黃睿 上海市民星中學(xué)

初中階段，學(xué)生是經(jīng)過從直觀圖形語言到數(shù)學(xué)自然語言的過程來認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性的。到了高中階段，需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步用符號語言來表述函數(shù)的單調(diào)性。在把握函數(shù)單調(diào)性定義時，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。在函數(shù)單調(diào)性證明的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。［1］高中數(shù)學(xué)知識高度抽象概括，邏輯推理要求較高，而大多數(shù)藏族學(xué)生由于漢語理解能力與理科思維較為薄弱，造成他們在基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算方面都存在較大問題，導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有很大困難，尤其是像函數(shù)單調(diào)性證明這樣的證明類問題。作為上海市新一批組團(tuán)式教育援藏人才，筆者在日喀則市上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校連續(xù)兩年擔(dān)任高一年級數(shù)學(xué)教學(xué)工作，走過一些彎路，有過一些困惑，也請教了一些同事，思考了一些方法——從西藏學(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，有針對性的西藏高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略。

一、做好知識銜接，降低新知坡度

進(jìn)入高中之后，很多學(xué)生都能感受到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在著很大的差異。除去高中數(shù)學(xué)對于學(xué)生自學(xué)能力、思維能力的要求較高之外，初高中數(shù)學(xué)的差異很大程度都體現(xiàn)在教材內(nèi)容與中考要求上。由于主觀與客觀的斷隔，初中課程和高中課程成為兩個互不關(guān)聯(lián)的自封閉系統(tǒng)，難以溝通更談不上共融。［2］例如，在函數(shù)單調(diào)性證明過程中，需要學(xué)生具備良好的因式分解方面的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，還涉及到不等式的基本性質(zhì)等內(nèi)容。由于西藏學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，如果教師直接教授函數(shù)單調(diào)性證明這一內(nèi)容可能造成學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。因此，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)內(nèi)容的順序，并有針對性地做好知識銜接，能夠在降低學(xué)生學(xué)習(xí)新知坡度的同時，夯實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，保證學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

（一）做好知識銜接，夯實(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

函數(shù)單調(diào)性證明常常采用“作差法”來判斷f(x1)-f(x2)的符號，而且在證明的過程中需要對解析式進(jìn)行通分、因式分解、配方、有理化等操作，向著有利于判斷符號的方向變形。在筆者的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于初中時學(xué)習(xí)過的“作差法”比較實(shí)數(shù)（或代數(shù)式）大小的方法并不熟悉，而且學(xué)生在進(jìn)行簡單的多項(xiàng)式提取公因式、分組合并等因式分解時存在較大的問題。因此，在教授該內(nèi)容前，可以先復(fù)習(xí)一下相關(guān)的知識、方法、公式等。

面對西藏學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱的實(shí)際情況，教師可以在教授新課前有針對性地復(fù)習(xí)一些初中的知識，這樣更有利于讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)構(gòu)建新的知識。在高一新生剛剛?cè)胄Ｖ畷r，對其開展數(shù)學(xué)初高中的銜接教學(xué)，為學(xué)生高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定一個堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。［3］雖然這樣做在教學(xué)進(jìn)度上會稍稍落后，但是磨刀不誤砍柴工，由于通過銜接教學(xué)夯實(shí)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，因而在之后高中新課內(nèi)容的教學(xué)上會更加順暢，也就會逐漸縮小進(jìn)度上的差異，并在學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量上有所保障。

（二）調(diào)整教學(xué)安排，降低學(xué)習(xí)坡度

在函數(shù)單調(diào)性證明最后確定符號這一環(huán)節(jié)中涉及到一些不等式的性質(zhì)，有些性質(zhì)學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過，比如由x1＜x2得x1-x2＜0，但是還有一些學(xué)生并沒有學(xué)過，比如由x1＞2,x2＞2 得x1x2＞4，雖然可以通過簡單推理得到，但是仍在一定程度上增加了學(xué)生學(xué)習(xí)單調(diào)性證明的難度。不等式的性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容在人教A 版（2007年）教材中被安排在必修5 分冊的第三章《不等式》中，而在上教版教材和人教A 版（2019年）新教材都將《等式與不等式的性質(zhì)》一章安排在必修1的《函數(shù)的概念與性質(zhì)》之前。因此，學(xué)校高一數(shù)學(xué)備課組在安排教學(xué)進(jìn)度時，可以根據(jù)本校學(xué)生學(xué)習(xí)狀況，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)順序，將《不等式》一章內(nèi)容提前完成，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)新知識做好準(zhǔn)備，降低學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的坡度。此外，在《不等式》一章的教學(xué)過程中，由于涉及到一元二次不等式的解法等內(nèi)容，通過教學(xué)也可以鍛煉學(xué)生在因式分解方面的應(yīng)用。

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）中指出必修課程包括五個主題：預(yù)備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動。主題一預(yù)備知識中包括集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式，通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生為高中數(shù)學(xué)課程做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方法和知識技能等方面的準(zhǔn)備，幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡。［1］雖然目前西藏地區(qū)還沒有全面使用新課標(biāo)新教材，但是教師在授課過程中可以參考學(xué)習(xí)，尤其是在高一初始年級可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況適當(dāng)調(diào)整教學(xué)安排，降低學(xué)生學(xué)習(xí)新知的坡度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、重視總結(jié)歸納，助力思維發(fā)展

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)較龐雜，需要教師引導(dǎo)學(xué)生不斷對知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)歸納，以鞏固舊知，探索新知。［4］總結(jié)歸納的時機(jī)可以是課堂上知識方法的講解提煉，也可以是章節(jié)教學(xué)完成后的總結(jié)深化；可以由教師提綱挈領(lǐng)地進(jìn)行總結(jié)，也可以由學(xué)生通過個人實(shí)際學(xué)習(xí)體會進(jìn)行歸納。針對于西藏學(xué)生的實(shí)際情況，教師更是要及時進(jìn)行總結(jié)歸納，突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，提高教學(xué)效率。

（一）課上提煉方法，突出教學(xué)重點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性教學(xué)一般都是從單調(diào)性的定義開始，讓學(xué)生從觀察圖像得出函數(shù)圖像上升、下降的直觀感受，提升為運(yùn)用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行形式化的定義，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的形式化定義，可以得出函數(shù)單調(diào)性證明的一般解題步驟。在講解時，教師可以先從一次函數(shù)和二次函數(shù)這兩個學(xué)生學(xué)習(xí)過、比較熟悉的函數(shù)入手，讓學(xué)生先對證明過程有個初步的認(rèn)識，熟悉用數(shù)學(xué)符號對函數(shù)單調(diào)性的形式化定義。然后結(jié)合題目的證明過程，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生尋找其中的共性，歸納總結(jié)得出單調(diào)性證明的一般解題步驟。教師可以從旁指點(diǎn)，并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況將其細(xì)化：

①設(shè)值（任意x1,x2∈D，且x1＜x2）；

②作差（f(x1)-f(x2)，注意括號）；

③變形（通分、因式分解——同類型合并）；

④定號得結(jié)論（f(x1)-f(x2)＜0 ?f(x1)＜f(x2)?增函數(shù)f(x1)-f(x2)＞0 ?f(x1)＞f(x2)?減函數(shù)）。

然后，再通過練習(xí)讓學(xué)生運(yùn)用總結(jié)的解題步驟，加深印象，深化理解。由于函數(shù)圖像是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此在學(xué)生完成證明解答后，教師可以利用繪圖軟件繪制出相應(yīng)函數(shù)的圖像，讓學(xué)生直觀觀察得出其單調(diào)性，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

（二）章后總結(jié)歸納，完善知識體系

高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容自成體系，前后章節(jié)層層深入具有一定關(guān)聯(lián)性。學(xué)生在學(xué)習(xí)每個章節(jié)時往往是各個突破，知識點(diǎn)較為零散。為了讓學(xué)生能夠更好地為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，教師需要在完成章節(jié)教學(xué)后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，由點(diǎn)及面，形成較為完善的知識體系，具體可以采用繪制思維導(dǎo)圖或列表對比等方式開展。

學(xué)生在初中時學(xué)習(xí)過函數(shù)的描述性概念，接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等簡單的函數(shù)，了解了它們的圖像、性質(zhì)等。進(jìn)入高中后，必修1 第一章中“函數(shù)及其表示”和“函數(shù)的基本性質(zhì)”這兩小節(jié)學(xué)習(xí)是對函數(shù)概念的再認(rèn)識，更加系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法，以及函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性等基本性質(zhì)，而這些知識點(diǎn)都還要在后續(xù)第二章學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)中具體應(yīng)用研究。因此，完成這兩小節(jié)教學(xué)后，需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。思維導(dǎo)圖是一種將思維形象化的方法，通過關(guān)鍵詞連接、輻射形成思維“地圖”。由于“函數(shù)及其表示”和“函數(shù)的基本性質(zhì)”這兩小節(jié)內(nèi)容相對獨(dú)立，因此這一總結(jié)歸納的過程可以采用學(xué)生小組合作繪制思維導(dǎo)圖的形式，發(fā)散學(xué)生群體的思路，在頭腦風(fēng)暴的過程中完善函數(shù)知識體系。

三、改進(jìn)方法手段，提升學(xué)習(xí)興趣

在日常教學(xué)中，經(jīng)常會遇到這樣的情形：講臺上，教師情緒激昂地講課；講臺下，學(xué)生表情呆滯，手中的筆無情地記錄，更有甚者個別學(xué)生睡眼惺忪、昏昏欲睡。與其把主要原因被動地歸咎于學(xué)生，不如主動地去分析并改變我們教師自己的教育教學(xué)行為。如何能夠吸引學(xué)生眼光，保持每節(jié)課40分鐘高度注意力，需要教師認(rèn)真思考解決。

（一）搭建思維支架，降低學(xué)習(xí)難度

函數(shù)單調(diào)性證明過程需要學(xué)生用符號語言進(jìn)行表述，邏輯推理要求較高，而其中涉及到的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力素養(yǎng)也增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。由于西藏學(xué)生數(shù)學(xué)思維較為薄弱，習(xí)慣于機(jī)械性的代數(shù)運(yùn)算，在邏輯推理能力上還有待提高，在解題過程中常常會產(chǎn)生前后毫無邏輯關(guān)系的推理，與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求存在一定落差，直接讓學(xué)生獨(dú)立完成完整的證明過程較為困難。因此，教師可以將練習(xí)由證明題的形式改變?yōu)樘羁疹}，幫助學(xué)生搭建思維支架，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，將證明過程中的一些關(guān)鍵性步驟抽空，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行填寫，讓學(xué)生對于解答函數(shù)單調(diào)性證明題有一個更加直觀的感受。例如，在證明函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)時，可以將其設(shè)置為填空：

_____x1,x2∈(0,+∞)，且_____，

f(x1)-f(x2)=_____=_____=_____，

∵0＜x1＜x2，∴_____，_____，_____，

∴f(x1)-f(x2)_____0，∴f(x1)_____f(x2)，

這樣由教師人為設(shè)置填空，可以讓學(xué)生認(rèn)識到全稱量詞“任意”的重要性；明白在f(x1)-f(x2)作差后先進(jìn)行帶入，然后通分，再進(jìn)行因式分解的常規(guī)化簡方法；通過由0＜x1＜x2推理得出各項(xiàng)的符號，讓學(xué)生理解如何對化簡后的解析式判斷符號，進(jìn)而得出最后的結(jié)論。在學(xué)生通過填空題的形式對于函數(shù)單調(diào)性證明有了直觀體驗(yàn)后，再讓其完整地書寫完成證明練習(xí)題，可以更有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的能力。

（二）當(dāng)堂直觀呈現(xiàn)，互相尋找差距

在講解函數(shù)單調(diào)性證明時，雖然教師在課堂上通過例題以及練習(xí)讓學(xué)生感受形式化定義、熟悉證明步驟，但還是有學(xué)生沒有充分理解，在作業(yè)練習(xí)中遇到不同的問題時暴露出來。在授課過程中，對于學(xué)生的個性化問題，教師可以在課后通過單獨(dú)面批的方法解決，而對于班級學(xué)生的共性問題，則一般在課堂上進(jìn)行統(tǒng)一講解。但是，在講解時有些學(xué)生感覺已經(jīng)會了或是并不覺得這是他的問題，因而聽課興趣下降，導(dǎo)致收效甚微。其實(shí)，教師可以改進(jìn)方式方法，把學(xué)生作業(yè)中的共性問題拍照下來，然后在課堂上投影呈現(xiàn)，讓班級同學(xué)一起來尋找問題。由于西藏學(xué)生本身就很熱情，上課時參與課堂的積極性很高，而且由于在拍照時隱去了學(xué)生的個人信息，學(xué)生們也不知道展示的是誰的作業(yè)，因此尋找起來饒有興趣，往往不僅能夠發(fā)現(xiàn)教師想要在班級中講解的問題，還能找到一些教師沒有注意到的細(xì)節(jié)錯誤。除了可以在課堂上呈現(xiàn)學(xué)生存在的問題，還可以把完成情況較好的學(xué)生的作業(yè)作為正面的典型讓班級學(xué)生一同“欣賞”，發(fā)現(xiàn)別人的長處，尋找自身的不足。

姜伯駒院士指出：不證明，數(shù)學(xué)課就失去了靈魂。［5］函數(shù)單調(diào)性證明不僅是函數(shù)教學(xué)中重要的一課，而且在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)展了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力。如何上好這一課，如何為西藏學(xué)生上好這一課，不僅考驗(yàn)了教師自身對于數(shù)學(xué)本體性知識的理解，還考驗(yàn)了教師對于學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的了解。面對不同的學(xué)生，因地制宜地采取不同的策略，才是提升課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。