四川省資陽中學 王冬勤 王海清 (郵編:641300)
函數(shù)是高考考查的重點、熱點,特別是關(guān)于抽象含參不等式性質(zhì),主要考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng),其綜合性強,對思維能力要求高,對于高一學生來說,難度大.為了突破這一難點,筆者利用深度學習理念,進行了一次“一類含參不等式”微設計專題研究,宏觀把握函數(shù)性質(zhì),精心設計教學內(nèi)容,精準提高教學效果,逐步提高學生數(shù)學素養(yǎng).
教學中使學生獲得一類抽象含參不等式的解決辦法,鞏固必修一對于函數(shù)單元的編排,即研究函數(shù)的兩域三性(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性),有助于學生在形成知識體系的同時,發(fā)展相應的核心素養(yǎng).
教學要點f()< f()f()+f()< 0 f()+f()< a f()< f2()/af()核心素養(yǎng)①數(shù)學建模②數(shù)學抽象③直觀想象④數(shù)學運算⑤邏輯推理考法指津(1)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性(2)理解函數(shù)基本模型,并對其余模型進行有效轉(zhuǎn)化(3)注意定義域優(yōu)先的原則(4)積累常見的奇偶函數(shù)(5)逐漸掌握對抽象函數(shù)的研究
以題組為架構(gòu),開展基于深度學習的主題單元教學.
(1)已知函數(shù)f(x)=log2|x-1|+x2-2x+1,則f(2x-1)<f(x+1)的解集為______.
思路探尋由已知可得f(x)是關(guān)于x=1對稱的函數(shù),且當x∈(1,+ ∞)時,f(x)單調(diào)遞增 ,故|2x-1-1|<|x+1-1|,兩 邊 平 方 ,得此思路忽略定義域優(yōu)先的原則,即忽略定義域為{x|x∈R,且x≠1}.
方法點睛根據(jù)條件,明確定義域,故f(x)是定義在 (-∞,1)∪(1,+ ∞)上的關(guān)于x=1對稱的函數(shù),并在x∈(1,+∞)單調(diào)遞增,故由題設條件得解之得
(2)已知函數(shù)f(x)=,若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)< 0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍為_____.
思路探尋因為f(x)為奇函數(shù),故原式為f(t2-2t)<f(k-2t2),即t2-2t<k-2t2,3t2-2t<k,解 之 得k>(3t2-2t)max,即 范 圍 為此 思 路 忽 略f(x)的 單 調(diào) 性 ,從f(t2-2t)<f(k-2t2)直接過渡到t2-2t<k-2t2,缺乏嚴謹?shù)倪壿嬐评?,另此思路中?t2-
方法點睛f()+f()< 0型,必然隱含f(x)為奇函數(shù),需要說明其奇偶性.可化為f()<f()型,去掉法則f,必須說明其單調(diào)性,此為關(guān)鍵.f(x)單調(diào)性證明略,顯然f(x)單 調(diào) 遞 減.t2-2t>k-2t2,解 之 得k<(3t2-2t)min,即范圍為
思路探尋我們認識f()+f()<0型,可此時右側(cè)為常數(shù)-2,怎么辦呢?對,移項變成0.設g(x)=f(x)+1,g(2a-1)+g(a2-2)≤ 0,進而研究g(x)是否為奇函數(shù),以及g(x)在(0,+∞ )的單調(diào)性.
方法點睛設g(x)=f(x)+1=log2(x+由g(x)=log2(x+即g(-x)=-g(x),故g(x)為R上奇函數(shù),且由g(x)=log2(x+x2+1 )+,得g(x)在 (0,+ ∞)內(nèi)單調(diào)遞增,即g(x)在 R 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 ,g(2a-1)≤g(2-a2),2a-1≥ 2-a2,解之得a∈[-3,1].
思路探尋同第3題,設g(x)=f(x)-1=則 原 式 為g(4-ma)+g(m2+3m)>0,進而研究g(x)是 R 上的奇函數(shù),及g(x)在 (0,+ ∞)上 的 單 調(diào) 性.提 公 因 式x2,,易知g(x)為R上的奇函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞增.則原式為g(4-ma)>g(-m2-3m),4-ma>-m2-3m,存在m∈(1,4),使m2+3m-ma+4>0恒成立.分離參數(shù)后為,即故實數(shù)的范圍為a∈(-∞,8).
方法點睛此題不同于第3題在于奇偶性需要 提 出 公 因 式x2,再 通 分 易 見g(x)=x2(1-我們可以總結(jié),當f(x)=形式時,可證奇偶性,當形式時,易見單調(diào)性.
(5)設f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù),且當x≥ 0時,f(x)=ex.若對任意的x∈[a,a+1],不等式f(x+a)≥f2(x)恒成立,則實數(shù)a的最大值?
思路探尋我們熟悉f()<f()型,可此時為f()<f2()型,意味著f2()=f(),而f(x)=e|x|,即f2(x)=e2|x|=e|2x|=f(2x),故 原 式 為f(x+a)<f(2x),由于f(x)是偶函數(shù),且在(0,+∞ )內(nèi)單調(diào)遞增,故|x+a|<|2x|在[a,a+1]上恒成立,兩邊平方,得g(x)=3x2-2ax-a2≤0在[a,a+1]上恒成立,由根的分布可知,解之得故最大值為
方法點睛f()<f2()型,可通過f(x)性質(zhì),研究f2()=f(),此類性質(zhì)對一般指數(shù)函數(shù)具有.
(6)設f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),且當x≥ 0時,f(x)=x2.若對任意的x∈[-3,3],不等式f(x+a)≥ 4f(x)恒成立,求實數(shù)a的范圍.
思 路 探 尋f(x)=x|x|,4f(x)=f(2x),故原式為f(x+a)≥f(2x).由于f(x)是R上的奇函數(shù),在(0,+ ∞)單調(diào)遞增,即f(x)在 R內(nèi)單調(diào)遞增,故x+a≥2x,即a≥x在x∈[-3,3]上恒成立,故a≥3.
方法點睛f()<af(),可通過f(x)的性質(zhì),研究af()=f(),此類函數(shù)一般冪函數(shù)具有.由此可猜想對數(shù)函數(shù)具有性質(zhì):f()+f()=f(),故也有相關(guān)類型:f()+f()=f()+f()等.
本專題主題教學是基于問題題組形式的案例分析,題組之間的螺旋式進階關(guān)系.提高了學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模等數(shù)學學科素養(yǎng),示錯教學,提高了學生的辨析能力和科研精神.