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依托課堂思考,提升學生學力
——以“運動問題”為例

2022-02-16 05:58:40江蘇省宿遷市沭陽縣懷文中學
中學數(shù)學 2022年4期

☉江蘇省宿遷市沭陽縣懷文中學 張 銀

1 引言

面對基于核心素養(yǎng)理念的基礎教育課程改革浪潮,廣大一線教師已經(jīng)從單純的理論學習進入探索與實施階段.如何改變初三數(shù)學復習中題海戰(zhàn)術的現(xiàn)狀,如何在初三數(shù)學專題復習中讓核心素養(yǎng)落地生根等相關問題,值得教師深入思考.教學實踐表明,復習課應以發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng)為導向,創(chuàng)設合適的教學情境,通過問題驅動,啟發(fā)學生思考,探尋事物的變化規(guī)律,引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì),讓“課堂思考”成為提升學生學力的有效途徑.筆者有幸參加了江蘇省“教學新時空”名師課堂活動,開設了初三專題復習課“運動問題”,引發(fā)相關思考,反思和總結如下.

2 教案設計

2.1 學情分析

班級為蘇北一個縣城示范初中初三平行班,經(jīng)過了一輪復習,學生有扎實的基礎知識和解題能力,能解決難度中檔的題.

2.2 學習目標

運用變化的觀點研究點的運動問題,探索因動點所產(chǎn)生的直角三角形、等腰三角形、最值等問題,會借助方程與函數(shù)思想獲取解決動點問題的基本策略;

在研究圖形的性質(zhì)和運動過程時,會借助圖形思考問題,建立幾何直觀,滲透分類討論與數(shù)形結合思想,通過用代數(shù)式、方程和函數(shù)表述數(shù)量關系的過程,體會數(shù)學建模與轉化思想;

學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和設計問題,并綜合應用數(shù)學知識和方法分析問題和解決問題,體驗動態(tài)幾何中“動”“靜”結合的辯證思想.

2.3 學習重點和難點

在動點的運動變化過程中,應用分類討論思想的關鍵是臨界點的確定.

2.4 教學方法與教學手段

教法:實驗操作、啟發(fā)探究.

學法:自主探究、合作交流、感悟提升.

教學手段:多媒體教學.

3 教學過程

本課的設計理念是構建以“自主設計問題”為主線,引發(fā)學生主動思考,關注學生問題生成、培育學生四能的全過程的數(shù)學課堂,主要有四個環(huán)節(jié).

引言:畢達哥拉斯有句名言,在數(shù)學的天地里不是我們知道什么,而是我們怎么知道.我們每天都處于運動之中,生活中的運動能給我們帶來健康的體魄、快樂的生活;數(shù)學中的運動能夠給我們帶來什么?通過本節(jié)課的學習體驗,相信同學們會有清晰的認識.(出示課題:運動問題)

3.1 探究感悟

例1如圖1,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(0,2),點D的坐標為(0,4),點P為直線y=x上一個動點.

圖1

問題1:請你指出有幾個動點、定點.

從學生的最近發(fā)展區(qū)入手,讓學生在仔細審題的基礎上,結合觀察圖形,初步感悟數(shù)形結合思想.

問題2:在點P運動的過程中,請你分析△PAD中元素的變化情況.

在學生想象的基礎上,教師結合幾何畫板演示,讓學生通過觀察得出在點P運動的過程中的變量(PD、PA、內(nèi)角)和不變量(AD),引導學生從三角形六個元素中邊和角兩個角度思考問題,再次感悟數(shù)形結合思想.

問題3:請你根據(jù)△PAD中元素的變化情況,設計一個數(shù)學問題并加以分析.

學生觀察動點的運動,發(fā)現(xiàn)其與定點組成的三角形中元素的變化情況,然后思考、發(fā)現(xiàn),進行小組討論,在討論的基礎上,設計問題并向全班展示,共同歸納得出“點動”問題的幾種基本題型,初步感悟運動問題的解題策略.

生1:點P運動到什么位置時,PA+PD的值最?。?/p>

在學生展示與說明后,教師要引導學生及時歸納與總結點的運動產(chǎn)生了什么問題,解題思想是什么.教師板書:最值問題,轉化思想.接著可以追問:最值問題還可以如何設計?學生如果一時難以提出來,教師可以進一步引導.

生2:點P運動到什么位置時,|PA-PD|的值最大?

教師要引導學生利用已有知識和經(jīng)驗,根據(jù)如何求PA+PD的最小值,提出差值最大的問題,感悟類比思想,積累解題經(jīng)驗。教師順勢提出:剛才從邊的角度設計了最值問題,還可以如何設計呢?

生3:點P運動到什么位置時,△PAD是直角三角形?

有了研究邊的經(jīng)驗,學生容易從角的角度提出這類問題.在學生分析解題過程后,師生共同歸納與總結由這個動點問題產(chǎn)生的相關問題及解題思想.教師板書:直角三角形問題,分類討論思想.

生4:點P運動到什么位置時,△PAD是等腰三角形?

分三種情況討論,可以用圓規(guī)畫圖幫助理解,強化分類討論、數(shù)形結合等思想.教師板書:等腰三角形問題,并繼續(xù)激發(fā)學生探究的欲望、展示的樂趣,使其思考還能從哪個角度提出問題.

生5:點P運動到什么位置時,S△PAD=5.6……a?

教師板書:面積問題,在解題過程中,可以設點P(a,a),轉化為方程問題,從而解決此題,再次強化轉化思想.

生6:點P運動到什么位置時,C△PAD=定值?

學生積累解題經(jīng)驗,并能歸納出這類題目的通解、通法.

……

教師歸納由動點產(chǎn)生的問題、解題思想、解題策略,并板書:動中求靜、以靜制動.

3.2 學力形成

例2如圖2,在平面直角坐標系xOy中,過點B(2,2)作BC⊥x軸于點C,作BA⊥y軸于點A.動點E在線段AO上運動,連接BE,過點A作AF⊥BE交x軸于點F,垂足為點P.

圖2

問題1:請你找出有幾個動點,并指出在點E運動的過程中所發(fā)現(xiàn)的一般性規(guī)律或結論.

讓學生先熟悉題干條件,結合圖形觀察、發(fā)現(xiàn)有三個動點(E、F、P),再結合幾何畫板演示,讓學生感悟三個動點的關系,點P、F隨著點E的運動而運動,可以把點E稱為顯性動點,點P、F稱為隱性動點.

問題2:請你根據(jù)點E、P、F的變化情況,設計一個數(shù)學問題并加以分析.

教師可以借助例1的學習經(jīng)驗,指導學生從“邊”“角”“面積”“最值”等角度自主思考。根據(jù)學生的實際情況,教師還可以指定小組設計專項問題.

生7:AF、BE之間有什么數(shù)量關系?

教師要指導學生引申出全等問題、角度之間的數(shù)量關系問題.教師板書:全等問題.

生8:點P的運動軌跡是什么?如何求點P的運動路徑的長度?

在學生觀察、操作、猜想、討論的基礎上,結合幾何畫板演示驗證點P的運動軌跡,得出點P的運動軌跡是以AB為直徑的圓,點P、F的運動取決于點E,運動范圍由點E的運動范圍確定,并指導學生尋找求點的軌跡的方法.比如,當有的學生認為點P的運動軌跡是半圓時,教師要讓提出質(zhì)疑的學生走上講臺,講述是90度弧的原因,之后用幾何畫板演示,引導學生經(jīng)歷具體—抽象—再具體—再抽象的思維過程.

生9:連接OP,求OP的最小值.

在學生觀察、操作、猜想、發(fā)現(xiàn),教師用幾何畫板演示的基礎上,找出運動中的不變量PK(K為AB的中點),要用整體的思維,把OP和PK捆綁起來,求OP的最小值.

生10:如何求四邊形OEPF的面積的最小值?

重點引導學生把四邊形OEPF的面積轉化成△PAB的面積,從而歸納出求解面積問題的通法,即把不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積.

生11:△OPC的形狀問題.

生12:△PAB的周長問題.

……

教師歸納解題經(jīng)驗,生成了由動點產(chǎn)生的問題、解題思想、解題策略,并板書:以動制動.

3.3 學力運用

如圖3,在平面直角坐標系xOy中,在直線y=x上取點B(2,2),過點B作BC⊥x軸于點C.點P為線段OB上一動點,從點O出發(fā),以每秒2個單位的速度向點B運動,同時另一動點Q在線段BC上,從點B出發(fā),以每秒1個單位的速度向點C運動.設運動時間為t秒.

圖3

問題1:是否存在t,使線段PQ平分△OBC的周長?

問題2:是否存在t,使△BPQ的面積與△OBC的面積之比為1:4?

問題3:運動多長時間后,以B、P、Q為頂點的三角形與△OBC相似?

問題4:你還能設計什么樣的問題?

……

在這個環(huán)節(jié),根據(jù)學生的情況,如果時間緊張,就放在課后練習環(huán)節(jié).

3.4 學力提升

試著總結解決動態(tài)性問題時常用的數(shù)學思想、數(shù)學方法與解題通法與策略.

本環(huán)節(jié)的設計以和學生一起種棵知識樹的形式呈現(xiàn),旨在幫助學生理清動點問題的解題策略、常見題型及所用數(shù)學思想方法,既是對本節(jié)課教學目標的再回顧,也是對動點模型的再認識、再建構,進而達到學生學力再生長、再提升,從而讓核心素養(yǎng)真正落地生根,如圖4.

圖4

附板書設計,如圖5:

圖5

4 教學反思

4.1 課堂設計說明

“運動問題”是初三數(shù)學專題復習中的重要內(nèi)容,一般我們將之分為三種:點動問題、線動問題、形動問題,點動是線動和形動的基礎,線動、形動問題的解題思想是轉化為點動問題,本節(jié)課的設計主要內(nèi)容就是“運動問題”中的點動問題.

4.2 依托課堂思考策略

4.2.1 通過問題驅動,引發(fā)學生理性探究

(1)通過問題開放,培養(yǎng)學生的思維發(fā)散能力

問題是數(shù)學的心臟,只有好的問題,才能引發(fā)學生的積極思考.本節(jié)課圍繞一個簡單的動點模型,給出了問題的主干部分,即在平面直角坐標系中給出兩個定點、一個動點,讓學生在研讀題中條件后觀察動點的運動,并沿著這個方向,在學生經(jīng)歷自主思考、合作探究的過程中,調(diào)動學生的學習積極性,激發(fā)學生探知的欲望,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力,體悟因動點問題產(chǎn)生的幾種基本題型:最值問題、直角三角形問題、等腰三角形問題、面積問題等,進而總結得出動點問題中動中求靜與以靜制動的解題策略.

(2)設疑追問,培養(yǎng)學生的高階思維能力

發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是學生創(chuàng)新思維的起點,是學生學力提升的載體,教師在學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的基礎上適時設疑追問,有效提升了學力.教師要不失時機地從學生的最近發(fā)展區(qū)入手,在新知識和舊知識的連接處,知識的對比處、變化處,蘊含規(guī)律處,把問題拋給學生,引發(fā)學生思考的深度與廣度.例如,等腰三角形問題中分類思想的滲透,點的運動軌跡的確定與計算,最值問題的設計背景等,都可以抓緊提升學生學力這根思維主線,進行關鍵點撥、提煉與總結,又能在潤物無聲中使學生積累解題經(jīng)驗,讓學生的數(shù)學核心素養(yǎng)得到培養(yǎng).

(3)挖掘隱含條件,引領學生精準思考

在“學力”形成環(huán)節(jié),特征比較明顯的兩對三角形全等,全等三角形對應角、邊相等,線段AF與BE垂直且相等,這些學生都能清晰地認識到,重點是教師要通過問題激發(fā)學生的認知困惑:在點E運動的過程中,還隱藏著怎樣的不變關系?部分學生的反應較為茫然,學生的認知遇到障礙,學力遇到拐點,找不到知識自然生長的連接點,在這種狀態(tài)下,教師要耐心啟發(fā),采取逐步追問法:“點F與點P的運動受制于點E的運動,那么點P在運動過程中遵循著怎樣的規(guī)律呢?”并及時組織學生再發(fā)現(xiàn),讓學生走上講臺,展示成果.

4.2.2 通過歸納類比,培育學生的理性精神

分析問題、解決問題是數(shù)學能力的綜合體現(xiàn).本課中,學生在探究“因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題”時,積極進行思考與歸納.如有一個學生展示時指出:首先要求出或用含有字母的式子表示三角形的三個頂點的坐標;其次要列出這三條邊中兩兩相等的三種可能性;最后列出等式,求解并進行驗證.其基本解題思路是:列點、列線、列式,為“解決因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題”提供了具體的解題方法,可以作為通法解決此類問題.

借助第一環(huán)節(jié)的經(jīng)驗與方法,將第二環(huán)節(jié)中模型的條件再次進行補充和修正,然后分三個步驟嘗試提升學生學力:一是讓學生自主發(fā)現(xiàn)點動過程中不變的規(guī)律和結論,從而感悟以動制動的解題策略;二是通過對線段間關系的分析,讓學生討論、操作、發(fā)現(xiàn)兩條線段的交點的運動軌跡;三是立足兩線段的交點的運動軌跡設計問題,讓學生獲得充分的展示與表達機會,從而讓學生的學力得到進一步提升.

類比例1、例2中積累的解題經(jīng)驗,進一步引發(fā)學生感悟思想,生成解題能力,提升學力.

4.2.3 通過開放課堂,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思考

本節(jié)課中,在問題設計上,從開放的視角,由簡單到深入、從問題分析到問題設計,調(diào)動學生的學習興趣,讓學生自主參與分析討論與類比設計問題.設計的總體思路是“讓變式因地制宜,使探究水到渠成,促學力生長潤物無聲”,其關鍵詞是變式、探究、生長.探究主要體現(xiàn)在學生對題干條件分析基礎上的小組合作與思考,最終以設計出較有價值的問題為學習成果,如最值問題、特殊三角形問題、軌跡問題等,這為學習力的生長鋪設了厚實的土壤;生長環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)在知識生成過程(如最值問題的設計原因分析)、學法生成過程(如軌跡問題的形成過程分析)、思想提煉過程.開放性的課堂設計既滿足提升學生數(shù)學學習的看、想、做、說的要求,更讓學生的學力及創(chuàng)造力在所經(jīng)歷的數(shù)學活動中得到提升和發(fā)展.

4.3 提升學生學力價值

數(shù)學思考就是能夠從數(shù)學的角度思考問題,重要的是讓學生經(jīng)歷“做數(shù)學”的過程.“以學生發(fā)展為中心”的教學觀有利于培養(yǎng)與提升學生的學力,發(fā)展學生的核心素養(yǎng).

4.3.1 基于起點,激活整體認知經(jīng)驗

本節(jié)課中“探究感悟”環(huán)節(jié),要激活學生對三角形邊、角的基礎認知,教師可以結合幾何畫板的動態(tài)演示,讓學生體驗動態(tài)問題中由點動生成的等腰三角形與直角三角形等問題,并在和風細雨中讓學生的數(shù)學思想得以滋生與蔓延.

4.3.2 理順節(jié)點,引發(fā)思維自然生長

教師要充分了解學生已有什么樣的知識水平,通過本節(jié)課的教學還能發(fā)展到什么水平.從學生最近發(fā)展區(qū)入手,在學生困惑的地方著力,在引導學生將未知知識轉化為已知知識上著力,促進學生學力的生長,培養(yǎng)核心素養(yǎng).

4.3.3 著力本質(zhì),經(jīng)歷數(shù)學化過程

本節(jié)課以引領學生自主設計問題為主線,遵循由淺入深層層遞進的原則,組織學生靈活地發(fā)現(xiàn)與設計相應的數(shù)學問題.如學生能夠設計出求點P的運動路徑的問題,點P的運動軌跡如何找,學生可能產(chǎn)生認知上的沖突或錯誤,這種認知上的錯誤恰好又成為課堂上新的學習資源,引發(fā)學生更深層次的思考:為什么不是以AB為直徑的半圓而是以AB為直徑的90°的???抽絲剝繭,走近知識的本質(zhì),引導學生從數(shù)學知識的內(nèi)部體驗數(shù)學問題的形成過程,經(jīng)歷抽象、概括、推理、建模等數(shù)學化的過程,學生數(shù)學素養(yǎng)的形成顯得水到渠成.

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