☉江蘇省無錫江陰市云亭中學 錢嘉蓉

全等三角形是八年級上學期的學習內(nèi)容，隨著全等工具的運用，平面幾何就可以更方便地展開對很多特殊圖形及性質(zhì)的探究與發(fā)現(xiàn)，比如，特殊三角形（等腰三角形、直角三角形），平行四邊形的性質(zhì)與判定的研究，九年級圓和相似的研究，等等.可見全等的學習是具有奠基和全局作用的，是一種“好的數(shù)學”（陳省身語）.最近，在九年級學習圓和相似之后，筆者又安排了一節(jié)數(shù)學拓展活動課，引導學生運用圓、相似等知識繼續(xù)研究與全等有關的條件，促進了學生對全等、圓、相似等平面幾何知識的深刻理解.

1 從一節(jié)九年級活動課的片段說起

提出問題：在八年級曾研究過命題“全等三角形對應邊上的高相等”，我們也知道這是全等三角形的性質(zhì)，同學們當時已證明過.現(xiàn)在讓我們對這個命題做一些變式，提出以下問題：

問題1：如圖1、圖2，在△ABC和△A′B′C′中，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高.如果BC=B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，AD=A′D′，那么△ABC與△A′B′C′全等嗎？

圖1

圖2

教學記錄：經(jīng)過一段時間的思考，有學生提出證明思路1.

思路1：如圖3，畫出△ABC的外接圓⊙O，過點A作AA′∥BC，與⊙O交于點A′.連接A′B′（點B′與C重合）、A′C′（點C′與B重合），得到△A′B′C′.接下來進行證明.由AA′∥BC，得∠A′AB=∠ABC.又∠A′AB=∠A′B′C′，則∠A′B′C′=∠ABC.又因為∠B′A′C′=∠BAC，B′C′=BC，所以△A′B′C′△ABC.

圖3

思路2：如圖4，將△A′B′C′進行圖形變換，使邊C′B′與BC重合.設A′B′、AB相交于點M，連接A′A.

圖4

結合∠BAC=∠B′A′C′，∠AMC=∠A′MC′，得△A′MC′△AMC，得比例式

由比例式①、②可得MC=MC′，則∠A′B′C′=∠ABC.又BC=B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，所以△ABC△A′B′C′.

解后回顧：解決問題1的關鍵是將“分散”著的兩個三角形“集中”到一起，然后運用圓的性質(zhì)或相似三角形的性質(zhì)，解決證明全等三角形的一個關鍵條件.

問題2：如圖5、圖6，在△ABC和△A′B′C′中，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高（AD＜A′D′），且∠BAC=∠B′A′C′，，求證△ABC△A′B′C′.

圖5

圖6

教學記錄：學生經(jīng)過5分鐘左右時間思考之后，仍然沒有獲得進展，于是我們給出以下方法啟發(fā).如圖7，在A′D′上截取A′E=AD，過點E作FG∥B′C′.分別交A′B′、A′C′于點F、G.

圖7

在作輔助線之后，繼續(xù)安排學生思考，很快有學生獲得思路貫通.

由FG∥B′C′，可得∠A′EG＝∠A′D′C′，△A′FG△A′B′C′.結合A′D′⊥B′C′，可得∠A′EG＝∠A′D′C′＝90°，所以A′E⊥FG，即A′E是△A′FG的高.

在△ABC和△A′FG中，AD、A′E分別是△ABC和△A′FG的高，BC＝FG，∠BAC＝∠FA′G，AD＝A′E，由問題1的證明進展可知△A′FG△ABC，所以△ABC △A′B′C′.

解后回顧：解決這個問題的障礙在把“小三角形”集中到“大三角形”中，然后運用相似三角形的性質(zhì)將問題2轉(zhuǎn)化為問題1，實現(xiàn)問題解決.

2 關于拓展活動課的一些思考

2.1 拓展活動課需要精心選編學材內(nèi)容

拓展活動課主要是拓展學生的理解，教材上的閱讀材料、實驗案例等都可以成為拓展活動課的素材，但是具體備課時，不應局限于教材上的素材，還可以查閱教師用書或其他數(shù)學史料，挑選適合本章內(nèi)容或一個階段學習內(nèi)容的拓展素材，進行恰當選編，成為拓展活動課的學材，這也是“學材再建構”的一種體現(xiàn).在選編學材時，還可關注一類“數(shù)學現(xiàn)實”，即在之前學習過程中遇到的一些較難數(shù)學問題，由于出現(xiàn)了新的數(shù)學知識或工具，則可以對這些“較難題”進行攻克，像上面提出的問題1，雖然是一個證明全等三角形的問題，但是成功解決卻需要借助圓或相似等知識.這類問題的成功解決，讓學生看到新工具、新知識的價值，將其作為作業(yè)安排給學生可能是偏難的，但作為拓展活動課的學材，師生共同探究是可行的.

2.2 拓展活動課可以基于問題驅(qū)動探究

基于問題驅(qū)動的數(shù)學教學設計是很多教師開展的課題研究，問題驅(qū)動要將習題變?yōu)閱栴}，減少課堂上習題的數(shù)量，讓問題的品質(zhì)得到提升，有利于學生解題思維的聚焦和深入，促進對問題的深刻理解.在上面的課例中，我們精選了兩個問題，驅(qū)動著這節(jié)數(shù)學拓展活動課的教學進程，學生在這兩個有挑戰(zhàn)的問題引導下，攻克難題的心理驅(qū)動著他們“安靜的”思考，此時“無聲勝有聲”是這類活動課的又一教學特點.另外，兩個問題之間也具有關聯(lián)和遞進的關系，學生在解決問題2時，問題2可以轉(zhuǎn)化為問題1的已有進展，這是一種“看似并列，實則遞進”的問題設計方式，當學生不能順利轉(zhuǎn)化時，可啟發(fā)他們思考前一個問題帶來的進展或性質(zhì)，教學啟發(fā)或教學干預的強弱可以根據(jù)學生的課堂反應靈活把握.

2.3 拓展活動課需要提前預設鋪墊問題

拓展活動課一般都是安排在全章（或一個相對完整的單元）新知學習結束時進行，所以挑選的學習資源往往比較有挑戰(zhàn)性，教師可基于學情的研判進行鋪墊式問題的預設.鋪墊式問題就像解題臺階一樣，教學時應根據(jù)學生的已有進展或解題主要障礙，相機出示鋪墊式問題，而不是根據(jù)課前預設“全盤托出”.比如，當學生對解題出發(fā)點還沒有辨明時，可出示幫助他們繼續(xù)審題、找準起點的鋪墊式問題；又如，當學生解題目標不清時，可引導學生從問題待求證的目標“逆過來”思考，假設這個求證目標是成立的，能得到什么呢？還有，當學生不能突破思路中的關鍵步驟時，可以啟發(fā)或出示一個之前學生曾練習過的同類問題，幫助學生回憶這類問題的解決策略（對幾何經(jīng)典問題來說，如如何添加某條重要的輔助線），然后學生在這類問題的啟示下，再獨立貫通思路，這時學生就會有解題成就感，不但能掌握這類問題的解法，而且在這個過程中會收獲解題自信.

2.4 拓展活動課也要安排回顧反思環(huán)節(jié)

課堂小結對一節(jié)課來說非常關鍵，一個好的課堂小結能對本節(jié)課所學起到聚意點睛的作用，而那些泛泛而談應付式的小結（比如，這節(jié)課你學到什么？你還有什么疑惑？）則可有可無.對拓展活動課來說，在課堂最后，要圍繞本課研究內(nèi)容進行必要的小結與回顧.比如，圍繞研究問題之間的關聯(lián)，請學生談談有怎樣的認識；再如，圍繞解題過程中的較難一步、關鍵步驟有怎樣的認識或經(jīng)驗分享；還有，讓學生就同類問題進行梳理，在組內(nèi)先進行交流、歸類，然后大組匯報，等等，這樣的小結環(huán)節(jié)，能促進學生回顧本課所學、所思、所悟，教師鼓勵學生交流、分享與展示，能達到較好的回顧與反思的作用.