胡純嚴(yán)，胡良平，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029

方差齊性檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)?zāi)吃囼?yàn)因素兩個水平或多個水平下觀測的定量數(shù)據(jù)所代表的總體方差是否相等，它是定量資料均值比較的重要前提條件之一。通常，方差齊性檢驗(yàn)分為單因素兩水平設(shè)計(jì)與單因素多水平設(shè)計(jì)下一元定量資料方差齊性檢驗(yàn)兩種情形。在第一種情形下，只有一種F檢驗(yàn)法；而在第二種情形下，有三種F檢驗(yàn)法和一種χ2檢驗(yàn)法。本文將介紹前述提及的五種方差齊性檢驗(yàn)法，并通過三個實(shí)例和SAS軟件實(shí)現(xiàn)各種方差齊性檢驗(yàn)。

1 五種方差齊性檢驗(yàn)方法

1.1 概述

在進(jìn)行兩個或多個均值比較時，若希望采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中的參數(shù)檢驗(yàn)法[（包括Z檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)和方差分析（或稱F檢驗(yàn)）]，定量資料應(yīng)滿足三個前提條件：獨(dú)立性、正態(tài)性和方差齊性。當(dāng)只有一個兩水平的試驗(yàn)因素時，方差齊性檢驗(yàn)的方法比較簡單，只需要用較大的樣本方差除以較小的樣本方差，依據(jù)F分布，就可推斷兩總體方差是否相等；然而，當(dāng)只有一個試驗(yàn)因素且水平數(shù)大于2時，就不適合采取前述的方法進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)。SAS/STAT的GLM過程[1]中介紹了四種方差齊性檢驗(yàn)方法，將在下文進(jìn)行闡述。

當(dāng)試驗(yàn)研究涉及多個試驗(yàn)因素時，傳統(tǒng)的做法仍然是對每一個試驗(yàn)因素分別進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)。若采用混合效應(yīng)模型進(jìn)行方差分析，在SAS/STAT的MIXED過程中，改變了思路，不直接檢驗(yàn)各前提條件是否滿足，而是假設(shè)給定的定量資料具有某種“方差和協(xié)方差結(jié)構(gòu)”?；谔囟ǖ募僭O(shè)去構(gòu)造混合效應(yīng)模型，并計(jì)算一系列衡量模型對給定定量資料擬合效果的評價(jià)指標(biāo)或統(tǒng)計(jì)量。分別采用多種可能的“方差和協(xié)方差結(jié)構(gòu)”對同一個資料進(jìn)行建模，最后，依據(jù)前述提及的評價(jià)指標(biāo)的數(shù)值來確定哪個混合效應(yīng)模型能最好地?cái)M合給定的資料[1-2]。

1.2 兩總體方差齊性檢驗(yàn)

式（1）中，F(xiàn)服從分子自由度為df1、分母自由度為df2的F分布。拒絕域：F≥F（1－α/2）（df1，df2），則p≤α（注：此時宜采用雙側(cè)檢驗(yàn)）。

兩總體方差齊性檢驗(yàn)屬于雙側(cè)檢驗(yàn)，而通常的基于均值比較的方差分析（F檢驗(yàn)）屬于單側(cè)檢驗(yàn)。理由如下：在方差齊性檢驗(yàn)中，無效假設(shè)為兩總體方差相等。若拒絕此無效假設(shè)，就意味著兩總體方差不等，此時，第1個總體方差可能大于第2個總體方差，也可能小于第2個總體方差；而在基于均值比較的方差分析（F檢驗(yàn)）中，無效假設(shè)為各組均值相等，在此假設(shè)成立的條件下，所構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的分子為“組間方差”，分母為“組內(nèi)方差（或誤差方差）”。通常檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的分子大于等于分母，故此時宜采用單側(cè)檢驗(yàn)。

1.3 多總體方差齊性檢驗(yàn)

1.3.1 Bartlett’s χ2檢驗(yàn)

Bartlett提出了一種等方差檢驗(yàn)，這是對正態(tài)理論似然比檢驗(yàn)的修正。用于方差齊性檢驗(yàn)的Bartlett’sχ2檢驗(yàn)的原理如下[3-4]。設(shè)有k個總體，每個總體的方差為，則建立檢驗(yàn)假設(shè)如下，H1：k個總體方差不等或不全相等。構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見式（2）：

式（2）中，若k個樣本均來自獨(dú)立的正態(tài)分布總體，則χ2服從自由度為df=k-1的χ2分布；拒絕域?yàn)閝和h分別見式（3）、式（4）：

式（3）中，“l(fā)g”代表取以10為底的常用對數(shù)，ni代表從第i個總體中抽取樣本的樣本含量，N代表總樣本含量，為第i個總體的樣本方差，為合并的樣本方差，其計(jì)算見式（5）：

Bartlett’sχ2檢驗(yàn)可以通過 SAS 軟件實(shí)現(xiàn)：調(diào)用SAS/STAT中的GLM過程時，在其內(nèi)的MEANS語句的選項(xiàng)中加上“HOVTEST=BARTLETT”[1]。

1.3.2 Levene’s F檢驗(yàn)

導(dǎo)致對基礎(chǔ)分布更穩(wěn)健的檢驗(yàn)方法是轉(zhuǎn)換因變量的原始值以導(dǎo)出離散變量，然后對該變量進(jìn)行方差分析。方差同質(zhì)性檢驗(yàn)的顯著性水平是離散變量方差分析F檢驗(yàn)的P值。除Bartlett方差齊性檢驗(yàn)外，PROC GLM中可用的所有方差齊性檢驗(yàn)均使用此方法[1，4]。

Levene’s檢驗(yàn)被廣泛認(rèn)為是方差的標(biāo)準(zhǔn)同質(zhì)性檢驗(yàn)（HOVTEST=Levene選項(xiàng)）。Levene’s檢驗(yàn)采用前面討論的離散變量方差分析形式，其中離散變量為以下任一項(xiàng)：

采用式（6）或式（7）對原始數(shù)據(jù)yij做變量變換后，得到新數(shù)據(jù)zij。然后直接對新數(shù)據(jù)采用單因素k水平設(shè)計(jì)一元定量資料方差分析，對應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見式（8）：

在式（8）中，F(xiàn)服從分子自由度為k-1、分母自由度為N-k的F分布。

1.3.3 O′Brien’s F檢驗(yàn)

O′Brien提出了一個檢驗(yàn)（HOVTEST=OBRIEN），它基本是對Levene方法的一種修改，使用式（9）等號左邊的離散變量[1，4]：

式（9）中，ni是第i組的樣本大小，是其樣本方差?？梢允褂美ㄌ栔械腤=選項(xiàng)[例如：HOVTEST=OBRIEN（W=0.5）]來調(diào)整O′Brien的離散變量，以匹配設(shè)定分布的可疑峰度。默認(rèn)情況下，W=0.5[1]。將式（9）代入式（8），就可實(shí)現(xiàn)對新變量進(jìn)行方差分析，但其結(jié)果是O′Brien’s方差齊性檢驗(yàn)的結(jié)果。

1.3.4 Brown-Forsythe’sF檢驗(yàn)

Brown和Forsythe建議使用式（10），即組中位數(shù)的絕對偏差[1，4]：

在式（10）中，mi是第i組的中位數(shù)?？梢允褂肏OVTEST=BF選項(xiàng)指定此檢驗(yàn)。將式（10）代入式（8），就可以實(shí)現(xiàn)對新變量進(jìn)行方差分析，其結(jié)果是Brown-Forsythe’s方差齊性檢驗(yàn)的結(jié)果。

如果其中一項(xiàng)檢驗(yàn)拒絕方差同質(zhì)性假設(shè)，則應(yīng)使用Welch’s方差分析而不是通常的方差分析來檢驗(yàn)組間均值的差異。然而，只有當(dāng)使用一個穩(wěn)健的方差齊性檢驗(yàn)（即不適用于HOVTEST=BARTLETT）時，這個結(jié)論才成立；即使如此，任何方差齊性檢驗(yàn)的能力都太小，無法始終檢驗(yàn)Welch’s方差分析是否合適[1]。

2 用SAS實(shí)現(xiàn)方差齊性檢驗(yàn)

2.1 問題與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

【例1】研究呼出氣冷凝液中氮氧化物與哮喘發(fā)病的關(guān)系。探討哮喘急性發(fā)作期患者和健康體檢者呼出氣冷凝液中氮氧化物的水平，了解其與哮喘發(fā)病、病情變化及肺功能的關(guān)系。選取13例哮喘急性發(fā)作期患者和13名健康體檢者，兩組重要的基礎(chǔ)資料比較差異均無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，哮喘急性發(fā)作期患者與健康體檢者的氧氮化物含量（單位：μmol/L）數(shù)據(jù)如下[5]。哮喘急性發(fā)作組：0.62、1.28、1.44、0.26、1.19、1.03、2.11、1.38、1.40、1.42、0.96、2.27、1.55；健康對照組：0.93、0.68、0.54、0.18、0.82、0.88、0.54、1.00、0.94、0.31、0.72、0.25、0.88。試問兩組定量資料所取自的兩個總體的方差是否相等？

【例2】抽樣測定了32名蓄電池廠工人的尿ALA（尿氨基-γ-酮戊酸）含量（單位：μmol/L），平均值為53.8662，方差為2460.4768；測定了6名化工廠工人的尿ALA含量，平均值為26.5640，方差為52.6150。試問兩廠工人尿ALA含量的方差是否相等[3]？

【例3】賓夕法尼亞大學(xué)一項(xiàng)嗅覺鑒定測試[1]，旨在探索年齡和性別與嗅覺的關(guān)系。共有180名20～89歲的受試者暴露于40種不同的氣味中，對于每種氣味，受試者被要求從四個詞中選擇一個最能描述該氣味的詞。Freeman-Tukey修正的反正弦變換用于正確識別氣味的比例，得出嗅覺指數(shù)。將受試者分為五個年齡組：年齡≤25歲、25歲<年齡≤40歲、40歲<年齡≤55歲、55歲<年齡≤70歲、年齡>70歲。設(shè)年齡分組變量為agegroup，嗅覺指數(shù)變量為smell。試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多，此處從略，參見文獻(xiàn)[1]。試檢驗(yàn)五個年齡組受試對象嗅覺指數(shù)的方差是否相等？

2.2 對例1的分析與解答

【分析與解答】這是一個單因素兩水平設(shè)計(jì)（常簡稱為成組設(shè)計(jì)）一元定量資料，若希望采用單因素兩水平設(shè)計(jì)一元定量資料t檢驗(yàn)，需要先檢查前提條件是否滿足，方差齊性檢驗(yàn)是其中的一個。設(shè)所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】在以上程序中，只調(diào)用了PROC TTEST過程，因?yàn)樵撨^程中包含了兩總體方差齊性檢驗(yàn)，但未對定量資料進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。因此，還需要使用PROC UNIVARIATE過程實(shí)現(xiàn)正態(tài)性檢驗(yàn)；若資料不滿足正態(tài)性和方差齊性，還需要調(diào)用PROC NPAR1WAY過程對定量資料進(jìn)行秩和檢驗(yàn)。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

因F=3.67，df1=df2=12，P=0.0328<0.05，說明兩總體方差不等。

2.3 對例2的分析與解答

【分析與解答】這是一個單因素兩水平設(shè)計(jì)一元定量資料（缺乏詳細(xì)的原始數(shù)據(jù)），若希望采用單因素兩水平設(shè)計(jì)一元定量資料t檢驗(yàn)，需要先檢查前提條件是否滿足，方差齊性檢驗(yàn)是其中的一個。設(shè)所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】由于缺乏詳細(xì)的原始數(shù)據(jù)，無法利用SAS中的PROC TTEST過程實(shí)現(xiàn)方差齊性檢驗(yàn)，只能用兩樣本方差比的計(jì)算公式，并利用F分布的分位數(shù)函數(shù)FINV（1－α/2，df1，df2）計(jì)算F分布曲線下橫坐標(biāo)上的上側(cè)臨界值（按雙側(cè)檢驗(yàn)來確定）[6]。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

在輸出結(jié)果中，var1和var2分別代表兩個樣本方差，F(xiàn)=46.7638為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，F(xiàn)005和F001代表與顯著性水平α分別等于0.05和0.01對應(yīng)的雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值。由F=46.7638>F001=12.6395，故得到P<0.01，說明兩總體方差不等。由于var1=2460.48>var2=52.615，說明蓄電池廠工人尿ALA含量的變異度大于化工廠工人尿ALA含量。

2.4 對例3的分析與解答

【分析與解答】這是一個單因素五水平設(shè)計(jì)一元定量資料，若希望采用單因素五水平設(shè)計(jì)一元定量資料方差分析，需要先檢查前提條件是否滿足，方差齊性檢驗(yàn)是其中的一個。設(shè)所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】在SAS過程步中有4個“MEANS語句”，分別代表4種具體的方差齊性檢驗(yàn)方法。其中，后3個被放置在注釋語句“/**/”中，被當(dāng)作注釋（不被SAS系統(tǒng)執(zhí)行）；每次只能讓一個“MEANS語句”處于可被執(zhí)行的狀態(tài)。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

第一，采用Bartlett’s方法進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果。

以上呈現(xiàn)的是各年齡組smell的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果（注：第2列為樣本含量）。

以上呈現(xiàn)的是采用Bartlett’s方法對五組定量資料（smell）進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的結(jié)果，其中，說明該定量資料不滿足方差齊性要求。

第二，采用Brown-Forsythe’s方法進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果。

以上呈現(xiàn)的是采用Brown-Forsythe’s方法對五組定量資料（smell）進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的結(jié)果，其中F=5.47，df=4，P<0.0004，說明該定量資料不滿足方差齊性要求。

第三，采用Levene’s方法進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果。

以上呈現(xiàn)的是采用Levene’s方法對五組定量資料（smell）進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的結(jié)果，其中F=6.35，df=4，P<0.0001，說明該定量資料不滿足方差齊性要求。

第四，采用O′Brien’s方法進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果。

以上呈現(xiàn)的是采用O′Brien’s方法對五組定量資料（smell）進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)的結(jié)果，其中F=6.16，df=4，P=0.0001，說明該定量資料不滿足方差齊性要求。

3 討論與小結(jié)

3.1 討論

當(dāng)數(shù)據(jù)的基本分布為正態(tài)時，Bartlett’sχ2檢驗(yàn)具有準(zhǔn)確的I型錯誤率和最佳功效，但如果該分布稍不正態(tài)，則可能不準(zhǔn)確。因此，一般情況下，SAS不建議使用 Bartlett’sχ2檢驗(yàn)[1]?；趯υ级抠Y料進(jìn)行變量變換后的三種F檢驗(yàn)（即Levene’sF檢驗(yàn)、O′Brien’sF檢驗(yàn)和Brown-Forsythe’sF檢驗(yàn)），對于變換后的新數(shù)據(jù)而言，在本質(zhì)上就是“基于均值比較的方差分析”，實(shí)現(xiàn)了對原始數(shù)據(jù)的方差齊性檢驗(yàn)。采用以上4種方法對本文例1的定量資料進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，得到結(jié)果匯總?cè)缦拢?/p>

Bartlett’sχ2檢驗(yàn)法：χ2=4.5524，df=1，P=0.0329（單側(cè)概率）。Levene’sF檢驗(yàn)法：F=3.21，df1=1，df2=24，P=0.090（單側(cè)概率）。Brown-Forsythe’sF檢驗(yàn)法：F=1.64，df1=1，df2=24，P=0.2131（單側(cè)概率）。O′Brien’sF檢驗(yàn)法：F=2.86，df1=1，df2=24，P=0.104（單側(cè)概率）。

以上4種檢驗(yàn)結(jié)果僅Bartlett’sχ2檢驗(yàn)的結(jié)果與例1的基于方差比的檢驗(yàn)結(jié)果完全一致，其他3種檢驗(yàn)得出了相反的結(jié)論。由于例1的兩組定量資料均服從正態(tài)分布，故Bartlett’sχ2檢驗(yàn)的結(jié)果精確度高。

3.2 小結(jié)

本文對五種方差齊性檢驗(yàn)的理論和方法進(jìn)行了詳細(xì)介紹，呈現(xiàn)了兩種具有不同數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的單因素兩水平設(shè)計(jì)一元定量資料，并采用兩種途徑實(shí)現(xiàn)了方差齊性檢驗(yàn)；對于單因素多水平設(shè)計(jì)一元定量資料，基于SAS中的PROC GLM過程實(shí)現(xiàn)了三種F檢驗(yàn)和一種χ2檢驗(yàn)。