樸勇杰

(延邊大學 理學院 數(shù)學系, 吉林 延吉 133002)

設(shè)(X,d)是度量空間,f:X→X是自映射，則存在k∈[0,1)且使得對任意的x,y∈X始終有d(fx,fy)≤kmax{d(x,y),d(x,fx),d(y,fy),d(x,fy),d(y,fx)}成立.

在本文中，首先引進了一個五元函數(shù)類F， 并在完備的乘積度量空間上定義了F-擬壓縮的概念；然后采用文獻[20]中的證明思路證明了滿足F-擬壓縮條件的映射必有唯一不動點,并導(dǎo)出若干個推論，同時還通過實例驗證了所得結(jié)果的正確性.

定義1[10]設(shè)X是非空集合，稱映射d:X×X→[1,+∞)是X上的乘積度量是指d滿足:

(ii)對任意的x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)；

(iii)對任意的x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y)d(y,z).

如果X和d滿足上述條件，則稱(X,d)為乘積度量空間.

定義2[10]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列且x∈X.若對任何ε>1, 存在自然數(shù)N， 使得當n>N時有xn∈Bε(x)?{y∈X|d(x,y)<ε}, 則稱序列{xn}乘積收斂于x, 并記為xn→x(n→∞).

引理1[13]如果(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列且x∈X，則有

定義3[13]設(shè)(X,d)是乘積度量空間， {xn}是X中的序列.若對任何ε>1， 存在自然數(shù)N， 使得當m,n>N時d(xm,xn)<ε始終成立，則稱序列{xn}為乘積柯西序列.

引理2[13]如果(X,d)是乘積度量空間， {xn}是X中的序列，則{xn}是乘積柯西序列當且僅當d(xm,xn)→1 (m,n→∞).

定義4[13]如果乘積度量空間(X,d)中的每個乘積柯西序列都是乘積收斂的,則稱(X,d)是完備的.

引理3[13]如果(X,d)是乘積度量空間, {xn}和{yn}是X中的2個序列且x,y∈X， 則有

xn→x(n→∞)且yn→y(n→∞) ?d(xn,yn)→d(x,y) (n→∞).

定義5函數(shù)類F為Φ∈F當且僅當Φ:[1,+∞)5→[1,+∞)滿足:

Φ(i)Φ是連續(xù)且單調(diào)遞增的;

Φ(ii) 當x≤Φ(x,x,x,x2,1)或x≤Φ(x,1,1,x,x)時，x=1.

定義6設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間,f:X→X為自映射,則稱f是F-擬壓縮映射是指存在Φ∈F使得對任意的x,y∈X總有下式成立：

d(fx,fy)≤Φ(d(x,y),d(x,fx),d(y,fy),d(x,fy),d(y,fx)).

(1)

定理1設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間.如果f:X→X是F-擬壓縮的,則f有唯一不動點,并且對任意的x∈X, 迭代序列{fnx}收斂于該唯一不動點.

d(xn,xn +1)=d(fxn -1,fxn)≤

Φ(d(xn -1,xn),d(xn -1,fxn -1),d(xn,fxn),d(xn -1,fxn),d(xn,fxn -1))=

Φ(d(xn -1,xn),d(xn -1,xn),d(xn,xn +1),d(xn -1,xn +1),d(xn,xn))≤

Φ(d(xn -1,xn),d(xn -1,xn),d(xn,xn +1),d(xn -1,xn)d(xn,xn +1),1)).

(2)

如果存在某自然數(shù)N使得d(xN -1,xN)1.另一方面,根據(jù)式(2)的第1行和第4行以及條件Φ(i)和上述假設(shè)可得：

d(xN,xN +1)≤Φ(d(xN -1,xN),d(xN -1,xN),d(xN,xN +1),d(xN -1,xN)d(xN,xN +1),1))≤

Φ(d(xN,xN +1),d(xN,xN +1),d(xN,xN +1),[d(xN,xN +1)]2,1)).

再根據(jù)條件Φ(ii)可得d(xN,xN +1)=1, 這與d(xN,xN +1)>1相矛盾，因此必有

d(xn,xn +1)≤d(xn -1,xn),?n=1,2,….

(3)

d(xm(k),xn(k))>ε,d(xm(k) -1,xn(k))≤ε.

(4)

由式(4)和定義1可得:

ε

對上式兩邊取k→ +∞并再利用式(3)可得:

(5)

于是根據(jù)定義1可得:

(6)

(7)

在式(6)和式(7)兩邊取k→ +∞并再根據(jù)式(3)和式(5)可得:

(8)

類似地,根據(jù)式(3)和式(8),對式

的兩邊取k→ +∞可得:

(9)

根據(jù)式(1)可知，對任意的自然數(shù)k有下式成立:

d(xm(k) +1,xn(k) +1)=d(fxm(k),fxn(k))≤

Φ(d(xm(k),xn(k)),d(xm(k),fxm(k)),d(xn(k),fxn(k)),d(xm(k),fxn(k)),d(xn(k),fxm(k)))=

Φ(d(xm(k),xn(k)),d(xm(k),xm(k) +1),d(xn(k),xn(k) +1),d(xm(k),xn(k) +1),d(xn(k),xm(k) +1)).

根據(jù)式(1)可知，對任意的自然數(shù)n有下式成立：

d(xn +1,fx*)=d(fxn,fx*)≤

Φ(d(xn,x*),d(xn,fxn),d(x*,fx*),d(xn,fx*),d(x*,fxn))≤

Φ(d(xn,x*),d(xn,xn +1),d(x*,fx*),d(xn,fx*),d(x*,xn +1)).

對上式取n→ +∞, 并再根據(jù)條件Φ(i)、引理2、引理3及定義1可得：d(x*,fx*)≤Φ(1,1,d(x*,fx*),d(x*,fx*),1)≤Φ(d(x*,fx*),d(x*,fx*),d(x*,fx*),[d(x*,fx*)]2,1).由此再根據(jù)條件Φ(ii)可得d(x*,fx*)=1, 因此x*是f的一個不動點.

如果y*∈X也是f的不動點,則由式(1)可得：

d(x*,y*)=d(fx*,fy*)≤

Φ(d(x*,y*),d(x*,fx*),d(y*,fy*),d(x*,fy*),d(y*,fx*))≤

Φ(d(x*,y*),1,1,d(x*,y*),d(y*,x*)).

根據(jù)定理1和例1可得到如下分式壓縮型不動點定理2.

定理2設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間,f:X→X是自映射.如果對任意的x,y∈X始終有

(10)

成立，則f有唯一不動點.

例3在R=(-∞,+∞)上定義函數(shù)d(x,y)=e|x -y|,?x,y∈R, 則(R,d)是乘積度量空間[16].令X={1,2,5}, 則易知(X,d)是完備的乘積度量空間.定義f:X→X為f1=f2=1,f5=2，則:

當x=y=1時，有：

當x=y=2時，有：

當x=y=5時，有：

當x=1,y=2時，有：

當x=1,y=5時，有：

當x=2,y=5時,有：

由上述計算可知，對任意的x,y∈X, 式(10)都成立.由此根據(jù)定理2可知，f有唯一不動點1.

定理3設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間，定義f:X→X為自映射.如果存在k∈[0,1)且使得對任意的x,y∈X始終有

d(fx,fy)≤[max{d(x,y),d(x,fx),d(y,fy),d(x,fy),d(y,fx)}]k

(11)

成立，則f有唯一不動點.

證明定義d*(x,y)= lnd(x,y),?x,y∈X, 則易證(X,d*)是完備的實度量空間.由式(11)可得,對任意的x,y∈X有：

d*(fx,fy)= lnd(fx,fy)≤k·ln[max{d(x,y),d(x,fx),d(y,fy),d(x,fy),d(y,fx)}]=

k·max{lnd(x,y),lnd(x,fx),lnd(y,fy),lnd(x,fy),lnd(y,fx)}=

k·max{d*(x,y),d*(x,fx),d*(y,fy),d*(x,fy),d*(y,fx)}.

(12)

注記1文獻[13]中指出:如果完備的乘積度量空間(X,d)上的自映射滿足如下乘積壓縮條件：d(fx,fy)≤[d(x,y)]k，?x,y∈X, 其中k∈[0,1)， 則f存在唯一不動點.該結(jié)果就是乘積度量空間上的Banach型不動點定理,等價于實度量空間(X,d)的Banach不動點定理(實度量空間上的Banach不動點定理中的壓縮條件是d(fx,fy)≤kd(x,y),?x,y∈X,k∈[0,1)).本文定理2中的壓縮形式是實度量空間上的壓縮形式,而文獻[13]中的是方冪形式,并且其系數(shù)

是變系數(shù)，因此本文中的定理1和定理2很好地推廣和改進了Banach不動定理及其相關(guān)定理.

定理4設(shè)(X,d)是乘積度量空間,f:X→X為自映射，且fX是完備的.如果存在Φ∈F且使得對任意的x,y∈X始終有

d(f2x,f2y)≤Φ(d(fx,fy),d(fx,f2x),d(fy,f2y),d(fx,f2y),d(fy,f2x))

(13)

成立，則f在X中存在1個不動點.

證明由fX?X可推出f(fX)?fX, 因此f*:=f|fX:fX→fX是自映射.于是由給定的條件可知，對任意的x*,y*∈fX, 存在x,y∈X使得x*=fx,y*=fy.由此再根據(jù)式(13)可得：

d(f*x*,f*y*)=d(f2x,f2y)≤

Φ(d(fx,fy),d(fx,f2x),d(fy,f2y),d(fx,f2y),d(fy,f2x))=

Φ(d(x*,y*),d(x*,f*x*),d(y*,f*y*),d(x*,f*y*),d(y*,f*x*)).

(14)

式(14)表明，f*在完備的乘積度量空間(fX,d)上滿足定理1的所有條件.由此可知f*在fX上有唯一不動點，且f在X上至少存在一個不動點.