降。

2) 對于共振比分別為3 ∶2，2 ∶1，3 ∶1，4 ∶1的DRO 軌道，兩脈沖直接轉(zhuǎn)移和四脈沖月球解列離開近地軌道速度脈沖區(qū)間分別為3132 ～3142 m/s和3127～3128 m/s，差別小于10 m/s，當(dāng)自由返回軌道離軌相位因子在[0.2，0.8]之間變化時，離軌時刻越早則速度脈沖越低。 其中，兩脈沖直接轉(zhuǎn)移所需制動脈沖為534 ～612 m/s，飛行時間為5.3～6.9 d，四脈沖借力轉(zhuǎn)移所需脈沖為241～402 m/s，飛行時間18.91～19.40 d。

上述軌道設(shè)計(jì)策略和分析結(jié)論對于未來考慮安全入軌的地月空間轉(zhuǎn)移軌道方案提供了參考，后續(xù)可進(jìn)一步分析任務(wù)中止在兩種不同轉(zhuǎn)移方式下對于任務(wù)成本的影響。