陳西浩 夏繼宏 李孟輝 翟福強? 朱廣宇?

1)(重慶文理學院新材料技術研究院,重慶 402160)

2)(重慶文理學院電子信息與電氣工程學院,重慶 402160)

3)(重慶大學,光電技術與系統(tǒng)教育部重點實驗室,重慶 400044)

基于矩陣乘積態(tài)表述的無限時間演化塊算法,研究了具有x,y,z 三個自旋方向的軌道自由度和軌道序競爭的量子羅盤自旋鏈模型.為了刻畫該模型的量子相和相變,計算了基態(tài)能量、局域序參量、弦關聯(lián)序參量、臨界指數(shù)、馮諾依曼熵、有限糾纏標度和中心荷.結果表明:該量子基態(tài)相圖由條紋反鐵磁相、反鐵磁相、單調奇數(shù)Haldane 相和振蕩奇數(shù)Haldane 相構成.從條紋反鐵磁相到反鐵磁相,以及從單調奇數(shù)Haldane 相到振蕩奇數(shù)Haldane 相發(fā)生了非連續(xù)相變;從振蕩奇數(shù)Haldane 相到條紋反鐵磁相,以及從反鐵磁相到單調奇數(shù)Haldane 相發(fā)生了連續(xù)相變;連續(xù)相變線和非連續(xù)相變線的交點是多臨界點.此外,連續(xù)相變點處的臨界指數(shù) β=1/8 和中心荷 c=1/2 表明連續(xù)相變的普適類屬于Ising 類.由此揭示了該模型量子基態(tài)相圖的本性,對今后研究更高自旋以及更為復雜軌道序競爭的量子羅盤鏈模型的量子相與相變具有一定借鑒與參考意義.

1 引言

量子相和相變一直是凝聚態(tài)強關聯(lián)量子多體系統(tǒng)非常重要的研究內容.因此,研究量子相和相變就要求強關聯(lián)量子多體系統(tǒng)具有豐富的量子相圖.強關聯(lián)量子多體系統(tǒng)中具有強量子漲落、強幾何阻挫、復雜的自旋-自旋交換作用或軌道自由度等競爭,誘發(fā)系統(tǒng)發(fā)生多種多樣的自發(fā)對稱破缺或隱性自發(fā)對稱破缺,從而涌現(xiàn)出異常豐富的量子相和相變的量子自旋模型[1-9],成為人們研究量子相和相變普遍關注的系統(tǒng).借助于Landau-Ginzburg-Wilson 范式的兩個基本概念(自發(fā)對稱破缺和局域序參量),人們能透徹地刻畫傳統(tǒng)的量子相和相變[10-17](KT 相變能被刻畫的原因在于有限空間截斷維數(shù)使系統(tǒng)發(fā)生了假性自發(fā)對稱破缺).然而,還存在著一類新穎量子相,超越了朗道相變理論的范疇,不能用Landau-Ginzburg-Wilson 范式的兩個基本概念進行刻畫,這類相具有長程非局域拓撲序,刻畫他們只能借助于長程非局域弦關聯(lián)[18-21].自Haldane 發(fā)現(xiàn)這種新穎長程非局域拓撲相以來,它就引起了人們極大的興趣.本文研究了具有x,y,z三個自旋方向的軌道自由度和軌道序競爭量子羅盤自旋鏈模型(quantum compass chain,QCC).它的原型—量子羅盤模型(quantum compass model,QCM)就包含人們廣泛關注的新穎長程非局域拓撲相[22],并引發(fā)了系列研究.QCM 具有豐富的量子相圖,但是人們早期把注意力集中在了它是連續(xù)相變、非連續(xù)相變[23]還是多臨界點這個爭議上.為了澄清這個問題,人們對存在橫場和不存在橫場的QCM 模型進行了系列研究,發(fā)現(xiàn)爭議的相變點其實是多臨界點[24-26].人們從引入橫場這個角度得到啟發(fā),對QCM 模型進行了擴展研究,發(fā)現(xiàn)了許多令人著迷的量子相,如在海森伯微擾的作用下,量子相圖中發(fā)現(xiàn)了無序相和橫向Neel 相,非連續(xù)相變線也缺失了[27];在自旋-1 的QCM 量子相圖中出現(xiàn)了廣義的Haldane 相[28];在方塊QCM的量子相圖中發(fā)現(xiàn)了Nematic 相和自發(fā)多聚化現(xiàn)象[29].因而,可以期待QCC 也應具有豐富的量子相和相變.然而,關于QCC 的研究目前鮮見,因此值得進一步研究.該模型的哈密頓量可以表述如下:

本文結構如下:第2 節(jié)介紹矩陣乘積態(tài);第3節(jié)介紹量子相圖;第4 節(jié)介紹基態(tài)能量、序參量和臨界指數(shù);第5 節(jié)是馮諾依曼熵和中心荷;最后是總結.

2 矩陣乘積態(tài)

一旦哈密頓量給定,就可以應用哈密頓量對應的虛時間演化算符 exp(-Hτ)(τ是虛時間)作用在一個隨機初態(tài)|φ0〉上,當τ →∞,哈密頓量對應的波函數(shù)會收斂到基態(tài)|φ〉.遵循iTEBD 算法更新過程中使用到的Schmidt 分解規(guī)則[30],波函數(shù)可以寫為

其中,|si〉是在第i格點上的局域希爾伯特空間基矢,是一個三指標張量,對角矩陣是兩個半無限鏈L(-∞,···,i)和R(i+1,···,+∞)間的Schmidt 分解系數(shù).si是第i格點的物理指標,它的取值范圍為1—d.αi是第i格點的空間指標,它的取值范圍為1—χ.所有的張量和都通過最近鄰的空間指標αi連接.方程(2)的張量網絡形式叫做無限矩陣乘積態(tài)(matrix product states,MPS).本文研究的系統(tǒng)哈密頓量(1)式具有平移4 個格點不變的特性,可以將(2)式表示無限MPS 的張量替換為ΓA,ΓB,ΓC和ΓD;相應地,替換為λA,λB,λC和λD.于是,本文研究的系統(tǒng)對應的無限MPS 可以改寫為

式中,l和r分別是左邊和右邊的空間指標,取值范圍同αi一致.除特殊說明外,本文設定χ=32.

3 量子相圖

應用iTEBD 算法結合基態(tài)能量、序參量和馮諾依曼熵對哈密頓量(1)式的參數(shù)空間Jxx-Jyy對應的基態(tài)波函數(shù)進行計算與分析,得到QCC 的量子基態(tài)相圖,如圖1 所示.該量子基態(tài)相圖由條紋反鐵磁相、反鐵磁相、單調奇數(shù)Haldane 相和振蕩奇數(shù)Haldane 相構成.黑色與紅色實心圓是計算得到的相變數(shù)據點.黑色實心線代表連續(xù)相變線,紅色實心線代表非連續(xù)相變線,兩線交點是多臨界點.連續(xù)相變線上相變點的普適類屬于Ising 類.為了更好地展現(xiàn)本文刻畫量子相和相變的策略,選取了3 條代表線:1)豎直紫虛線Jxx=0.5,穿越了所有的量子相及對應量子相間的量子相變點;2)豎直黑虛線Jxx=1,經過了多臨界點;3)豎直褐虛線Jxx=1.2,穿越了非連續(xù)相變線,作為研究對象.

圖1 量子羅盤自旋鏈模型基態(tài)相圖.AF,SAF,Monotonic odd Haldane 和Oscillatory odd Haldane 分別是反鐵磁相、條紋反鐵磁相、單調奇數(shù)Haldane 相和振蕩奇數(shù)Haldane相.黑實線和紅實線分別表示連續(xù)相變線和非連續(xù)相變線.標記為(i)-(iii)的3 條虛線是展示刻畫量子相和相變策略的代表線Fig.1.Quantum phase diagram for the QCC with orbital degrees of freedom in x,y and z components,which including antiferromagnetic phase (AF),striped antiferromagnetic phase (SAF),monotonic odd Haldane phase and oscillatory odd Haldane phase.The solid black line and solid red line represent continuous quantum phase transition line and discontinuous quantum phase transition line,respectively.The dashed paths labeled by (i)-(iii)are sample lines discussed in the text to show how to characterize quantum phases and quantum phase transitions.

4 基態(tài)能量、序參量與臨界指數(shù)

4.1 基態(tài)能量

傳統(tǒng)研究量子相變的方式是對能譜進行研究.與之密切相關的單點基態(tài)能量表達式可以寫為含有哈密頓量H的基態(tài)波函數(shù)的交疊,也就是Ei=〈φ|H|φ〉/N,N是哈密頓量H作用在基態(tài)波函數(shù)的原胞個數(shù).當系統(tǒng)發(fā)生相變時,能級或能級導數(shù)會展現(xiàn)出奇異性.因此,可以通過能級或能級導數(shù)的奇異性來確定量子相變的發(fā)生.而對于相變連續(xù)性的確定,熱力學上是通過相變發(fā)生的過程是否存在潛熱(臨界溫度時,系統(tǒng)繼續(xù)吸收和釋放能量,物態(tài)保持不變,過程中吸收和釋放的能量就是潛熱)來確定.然而,量子相變發(fā)生在零溫,潛熱這一概念并不適用.一般人們根據Bowley 和Sanchez[32]引入的能量導數(shù)來確定量子相變的連續(xù)性.若一階導數(shù)不連續(xù),則發(fā)生的相變?yōu)榉沁B續(xù)相變,若二階以上導數(shù)不連續(xù),則發(fā)生的相變?yōu)檫B續(xù)相變.此外,對相變點兩側的量子態(tài)進行絕熱演化,絕熱演化態(tài)的能級交叉也可作為非連續(xù)相變的判據[26].圖2給出了單點基態(tài)能量E2i-1,E2i+1,E2i,E2i+2和E隨控制參數(shù)Jyy的變化關系.這里的E2i-1,E2i+1,E2i和E2i+2分別是在奇數(shù)鍵和偶數(shù)鍵的單點基態(tài)能量,是單點平均基態(tài)能量.圖2(a)表明Jxx=0.5 時,隨著控制參數(shù)Jyy的增加,能量二階導數(shù)處表現(xiàn)出了奇異性,表明這兩處發(fā)生了連續(xù)相變;而在=0 處,能量一階導數(shù)不連續(xù),表明該處發(fā)生了非連續(xù)相變.發(fā)生連續(xù)相變的原因在于系統(tǒng)的能隙關閉了,使得一個量子相到另一個量子相可以連續(xù)地過渡;而發(fā)生非連續(xù)相變是由一階導數(shù)不連續(xù)和能級交叉共同確定的.類似地,圖2(b)和圖2(c)表明當Jxx=1(Jxx=1.2)時,在處,能量一階導數(shù)不連續(xù),表明該處發(fā)生了非連續(xù)相變.

圖2 單位格點基態(tài)能量隨控制參數(shù) Jyy 的變化行為.E2i-1,E2i+1,E2i 和 E2i+2 分別是奇/偶數(shù)鍵的單位格點基態(tài)能量.為平均單位格點基態(tài)能量 (a)相變點發(fā)生在 =-0.5,=0和 =0.5,內插圖為單位格點基態(tài)能量的二階導數(shù);(b),(c)相變點分別發(fā)生在 =0 和=0Fig.2.Ground state energy per site as a function of controlling parameter Jyy.E2i-1,E2i+1,E2i and E2i+2 are ground state energies per site on odd and even bonds,respectively. is average ground state energy per site:(a)QPTs at =-0.5 ,=0 and =0.5 .The inset shows the second-order derivation of average ground state energy per site .(b),(c)QPTs at =0 and=0,respectively.

4.2 序參量

局域序參量是用于刻畫系統(tǒng)發(fā)生自發(fā)對稱破缺而擁有局域序相的觀測量.如果一個系統(tǒng)發(fā)生了自發(fā)對稱破缺,系統(tǒng)中就會存在一個局域序,這個局域序可以用局域序參量來刻畫.作為局域序參量需要滿足以下條件:1)在發(fā)生自發(fā)對稱破缺區(qū)域,局域序參量具有非零值;2)離開對應自發(fā)對稱破缺區(qū)域,局域序參量的值變?yōu)榱?3)在鄰近相變點區(qū)域,局域序參量和控制參數(shù)的關系應具有標度不變的特征.此外,還存在著一類超越朗道相變理論的新穎相,這類相是由隱性自發(fā)對稱破缺,而非自發(fā)對稱破缺引發(fā)的.因此,這種相不能通過局域序參量來刻畫,只有通過拓撲非局域弦關聯(lián)序參量來刻畫.所謂拓撲非局域弦關聯(lián)指的是den Nijs 和Rommelse[33]以及Tasaki[34]為了刻畫自旋-1 海森伯模型中的Haldane 相而引入的奇數(shù)和偶數(shù)弦關聯(lián)函數(shù),定義如下[35]:

隨后,為進一步闡明自旋-1 海森伯模型,Hida等[36,37]引入了輪換的自旋-1/2 的順鐵磁海森伯模型,弦關聯(lián)也自然擴充到了自旋-1/2 的情況.在此基礎上,Chen 和Wang[19]以及Wang 和Cho[25]為了刻畫各種類型的Haldane 相引入了單調/振蕩奇數(shù)弦關聯(lián)和單調/振蕩偶數(shù)弦關聯(lián).利用文獻[19,25]的方法分析QCC 的基態(tài)波函數(shù)的弦關聯(lián)行為,發(fā)現(xiàn)振蕩/單調奇數(shù)弦關聯(lián)線性組合可以作為刻畫QCC 中Haldane 相的奇數(shù)弦關聯(lián)序參量,它的定義可以寫為如下形式:

定義式(5)可以應用矩陣乘積態(tài)的表示形式,直接計算熱力學極限下的奇數(shù)弦關聯(lián)序參量.圖3(a)—圖3(c)給出了局域磁化強度和奇數(shù)弦關聯(lián)序參量隨控制參數(shù)Jyy的變化關系.圖3(a)表明系統(tǒng)發(fā)生了3 次相變,相變點分別為.振蕩奇數(shù)弦關聯(lián)序參量僅在Jyy＜-0.5 區(qū)域具有非零值,表明該區(qū)域發(fā)生了Z2×Z2隱性自發(fā)對稱破缺,處于振蕩奇數(shù)Haldane 相.振蕩(單調)偶數(shù)弦關聯(lián)序參量是Hida 等[36,37]為了研究輪換交替作用的海森伯模型中的偶弦關聯(lián)Haldane 相和二聚相共存的情形而引入的.QCC模型哈密頓量(1)式的控制參數(shù)也是輪換交替的,遵循Hida 等的定義方式,QCC 模型中的兩種Haldane 相可以用振蕩(單調)奇數(shù)弦關聯(lián)序參量刻畫.振蕩奇數(shù)Haldane 相振蕩的原因在于:波函數(shù)的結構分別由哈密頓量(1)式的奇數(shù)鍵上的控制參數(shù)Jyy＜0 和偶數(shù)鍵上的控制參數(shù)Jzz＞0 占主導地位.當-0.5＜Jyy＜0,局域磁化強度值非零,表明該區(qū)域發(fā)生了自發(fā)對稱破缺,其符號表現(xiàn)為···++-···,量子基態(tài)波函數(shù)具有平移4 個格點不變的特性,這樣的特征可用條紋反鐵磁序參量來刻畫,系統(tǒng)此時處于條紋反鐵磁狀態(tài).當0＜Jyy＜0.5,局域磁化強度值非0,表明發(fā)生了自發(fā)對稱破缺,符號分布為···+-+-···,量子基態(tài)波函數(shù)具有平移兩個格點不變的特性,此特征可以用反鐵磁序參量來刻畫,系統(tǒng)此時處于反鐵磁狀態(tài).單調奇數(shù)弦關聯(lián)序參量僅在Jyy＞0.5 區(qū)域具有非零值,表明此區(qū)域發(fā)生了Z2×Z2隱性自發(fā)對稱破缺,系統(tǒng)處于單調奇數(shù)Haldane 相.單調的原因在于:波函數(shù)的結構由哈密頓量(1)式的奇數(shù)鍵上的控制參數(shù)Jyy＞0 和偶數(shù)鍵上的控制參數(shù)Jzz＞0 占主導地位.類似地,圖3(b)和圖3(c)分別顯示=0.0和=0 ,奇數(shù)弦關聯(lián)序參量僅在Jyy＞0區(qū)域具有非零值以及僅在Jyy＜0 區(qū)域具有非零值,這表明在y方向發(fā)生了隱性自發(fā)對稱破缺,分別處于單調奇數(shù)Haldane相和振蕩奇數(shù)Haldane 相.

圖3 局域磁化強度奇數(shù)弦關聯(lián)序參量隨控制參數(shù) Jyy 變化(a)Jyy＜-0.5 屬于振蕩奇數(shù)Haldane 相,-0.5＜Jyy＜0 屬于條紋反鐵磁相,0＜Jyy＜0.5 屬于反鐵磁相,Jyy＞0.5 屬于單調奇數(shù)Haldane 相;(b),(c)Jyy＜0屬于振蕩奇數(shù)Haldane 相,Jyy＞0 屬于單調奇數(shù)Haldane 相Fig.3.Local magnetization and odd string correlation order parameter as a function of controlling parameter Jyy:(a)The system clearly shows the oscillatory odd Haldane phase for Jyy＜-0.5,SAF phase for-0.5 ＜Jyy＜0,AF phase for 0＜Jyy＜0.5 and the monotonic odd Haldane phase for Jyy＞0.5 with fixed Jxx=0.5;(b),(c)the system clear shows the oscillatory odd Haldane phase for Jyy＜0 and the monotonic odd Haldane phase for Jyy＞0 with fixed Jxx=1 and Jxx=1.2,respectively.

4.3 臨界指數(shù)

在靠近相變點的過程中,序參量和控制參數(shù)之間存在著某類不依賴于具體量子系統(tǒng)的普適發(fā)散關系,該發(fā)散關系可以通過一個冪次標度關系式來表示,關系式中的冪次律指數(shù)就是臨界指數(shù).臨界指數(shù)可以確定量子相變普適類所屬類型,從本質上反應相變的性質.圖4 給出了Jxx=0.5 時,局域磁化強度和奇數(shù)弦關聯(lián)序參量隨控制參數(shù)在相變點=-0.5和=0.5 附近的標度關系,即.應用以上標度關系,從Fitting 1 到Fitting 4擬合得到了臨界指數(shù)β1=0.122 ,β2=0.124 ,β3=0.124 和β4=0.124 .所有的臨界指數(shù)β≈1/8 表明系統(tǒng)相變的普適類屬于Ising 類.

圖4 局域磁化強度 和奇數(shù)弦關聯(lián)序參量 與控制參數(shù)標度關系Fig.4.Local magnetization and odd string correlation order parameter as a function of the distance of controlling parameter .

5 馮諾依曼熵和中心荷

馮諾依曼熵是來源于量子信息的一個概念,它可以測量系統(tǒng)的二分糾纏,并通過二分糾纏的反常行為來反映系統(tǒng)量子相變的發(fā)生,有效性已得到廣泛證實[38-42].為了探測QCC 的量子相變,首先對它進行定義.考慮第2 節(jié)介紹的MPS 表示的量子基態(tài)|φ〉,它由Schmidt 分解系數(shù)λα連接的左右兩個半無限鏈L(-∞,···,i)和R(i+1,···,+∞)構成.因此,量子基態(tài)|φ〉可以重新改寫為|φ〉=.此處分別是左右兩個半無限鏈的Schmidt 基矢.通常地,馮諾依曼熵可以被定義為S=-trρLlogρL=-trρRlogρR.這里的ρL=trRρ和ρR=trLρ分別是左右兩個半無限鏈L 和R 的約化密度矩陣,ρ=|φ〉〈φ|是整條鏈的約化密度矩陣.利用Schmidt 正規(guī)化的特性[18],馮諾依曼熵S可以進一步簡化為[38-42]

由于QCC 的哈密頓量(1)式具有平移4 個格點不變的特性,(6)式中的α可以取A,B,C和D,所以對應的馮諾依曼熵應該有SA,SB,SC和SD.注意到馮諾依曼熵在奇數(shù)格點和偶數(shù)格點上的值相等,即Sodd=SA=SC與Seven=SB=SD.在此基礎上,可以進一步提取在臨界點處的中心荷c.在一維(1D)臨界系統(tǒng)中,馮諾依曼熵和空間鍵維度χ的半對數(shù)標度保持了共形不變的特性,而這個標度的核心作用就是可以從中提取出一個和共形場論相關的一個普適因子,這個普適因子就是中心荷c.此外,臨界系統(tǒng)的關聯(lián)長度ξ和空間鍵維度χ也存在著對數(shù)標度關系.這兩個標度關系可以寫為[38-42]

這里的ξ0是一個常數(shù),κ是有限糾纏標度指數(shù).對于確定的χ,關聯(lián)長度ξ可以通過轉移矩陣的第一大本征值D0(χ)和第二大本征值的比值得到,即ξ(χ)=1/log|D0(χ)/D1(χ)|.圖5(a)給出了空間鍵維度χ=32,Jxx=0.5 時,馮諾依曼熵Sodd和Seven隨控制參數(shù)Jyy的變化情況.當Jyy=-0.5 和0.5時,Sodd和Seven表現(xiàn)出了反常行為,表明在=-0.5和=0.5 處系統(tǒng)發(fā)生了量子相變,這與4.1 節(jié)和4.2 節(jié)得到的結果一致.同時可以注意到,相變點=-0.5 與=0.5 對應的馮諾依曼熵和關聯(lián)長度的值都相等,意味著它們提取出的中心荷c應該相等,進而兩處的普適類應該一致.為了簡潔,以相變點=0.5 為例.應用方程(6)和方程(7),就可以得到中心荷c.圖5(b)和圖5(c)給出了馮諾依曼熵Sodd和Seven與關聯(lián)長度ξ隨空間鍵維度χ的標度關系,χ的取值范圍為4—60.當空間維度χ增大時,馮諾依曼熵Sodd和Seven與關聯(lián)長度ξ都表現(xiàn)出了發(fā)散行為.為了方便提取中心荷,采取方程(7)的半對數(shù)和對數(shù)形式,即logξ(χ)=κlogχ+a和來擬合數(shù)據.擬合數(shù)據如下:1)對Fitting 1,κ1=2.0519,a1=-0.6169,c1=0.4907 和b1=0.8359;2)對Fitting 2,κ2=2.0519,a2=-0.6169,c2=0.5015 和b2=0.3162 .在誤差范圍內,兩個中心荷的值都支持c=1/2.因此,在反鐵磁相/條紋反鐵磁相與單調奇數(shù)Haldane 相/振蕩奇數(shù)Haldane 相之間發(fā)生的相變普適類屬于Ising 類型.這與臨界指數(shù)β=1/8 的結論一致.

圖5 (a)馮諾依曼熵 Sodd 和 Seven 隨控制參數(shù) Jyy 增加的變化行為;(b),(c)馮諾依曼熵 Sodd,Seven 和關聯(lián)長度ξ 隨控制參數(shù) χ 的標度關系Fig.5.(a)Behaviors of von Neumann entropy Sodd and Seven with the increasement of controlling parameter Jyy;(b),(c)von Neumann entropy Sodd,Seven and the correlation length ξ as a function of the truncation dimension.

6 總結

利用矩陣乘積態(tài)表述的無限時間演化塊算法,研究了具有x,y,z三個自旋方向的軌道自由度和軌道序競爭的QCC 模型.計算了基態(tài)能量、局域序參量、弦關聯(lián)序參量、臨界指數(shù)、馮諾依曼熵、有限糾纏標度和中心荷.結果表明:該量子基態(tài)相圖由發(fā)生自發(fā)破缺產生的條紋反鐵磁相和反鐵磁相以及由發(fā)生隱性自發(fā)對稱破缺產生的單調奇數(shù)Haldane 相和振蕩奇數(shù)Haldane 相構成.從條紋反鐵磁相到反鐵磁相,以及從單調奇數(shù)Haldane 相到振蕩奇數(shù)Haldane 相發(fā)生了非連續(xù)相變;從振蕩奇數(shù)Haldane 相到條紋反鐵磁相,以及從反鐵磁相到單調奇數(shù)Haldane 相發(fā)生了連續(xù)相變;連續(xù)相變線和非連續(xù)相變線的交點是多臨界點.此外,連續(xù)相變點處的臨界指數(shù)β=1/8 和中心荷c=1/2 表明連續(xù)相變的普適類屬于Ising 類.揭示了該模型量子基態(tài)相圖的本性,對今后研究更高自旋以及更為復雜軌道序競爭的量子羅盤自旋鏈模型的量子相與相變具有一定借鑒與參考意義.