盧茜莉，陳云峰，吳世祥，楊遠航

(泰爾重工股份有限公司，安徽 馬鞍山 243000)

0 前言

鼓形齒聯(lián)軸器是一種剛性可移式聯(lián)軸器，是機械傳動的重要基礎部件。鼓形齒聯(lián)軸器能夠補償兩軸間徑向、軸向、角度以及綜合位移，具有承載能力高、傳遞轉矩范圍大、耐久性好、許用轉速高等優(yōu)點。鼓形齒聯(lián)軸器廣泛應用于冶金、采礦、化工、船舶、起重運輸?shù)雀鞣N機械設備中[1]。在鼓形齒聯(lián)軸器的設計和生產(chǎn)中，曲率系數(shù)是一個非常重要的幾何尺寸參數(shù)，不僅直接決定鼓形齒的幾何尺寸，而且與鼓形齒聯(lián)軸器的承載能力、軸間傾角、齒側間隙等息息相關。目前在鼓形齒聯(lián)軸器的相關設計中，其幾何尺寸參數(shù)大都憑借經(jīng)驗和引用相關手冊決定[2]，缺乏理論支撐；雖然部分文獻[3、5、8]對曲率系數(shù)的計算也有了相關研究，但研究不夠深入，理論依據(jù)不夠完善，計算公式也不夠全面，對鼓形齒幾何尺寸設計不具有普遍的指導意義。本文提供一種比較完整的鼓形齒聯(lián)軸器曲率系數(shù)的理論計算，并總結出各參數(shù)對曲率系數(shù)的影響規(guī)律，為進一步對鼓形齒聯(lián)軸器的研究提供參考。

1 位移圓半徑和曲率半徑

鼓形齒聯(lián)軸器在工作中，在兩軸線之間要允許一定的傾角。所以，在鼓形齒的設計中，保證齒輪在最大傾斜的條件下，不發(fā)生內(nèi)齒與外齒邊緣接觸，不產(chǎn)生端部載荷。因此，加工鼓形齒時，刀具是按半徑為R的圓弧移進的。

鼓形齒可用插齒和滾齒兩種方法進行加工，用插齒法加工出的鼓形齒，齒廓漸開線始終垂直于鼓形齒軸線。如圖1a所示，進而可計算出離中心x處，垂直于軸線方向上的刀具移進量Yc。

圖1 刀具軌跡示意圖

(R-Yc)2+x2=R2

(1)

(2)

用滾齒法加工出的鼓形齒，齒廓漸開線始終垂直于位移圓。如圖1b所示，進而可計算出離中心x處，垂直于位移圓的刀具移進量Yg。

R2+x2=(R+Yg)2

(3)

(4)

式中，R為位移圓半徑；Yc為插齒刀具移進量；Yg為滾齒刀具移進量；x為離齒寬中截面處的距離。

如圖2所示，在鼓形齒中間截面中，A-A面為工作圓切面，過嚙合點與工作圓相切；B-B面為齒嚙合平面。

圖2 鼓形齒的曲率半徑

通過計算可知，鼓形齒廓在A-A、B-B截面中為橢圓或者雙曲線，各點的曲率半徑不同，計算時可將齒廓曲線看成圓弧近似計算，則鼓形齒齒寬與曲率半徑的關系為

b=2rtsinωt

(5)

b=2resinωe

(6)

式中，b為鼓形齒齒寬；rt為工作圓切面內(nèi)的曲率半徑；re為齒嚙合平面內(nèi)的曲率半徑；ωt為工作圓切面內(nèi)的最大允許傾角；ωe為齒嚙合平面內(nèi)的最大允許傾角。

在截面A-A、B-B內(nèi)，離齒寬中截面x處分別有單邊的齒厚差yt、ye，也稱為單側減薄量。單側減薄量與刀具移進量之間的關系如圖3所示。

圖3 鼓形齒單側減薄量

在圖3中，圓心到嚙合點射線方向與中心線的夾角稱為加工角。在極小的范圍內(nèi)，可將齒廓曲線近似看成一條直線，則單側減薄量為

ye=Ysinα*

(7)

yt=Ysinα*/cosαw

(8)

式中，Y為插齒或滾齒刀具移近量；yt為工作圓切面內(nèi)的單側減薄量；ye為齒嚙合平面內(nèi)內(nèi)的單側減薄量；θ為加工角(θ=90°/Z，Z為齒數(shù))；α為壓力角；α*=α+θ；αw=α-θ。

以計算嚙合平面內(nèi)的單側減薄量為例，將式(7)分別代入式(2)和式(4)中，得

(1)插齒法。

(9)

進一步變換

(10)

(2)滾齒法。

(11)

進一步得

(12)

公式(10)和(12)分別為橢圓方程和雙曲線方程，由此可知，插齒法加工出來的鼓形齒齒廓曲線為橢圓，滾齒法加工出來的鼓形齒在嚙合平面內(nèi)齒廓曲線為雙曲線。同理，在工作圓切面內(nèi)齒廓曲線也是橢圓或雙曲線。

2 工作傾角和齒的圓周位置問題

鼓形齒最大的特點就是在軸心線上允許一定的工作傾角來實現(xiàn)補償位移。當鼓形齒傾斜一定角度時，不同圓周位置的齒在嚙合平面或工作圓切面上的傾斜變化量是不一樣的，所以，需要考慮哪個位置的齒最大允許傾角最小，即找到最容易發(fā)生端部載荷的齒來進行計算。以插齒法為例，計算在齒嚙合平面內(nèi)鼓形齒傾斜一定角度時，各參數(shù)之間的關系。

當漸開線直齒輪的軸心線在傾斜一定角度ω后，在齒廓節(jié)圓線上的任意一點M在嚙合平面內(nèi)到傾斜之前節(jié)圓線上的垂直距離稱為直齒輪的間隙變化量Δ直，如圖4a所示。

圖4 傾斜直齒輪

Δ直等于DM′在齒廓法線n上的投影，即

Δ直=DM′cos∠nMA

(13)

在位于任意圓周位置φ的齒上，假設嚙合點在左工作齒廓上，如圖4b所示，則

φ=∠nMA+α

(14)

∠nMA=φ-α

(15)

當嚙合點在右工作齒廓上，同理可得

∠nMA=π-(φ+α)

(16)

即

Δ直=|DM′cos(φ±α)|

(17)

設齒廓節(jié)圓線上的任意一點M到中心點O的距離MO為x，則

DM′=xsinω

(18)

Δ直=|xsinωcos(φ±α)|

(19)

當鼓形齒的軸心線在傾斜一定角度ω后，其間隙變化量Δ就等于直齒間隙變化量Δ直加上齒嚙合平面內(nèi)的單側減薄量ye，即

Δ=Δ直+ye

(20)

將式(2)和式(7)代入式(20)，得

Δ=|xsinωcos(φ±α)|+

(21)

式中，ω為鼓形齒軸心線的傾斜角度；Δ為在嚙合平面內(nèi)鼓形齒傾斜后的間隙變化量；Δ直為直齒傾斜后的間隙變化量；φ為齒的任意圓周位置。

由于鼓形齒聯(lián)軸器的內(nèi)齒一般都為直齒，當鼓形齒與內(nèi)齒剛好不發(fā)生齒端載荷時，即鼓形齒與內(nèi)齒相切，所以以x為自變量，對Δ進行求導，當導數(shù)為零時剛好是臨界狀態(tài)。

(22)

位于不同圓周位置的鼓形齒，其與內(nèi)齒的切點位置也不相同，為了不產(chǎn)生端部載荷，鼓形齒的齒寬b必須要大于等于兩倍的|x|的極大值。

當φ=±α或π±α時，x取極大值，即位于這四個圓周位置的齒最容易發(fā)生端部載荷。

(23)

則可看成

(24)

3 曲率系數(shù)的計算

曲率系數(shù)等于曲率半徑與位移圓半徑的比值，計算插齒法加工的鼓形齒在齒嚙合平面內(nèi)的曲率系數(shù)ψce。將式(6)代入式(24)中，得

(25)

當φ=±α或π±α時，這四個圓周位置的齒的軸心線傾斜方向剛好是在齒嚙合平面內(nèi)，所以有

ω=ωe

(26)

即

(27)

其中，ψce為插齒法齒嚙合平面內(nèi)的曲率系數(shù)。

當計算工作圓切面的曲率系數(shù)時，將式(8)代入計算，同理求出鼓形齒傾斜ω角度后的間隙變化量Δ′。

Δ′=|xsinωcos(φ±α)|+

(28)

(29)

從而可得

(30)

其中，ψct為插齒法工作圓切面內(nèi)的曲率系數(shù)。

以鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)(ω=0,α=20°)為例，計算不同齒數(shù)時的工作圓切面內(nèi)的曲率系數(shù)ψct和齒嚙合平面內(nèi)的曲率系數(shù)ψce。工作圓切面內(nèi)的曲率系數(shù)ψct和齒嚙合平面內(nèi)的曲率系數(shù)ψce都隨著齒數(shù)Z的增大而增大。如表1所示，對比《齒輪手冊》的曲率系數(shù)，本文工作圓切面內(nèi)的曲率系數(shù)ψct的計算結果誤差在0.02左右，齒嚙合平面內(nèi)的曲率系數(shù)ψce的計算結果誤差在0.01左右。由此可證明本文的計算方法是正確的。

表1 鼓形齒曲率系數(shù)(ω=0,α=20°)計算值與齒輪手冊曲率系數(shù)對比

由表1可知，當以滾齒法加工鼓形齒時，將式(4)代入計算，同理可得

(31)

(32)

式中，ψge為滾齒法齒嚙合平面內(nèi)的曲率系數(shù)；ψgt為滾齒法工作圓切面內(nèi)的曲率系數(shù)。

比較式(27)、(30)、(31)、(32)可知，當傾角ω=0時，插齒法和滾齒法曲率系數(shù)的計算公式是一樣的，可統(tǒng)一表示。

(33)

(34)

其中，ψe為齒嚙合平面內(nèi)的曲率系數(shù)；ψt為工作圓切面內(nèi)的曲率系數(shù)。

計算鼓形齒聯(lián)軸器(ω=0,Z=40)不同壓力角的曲率系數(shù)ψt、ψe，工作圓切面內(nèi)的曲率系數(shù)ψt和齒嚙合平面內(nèi)的曲率系數(shù)ψe都隨著壓力角α的增大而減小，見表2。

表2 鼓形齒曲率系數(shù)(ω=0,Z=40)

由表3的計算結果可知，

以鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)(α=20°,Z=40)為例,計算不同傾角的曲率系數(shù)ψct、ψce、ψgt、ψge，見表3。

表3 鼓形齒曲率系數(shù)(α=20°,Z=40)

由表3的計算結果可知，以插齒法加工的鼓形齒的曲率系數(shù)ψct、ψce隨著傾角ω的增大而減?。灰詽L齒法加工的鼓形齒的曲率系數(shù)ψgt、ψge隨著傾角ω的增大而增大。但變化量極小，可忽略不計。

4 結束語

本文以不同的鼓形齒加工方法角度，推導出一套較完整的曲率系數(shù)理論計算，總結了壓力角α、傾角ω、齒數(shù)Z與曲率系數(shù)ψ之間的影響規(guī)律，為鼓形齒聯(lián)軸器的幾何尺寸設計提供理論支撐。本文的曲率系數(shù)計算方法在系列鼓形齒聯(lián)軸器中已有成功應用，并且對鼓形齒聯(lián)軸器在標準化、參數(shù)化方向上的發(fā)展提供一定的理論依據(jù)。