賈大衛(wèi)，吳子燕，何 鄉(xiāng)

（西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院，陜西 西安 710129）

引 言

由于地震激勵具有較強的不確定性，結構的抗震性能通常采用概率評估方法。美國太平洋地震工程研究中心（PEER）對此進行了大量研究，率先提出新一代“基于性能的地震工程（PBEE）”概率決策框架；呂大剛等［1］提出了第二代PBEE 理論。該理論的基礎為概率地震需求分析，主要用來計算在具體場地下結構在設計年限內超過給定性能極限狀態(tài)的結構需求年平均超越概率。地震需求將場地危險性與結構地震易損性相結合，其含義是對所有地震風險事態(tài)作用下所對應的結構需求概率的積分。

國內外學者開展了大量有關概率地震需求分析的研究，并取得了豐碩的成果。鐘劍等［2］基于全概率理論進行了橋梁結構的地震風險分析；Liu 等［3］將結構閾值視為凸集變量，建立了一種基于凸集-概率混合可靠度模型的概率地震需求分析方法；Khorami 等［4］基于增量動力分析法，得到了鋼框架結構的地震易損性曲線；Banihashemi 等［5］考慮了結構的整體性能，進行了鋼框架的地震易損性和可靠性分析；蔣亦龐等［6］考慮結構參數(shù)的不確定性，建立了無筋砌體結構的地震易損性曲線，并探討了結構參數(shù)的不確定性對結構性能的影響；Khaloo 等［7］采用橋墩柱的最大彎曲延性響應建立了橋梁結構的易損性曲線，并且考慮了時變損傷效應。但上述研究存在一些不足：其一，部分研究僅基于一維工程需求參數(shù)（EDP）進行分析，而未考慮多種EDP 的聯(lián)合作用，結構在地震激勵下破壞形式比較復雜，僅考慮一種參數(shù)難以準確得到失效概率；其二，絕大多數(shù)研究僅考慮了結構易損性，而并未涉及場地危險性分析，因此所得結論并不完整；其三，在傳統(tǒng)概率地震需求分析中，普遍采用基于對數(shù)正態(tài)分布假定的理論分析法，即將結構EDP 視為服從對數(shù)正態(tài)分布的概率隨機變量，該假定使用方便，但具有一定局限性。Mangalathu 等［8］通過Kolmogorov-Smirnov 非參數(shù)檢驗法，驗證了橋梁結構的EDP 拒絕服從對數(shù)正態(tài)分布；Cornell 等［9］認為橋梁各構件的易損性曲線并非全部滿足對數(shù)正態(tài)分布假定；Karamlou 等［10］認為對數(shù)正態(tài)分布假定會引起結構易損性分析結果的不準確；袁萬城等［11］認為部分EDP 和地震強度之間不滿足對數(shù)線性回歸的假設。上述研究表明，對數(shù)正態(tài)分布假定并不完全適用于任意結構，可能會導致分析結果產生較大誤差。

為得到更加可靠的抗震性能評估結果，董俊等［12］和單德山等［13］提出了基于核密度估計的分析方法。該方法不需要人為假定EDP 分布類型，并且得到的易損性曲線與蒙特卡洛（MC）法更為接近。但文中僅針對單一EDP 建立了易損性曲線，沒有考慮多種EDP 聯(lián)合作用下結構的破壞形式；并且文中僅涉及了地震易損性，并未考慮場地危險性，因此研究內容并不完善。本文考慮結構的多維性能極限狀態(tài)，提出基于多元核密度估計的概率地震需求分析法。這種方法不對EDP 的分布類型進行人為假定，并在傳統(tǒng)核密度估計中引入對隨機變量相關性的描述，使結果更具一般性。以某RC 框剪結構為例，首先利用多維性能極限狀態(tài)方程衡量結構在地震激勵下的損傷程度；然后不采用對數(shù)正態(tài)分布假定，而是利用多元相關核密度估計建立概率地震需求模型；最后利用MC 模擬得到結構需求的年平均超越概率。將本文方法與傳統(tǒng)方法進行對比，突出其差異性。

1 核密度估計

核密度估計是一種非參數(shù)估計法，主要用于得到參數(shù)的概率密度函數(shù)。該方法主要優(yōu)勢是：不需要對數(shù)據(jù)的分布類型進行人為假設，只需要確定輸入數(shù)據(jù)、核函數(shù)以及帶寬就可以估計出變量的概率密度函數(shù)。當僅考慮一維變量時，核密度估計如下式所示：

式中代表概率密度函數(shù)；n為樣本容量；h為帶寬；Xi代表樣本點；K( ?)為核函數(shù)。核函數(shù)需要具備如下屬性：

核函數(shù)具有多種形式，包括均勻型、三角型、高斯型等。目前使用最廣泛的核函數(shù)為高斯型核函數(shù)［14］，如下式所示：

當隨機變量由一維拓展到m維時，聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x)=f(x1，x2，…，xm)。文獻［14］給出了多元隨機變量的核密度估計表達式，如下式所示：

式中H為帶寬矩陣，是一個m×m維的對稱正定矩陣。一般可將H取為對角陣，即：

式中hi，i=1，2，…，m代表單隨機變量核函數(shù)的帶寬，可采用下式計算［15］：

式中σi為第i個隨機變量的標準差。

則式（5）可寫為：

將式（5）代入式（4），并取高斯型核函數(shù)用于多元核密度估計。已有研究表明［15-16］，當采用高斯核函數(shù)時，多元核密度估計的核函數(shù)可以表示為多個單隨機變量核函數(shù)乘積的形式。以二維隨機變量為例，在式（7）中有m=2，多元核密度估計可寫為：

已有文獻表明［14］，不同核函數(shù)對核密度估計的影響較小，但帶寬影響很大。式（8）采用固定帶寬，即每個數(shù)據(jù)點處都有著相同的帶寬，然而由于數(shù)據(jù)的隨機性較強，固定帶寬的核密度估計可能誤差較大，因此大多采用基于自適應帶寬的核密度估計法［15-17］。本文采用文獻［15］提出的自適應帶寬，即：

式中(x1，x2)為自適應帶寬的核密度估計；a為敏感性參數(shù)，通常可取0.5；λi代表帶寬的自適應修正系數(shù)；(x1i，x2i)為固定帶寬時的核密度估計。

式（8）和（9）給出的多元核密度估計得到了廣泛應用，但其最大的缺陷在于并不能考慮隨機變量的相關性。在概率地震需求分析中，不同EDP 通常并不完全獨立。例如橋梁結構橋墩柱的彎曲扭轉角和支座位移通常具有相關性［18］，框架結構最大層間位移角（MIDR）和最大層加速度（PFA）也并不完全獨立［19］。因此本文提出可以考慮隨機變量相關性的多元核密度估計法，下面將詳細論述。

2 考慮變量相關性的多元核密度估計

2.1 多元相關核密度估計

由于自適應帶寬的核密度估計源于固定帶寬，因此首先考慮相關性條件下固定帶寬的計算。為方便表示，以下均采用二維變量論述。取隨機變量的相關系數(shù)為ρ，并代入式（7），有：

此時帶寬矩陣并不為對角陣。對角線上的元素與傳統(tǒng)核密度估計的一致，反映了單變量的帶寬，而除對角線以外位置的元素則體現(xiàn)了隨機變量的相關性。

由式（8）和（4）可知，當取高斯型核函數(shù)時，多元核密度估計的核函數(shù)可以表示為多個核函數(shù)的乘積，其形式與多元高斯分布十分相似。這里首先對多元高斯分布做簡要介紹，如下式所示：

式中μ1和μ2分別代表正態(tài)隨機變量x1和x2的均值；σ1和σ2代表標準差。

若假定隨機變量相互獨立，式（12）簡化為：

比較式（13）和（8）可知，式（8）中指數(shù)函數(shù)冪的形式與式（13）中指數(shù)函數(shù)冪的形式完全一致。因此本文在多元核密度估計的核函數(shù)中引入相關系數(shù)。當采用固定帶寬時，式（8）中可重新表示為：

其次，用Hρ替代H，且有：

聯(lián)立式（8）和式（12）～（16），可得在固定帶寬下基于相關性的多元核密度估計，如下式所示：

由式（17）可知，本文建立的多元核密度估計函數(shù)主要從帶寬矩陣和核函數(shù)兩個方面體現(xiàn)隨機變量的相關性。在帶寬矩陣中引入項，而在傳統(tǒng)基于多個高斯型核函數(shù)相乘的多元核函數(shù)中也引入了相關高斯分布的形式，從而將隨機變量的相關性引入核密度估計中。

下面考慮自適應帶寬的相關核密度估計，將自適應修正系數(shù)λi代入式（11），有：

相應的式（15）變?yōu)椋?/p>

則自適應帶寬的相關核密度估計表示為：

其中，λi的計算方法與式（10）一致，在相關性的條件下固定帶寬的核密度估計采用式（17）計算。

式（21）即為本文最終建立的基于相關性的多元自適應核密度估計公式。當ρ=0 時，式（21）變化為傳統(tǒng)不考慮相關性的多元核密度估計公式。利用式（21）建立多維概率地震需求模型即可避免對數(shù)正態(tài)分布假定，并且可以考慮EDP 之間的相關性。

2.2 隨機變量相關性的描述

當給出了多元相關核密度估計的表達式后，如何確定相關系數(shù)就成了關鍵問題。目前相關系數(shù)主要包括Pearson 相關系數(shù)，Spearman 相關系數(shù)和Kendall 相關系數(shù)［20］。Pearson 相關系數(shù)ρp用于分析兩組數(shù)據(jù)是否可以用一條直線擬合對應關系，衡量二者的線性相關度，取值在［?1，1］之間。在三種相關系數(shù)中，Pearson 相關系數(shù)目前應用最廣。若無特別聲明，相關系數(shù)一般都指Pearson 相關系數(shù)。若Pearson 相關系數(shù)的絕對值在0.8～1之間時，說明兩個變量的相關性較強。若絕對值低于0.4，認為兩組數(shù)據(jù)相關性很弱，如下式所示：

式中xi和yi為數(shù)據(jù)值；和為兩組數(shù)據(jù)集的均值。

Spearman 相關系數(shù)ρr主要通過單調方程評價兩組變量的相關性，可用來描述變量之間的非線性關系。Spearman 相關系數(shù)的取值同樣大于?1 且小于1，如下式所示：

式中Ri代表xi的秩次；Qi代表yi的秩次。

Kendall 相關系數(shù)ρτ是一種等級相關系數(shù)，從變量單調相依的角度定義兩個變量之間的相關性，根據(jù)兩個變量所包含的樣本是否具有和諧性判斷兩組變量是否具有相關性，如下式所示：

式中 sgn(·)為符號函數(shù)。

3 基于多維性能極限狀態(tài)的概率地震需求分析

3.1 易損性分析

概率地震需求分析包含兩部分內容：結構易損性分析和場地危險性分析，是指在考慮場地風險的情況下，結構發(fā)生不同損傷程度的可能性［21］。其意義在于：既采用概率方法計算結構在不同地震強度下的破壞概率，又考慮場地危險性，將二者卷積，得到結構需求的年平均超越概率。其中多維性能極限狀態(tài)描述了多種EDP 聯(lián)合作用下結構的極限狀態(tài)［22］，可通過多維性能極限狀態(tài)方程描述，如下式所示：

式中L為多維性能極限狀態(tài)方程，當L<0 時認為結構發(fā)生破壞；Nedp為EDP 個數(shù)；R代表EDP；r代表EDP 在對應性能極限狀態(tài)下的閾值；b為相互作用因子，決定了極限狀態(tài)曲面的形狀。

黃小寧等［23］指出，在兩種EDP 的條件下，可將一個EDP 的b簡化為1，如下式所示：

以兩種EDP 為例，在多維性能極限狀態(tài)下，易損性表示為EDP 的概率密度函數(shù)在失效域內的積分，如下式所示［19］：

式中IM=im代表給定的地震強度；f( ?)代表隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。在本文中f( ?)由多元相關核密度估計，即式（21）得到，而并非傳統(tǒng)的多維對數(shù)正態(tài)分布。

韓建平等［24］指出，對城市內基礎設施而言，絕大多數(shù)建筑結構的抗震性能通常受到結構構件和非結構構件的共同影響，并且實際使用功能絕大多數(shù)都依賴于非結構構件。而傳統(tǒng)基于一維EDP 的地震易損性函數(shù)僅能考慮結構構件性能，例如框架結構一般采用最大層間位移角（MIDR）來衡量結構構件的損傷，橋梁結構則大多采用墩柱扭轉角或相對位移延性比。而式（27）可以考慮不同EDP 作用下結構的聯(lián)合性能極限狀態(tài)，因此更符合實際需求。

3.2 概率地震需求分析

Liu 等［19］指出，在多維性能極限狀態(tài)下，結構需求表示為地震易損性和場地危險性的耦合形式，其結果為設計年限內結構需求在給定極限狀態(tài)下的年平均超越概率，可用如下三重積分公式表示：

式中EIM(im)代表地震強度的累積分布函數(shù)。

國內目前建筑結構抗震設防的依據(jù)為抗震設防烈度，有資料表明，采用極值Ⅲ型分布描述地震烈度的概率分布比較符合國內的實際情況［21］，分布函數(shù)如下式所示：

式中w為地震烈度上限，可取為12；ε為眾值烈度，表示年平均發(fā)生概率為0.632 的地震烈度；K為形狀參數(shù)，一般采用最小二乘法確定。式（29）也被稱為地震危險性函數(shù)。

3.3 基于蒙特卡洛模擬法的年平均超越概率計算

由式（28）可知，在概率地震需求分析中需要求解多重積分。由于引入了多元相關核密度估計，這個積分相比傳統(tǒng)多維對數(shù)正態(tài)分布的被積函數(shù)更為復雜。因此本文引入蒙特卡洛（MC）模擬以提高計算效率。谷音等［21］指出，若地震強度的分布函數(shù)已知，可通過抽樣將地震危險性函數(shù)進行離散。假定抽取的地震強度樣本個數(shù)為nim，則每個樣本出現(xiàn)的概率為1/nim。谷音等［21］在一維EDP 條件下，提出了結構需求年均超越概率的MC 法，如下式所示：

式中imi為抽樣所得單個地震強度樣本；而P(R>r|imi)則反映了在該地震強度樣本下結構的破壞概率。

但式（30）只考慮了一維EDP，本文將式（30）推廣到多維性能極限狀態(tài)下的概率地震需求計算。將式（30）代入式（28），可得：

由式（27）可知，多維性能極限狀態(tài)下易損性分析的本質是在給定EDP 分布的條件下計算性能極限狀態(tài)方程小于0 的概率，因此同樣可采用MC 法求解。失效概率表示為：

式中 (R1j，R2j)代表基于多元相關核密度估計構造的概率地震需求模型抽樣獲得的樣本；nedp代表生成的結構響應樣本點總數(shù)；I( ?)代表指示函數(shù)，當L(R1j，R2j)<0 時，I( ?)=1，反之為0。將其代入式（31），有結構需求年平均超越概率：

式（33）即為本文最終建立的基于多元相關核密度估計的概率地震需求分析公式。考慮到多變量相關的核密度估計結果比較復雜，本文采用文獻［14］建議的舍選抽樣法獲得(R1j，R2j)樣本。假定隨機變量的取值域為[a，b]，f(R1，R2)的極大值為M，舍選抽樣法流程如圖1所示。

圖1 舍選抽樣法Fig.1 Acceptance-rejection sampling method

與Liu 等［19］和谷音等［21］提出的概率地震需求分析方法相比，本文所提方法的特點在于：考慮了多個EDP 下結構的多維性能極限狀態(tài)，多維概率地震需求模型由多元核密度估計法確定，而不需要對EDP進行對數(shù)正態(tài)分布假定；并且在傳統(tǒng)多元核密度估計的基礎上提出了可以考慮隨機變量相關性的核密度估計法，進而將EDP 的相關性引入概率地震需求分析?；诙嘣嚓P核密度估計的概率地震需求分析流程如圖2所示。

圖2 概率地震需求分析流程圖Fig.2 Flow chart of probabilistic seismic demand analysis

4 算例分析

4.1 結構模型建立及工程需求參數(shù)確定

本文基于SAP2000 建立某RC 框架-剪力墻結構，沿X方向共5 跨，跨度均為8 m；沿Y方向共3 跨，邊跨跨度為6 m，中跨跨度為8 m。沿Y向主梁間設置單根次梁。該結構共4層，各層層高均為3.6 m。抗側力體系由混凝土框架和剪力墻部分組成。剪力墻部分包括兩片單肢剪力墻及由兩個電梯井組成的核心筒，核心筒長8 m，寬4 m，門洞高2.4 m，寬2 m。各構件采用的混凝土強度等級均為C30，縱向受力鋼筋采用HRB400 級，箍筋采用HRB335。樓板厚度為120 mm，配筋為單排鋼筋，采用HRB335 級鋼筋。剪力墻厚度為300 mm，結構模型如圖3所示。梁和柱均采用SAP2000中的Frame單元模擬，并在梁兩端布置P-M3 鉸，柱兩端布置P-M2-M3 鉸。剪力墻采用分層殼單元［25］，為提高計算效率，僅考慮混凝土層和鋼筋層在豎向的非線性行為，混凝土層面外僅考慮線性行為，剪力墻采用分層殼單元，在三個應力分量上均考慮其非線性行為?；炷翗前宀捎肕embrane 單元。此外，模型考慮了P-Δ 效應，阻尼采用瑞利阻尼。本文采用的混凝土和鋼筋的本構關系如圖4所示。

圖3 結構模型Fig.3 Structure model

圖4 材料本構關系Fig.4 Material constitutive relationship

在基于性能的地震工程研究中，通常將結構的性能極限狀態(tài)劃分為若干等級。參考文獻［22］，本文將性能極限狀態(tài)分為“正常使用（NO）”，“可以使用（IO）”，“生命安全（LF）”，“防止倒塌（CP）”四級。

確定了性能極限狀態(tài)，下一步將確定EDP 及對應性能極限狀態(tài)的閾值。有文獻表明［24-26］，MIDR 能較好地反映結構構件的整體損傷大小，因此本文選擇最大層間位移角（MIDR）作為衡量結構性能的EDP。鄭山鎖等［26］指出，結構整體性能水平達到IO時構件處于開裂狀態(tài)，MIDR 的閾值大致取LF 的50%；LF 的閾值大致取到規(guī)范彈性限值和彈塑性限值的平均值；CP 大致取到規(guī)范的彈塑性變形限值的90%?；凇督ㄖ拐鹪O計規(guī)范》［27］，本文采用的MIDR 閾值如表1所示：

表1 EDP 閾值Tab.1 EDP thresholds

已有研究表明［24，28］，在考慮非結構構件的損傷時，主要考慮對加速度敏感的構件，例如機械設備、內部管道等，因而本文選擇最大層加速度（PFA）作為衡量非結構構件損傷大小的EDP。本文取文獻［24］中建議的PFA 閾值，如表1所示。表中g=9.8 m/s2。在這里指出，MIDR 閾值來自《建筑抗震設計規(guī)范》中對彈性MIDR 和彈塑性MIDR 閾值的規(guī)定，能夠比較準確地反映結構構件的性能極限狀態(tài)。而PFA 主要影響內部設備的正常工作，且目前國內并沒有統(tǒng)一的規(guī)范對不同類型結構的PFA 閾值進行規(guī)定，因此本文采用已有研究給出的經(jīng)驗閾值。

4.2 地震危險性分析

擬定該框架所處的場地特征參數(shù)如下：場地土類別為I，抗震設防烈度為7 度，設計基本地震動加速度為0.1g，場地特征周期為0.35 s，結構的阻尼比取0.05，周期折減系數(shù)為0.9，設計基準周期為50年。本文僅考慮設計年限內的場地危險性，設防烈度對應50年內超越概率為10%的烈度。50年內眾值烈度為7?1.55=5.45 度［21］，則有：

通過最小二乘法可得形狀參數(shù)K約為8.3189，則50年內地震烈度的分布函數(shù)為：

在地震工程學中，峰值地面加速度（PGA）是衡量地震強度的關鍵指標之一［18-19］。本文選擇PGA衡量地震強度的大小，因此需要將地震烈度換算為PGA，采用谷音等［21］給出的換算公式，如下式所示：

將式（36）代入式（35），并將PGA 的單位用g表示，可得PGA 的累積分布函數(shù)為：

分別對式（35）和式（37）兩端求導，可得地震烈度和PGA 的概率密度函數(shù)曲線。由于PGA 累積分布函數(shù)形式比較復雜，在MC 模擬中，首先根據(jù)式（35）生成nim個地震烈度樣本，然后將這些樣本根據(jù)式（36）轉化為 PGA 樣本。本文取nim=10000，抽得地震烈度和轉化后的PGA 樣本分布及其概率密度函數(shù)曲線如圖5和6所示。由圖可知，生成的PGA 樣本與概率密度函數(shù)擬合度較高。由于地震烈度和PGA 的分布函數(shù)是根據(jù)結構設計年限得到的，因此生成的樣本能在考慮場地類型的前提下，較全面地反映設計年限內地震強度的隨機性以及不同強度地震發(fā)生的可能性。概率密度值越大，表明設計年限內發(fā)生的可能性越大。

圖5 地震烈度分布Fig.5 Distribution of seismic intensity

4.3 地震激勵不確定性

已有研究表明，在地震需求分析中，需要選擇多于20 條地震波衡量地震激勵的不確定性［29］。本文采用文獻［30-31］建議的基于Simqke 理論的合成地震動進行地震需求分析。根據(jù)4.2 節(jié)中定義的場地特征，從SAP2000 中可提取規(guī)范反應譜，將其作為目標反應譜，然后基于Simqke 理論合成了40 條地震波用于地震風險分析。這些地震波的加速度平穩(wěn)段開始時間為0.02 s，加速度平穩(wěn)段的持續(xù)時間為25 s，地震波持續(xù)時間為40 s。地震波的反應譜如圖7所示。圖中紅線代表目標反應譜，藍線代表地震波加速度反應譜。由圖7可知，地震波的反應譜與結構所處場地的目標反應譜擬合度較高。

圖7 地震波反應譜Fig.7 Response spectrum of seismic wave

4.4 基于核密度估計的多維概率地震需求模型建立

獲得概率地震需求模型是進行地震風險概率分析的關鍵步驟。基于本文提出的多元相關核密度估計，概率地震需求模型需要在不同PGA 下通過式（21）獲得。

由圖6可知，生成的PGA 樣本絕大多數(shù)位于區(qū)間［0，0.1g］中，說明強度位于這個區(qū)間的地震50年內發(fā)生的可能性較大。因此為準確反映當PGA<0.1g時結構的損傷情況，在等步長調幅法［32］基礎上，本文提出一種分段等步長調幅法。首先將每條地震波的PGA 分別調幅至0.02g～0.1g，間隔取0.02g，然后在區(qū)間［0.1g，1.0g］間進行調幅，間距取0.1g，最終得到560 條地震波。Zhou 等［32］指出，地震發(fā)生時，地面運動是一個三維隨機過程，在地震工程研究中考慮三維地震動輸入更符合實際。本文將每條地震波的輸入方向均設置為空間三維，加載方式為1*X+0.85*Y+0.65*Z［32］。利用SAP2000 進行非線性時程分析，得到每條地震波在各個PGA 下的MIDR 和PFA。利用式（21），分別在不同PGA 下基于三種相關系數(shù)建立基于核密度估計的概率地震需求模型。為對比相關性對模型的影響，本文同樣建立基于不考慮相關性的核密度估計概率地震需求模型。以PGA=0.3g為例，如圖8所示。

圖6 PGA 分布Fig.6 PGA distribution

圖8 基于核密度估計的概率地震需求模型Fig.8 Probability seismic demand model based on KDE

由圖8可知，考慮EDP 相關性后，概率地震需求模型與不考慮相關性時相比具有一定差異，且不同的相關系數(shù)對應的概率地震模型也并不完全一致。首先，考慮相關性后，概率密度函數(shù)的峰值顯著上升，且有Pearson 系數(shù)>Spearman 系數(shù)>Kendall系數(shù)>無相關性，其中Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)的概率密度峰值差異并不顯著。其次，具有明顯概率密度函數(shù)值的EDP 覆蓋范圍不一樣。當不考慮相關性時，概率地震需求模型在XOY平面上的投影可近似為圓形；而考慮相關性后，投影區(qū)域變成具有傾斜角的橢圓，并且具有顯著概率密度值的區(qū)域面積變小?；赑earson 系數(shù)的投影區(qū)域覆蓋面積小于Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)，而不考慮相關性時覆蓋面積最大。例如以邊界MIDR=[0，10?3]和PFA=[3，4] m/s2圍成的左上三角區(qū)域內，不考慮相關性的核密度估計構造的概率地震需求模型的概率密度值要顯著大于Pearson 系數(shù)的概率密度值，Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)的概率密度值介于二者之間。因此Pearson 系數(shù)對核密度估計結果影響最大，Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)相對較小。

4.5 結構需求年平均超越概率計算

根據(jù)式（26）和表1建立性能極限狀態(tài)方程，以NO 為例，如下式所示：

式中R1代表MIDR；R2代表PFA。

在二維極限狀態(tài)方程中，本文將MIDR 對應的b取為1。由于缺少框剪結構的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，初步擬定PFA 的b=2，后文將通過靈敏度分析討論b的值對超越概率的影響。利用式（33）基于核密度估計進行地震需求分析，得到結構需求年平均超越概率，并用危險性曲面表示。危險性曲面反映了當EDP 取不同值時的結構需求在設計年限內的年平均超越概率。為對比核密度估計法和傳統(tǒng)方法的差異，同樣基于多維對數(shù)正態(tài)分布假定建立危險性曲面。文獻［18-19］已經(jīng)分別給出了多維性能極限狀態(tài)下基于對數(shù)正態(tài)分布假定的易損性和概率地震需求分析的詳細論述，本文不再重復。危險性曲面如圖9所示。

由圖9可知，基于Pearson 相關系數(shù)的核密度估計危險性曲面位于最上部，基于Spearman 和Kendall系數(shù)的危險性曲面整體差異不大，而不考慮相關性的核密度估計的危險性曲面位于最下部。當PFA>0.85g時，核密度估計法和傳統(tǒng)方法所得年平均超越概率均基本為0，危險性曲面基本重疊。為定量描述本文所提核密度估計法與傳統(tǒng)對數(shù)正態(tài)分布假定的差異，本文定義一個影響系數(shù)λp，如下式所示：

圖9 危險性曲面Fig.9 Hazard surface

式中Fkde代表基于核密度估計的年平均超越概率；Flog代表基于傳統(tǒng)對數(shù)正態(tài)分布的年平均超越概率；D代表危險性曲面在XOY平面內的投影區(qū)域。

λp絕對值越大，說明二者差異越大。λp如表2所示。

表2 影響系數(shù)Tab.2 Influence coefficients

由表2可知，在三種相關系數(shù)下，λp均大于0，說明本文提出的基于相關核密度估計的概率地震需求模型得到的危險性曲面更高，結構需求年平均超越概率整體偏大，而對數(shù)正態(tài)分布假定得到的年平均超越概率偏小。Pearson 系數(shù)的λp為0.1219，而Kendall 系數(shù)的λp為0.0131，Spearman 系數(shù)的λp為0.0308。說明Pearson 系數(shù)所得年平均超越概率最大，對核密度估計結果的影響同樣最大，Spearman系數(shù)次之，而Kendall 系數(shù)最小，這個結論與4.4 節(jié)所得結論一致。該結論可通過圖8和在給定地震強度下結構的失效概率進行解釋。以PGA=0.3g和IO性能狀態(tài)為例，根據(jù)式（27）和（32），可得基于Pearson 系數(shù)，Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)的結構失效概率依次為0.2115，0.1880 和0.1826，而不考慮相關性時為0.1624。該現(xiàn)象表明：不考慮相關性會得到偏低的失效概率，且在相關性條件下得到的失效概率，Pearson 系數(shù)>Spearman 系數(shù)>Kendall 系數(shù)。在其他PGA 下也可以得到類似的結論。而年均超越概率是根據(jù)失效概率得到的，因此三種相關系數(shù)對年均超越概率的影響：Pearson 相關系數(shù)影響最大，Spearman 相關系數(shù)次之，Kendall 相關系數(shù)最小。值得注意的是，當PFA 大于0.85g時，對應的PGA大于0.6g。由圖6可知，設計年限內發(fā)生PGA 大于0.6g地震的可能性很低，因此三種相關系數(shù)得到的年均超越概率都很小，對應圖9中危險性曲面基本重疊的部分。研究人員可根據(jù)實際情況選擇不同的相關系數(shù)，基于非線性時程分析得到不同的EDP值，根據(jù)式（22）～（24）即可進行相關性分析。

如果采用傳統(tǒng)不相關的核密度估計法，由表2可知，KDE-Irrelevant 的λp<0，說明不相關核密度估計法得到的危險性曲面低于傳統(tǒng)對數(shù)正態(tài)分布假定，會得到偏低的年平均超越概率。這個結論同樣可根據(jù)失效概率進行說明。因此在基于核密度估計的概率地震需求分析中，如果不考慮EDP 的相關性同樣會得到不準確的評估結果。

4.6 相互作用因子對危險性曲面的影響

相互作用因子b會影響到性能極限狀態(tài)方程的非線性程度，改變失效域的大小。Wang 等［18］和Liu等［19］對b與結構失效概率的關系在對數(shù)正態(tài)分布假定下進行了大量研究。本文將利用文獻［18］采用的靈敏度分析法，探究相關核密度估計的危險性曲面與b的關系。分別再取b=1，5，10，15，所得危險性曲面如圖10所示。由圖10可知，當b相同時，三種相關系數(shù)下的年平均超越概率從大到小依次為：Pearson 系數(shù)，Spearman 系數(shù)，Kendall 系數(shù)，該結論與4.5 節(jié)一致。

圖10 相互作用因子對危險性曲面的影響Fig.10 Influence of interaction factors on hazard surfaces

比較不同b對應的危險性曲面可知，當b=1時，危險性曲面位于最上部；隨著b增大，危險性曲面逐漸下移，年平均超越概率逐漸降低。與b=5相比，當b=10 時，危險性曲面有所下降，但二者基本重合，這個結論對三種相關系數(shù)均成立，并且與Wang 等［18］所得結論一致。文獻［18］表明，b的值反映了不同EDP 性能極限狀態(tài)的相關性，b越大，相關性越弱。以IO 為例，b與失效域的關系如圖11所示。由圖11可知，隨著b增大，極限狀態(tài)曲線和坐標軸圍成的面積越大，則失效域面積越小，當概率地震需求模型相同時所得失效概率越小。因此在基于多維性能極限狀態(tài)的地震風險分析中，忽略性能極限狀態(tài)的相關性不利于結構安全。

圖11 不同b 的極限狀態(tài)曲線Fig.11 Limit state curves under different b

5 結 論

本文考慮地震激勵的不確定性，不對EDP 的分布類型進行人為假定，將傳統(tǒng)不考慮相關性的多元核密度估計法拓展到可以考慮隨機變量相關性的多元核密度估計用于概率地震需求分析。考慮了三種相關系數(shù)，在多維性能極限狀態(tài)下建立了基于多元相關核密度估計的概率地震需求模型，通過MC 法簡化了傳統(tǒng)概率地震需求分析的多重積分公式，得到了年平均超越概率，所得結論如下：

（1）與傳統(tǒng)基于多維對數(shù)正態(tài)分布假定的概率地震需求分析相比，相關核密度估計得到的結構需求年平均超越概率偏大，而傳統(tǒng)不相關的核密度估計年平均超越概率偏小。一方面說明對數(shù)正態(tài)分布假定可能會得到不準確的評估結果，另一方面表明EDP 的相關性也會顯著影響到年平均超越概率。

（2）在三種相關系數(shù)中，Pearson 相關系數(shù)得到的年平均超越概率最大，Spearman 相關系數(shù)次之，Kendall 相關系數(shù)最小。因此不同的相關系數(shù)同樣會影響到年平均超越概率的大小。

（3）在二維性能極限狀態(tài)方程中，b越大，EDP性能極限狀態(tài)相關性越弱，當采用相同的相關系數(shù)建立概率地震需求模型后，所得年平均超越概率越小。因此忽略性能極限狀態(tài)的相關性會導致地震需求概率偏低，不利于工程安全。

由于不同的相關系數(shù)會影響到多元核密度估計的結果，研究人員可根據(jù)實際情況選擇合適的相關系數(shù)，利用本文提出的地震需求概率分析方法得到結構需求在設計年限內的平均超越概率。