吳爍， 房軍， 王宴濱， 翁煒， 賀云超， 張德龍

(1.北京探礦工程研究所， 北京 100083； 2.中國石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院， 北京 102249)

油氣井固井作業(yè)完成后，井筒需經(jīng)歷試油、試氣、生產(chǎn)和壓裂改造等多個(gè)過程，套管時(shí)刻處于地應(yīng)力、作業(yè)應(yīng)力等多載荷共同作用的復(fù)雜環(huán)境下，容易出現(xiàn)套管變形與破壞等力學(xué)問題，井筒完整性失效風(fēng)險(xiǎn)高[1]。為探究套管變形的力學(xué)機(jī)理，中外專家學(xué)者針對套管-水泥環(huán)-地層組合體(簡稱“組合體”)應(yīng)力分布情況開展了大量研究，比較典型的有：文獻(xiàn)[2-5]依據(jù)厚壁筒理論采用彈性力學(xué)方法建立了非均勻地應(yīng)力作用下圓形井眼內(nèi)套管、水泥環(huán)應(yīng)力分布模型，并推導(dǎo)了模型解析解；文獻(xiàn)[1，6-7]采用有限元方法研究了圓形井眼內(nèi)套管、水泥環(huán)的應(yīng)力、應(yīng)變影響因素；文獻(xiàn)[8-10]研究了多層套管組合體在非均勻地應(yīng)力和均勻內(nèi)壓作用下的應(yīng)力分布與變化情況。近年來，隨著以頁巖氣為代表的非常規(guī)油氣資源大規(guī)模開發(fā)，研究的重點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)向壓裂過程中套管應(yīng)力變化規(guī)律與失效機(jī)理，郭雪利等[11]推導(dǎo)了溫壓耦合作用下組合體的應(yīng)力解析解，研究了壓裂施工時(shí)水泥環(huán)對套管應(yīng)力的影響；范明濤等[12]、楊廣國等[13]采用有限元與實(shí)驗(yàn)方法研究了多級(jí)壓裂過程中水泥環(huán)失效演變過程中應(yīng)力、位移變化情況。

然而，前人對固井后組合體應(yīng)力分布規(guī)律的研究多建立在井眼為圓形基礎(chǔ)上，由文獻(xiàn)[14-15]可知，多數(shù)井眼在鉆井過程中都會(huì)發(fā)生不同程度的井壁失穩(wěn)形成橢圓形井眼，固井完成后套管受力情況與圓形井眼條件下有所不同。目前針對橢圓形井眼固井后套管應(yīng)力分布特點(diǎn)的研究較為少見，F(xiàn)irme等[16]、李軍等[17]、梅超超[18]通過有限元法研究了井眼橢圓度對套管應(yīng)力的影響，缺乏深入的理論研究，且并未探究不同橢圓度條件下水泥環(huán)力學(xué)特性變化引起的套管應(yīng)力變化規(guī)律，對正確認(rèn)識(shí)套損機(jī)理，指導(dǎo)固井設(shè)計(jì)改善套管受力情況提供的幫助有限。有鑒于此，根據(jù)彈性力學(xué)理論，結(jié)合復(fù)變函數(shù)方法，建立橢圓井眼內(nèi)套管-水泥環(huán)-地層在非均勻地應(yīng)力與均勻內(nèi)壓力共同作用下的力學(xué)模型，推導(dǎo)其半解析解，并探究水泥環(huán)的幾何、彈性參數(shù)對套管受力的影響規(guī)律，為鉆井液密度選擇、固井水泥環(huán)性能設(shè)計(jì)提供參考。

1 橢圓井眼套管-水泥環(huán)-地層組合體力學(xué)模型

由于固井后，套管與水泥環(huán)沿井眼軸線方向的變形受到限制，因此可將組合體簡化為平面應(yīng)變模型，由井壁崩落理論可知最大水平地應(yīng)力σH的方向應(yīng)與橢圓短軸方向重合，系統(tǒng)在最大、最小地應(yīng)力σH、σh與內(nèi)壓pi雙重作用下的受力情況如圖1所示。根據(jù)彈性力學(xué)受力變形疊加原理可將系統(tǒng)分為3部分：中心為橢圓孔的無限大地層、水泥環(huán)、套管。

圖1 套管-水泥環(huán)-地層組合體受力情況圖

由于井壁為橢圓，導(dǎo)致出現(xiàn)了幾何不對稱。因此，作用在井壁與套管外壁上的外力除了正壓力之外還有剪切力。設(shè)作用在橢圓井壁上的正壓力及剪切力分別為N2、T2，作用在套管外壁上的正壓力及剪切力分別為N1、T1，由參考文獻(xiàn)[19]可知，N2、T2和N1、T1是極坐標(biāo)系中與角度θ有關(guān)的函數(shù)，在一階近似的情況下可設(shè)

(1)

式(1)中：F0、F1、F2、F3為待求常數(shù)。

據(jù)此簡化得到的組合體受力情況如圖2所示。

圖2 簡化后的力學(xué)模型

(2)

2 組合體各部分應(yīng)力與位移的求解方法

采用復(fù)變函數(shù)法求解析解的過程是：首先假設(shè)應(yīng)力勢函數(shù)φ(ζ)、ψ(ζ)；然后將其代入應(yīng)力邊界條件；求出應(yīng)力勢函數(shù)后代入化簡的古薩公式；分離應(yīng)力函數(shù)的實(shí)部和虛部即可求得套管外壁處的應(yīng)力與位移。

復(fù)變函數(shù)法的應(yīng)力邊界條件為

(3)

化簡的古薩公式為復(fù)應(yīng)力函數(shù)φ(ζ)、ψ(ζ)與待求位置所受的徑向應(yīng)力σr、 切向應(yīng)力σθ、徑向位移u、 切向位移v的關(guān)系表達(dá)式[20]，即

(4)

式(4)中：κ=3-4μ；μ為泊松比；G為切變模量，MPa。

2.1 求解圍巖應(yīng)力與位移

假設(shè)應(yīng)力勢函數(shù)后代入無窮遠(yuǎn)處的應(yīng)力邊界條件與井壁處的應(yīng)力邊界條件,求解過程可參考文獻(xiàn)[21]，即

(5)

解得的應(yīng)力勢函數(shù)為

(6)

代入化簡后的古薩公式并分離實(shí)部與虛部后即可得到復(fù)應(yīng)力勢函數(shù)φ(ζ)、ψ(ζ)與應(yīng)力、位移的關(guān)系表達(dá)式，進(jìn)而可由給定的ρ、θ解得對應(yīng)位置處的應(yīng)力與位移分量大小。

2.2 求解套管應(yīng)力與位移

與求解圍巖應(yīng)力方法類似，首先假設(shè)應(yīng)力勢函數(shù)，然后將其代入應(yīng)力邊界條件與位移單值條件，求出應(yīng)力勢函數(shù)后代入化簡后的古薩公式即可求得套管外壁處的應(yīng)力與位移，得到的應(yīng)力勢函數(shù)為

(7)

式(7)中：d為套管內(nèi)徑，m。

2.3 求解水泥環(huán)應(yīng)力與位移

在建立水泥環(huán)部分的力學(xué)模型時(shí)，先分別研究僅有外壓力和僅有內(nèi)壓力作用下水泥環(huán)的受力情況，然后根據(jù)彈性力學(xué)疊加原理，得到水泥環(huán)在內(nèi)外壓共同作用下的合應(yīng)力與合位移。

2.3.1 只有外壓力作用下水泥環(huán)的應(yīng)力與位移

假設(shè)應(yīng)力勢函數(shù)后代入應(yīng)力邊界條件式(8)

(8)

按照ζ項(xiàng)的次數(shù)對比等式左右兩側(cè)相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)可得：

ρ=1時(shí)，

(9)

ρ=R0時(shí)，

(10)

根據(jù)式(9)和式(10)可知，α-4～α4、β-4～β4均不為0，其余均為0，共有18個(gè)未知數(shù)，需18個(gè)方程，上面僅有14個(gè)方程，因此還需4個(gè)方程。將假設(shè)的應(yīng)力勢函數(shù)代入邊界條件式

(11)

可得4個(gè)補(bǔ)充方程式

(12)

即可解出α-4～α4、β-4～β4，進(jìn)而得到應(yīng)力勢函數(shù)φ(ζ)、ψ(ζ)，進(jìn)而求得應(yīng)力與位移σ′2θ、σ′2r、τ′2ρθ、u′2、v′2。

2.3.2 只有內(nèi)壓力作用下水泥環(huán)的應(yīng)力與位移

推導(dǎo)方法同上，得到的方程組為

(13)

(14)

由式(13)、式(14)可知γ-4～γ4、δ-4～δ4均不為0，其余均為0，共有18個(gè)未知數(shù)，需18個(gè)方程，上面僅有14個(gè)方程，剩余的4個(gè)補(bǔ)充方程通過邊界條件公式得到，即

(15)

(16)

即可解出γ-4～γ4、δ-4～δ4，進(jìn)而得到應(yīng)力勢函數(shù)φ1(ζ)、ψ1(ζ)，進(jìn)而求得σ″2θ、σ″2r、τ″2ρθ、u″2、v″2，即

(17)

(18)

根據(jù)邊界處的變形協(xié)調(diào)方程式(18)可解出F0、F1、F2、F3，進(jìn)而求得套管-水泥環(huán)界面處的應(yīng)力。

3 套管應(yīng)力變化規(guī)律

以大慶油田葡13區(qū)塊某井為例，按照本文建立的組合體力學(xué)模型編寫程序，將組合體各部分彈性參數(shù)代入計(jì)算，探究橢圓形井眼內(nèi)套管所受徑向應(yīng)力與Mises應(yīng)力變化規(guī)律，該井主要參數(shù)為：井眼直徑215.9 mm，最大水平地應(yīng)力σH=32 MPa；最小水平地應(yīng)力σh=20 MPa；套管內(nèi)壓Pi=10 MPa；套管外徑Do=177.8 mm，壁厚10.36 mm，彈性模量E1=210 GPa，泊松比μ1=0.32；水泥環(huán)彈性模量E2=20 GPa，泊松比μ2=0.21，短軸長b即為鉆頭直徑215.9 mm，長軸長a與橢圓度s有關(guān)，a=bs；地層巖石彈性模量E3=8 GPa，泊松比μ3=0.27。

3.1 井眼橢圓度影響

保持地層、水泥環(huán)、套管各項(xiàng)參數(shù)與外加應(yīng)力不變，僅控制井眼橢圓度在1.0～1.5范圍內(nèi)變化，套管外壁所受徑向應(yīng)力和Mises等效應(yīng)力如圖3所示。由圖3可知：

圖3 不同橢圓度井眼內(nèi)套管外壁應(yīng)力分布情況

(1)非均勻地應(yīng)力作用下的橢圓井眼內(nèi)，套管外壁所受應(yīng)力呈現(xiàn)非均勻性，套管外壁所受的最大徑向應(yīng)力和最大等效應(yīng)力均與最小地應(yīng)力σh方向一致，最小徑向應(yīng)力和最小等效應(yīng)力均與最大地應(yīng)力σH方向一致。

(2)隨著井眼橢圓度的增加，套管受到的最大應(yīng)力逐漸減小，井眼橢圓度由1.0增大到1.5時(shí)，徑向應(yīng)力由44.37 MPa降低至37.96 MPa，等效應(yīng)力由87.66 MPa降低至75.02 MPa；最小應(yīng)力逐漸增大，徑向應(yīng)力由23.68 MPa增大到28.86 MPa，等效應(yīng)力由55.57 MPa增大到66.98 MPa；受力的非均勻程度逐漸降低，徑向應(yīng)力非均勻系數(shù)[9]由1.87降低至1.31，等效應(yīng)力非均勻系數(shù)由1.58降低至1.12，套管的受力情況有所改善。

3.2 水泥環(huán)彈性模量影響

保持地層、套管各項(xiàng)參數(shù)與外加應(yīng)力不變，當(dāng)水泥環(huán)彈性模量由10 GPa增大到40 GPa時(shí)，不同橢圓度井眼內(nèi)套管外壁所受的最大徑向應(yīng)力和最大Mises應(yīng)力如圖4所示。由圖4可知：

圖4 不同水泥環(huán)彈性模量條件下套管外壁最大應(yīng)力變化情況

(1)井眼橢圓度不變時(shí)，隨著水泥環(huán)彈性模量的增加，套管所受最大應(yīng)力先增大后減小，E2≈20 GPa時(shí)，套管外壁所受應(yīng)力最大。

(2)隨著井眼橢圓度增大，套管外壁應(yīng)力隨水泥環(huán)彈性模量變化產(chǎn)生的波動(dòng)逐漸減小，當(dāng)s=1.1時(shí)，E2由20 GPa增大至40 GPa，套管外壁徑向應(yīng)力降低了1.45 MPa；s=1.5時(shí),E2由20 GPa增大至40 GPa，套管外壁徑向應(yīng)力降低了0.43 MPa。

(3)E2小于20 GPa時(shí)水泥環(huán)彈性模量對套管外壁應(yīng)力影響高于E2大于20 GPa時(shí)的影響。以套管外壁徑向應(yīng)力為例，當(dāng)s=1.2時(shí)，E2由15 GPa增大至20 GPa，套管外壁徑向應(yīng)力由40.3 MPa增大至41.26 MPa,變化了0.96 MPa；E2由20 GPa增大至25 GPa時(shí)，徑向應(yīng)力由41.26 MPa降低為41.01 MPa，變化了0.25 MPa，小于0.96 MPa。由于實(shí)際固井時(shí)所采用的水泥環(huán)彈性模量不高，約為10 GPa左右，在固井前可考慮降低水泥環(huán)彈性模量，增加水泥環(huán)韌性以降低套管受力，延長套管壽命。

3.3 水泥環(huán)泊松比影響

水泥環(huán)泊松比由0.12增大至0.33時(shí)，不同橢圓度井眼內(nèi)套管外壁所受的最大徑向應(yīng)力和最大Mises應(yīng)力如圖5所示。由圖5可知：

圖5 不同水泥環(huán)泊松比條件下套管外壁最大應(yīng)力變化情況

(1)井眼橢圓度不變時(shí)，隨著水泥環(huán)泊松比的增加，套管外壁應(yīng)力最大值平穩(wěn)下降，提高水泥環(huán)泊松比有助于降低套管最大應(yīng)力，但是泊松比造成的影響較小。以s=1.3為例，水泥環(huán)泊松比由0.12增大至0.33時(shí)，套管最大徑向應(yīng)力由40.27 MPa降低至40.14 MPa，降低了0.13 MPa，應(yīng)力變化率僅為0.32%；最大Mises應(yīng)力由80.48 MPa降低至79.94 MPa，降低了0.54 MPa，應(yīng)力變化率僅為0.67%。

4 結(jié)論

(1)結(jié)合了彈性力學(xué)與復(fù)變函數(shù)方法，建立了非均勻地應(yīng)力作用下橢圓形井眼固井后套管-水泥環(huán)-地層組合體的力學(xué)模型，并得到了其位移、應(yīng)力場的半解析解。

(2)橢圓形井眼套管外壁最大應(yīng)力與最小地應(yīng)力方向一致，最小應(yīng)力與最大地應(yīng)力方向一致。井眼橢圓度與水泥環(huán)彈性模量對套管受力均有一定程度的影響，水泥環(huán)泊松比對套管受力影響效果不明顯。隨著井眼橢圓度的增大，套管最大應(yīng)力與受力非均勻程度均有所下降；隨著水泥環(huán)彈性模量的增大，套管最大應(yīng)力先增大后減??；隨著水泥環(huán)泊松比的增大，套管最大應(yīng)力微微減?。粌?yōu)選高泊松比、低彈性模量水泥環(huán)有利于減小套管受力。

(3)非均勻地應(yīng)力作用下的直井段鉆井過程中，在保證鉆井安全與固井質(zhì)量的前提下可不過分追求井眼圓整性，在合理范圍內(nèi)適當(dāng)降低鉆井液密度，釋放部分地應(yīng)力，允許一定程度的井壁失穩(wěn)，以便利用近平衡或欠平衡狀態(tài)提高機(jī)械鉆速，降低鉆井液對地層的污染，同時(shí)利用井壁失穩(wěn)后形成的橢圓形井眼改善固井后套管的受力情況，保障井筒安全。