張鑫，牟龍華，徐志宇

（同濟大學電子與信息工程學院，上海嘉定 201804）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)繼電保護技術(shù)的高速發(fā)展，傳統(tǒng)利用工頻信息的保護技術(shù)已經(jīng)無法滿足電力系統(tǒng)的需求，基于故障暫態(tài)諧波的新原理、新技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用和推廣［1-2］。全國各高校電力系統(tǒng)繼電保護課程已經(jīng)將暫態(tài)保護原理作為重要的教學內(nèi)容。

繼電保護是一門與實踐相結(jié)合、具有較強的應(yīng)用性、綜合性的專業(yè)課程，相對比較抽象［3-4］。在繼電保護教學中，實驗教學環(huán)節(jié)顯得尤為重要。為加深學生對于暫態(tài)保護原理的理解，在實驗教學環(huán)節(jié)中設(shè)置相應(yīng)的實驗科目，拓展學生故障暫態(tài)數(shù)據(jù)分析能力是非常必要的。這一切的基礎(chǔ)在于故障暫態(tài)諧波電壓、電流數(shù)據(jù)的獲取。

國內(nèi)外許多學者對電網(wǎng)故障諧波采集、數(shù)據(jù)壓縮與重構(gòu)領(lǐng)域進行了深入地研究，取得了不少的成果，例如快速傅里葉變換［5］、小波包［6］、距離測度［7］、相似性測度［8］等暫態(tài)壓縮方法。這些研究方法都是建立在傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理的基礎(chǔ)之上，以高采樣速率獲取原始數(shù)據(jù)為前提。高速采樣不僅會增加模數(shù)轉(zhuǎn)換等模塊硬件成本，而且會得到海量的實驗數(shù)據(jù)，給后續(xù)數(shù)據(jù)傳輸和存儲帶來巨大的壓力［9］，勢必使得暫態(tài)保護實驗設(shè)備成本大幅上升，不利于在高校實驗室的推廣。因此，需要一種全新的方法從根本上解決大量數(shù)據(jù)的采集、壓縮、重構(gòu)等問題，為電力系統(tǒng)暫態(tài)信號檢測提供新的思路。

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）是一種全新的信號獲取和處理理論［10-11］。在已知信號稀疏基的條件下，壓縮感知理論能以較少的采樣數(shù)據(jù)準確提取信號所含的全局信息，打破傳統(tǒng)先采樣后壓縮的處理方式，將數(shù)據(jù)采樣和數(shù)據(jù)壓縮過程合二為一，這樣不僅可極大地減少采樣裝置的成本，還能減輕后續(xù)數(shù)據(jù)傳輸和存儲的壓力。國內(nèi)外研究人員對壓縮感知理論進行了研究，在信號的稀疏分解、觀測矩陣的設(shè)計以及重構(gòu)算法的改進等方面做出了一定的貢獻［12-14］。壓縮感知理論在圖像壓縮、雷達信號和通信等領(lǐng)域受到了高度的關(guān)注，在電力系統(tǒng)領(lǐng)域還只是初步應(yīng)用，壓縮感知的主要研究內(nèi)容集中在電能質(zhì)量測量方面［15-16］，并未對故障暫態(tài)諧波信號采集進行專門研究。故障諧波信號是否滿足稀疏性要求？如何建立合適的測量矩陣？故障諧波信號能否實現(xiàn)重構(gòu)？這些都是亟需解決的問題。

針對信號稀疏性分析、測量矩陣選擇、重構(gòu)算法設(shè)計及硬件實現(xiàn)等壓縮感知關(guān)鍵問題，提出一種基于壓縮感知的電網(wǎng)故障諧波檢測方法。通過對故障暫態(tài)信號進行傅里葉變換，證明故障諧波信號在頻域符合稀疏條件；建立基于Gram矩陣的優(yōu)化測量矩陣，完整提取出諧波信號的有效信息；設(shè)計一種壓縮采樣匹配追蹤算法，在信號稀疏度未知的情況下準確重構(gòu)故障諧波信號；研制可實現(xiàn)故障數(shù)據(jù)壓縮感知的故障錄波儀。實驗與仿真分析表明，基于壓縮感知的電網(wǎng)故障諧波檢測方法能準確提取故障信號的完整信息，具有理想的故障暫態(tài)諧波信號檢測效果。可用于高校繼電保護實驗教學，還可向電力行業(yè)進行推廣，為暫態(tài)保護發(fā)展應(yīng)用助力。

1 壓縮感知理論

根據(jù)壓縮感知理論，若原始信號在某個變換域具有稀疏性，那么可用一個與變換基不相關(guān)的測量矩陣將高維信號投影到一個低維空間，通過求解優(yōu)化問題即可高概率重構(gòu)出原始信號［17］。

假設(shè)原始信號x∈RN，根據(jù)線性空間理論，該N維信號可用N×1 維基函數(shù)｛Ψi｝N i＝0的線性組合表示。若此基函數(shù)ψ1，ψ2…ψN相互滿足正交條件，則信號x可以表示為［18］：

式中：αi＝〈x，Ψi〉；Ψ ＝［ψ1，ψ2，…ψN］；α為N×1 維矩陣；Ψ為N×N維稀疏基。由此可知，x 是信號的時域表示，而α則是信號在Ψ域的稀疏表示形式。測量時，利用特定的測量矩陣Φ［Φ為M×N維的測量矩陣（M＜＜N）］對原始信號進行觀測，得到觀測向量

通過測量矩陣Φ可將原始信號x 中的有效信息完整地提取出來，得到觀測向量y。

由式（2）可見，從y直接恢復x 是一個病態(tài)方程，存在無窮多個解。將式（1）代入式（2）可得：

式中，Θ ＝ΦΨ為恢復矩陣。由于α是稀疏的且具有有限個未知數(shù)，則可以通過l0范數(shù)優(yōu)化來重構(gòu)原始信號：

2 基于壓縮感知的諧波檢測算法

2.1 諧波信號的稀疏性分析

壓縮感知理論指出，當原始信號在某個特定變換域滿足稀疏條件時，可用一個與稀疏變換基不相關(guān)的測量矩陣對信號進行線性降維觀測，以較少的采樣數(shù)據(jù)完整包含信號所蘊含的有效信息，再以信號重構(gòu)算法提取基波及各次諧波分量。由此可知，信號滿足一定的稀疏性是運用壓縮感知理論的前提。

稀疏信號可定義為［18］：若原始信號在以Ψ為稀疏基的變換域上可表示為x ＝Ψα，式中α為信號x的稀疏表示形式。當α中只有k個非零或較大的系數(shù)，而其他的系數(shù)為零或較小值時，則稱信號x 在Ψ域上為k-稀疏的。

為證明電網(wǎng)故障暫態(tài)諧波信號滿足上述的稀疏條件，假設(shè)故障信號

式中：A0、f0和φ0分別為基波分量參數(shù)；Ah、fh和φh則分別為諧波分量參數(shù)。對諧波信號進行傅里葉變換，可得：

將式（5）代入式（6）可得：

對式（7）進行化簡，可得諧波信號在頻域的表達形式

由式（8）可知，故障信號在頻域主要由基波分量和各次諧波分量兩部分構(gòu)成。在雙邊傅里葉變換下，諧波信號中的每一個頻率對應(yīng)著兩條頻譜，且這兩條譜線相互對稱。假設(shè)諧波信號中共含有h次諧波分量，則根據(jù)上述分析可知h次諧波分量在頻域的稀疏度為2h，再計及基波分量在頻域的稀疏度2，可知諧波信號在傅氏變換域的稀疏度為2（h+1）。此外，隨著諧波次數(shù)的增加，對應(yīng)諧波分量的幅值也逐漸減小?？筛鶕?jù)實際情況設(shè)置一個閾值，當諧波分量的幅值小于此閾值時，可以將其置為零，保證所及諧波信號在頻域符合稀疏條件。

為更清楚地論述諧波信號在頻域中的稀疏性，故障信號頻譜如圖1 所示。

圖1 故障信號幅頻特性曲線

信號中基波和各次諧波分量在頻域有兩條相互對稱的譜線，為便于敘述只對原始信號進行單邊傅里葉變換，在圖1 中基波和各次諧波分量分別對應(yīng)一條譜線，其中f0為基波頻率，A0為基準幅值。通過幅頻特性曲線可以看出，諧波信號在頻域具有稀疏性，符合壓縮感知理論應(yīng)用前提。

2.2 測量矩陣的優(yōu)化

若要通過較少的采樣點來完整獲取信號中的信息，并能準確恢復原始信號，需要構(gòu)造出性能優(yōu)異的測量矩陣。測量矩陣的設(shè)計是壓縮感知理論中的核心。根據(jù)約束等距準則（Restricted Isometry Principle，RIP）與不相干性原則，測量矩陣Φ 和信號稀疏變換基Ψ必須滿足不相干條件。為易于硬件實現(xiàn)，所構(gòu)造的測量矩陣應(yīng)有以下性質(zhì)：測量矩陣與稀疏變換基的相干性很低，以確保信號的重構(gòu)精度；采樣數(shù)據(jù)要盡可能的少；測量矩陣所需的存儲空間較少，元素值較為簡單。

測量矩陣主要分為隨機性測量矩陣與確定性測量矩陣兩大類［19］。隨機性測量矩陣，如高斯隨機測量矩陣、伯努利隨機測量矩陣等，其與大部分的正交變換基都滿足不相干的條件，能較為準確地重構(gòu)原始信號。由于矩陣中的元素是隨機生成的，難以微處理器實現(xiàn)。

綜合考慮觀測性能及工程化需求，對現(xiàn)有確定性測量矩陣進行優(yōu)化，構(gòu)造適用于電網(wǎng)故障諧波檢測的測量矩陣。根據(jù)Grassmannian矩陣［20］與Gram矩陣的特點，提出一種基于Gram 矩陣的優(yōu)化測量矩陣。為保證測量矩陣與稀疏變換基間的不相干性，定義一個新的矩陣

稱矩陣G 為Gram 矩陣。由式（9）可知，Gram 矩陣中的非對角線元素恰好可以表征測量矩陣與稀疏變換基之間的互相干性，在設(shè)計感知矩陣時可以借助于Gram矩陣。

假設(shè)Gr為M×N（M＜N）維的Grassmannian 矩陣，且此矩陣中的列均經(jīng)過單位化處理，則矩陣Gr對應(yīng)的Gram矩陣中的元素滿足如下條件：

此外矩陣的維數(shù)還需要滿足以下條件：

由式（11）可見，矩陣Gr對應(yīng)的Gram矩陣中的非對角線元素的值均保持在較小的范圍內(nèi)，即測量矩陣與稀疏矩陣的相干系數(shù)μ較小?？蓪rassmannian矩陣選定為恢復矩陣Θ，可得：

為設(shè)計出滿足壓縮感知理論的測量矩陣Φ，可先構(gòu)造出符合條件的恢復矩陣Θ，即Grassmannian 矩陣Gr，進而確定稀疏變換基Ψ，根據(jù)式（12）可求出測量矩陣Φ ＝GrΨ-1。

當壓縮采樣的對象為故障諧波信號時，可先根據(jù)選定的矩陣維數(shù)M與N構(gòu)造出符合條件的Grassmannian矩陣Gr，然后選取離散傅里葉變換基（Discrete Fourier Transform，DFT）作為諧波信號的稀疏變換基Ψ，最終可推導出測量矩陣Φ。

2.3 重構(gòu)算法設(shè)計

在DFT基下，對滿足稀疏性的故障諧波信號可通過重構(gòu)算法使其恢復。貪婪匹配追蹤算法是目前在壓縮感知理論研究中比較常用的重構(gòu)算法，此類算法具有較好的重構(gòu)效果和較快的重構(gòu)速度，且算法性能也相對穩(wěn)定。本文采用稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法進行諧波信號重構(gòu)。SAMP算法采用固定步長逐步逼近信號的稀疏度，可在稀疏度未知的情況下實現(xiàn)信號重構(gòu)，同時引入回溯思想使得每次迭代過程中的原子選擇更加準確。

SAMP算法流程如圖2 所示。

圖2 SAMP算法流程圖

具體步驟如下：

3 實例仿真與分析

3.1 測量矩陣性能分析

為驗證本文所提測量矩陣觀測效果，分別利用基于Gram矩陣的優(yōu)化測量矩陣、多項式確定性測量矩陣及高斯隨機測量矩陣對故障諧波信號進行仿真。

設(shè)故障諧波信號

式中，f0～f7分別為基波～7 次諧波的頻率。以采樣頻率fs＝6.4 kHz對原始故障諧波信號進行采樣作為效果分析基準，分別采用3 種測量矩陣對1 024 個傳統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)進行觀測，以獲取低維的壓縮采樣數(shù)據(jù)，利用SAMP算法對壓縮后數(shù)據(jù)分別進行100 次重構(gòu)處理，檢測成功率平均值仿真結(jié)果分別如圖3、4 所示。

圖3 不同采樣點數(shù)下3種測量矩陣的檢測成功率

由圖3 可見，高斯隨機測量矩陣的檢測效果略優(yōu)于其他2 種確定性測量矩陣，這是因為隨機性測量矩陣與信號稀疏變換基的不相干程度更高；基于Gram矩陣的優(yōu)化測量矩陣雖比高斯隨機測量矩陣檢測效果略差，但要明顯優(yōu)于多項式確定性測量矩陣，而且易于在硬件上實現(xiàn)。

由圖4 可見，隨著壓縮采樣點數(shù)的增加，高斯隨機測量矩陣、基于Gram 矩陣的優(yōu)化測量矩陣以及多項式確定性測量矩陣的重構(gòu)信噪比均有不同程度地增大；在相同的壓縮采樣點數(shù)下，上述3 種測量矩陣的重構(gòu)信噪比則依次減小。文中所提優(yōu)化測量矩陣的重構(gòu)信噪比雖要略低于高斯隨機測量矩陣，但仍能滿足準確度要求，且此矩陣中的元素確定，構(gòu)造相對簡單。

圖4 不同采樣點數(shù)下3種測量矩陣的重構(gòu)信噪比

基于上述分析可知，文中所提基于Gram 矩陣優(yōu)化測量矩陣可較為準確地觀測出諧波信號中的有效信息，能為后續(xù)信號重構(gòu)與諧波分析奠定堅實的基礎(chǔ)。

3.2 故障諧波重構(gòu)效果分析

為分析本文采用的SAMP算法在諧波信號重構(gòu)及信號稀疏度發(fā)生變化時的檢測性能，選取兩組故障諧波信號進行仿真測試。

（1）設(shè)故障諧波信號1

以采樣頻率fs＝6.4 kHz對原始故障諧波信號進行采樣作為分析基準，采用基于Gram矩陣的優(yōu)化測量矩陣Φ（M×N維）對1 024 個傳統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)進行觀測，獲取M維壓縮采樣數(shù)據(jù)。在仿真中，諧波信號的壓縮采樣點數(shù)分別為120 與60，分別采用壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP）、SAMP等算法對壓縮采樣數(shù)據(jù)進行100 次重構(gòu)，基波及各次諧波分量的誤差平均值仿真分別見圖5、6。

圖5 信號1中，M ＝120時的仿真結(jié)果

由圖5 可知，當采樣點數(shù)M為120時，2 種重構(gòu)算法的諧波檢測誤差區(qū)別不大，都保持在0.003%以內(nèi)；而由圖6 可看出，當采樣點數(shù)M逐步減少為60時，SAMP算法的檢測誤差要明顯小于CoSaMP算法，頻率和幅值的誤差仍然保持在0.02%以內(nèi)，這是由于SAMP算法引入回溯思想，提高了在迭代過程中支撐集原子選擇的準確性。

圖6 信號1，M ＝60時的仿真結(jié)果

（2）設(shè)故障諧波信號2

式中，f0～f11分別表示基波～11 次諧波。

為了驗證文中所用SAMP算法在諧波信號稀疏度發(fā)生變化時的檢測性能，此處的信號2 在信號1 的基礎(chǔ)之上增加了7、9 次諧波分量。在仿真分析中，諧波信號的壓縮采樣點數(shù)分別為120 與60，分別采用CoSaMP、SAMP 2 種算法對壓縮采樣數(shù)據(jù)進行100 次重構(gòu)，基波及各次諧波分量的誤差平均值仿真結(jié)果分別如圖7、8 所示。

圖7 信號2，M ＝120時的仿真結(jié)果

將圖5、6 分別與圖7、8 進行對比分析可知，當諧波信號的稀疏度發(fā)生變化時，較之CoSaMP 算法，SAMP算法的諧波檢測準確度更為穩(wěn)定，這是因為SAMP算法可以自適應(yīng)逐步逼近諧波信號的稀疏度。當檢測信號的稀疏度發(fā)生變化時，仍能通過迭代步驟較為準確、快速地提取故障信號的基波及各次諧波。

4 基于壓縮感知的故障錄波儀設(shè)計

4.1 故障錄波儀

故障錄波儀的硬件結(jié)構(gòu)及裝置實物如圖9 所示。錄波儀以STM32F103VCARM 處理器為核心，結(jié)合高精度模數(shù)轉(zhuǎn)換器AD7606，實現(xiàn)對電網(wǎng)中三相電壓、電流波形壓縮采樣，并把所采集的數(shù)據(jù)存儲至SD 卡。錄波儀通過USR-LTE-7S4 工業(yè)級4G 模塊，實現(xiàn)與云服務(wù)器間的數(shù)據(jù)傳輸。

圖8 信號2，M ＝60時的仿真結(jié)果

圖9 故障錄波儀硬件結(jié)構(gòu)及裝置

本文通過LabVIEW 軟件搭建數(shù)據(jù)分析平臺對采樣數(shù)據(jù)進行分析和處理，提取故障諧波的分布特征，為故障諧波特征分析提供有力的數(shù)據(jù)支撐，數(shù)據(jù)分析平臺界面如圖10 所示。

圖10 故障諧波分析系統(tǒng)

4.2 實測與結(jié)果分析

諧波檢測裝置測試。利用繼電保護測試儀模擬電網(wǎng)電壓諧波，作為輸入測試信號，分別使用示波器與本文設(shè)計的錄波儀進行信號采樣。錄波儀采樣并重構(gòu)后的電壓波形及諧波幅度譜如圖11、12 所示。

圖11 電網(wǎng)電壓重構(gòu)波形

為驗證測試結(jié)果，利用Matlab 對示波器采樣波形進行FFT分析作為原始信號，錄波儀測試結(jié)果與原始信號中的諧波含有率比較結(jié)果如表1 所示。

圖12 電網(wǎng)電壓諧波幅度譜

表1 電壓諧波實測數(shù)據(jù)

由表1 可見，配電網(wǎng)電壓中主要含有奇次諧波，其中3、7 次諧波含量較大。經(jīng)比較分析，測試結(jié)果中基波及各次諧波分量的檢測誤差均在3%以內(nèi)，這表明，文中所提基于壓縮感知的諧波檢測算法具有較高的檢測準確度。

本文所提方案還能實現(xiàn)較高的數(shù)據(jù)壓縮比。在不采用壓縮感知算法的情況下，諧波檢測裝置連續(xù)采集1 min的數(shù)據(jù)量為4 501 KB，連續(xù)檢測1 d則需要6.18 GB的存儲空間；而采用基于壓縮感知理論的檢測方法連續(xù)采集1 d的諧波數(shù)據(jù)只需要1.03 GB的存儲空間，可極大地減輕數(shù)據(jù)傳輸和存儲的壓力。

5 結(jié)語

本文根據(jù)電網(wǎng)故障諧波信號的特點，提出一種基于壓縮感知的電網(wǎng)故障諧波檢測方法，并研制了基于壓縮感知的故障錄波裝置。實驗與仿真結(jié)果表明，基于壓縮感知的電網(wǎng)故障諧波檢測方法能準確提取出故障信號的完整信息，具有理想的故障暫態(tài)諧波信號檢測效果，在電網(wǎng)故障信號檢測與繼電保護方面具有很好的工程實用價值。