高文君，鐵麒，鄭巍，湯欣

（中國石油 吐哈油田分公司 勘探開發(fā)研究院，新疆 哈密 839009）

Welge 方程是研究水驅(qū)（或氣驅(qū)）油藏地下油水（或油氣）飽和度推進與分布的基礎(chǔ)方程[1]。目前，國內(nèi)外學者提出了多種Welge 方程的表達式，這些方程多用于線性地層一維滲流機理研究[2-4]，尤其是在陳元千教授研究成果基礎(chǔ)上形成的油井見水后Welge 微分表達式[5]，對于確定水驅(qū)油藏微觀滲流特征、含水變化規(guī)律、水驅(qū)特征曲線之間的邏輯關(guān)系非常重要[6]，修正了以往在水驅(qū)油藏理論研究方面簡單地將高含水期油層出口端含水飽和度認為是油層平均含水飽和度的缺陷[5-7]；或者引入從艾富羅斯實驗結(jié)果得來的線性關(guān)系Swe=1.5Sˉw-0.5(1-Sor)，建立水驅(qū)規(guī)律數(shù)學模型[8-9]。本文通過正向和反向推理，以明確Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律[10]和艾富羅斯實驗結(jié)果[11]的形成過程、適用條件以及存在的理論缺陷，系統(tǒng)地給出水驅(qū)理論評價方法從宏觀水驅(qū)規(guī)律到微觀滲流特征之間的相互轉(zhuǎn)化流程，為水驅(qū)油藏的評價提供參考。

1 水驅(qū)（或氣驅(qū)）油藏Welge方程基本表達式

適用水驅(qū)（或氣驅(qū)）油藏的前緣飽和度推進方程，簡稱Welge方程[1]，其基本表達式為：

按中國石油行業(yè)參數(shù)書寫規(guī)范[12]，水驅(qū)油藏的Welge方程為：

而氣驅(qū)油藏的Welge方程為：

2 國內(nèi)的幾種Welge方程表達式

2.1 水驅(qū)前緣Welge方程

1996 年，童憲章和匡建超結(jié)合Buckley-Leverett的線性驅(qū)替理論（圖1），通過數(shù)學分析，推導了水驅(qū)前緣含水飽和度推進方程和前緣后平均含水飽和度方程，分別為[2]：

（5）式和（6）式結(jié)合，消除束縛水飽和度參數(shù)項，得到水驅(qū)前緣Welge方程：

由于前緣含水飽和度為定值，因此（9）式為定值方程。求解時，通常過束縛水飽和度向分流量曲線作切線，切點為（Swf，fwf），切線與直線fw=1 的相交點對應的橫坐標值為前緣后平均含水飽和度。

2.2 油井見水后Welge方程

利用面積填補的方法，可得到油井見水后的Welge方程[2-3]（圖2）：

（9）式和（10）式與Welge 方程基本式相比，方程形式一致，區(qū)別在于（9）式和（10）式中含水率的導數(shù)是以偏導數(shù)的形式給出，而Welge 方程的基本式中是以微分的形式給出。按分流量方程[13-14]，含水率是含水飽和度的一元函數(shù)，因此，（9）式和（10）式可改寫為：

3 水驅(qū)油藏見水后Welge方程的確定

1985 年，陳元千教授通過理論推導[5]，給出了累計注入水孔隙倍數(shù)：

那么，（4）式或（12）式轉(zhuǎn)化為

對比（3）式和（15）式，可以發(fā)現(xiàn)Welge 方程基本式在原文采用標準的數(shù)學表示方法=df2/dS2，即=dfwe/dSwe，反映的是分流量曲線在Swe處的斜率，并沒有出現(xiàn)像國內(nèi)一些學者提出的=?fw/?Sw的表述[2-3]。因此，陳元千給出的（15）式不但從純數(shù)學角度完全符合文獻［1］中建立的Welge 方程式的表述方式和本意，而且也結(jié)合國內(nèi)的研究現(xiàn)狀，利用（14）式作為橋梁，將國內(nèi)外這一基礎(chǔ)理論研究進行了有效統(tǒng)一。

若為均質(zhì)油藏，油井間和油層間無差異或開采差異很小，則油藏含水率fw=fwe，（15）式可轉(zhuǎn)換為油藏見水后Welge方程[6]：

同理，可得氣驅(qū)油藏見氣后氣層的平均含氣飽和度，計算式為

4 油藏見水后Welge方程的應用

4.1 油水兩相滲流方程到含水變化規(guī)律的推導

在半對數(shù)坐標系中，油水相滲比值與出口端含水飽和度呈直線關(guān)系[10]，即

由分流量方程可知：

將（18）式代入（19）式，得

將（20）式代入（16）式，得

油藏在注水保持地層壓力的條件下，其平均含水飽和度為[5]：

從（20）式求得出口端含水飽和度，代入（21）式，并結(jié)合（22）式，可得Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律，即丙型水驅(qū)特征曲線[2]：

丙型水驅(qū)曲線本質(zhì)上是一個具有極值的雙值函數(shù)，只有R隨含水率增大而增大時，才具有實際意義[2]。按照存在極值情況，對（23）式求導，其值為0時，確定出的最小含水率為0.5。從以上推導過程可知，當油水相滲比值與出口端含水飽和度為指數(shù)關(guān)系，且含水率≥0.5 時，其含水變化規(guī)律適用于經(jīng)典的Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律，這一結(jié)果與國內(nèi)傳統(tǒng)認知相左。前人一直認為，油水相滲比值與出口端含水飽和度為指數(shù)關(guān)系時，其含水變化規(guī)律為甲型含水變化規(guī)律[5]，且多適用于原油黏度為3～30 mPa·s 的水驅(qū)油藏[11]：

進一步分析甲型含水變化規(guī)律理論建立過程，在其推理過程中引入了從艾富羅斯實驗結(jié)果得來的線性關(guān)系[12]Swe=1.5Sˉw-0.5(1-Sor)，即將（16）式處理為特殊的線性關(guān)系，然后代入分流量關(guān)系（20）式中，并結(jié)合（22）式，得到（24）式。而文獻［14］曾明確指出，只要存在線性關(guān)系Swe=1.5-0.5(1-Sor)，利用見水后Welge 方程，就可以直接得到含水變化規(guī)律R=a2-b2（1-fw）1/3。因此，國內(nèi)部分經(jīng)典水驅(qū)曲線理論的研究，看似引用了見水后Welge方程，其推理實質(zhì)是將見水后Welge 方程的第二項簡化為（1-Swi-Swe）/3，導致相同的油水相滲比值關(guān)系式得到不同的結(jié)果。

按文獻［7］提供的水驅(qū)特征曲線正向推導方法，（23）式是無法轉(zhuǎn)化為dWp=F(Np)dNp形式的微分方程，而（24）式可利用階段產(chǎn)油量qo=dNp/dt，階段產(chǎn)水量qw=dWp/dt，并結(jié)合fw=qw/(qw+qo)，可得

進一步取初始邊界條件Np=Np0時，Wp=0，對（25）式定積分，可得

很明顯，在國內(nèi)應用廣泛的馬克西莫夫—童憲章（甲型）水驅(qū)特征曲線[15-17]，其對應的含水變化規(guī)律并不是Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律，而是甲型含水變化規(guī)律。同時，也進一步表明馬克西莫夫—童憲章（甲型）水驅(qū)特征曲線的油水兩相相滲比值關(guān)系式并不是指數(shù)式，即不是（18）式，而是文獻［18］給出的

因此，從嚴格意義上講，只有油水相滲比值符合（27）式時，油藏含水變化規(guī)律才適用于甲型含水變化規(guī)律。

4.2 便于確定水驅(qū)曲線對應的油水滲流特征方程

國內(nèi)外油藏工程師提出了許多水驅(qū)曲線，這些曲線一部分是水驅(qū)特征曲線，一部分是含水變化規(guī)律曲線。其中，水驅(qū)特征曲線一般經(jīng)微分可得到相應含水變化規(guī)律，再結(jié)合（16）式微分求解，可得到對應的油水滲流特征方程，此即文獻［6］所稱的反向推理方法。如文獻［19］曾給出了如下最簡單的水驅(qū)特征曲線：

對（28）式兩邊進行時間求導，并結(jié)合階段產(chǎn)油量qo=dNp/dt，階段產(chǎn)液量qL=qo+qw=dLp/dt=dNp/dt+dWp/dt，油井含水率fw=qw/(qw+qo)，可得

將（29）式代入（28）式，并結(jié)合R=Np/N，可得

將（22）式代入（31）式，得

再將（32）式代入（16）式，整理得

利用常數(shù)變異法求解非齊次線性方程（33）式的解。先求得齊次線性方程的通解為

再將（34）式中常數(shù)項C2換成fw的未知函數(shù)u(fw)，則

對（35）式求導，得

將（33）式和（35）式代入（36）式，整理得

求解（38）式的微分方程通解，得

將（39）式代入（35）式，整理得（33）式的解為

在水驅(qū)油過程中，存在初始邊界條件，即（Swi，0）和（1-Sor，1），代入（40）式，得

將（19）式代入（41）式，得到（28）式對應的油水相滲關(guān)系式：

因此，水驅(qū)特征曲線（28）式的適用條件，是油水相滲比值關(guān)系式需滿足（42）式。

若存在1-Sor-Swi=1.5b2(1-Swi)，那么（41）式轉(zhuǎn)化為

若取μr(1-Sor-Swi)-3=50，那么，必然存在艾富羅斯兩相滲流實驗結(jié)果[5]：

以上推理過程進一步表明，艾富羅斯實驗結(jié)果是（41）式在特定條件下的一種特殊情況，不僅要符合Swe=Swi時，fw=0；Swe=1-Sor時，fw=1 等初始邊界條件。而且還要滿足a2=1.5b2和μr(1-Sor-Swi)-3=50等特殊條件約束。再結(jié)合艾富羅斯實驗的適用條件，即地下油水黏度比為1～10，將會造成(Sor+Swi)為0.992～0.999 992 或者(Soi-Sor)為0.000 008～0.008 000，這種現(xiàn)象在實際油藏中根本不可能發(fā)生。因此，艾富羅斯實驗結(jié)果若是（43）式，則理論性會更好。

總之，利用油井見水后Welge 方程，不僅可以將含水變化規(guī)律（R～fw）或水驅(qū)特征曲線轉(zhuǎn)化為油水滲流特征方程（Swe～fw）[20]，也可以將油水滲流特征方程轉(zhuǎn)化為含水變化規(guī)律。因此，（16）式不僅可以描述油井見水后的油水飽和度推進方程，也是建立水驅(qū)油藏含水變化規(guī)律，確定水驅(qū)特征曲線與油水兩相滲流特征方程之間相互關(guān)系的最基本、最重要的方程[21-29]。

5 結(jié)論

（1）在Welge 基本式的基礎(chǔ)上確定的油井見水后Welge 方程，是實現(xiàn)水驅(qū)油藏含水變化規(guī)律或水驅(qū)特征曲線與油水兩相滲流特征之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵方程。

（2）利用見水后Welge 方程，論證了油水兩相相滲比值的關(guān)系為指數(shù)式時，其含水變化規(guī)律是經(jīng)典Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律，而不是傳統(tǒng)意義上的甲型含水變化規(guī)律。

（3）經(jīng)典Iraj Ersaghi 含水變化規(guī)律不存在對應水驅(qū)特征曲線，而甲型含水變化規(guī)律對應水驅(qū)特征曲線為馬克西莫夫—童憲章校正水驅(qū)特征曲線，即甲型校正水驅(qū)特征曲線。

（4）艾富羅斯實驗結(jié)果是Np=A2-水驅(qū)特征曲線對應的油水兩相滲流特征在特定條件下的一種特殊簡化形式，不具廣泛代表性。

符 號 注 釋

a，a1，a2，A1，A2，b，b1，b2，B1，B2，c1，c2，C1，C2——待定參數(shù)；

f2——水驅(qū)或氣驅(qū)油藏油層出口端含水率或含氣率；

fg——油井（地下）含氣率（對于單一油層，fg=fge）；

fg2，fge——水驅(qū)油藏油層出口端含水率；

fo——水驅(qū)或氣驅(qū)油藏油層出口端含油率；

fw——油井（地下）含水率（對于單一油層，fw=fwe）；

fw2，fwe——水驅(qū)油藏油層出口端含水率；

fwf——水驅(qū)前緣含水率；

fwmin——油井初見水時的含水率；

Kro——油相相對滲透率；

Krw——水相相對滲透率；

Lp——累計產(chǎn)液量（Lp=Np+Wp），104t；

m，n——待定參數(shù)；

N——地質(zhì)儲量，104t；

Np——累計產(chǎn)油量，104t；

qL——階段產(chǎn)液量（qL=qo+qw），t/d；

qo——階段產(chǎn)油量，t/d；

qw——階段產(chǎn)水量，t/d；

Qi——油層累計注入水或注入氣孔隙倍數(shù)；

R——采出程度；

S2——水驅(qū)或氣驅(qū)油藏油層出口端含水或含氣飽和度；

Sav——水驅(qū)或氣驅(qū)油藏見水或見氣后油層平均含水或含氣飽和度；

Sg2，Sge——氣驅(qū)油藏油層出口端含氣飽和度；

Soi——地層原始含油飽和度；

Sor——殘余油飽和度；

Sw——油層某一截面含水飽和度；

Sw2，Swe——水驅(qū)油藏油層（油井）出口端含水飽和度；

Swf——水驅(qū)前緣含水飽和度；

Swi——束縛水飽和度；

Sˉg——平均含氣飽和度；

——平均含水飽和度；

——水驅(qū)前緣后平均含水飽和度；

t——時間，d；

Wp——累計產(chǎn)水量，104t；

μo——原油黏度，mPa·s；

μr——地下油水黏度比；

μw——地層水黏度，mPa·s。