陳 聰，張 昭，張同令，趙 偉，劉奉銀，齊吉琳

(1.西安理工大學(xué) 巖土工程研究所，陜西 西安 710048；2.北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，北京 100044)

1 研究背景

水利工程的建設(shè)和運(yùn)營(yíng)可能會(huì)影響其周邊建筑物地基土層的變形及其穩(wěn)定性，尤以大壩在蓄水后因水環(huán)境變化而產(chǎn)生的影響更為顯著。以文獻(xiàn)[1-2]所述巴西佩雷拉巴雷圖市的Três Irm?os土石壩為例，其蓄水過(guò)程造成距水庫(kù)20 km的市區(qū)地下水位顯著上升，致使地基土層產(chǎn)生明顯的增濕變形，從而誘發(fā)建筑物沉降破壞。Vilar等[2]對(duì)該市區(qū)沉降變形量最大的含黏粒砂土層取樣開(kāi)展了持水試驗(yàn)與控制基質(zhì)吸力的固結(jié)試驗(yàn)，結(jié)果表明：該地基土層長(zhǎng)期處于非飽和狀態(tài)，因地下水位上升而發(fā)生的增濕變形屬典型的非飽和土水、氣滲流與變形耦合問(wèn)題。因此，在大壩蓄水對(duì)周邊建筑物造成的沉降變形分析中，引入非飽和土的一維固結(jié)理論及其分析方法至關(guān)重要。為此，已有學(xué)者采用雙變量理論、混合物理論和力-水耦合方法開(kāi)展了非飽和土固結(jié)性狀的解析解、半解析解及數(shù)值解研究。

(1)雙變量理論：Fredlund等[3]以?xún)魬?yīng)力σ-ua和基質(zhì)吸力ua-uw為基礎(chǔ)，結(jié)合非飽和土的本構(gòu)關(guān)系與非飽和土的水、氣運(yùn)移規(guī)律建立了水、氣兩相的固結(jié)微分方程組。秦愛(ài)芳等[4-6]以Fredlund所提固結(jié)理論為基礎(chǔ)，給出了瞬時(shí)荷載和指數(shù)型荷載作用時(shí)，土層在不同邊界及初始條件下的一維固結(jié)半解析解。秦愛(ài)芳等[7]將迭代法與滲氣系數(shù)及滲水系數(shù)關(guān)于基質(zhì)吸力的函數(shù)相結(jié)合，求解不同時(shí)刻的基質(zhì)吸力和滲氣系數(shù)及滲水系數(shù)，以分析滲透系數(shù)變化時(shí)線(xiàn)彈性、黏彈性地基的超孔隙水、氣壓力隨時(shí)間的消散規(guī)律；陳正漢等[8]和張龍等[9-10]對(duì)雙應(yīng)力狀態(tài)變量進(jìn)行了一系列推導(dǎo)驗(yàn)證，并在此基礎(chǔ)上建立了多種非飽和土固結(jié)模型[11-13]；Kim等[14]在Fredlund提出的不同循環(huán)荷載作用下非飽和土一維固結(jié)方程基礎(chǔ)上引入兩個(gè)新變量，并求解出非飽和土在梯形、矩形、三角形荷載等作用下的一維解析解?；陔p變量理論的非飽和土固結(jié)分析方法通過(guò)分析水、氣兩相的本構(gòu)關(guān)系及其滲流狀態(tài)，建立了土孔隙內(nèi)水、氣兩相運(yùn)動(dòng)的控制方程，描述了固結(jié)過(guò)程中孔隙水壓力與孔隙氣壓力的消散規(guī)律。

(2)混合物理論：陳正漢等[15-16]將非飽和土視為互不相融的三相混合物，基于混合物理論導(dǎo)出了非飽和土的水、氣滲流規(guī)律、土骨架的本構(gòu)關(guān)系及持水曲線(xiàn)方程，構(gòu)建了三維固結(jié)微分方程組，并求解了一維固結(jié)解析解及二維固結(jié)數(shù)值解；蘇萬(wàn)鑫等[17]在求解非飽和土一維固結(jié)問(wèn)題時(shí)，引入了Bishop有效應(yīng)力參數(shù)，進(jìn)而分析了有效應(yīng)力參數(shù)、氣體壓縮模量等參數(shù)及流體滲徑等因素對(duì)孔隙流體壓力變化的影響?；旌衔锢碚摮紤]土的本構(gòu)關(guān)系外，還綜合考慮了水、氣運(yùn)動(dòng)方程、考慮密度變化的持水曲線(xiàn)方程，能夠?qū)⑼馏w的位移與孔隙水壓力及孔隙氣壓力消散有效的聯(lián)系起來(lái)。

(3)力-水耦合方法：Dakshanamurthy等[18]在非飽和土的固結(jié)分析中引入了滲流場(chǎng)與變形場(chǎng)的耦合理論。Wong[19]基于Dakshanamurthy等提出的三維固結(jié)方程，假設(shè)固結(jié)過(guò)程中的孔隙氣壓力恒等于大氣壓力，僅通過(guò)水相連續(xù)性原理與土體變形結(jié)合，采用有限項(xiàng)方法解方程，開(kāi)展了非飽和土-水耦合固結(jié)的數(shù)值研究。李紀(jì)偉[20]以非飽和土本構(gòu)理論和滲流原理為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了不同初值條件和邊界條件下的非飽和土非線(xiàn)性流-變耦合方程組，并求解其顯式解析解。Li等[21]基于文獻(xiàn)[20]所述固結(jié)模型，通過(guò)飽和度隨時(shí)間的變化來(lái)反映滲流-變形耦合作用，進(jìn)而求得滲流-變形耦合方程組的顯式解析解。采用力-水耦合方法建立的固結(jié)理論，能夠通過(guò)飽和度的變化來(lái)反映滲流場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)的耦合關(guān)系，近而同時(shí)分析土體的滲流與變形規(guī)律。

上述表征非飽和土固結(jié)性狀的解析解、半解析解及數(shù)值解研究雖已取得了很多有價(jià)值的研究成果，卻未將固結(jié)過(guò)程中的滲氣滲水系數(shù)比值視為變量，從而忽略了滲氣滲水函數(shù)對(duì)非飽和土固結(jié)性狀的影響。在非飽和土的實(shí)際固結(jié)過(guò)程中，滲氣系數(shù)與滲水系數(shù)的變化直接影響水、氣遷移，這不僅會(huì)使基質(zhì)吸力分布發(fā)生變化[22]，而且會(huì)使三相組分發(fā)生改變，這也是非飽和土固結(jié)性狀分析的關(guān)鍵。因此有必要開(kāi)展考慮滲氣滲水系數(shù)比值變化條件下的非飽和土固結(jié)解析研究。值得注意的是：文獻(xiàn)[7]所述迭代法可求解固結(jié)過(guò)程中各個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的滲氣系數(shù)、滲水系數(shù)與基質(zhì)吸力，但在固結(jié)過(guò)程的各個(gè)時(shí)間段中，滲氣系數(shù)與滲水系數(shù)仍為常數(shù)，滲氣滲水系數(shù)比值變化對(duì)非飽和土固結(jié)的影響仍未考慮；Li等[21]采用離散線(xiàn)性化方法對(duì)固結(jié)過(guò)程中變化的飽和度進(jìn)行處理，但僅依靠飽和度的聯(lián)系難以完全反映滲氣滲水系數(shù)比值變化和持水曲線(xiàn)方程對(duì)滲流-變形耦合方程組的影響。為此，本文以非飽和土滲流連續(xù)性方程、控制方程及持水曲線(xiàn)方程為基礎(chǔ)，構(gòu)建非飽和土固結(jié)微分方程組，采用Li等[21]提出的離散線(xiàn)性化方法將反映水、氣遷移相互影響的滲氣滲水函數(shù)[23-24]代入固結(jié)微分方程組，并采用積分變換方法求解方程組的解析解；依據(jù)典型算例驗(yàn)證解析解在表征土層孔隙水壓力、孔隙氣壓力時(shí)空變化及其沉降變形規(guī)律時(shí)的有效性。考慮滲氣滲水函數(shù)的非飽和土固結(jié)解析解可用于預(yù)測(cè)大壩蓄水引起地下水位上升對(duì)其周邊建筑物產(chǎn)生的沉降變形，評(píng)價(jià)其整體穩(wěn)定性。

2 考慮滲氣滲水函數(shù)的非飽和土固結(jié)模型構(gòu)建

2.1 固結(jié)模型的基本假定依據(jù)文獻(xiàn)[6，15，21]，將非飽和土體視為由土骨架、孔隙水、孔隙氣體構(gòu)成的三相多孔介質(zhì)，分析土體在外荷載作用下的固結(jié)性狀，并依照如下基本假定：(1)等溫條件；(2)土孔隙內(nèi)的水、氣兩相在各自壓力梯度下的流動(dòng)服從Darcy定律；(3)不考慮滯回效應(yīng)；(4)土體呈均質(zhì)各向同性，僅考慮其線(xiàn)彈性變形，并屬小變形、準(zhǔn)靜態(tài)；(5)土孔隙內(nèi)的水、氣兩相各自連通，且不承受剪應(yīng)力，不考慮水、氣兩相的組分?jǐn)U散效應(yīng)和相變；(6)土體變形只發(fā)生在一維豎直方向。

基于上述6個(gè)基本假定，為分析考慮滲氣滲水系數(shù)比值變化的固結(jié)性狀，構(gòu)建圖1所示計(jì)算模型及邊界條件：假定單一土層處于非飽和狀態(tài)，取其厚度H，在土層表面施加一均布荷載q，以土層表面為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定沿深度向下為正，取該土層z深度處一微元體為研究對(duì)象。

圖1 非飽和土層固結(jié)計(jì)算模型

2.2 水、氣兩相滲流連續(xù)性方程依據(jù)基本假定(2)和質(zhì)量守恒定律，認(rèn)為由Darcy流動(dòng)引起的微元體內(nèi)部流體體積變化等于流入、流出該微元體的流體體積差，即：孔隙水(氣)體積變化=孔隙水(氣)滲流速度×孔隙水(氣)通道斷面面積(圖1)，從而得到水、氣兩相的滲流連續(xù)性方程：

(1)

(2)

式中：Vw、Va分別為微元體內(nèi)孔隙水與孔隙氣體積；Sr為飽和度；qw、qa分別為微元體內(nèi)孔隙水與孔隙氣流量。依據(jù)基本假定(2)所述水、氣兩相運(yùn)動(dòng)服從Darcy定律可知：

(3)

(4)

式中：ua為孔隙氣壓力；uw為孔隙水壓力；kw為土的滲水系數(shù)；ka為土的滲氣系數(shù)；γw為水的容重，γa為空氣的容重。

又知水、氣兩相在土中的比例：

(5)

(6)

式中：V0為微元體體積；n為孔隙率。將式(1)—(6)按水、氣兩相分別聯(lián)立可得：

(7)

(8)

孔隙率n在固結(jié)過(guò)程中有如下的變化：

n=n0-εv

(9)

式中：n0為土體在施加荷載前的初始孔隙率；εv為土體在固結(jié)變形中的體積應(yīng)變。由式(9)可得：

(10)

2.3 控制方程表征非飽和土體變形的控制方程主要由物理方程、幾何方程和平衡方程構(gòu)成。其中，非飽和土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可由彈性體的物理方程表示：

σ′=D：εv

(11)

式中D為非飽和土在排水固結(jié)狀態(tài)下的彈性模量矩陣。這里在應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中引入了有效應(yīng)力原理，選用Bishop有效應(yīng)力公式[25]：

σ′=(σ-uaδ)+χ(ua-uw)δ

(12)

式中：σ′為有效應(yīng)力張量；δ為單位張量；χ為有效應(yīng)力參數(shù)，依據(jù)文獻(xiàn)[21]近似等于飽和度Sr。

依據(jù)基本假定(4)，土體的應(yīng)變和位移之間的關(guān)系符合彈性體的幾何方程：

(13)

土體內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)滿(mǎn)足平衡方程：

(14)

式中b為外荷載項(xiàng)，聯(lián)立式(10)—(14)可得：

(15)

在一維固結(jié)條件下，將式(15)的張量形式化為標(biāo)量形式：

(16)

式中：D由張量D降維而得，D=Es/(1-2μ)；Es為土的壓縮模量；μ為泊松比。

將式(16)與式(7)(8)聯(lián)立可得非飽和土的水、氣兩相滲流-變形耦合方程組：

(17)

(18)

2.4 持水曲線(xiàn)方程及滲氣滲水函數(shù)的離散線(xiàn)性化為描述非飽和土的持水特性對(duì)其固結(jié)過(guò)程的影響，選用文獻(xiàn)[26]所述持水曲線(xiàn)方程：

(19)

此外，為考慮滲氣系數(shù)與滲水系數(shù)的變化對(duì)非飽和土固結(jié)性狀的影響，需要補(bǔ)充兩個(gè)函數(shù)關(guān)系，即考慮濕度與密度雙變化條件下的非飽和土滲透函數(shù)[24]及其滲氣滲水函數(shù)[23]：

(20)

(21)

由式(19)—(21)可知飽和度Sr與基質(zhì)吸力ψ、滲水系數(shù)kw、滲氣滲水系數(shù)比值kn之間的關(guān)系呈強(qiáng)非線(xiàn)性，故而將式(19)—(21)代入水、氣兩相滲流-變形耦合方程組會(huì)使其同樣呈強(qiáng)非線(xiàn)性，難以求得其解析解。

為降低滲流-變形耦合方程組呈非線(xiàn)性所產(chǎn)生的求解難度，可采用Li等[21]提出的飽和度區(qū)間離散線(xiàn)性化方法實(shí)現(xiàn)。具體步驟為：

(1)將給定的某個(gè)飽和度區(qū)間均勻離散為若干個(gè)飽和度微區(qū)間段，在每個(gè)微區(qū)間段中持水曲線(xiàn)的斜率近似為常數(shù)，從而將非線(xiàn)性偏微分控制方程組轉(zhuǎn)化為若干個(gè)線(xiàn)性偏微分方程組。

(2)至于對(duì)線(xiàn)性偏微分方程組的求解，可在給定邊界條件與初始條件下，采用積分變換法求得其解析解。

(3)基于疊加原理，將若干個(gè)飽和度微區(qū)間段內(nèi)的解析解進(jìn)行線(xiàn)性疊加，得到該飽和度區(qū)間內(nèi)孔隙水、氣壓力消散及其沉降變形的解析解。

假定固結(jié)過(guò)程中的飽和度在Sr1到Sr2的范圍內(nèi)變化，即Sr∈(Sr1，Sr2)，將區(qū)間(Sr1，Sr2)等分為l個(gè)微區(qū)間段，如圖2所示：

Sr1=Sr1(0)

(22)

(23)

式中i為第i個(gè)飽和度微區(qū)間段。持水曲線(xiàn)在該微區(qū)間段內(nèi)的斜率為Fψ(i)，考慮到該值在第i個(gè)微區(qū)間段內(nèi)變化較小，可取為常數(shù)(圖2)，即：

圖2 某個(gè)飽和度區(qū)間的離散線(xiàn)性化原理示意圖

(24)

同理，在第i個(gè)飽和度微區(qū)間段內(nèi)的滲水系數(shù)kw與滲氣滲水系數(shù)比值kn可采用相似的處理方法，即：

(25)

(26)

式(24)—(26)中：Sr(i)為第i個(gè)微區(qū)間段內(nèi)的飽和度；kn(i)為第i個(gè)微區(qū)間段內(nèi)的滲氣滲水系數(shù)比值；ka(i)與kw(i)分別為第i個(gè)微區(qū)間段內(nèi)的滲氣系數(shù)與滲水系數(shù)；ρd為干密度；a3、a4、a5、b4、b5、b6、m1、m2、p1、p2等均為無(wú)量綱的擬合參數(shù)。因此，在第i個(gè)微區(qū)間段(Sr1(i)，Sr1(i+1))上取Fψ(i)、滲氣滲水系數(shù)比值kn(i)、滲水系數(shù)kw(i)為常數(shù)，并代入式(17)(18)整理后可得

(27a)

(27b)

(28a)

(28b)

2.5 與已有文獻(xiàn)所述固結(jié)微分方程組的比較本文的固結(jié)微分方程組與文獻(xiàn)[6，16]所述的固結(jié)微分方程組區(qū)別如下：

(1)文獻(xiàn)[6]所述非飽和土一維固結(jié)微分方程組為：

(29)

(2)文獻(xiàn)[16]所述非飽和土一維固結(jié)微分方程組為：

(30)

(31)

式(30)(31)所示固結(jié)微分方程組除了考慮水、氣兩相滲流連續(xù)性方程、滲透規(guī)律及本構(gòu)方程外，還采用了固相連續(xù)性方程、總體平衡方程以及幾何方程[16]。因而該方程組在描述了固結(jié)過(guò)程中水、氣兩相變化的同時(shí)，還能將孔隙水壓力與孔隙氣壓力的消散與非飽和土的固結(jié)變形緊密結(jié)合。然而，該方程組中的滲水系數(shù)kw和滲氣系數(shù)ka均為常數(shù)，這就導(dǎo)致水、氣運(yùn)動(dòng)對(duì)非飽和土固結(jié)的影響無(wú)法在該方程組中表現(xiàn)出來(lái)。

(3)將式(27b)和(28b)分別代入式(27a)和(28a)可得：

(32)

(33)

本文綜合借鑒文獻(xiàn)[6，16]所述固結(jié)微分方程組的構(gòu)建方法，將水、氣滲流方程、物理方程、幾何方程、平衡方程組成滲流-變形耦合方程組。對(duì)飽和度進(jìn)行離散線(xiàn)性化處理，引入飽和度微區(qū)間段內(nèi)的ka(i)、kw(i)，從而考慮固結(jié)過(guò)程中滲水系數(shù)kw與滲氣系數(shù)ka的變化，以反映水、氣變化對(duì)固結(jié)的影響；通過(guò)對(duì)持水曲線(xiàn)方程離散線(xiàn)性化處理，能夠?qū)⒆兓娘柡投扰c孔隙比代入飽和度微區(qū)間段內(nèi)的固結(jié)微分方程組，以同時(shí)描述非飽和土固結(jié)過(guò)程中的土體變形與滲流狀態(tài)。

3 固結(jié)微分方程組的求解

3.1 邊界和初始條件如2.1節(jié)所述，假定一均質(zhì)非飽和土層位于剛性不透氣不透水巖層上，土層厚度為H，其表面瞬時(shí)施加均布荷載q[6]，土層側(cè)向不發(fā)生變形，水和氣體只能從頂面排出，則邊界、初始條件為：

(34)

式中：ua0和uw0為t=0時(shí)刻由荷載引起的孔隙氣壓力與孔隙水壓力的初始值，其取值依據(jù)文獻(xiàn)[27]。

3.2 飽和度微區(qū)間段內(nèi)偏微分方程組的解析解——孔隙水壓力ua與孔隙氣壓力uw的計(jì)算式(27)(28)所述的偏微分方程組為固結(jié)過(guò)程中某一個(gè)飽和度微區(qū)間段內(nèi)的固結(jié)微分方程組，其形式與文獻(xiàn)[16]所述固結(jié)微分方程組類(lèi)似，為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文在解析解的求取過(guò)程中采用了文獻(xiàn)[16]所提的Laplace變換和有限Fourier變換方法。

依據(jù)有限Fourier變換的有限正弦變換形式的基本特性可知：

(35)

(36)

(37)

(38)

式中H為有限正弦變換的積分范圍，aj=(2j+1)π/2H(j=0，1，2，…)。

這里采用Laplace變換如下：

(39)

對(duì)飽和度微區(qū)間段內(nèi)的方程組采用有限正弦變換和Laplace變換，則式(27)(28)可進(jìn)一步整理為：

(40)

(41)

通過(guò)解該二元一次方程組得到：

(42)

(43)

對(duì)式(42)(43)采用有限正弦逆變換與Laplace逆變換，得到飽和度微區(qū)間段內(nèi)方程組的解析解：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

由式(24)—(28)、式(46)(47)可知，參數(shù)C不僅能反映非飽和土中各組分密度與飽和度的變化，而且能夠綜合考慮滲氣、滲水特性，實(shí)質(zhì)上為非飽和土的固結(jié)系數(shù)。

通過(guò)上述的求解過(guò)程可知，式(48)(49)僅為固結(jié)過(guò)程中某一個(gè)飽和度微區(qū)間段內(nèi)孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散的解析解，對(duì)于最終的解析解，還需要通過(guò)飽和區(qū)間上的線(xiàn)性疊加來(lái)得到。

3.3 飽和度微區(qū)間段內(nèi)土層沉降變形量的計(jì)算由式(13)與式(16)聯(lián)立而得：

(50)

因此，飽和度微區(qū)間段內(nèi)的土層變形量w(t)可表示為：

(51)

將式(44)—(45)代入式(51)可將土層變形量進(jìn)一步整理為：

(52)

3.4 解析解的線(xiàn)性疊加由于2.4節(jié)為方便計(jì)算對(duì)飽和度區(qū)間進(jìn)行了離散線(xiàn)性化，因此，在求得第i個(gè)飽和度微區(qū)間段內(nèi)的解析解(式(44)(45)和式(52))后對(duì)其進(jìn)行線(xiàn)性疊加，從而得到固結(jié)微分方程組的最終解析解：

(53)

(54)

(55)

3.5 非飽和土固結(jié)微分方程組的有限差分解Fredlund等[3]將非飽和土的水、氣兩相固結(jié)微分方程組整理為差分形式的線(xiàn)性方程組，結(jié)合大面積均布瞬時(shí)加荷所述的邊界條件和初始條件，采用迭代法得到了非飽和土一維固結(jié)問(wèn)題的有限差分?jǐn)?shù)值解。本節(jié)根據(jù)圖1所示的非飽和土層固結(jié)計(jì)算模型，繪制出水、氣兩相有限差分網(wǎng)格(圖3)，采用文獻(xiàn)[3]所述有限差分方法，將2.4節(jié)所推得的考慮滲氣滲水系數(shù)變化的固結(jié)微分方程組(式(27)(28))寫(xiě)成如下有限差分形式：

圖3 有限差分法中水、氣兩相的差分網(wǎng)格

(56)

(57)

需要指出：在有限差分計(jì)算過(guò)程中，采用了式(20)所示滲透函數(shù)與式(21)所示滲氣滲水函數(shù)。

將式(56)(57)整理可得：

(58)

(59)

式中：ι為深度方向上的距離增量；τ為時(shí)間增量；

(60)

在具體計(jì)算過(guò)程中，初始條件和邊界條件與解析解一致，同式(34)。由此得到的有限差分解可與3.2節(jié)所推得的解析解進(jìn)行對(duì)比分析。

4 算例、驗(yàn)證與討論

4.1 算例為驗(yàn)證3.4節(jié)所推得非飽和土一維固結(jié)解析解的有效性，針對(duì)一單面的透水透氣土層算例，將本文解析解、文獻(xiàn)[6]解析解與有限差分解進(jìn)行對(duì)比分析。算例工況如下：取厚度為10 m的土層(沿水平方向向無(wú)窮遠(yuǎn)處延伸)，不計(jì)土層自重，其上覆均布荷載為q=100 kPa，底部為不透水不透氣面，而其頂面可透水透氣，固結(jié)過(guò)程中飽和度的變化范圍取Sr=0.45～0.95，該范圍內(nèi)的飽和度微區(qū)間段數(shù)l=100。固結(jié)性狀分析中所用土的力學(xué)和水力特性參數(shù)如表1—2所示(計(jì)算參數(shù)的設(shè)定參考了文獻(xiàn)[6，21，23-24，26-28])。

表1 固結(jié)性狀分析中所用土的力學(xué)特性參數(shù)

表2 固結(jié)性狀分析中表征土持水及非飽和滲透特性的擬合參數(shù)

4.2 三種解的計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析將表1—2所述參數(shù)代入本文解析解與文獻(xiàn)[6]解析解和有限差分解，求得孔隙水壓力與孔隙氣壓力隨時(shí)間和土層深度變化的計(jì)算結(jié)果。為便于分析，取深度z=2、4、6 和8 m，整理出采用本文解析解與文獻(xiàn)[6]解析解、有限差分解算得的孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散比隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)，如圖4—7所示，圖中uw/uw0與ua/ua0分別為孔隙氣壓力消散比和孔隙水壓力消散比，描述了孔隙氣壓力和孔隙水壓力的消散程度。

此外，由圖4—7可知，本文解析解與文獻(xiàn)[6]解析解和有限差分解計(jì)算的孔隙水壓力與孔隙氣壓力的時(shí)程變化曲線(xiàn)整體趨勢(shì)一致，表明本文解析解能夠反映土孔隙內(nèi)的水、氣兩相壓力在非飽和土固結(jié)過(guò)程中逐漸消散、穩(wěn)定的基本趨勢(shì)。從圖4可以看出孔隙水壓力的曲線(xiàn)較孔隙氣壓力稍平緩，而且土層深度z=2 m處的孔隙水壓力于2×105s(即2.3 d)時(shí)逐漸消散至穩(wěn)定(圖4(a))，而土層深度z=8 m處的孔隙水壓力于5×107s(即578.7 d)時(shí)消散至穩(wěn)定(圖7(a))。對(duì)于孔隙氣壓力可以觀(guān)察到淺層土(z=2 m處)消散至穩(wěn)定的時(shí)間為3000 s(即0.83 h)(圖4(b))，深層土(z=8 m處)于7×106s(即81 d)消散至穩(wěn)定(圖7(b))，由此可以看出孔隙氣壓力的消散比孔隙水壓力要快，這一點(diǎn)在圖5與圖6中也能夠發(fā)現(xiàn)。

圖6 三種解法在z=6 m深度處計(jì)算得孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散比隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖7 三種解法在z=8 m深度處計(jì)算得孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散比隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

在固結(jié)的初始時(shí)刻(t<100 s時(shí))，孔隙水壓力與孔隙氣壓力的消散存在一定時(shí)間的滯后。在土層較淺處(圖4所示z=2 m處)，孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散滯后的時(shí)間較短。與有限差分解相比，本文解析解的孔隙水壓力的消散速率較慢，而孔隙氣壓力的消散速率略快，這是由于在考慮滲氣滲水函數(shù)的離散線(xiàn)性化時(shí)對(duì)飽和度分段的選取較少，計(jì)算中使?jié)B氣滲水系數(shù)比值偏大，也使得表層土的孔隙氣壓力的消散速率較有限差分解的結(jié)果略快；隨著土層深度逐漸增大(圖5—7所示z=4～8 m處)，孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散滯后的時(shí)間也逐漸增加，可以看出孔隙水壓力的消散速率有所減緩而孔隙氣壓力的消散速率卻在逐漸加快，這是由于在土層深處孔隙氣壓力的消散比孔隙水壓力更容易發(fā)生，而在土層較淺處孔隙氣與孔隙水消散通道之間的相互影響顯著，因此孔隙水壓力的消散會(huì)滯后于孔隙氣壓力的消散。

圖4 三種解法在z=2 m深度處計(jì)算得孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散比隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

圖5 三種解法在z=4 m深度處計(jì)算得孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散比隨時(shí)間變化曲線(xiàn)

由于將滲氣滲水系數(shù)比值視為常數(shù)，因此在固結(jié)過(guò)程中，文獻(xiàn)[6]解析解的孔隙水壓力消散速率較有限差分解明顯變慢，而其孔隙氣壓力的消散速率較有限差分解明顯變快。本文解析解在考慮了滲氣滲水函數(shù)后，所得到的孔隙水壓力與孔隙氣壓力的消散曲線(xiàn)與有限差分解更為接近。

取兩個(gè)典型的固結(jié)時(shí)刻，即t=7.5×102s(即12.5 min)和t=5×104s(即13.89 h)，旨在分析固結(jié)變形時(shí)孔隙水壓力與孔隙氣壓力較完整的消散過(guò)程，求得這兩個(gè)時(shí)刻在土層不同深度處三種不同解法的孔隙水壓力與孔隙氣壓力值，如圖8—9所示，在某一時(shí)刻(如t=7.5×102s(即12.5 min)或t=5×104s(即13.89 h)時(shí))土層發(fā)生了一定程度的固結(jié)，自土層表面至土層深處可以看出孔隙水壓力與孔隙氣壓力的消散程度逐漸降低：如圖8(a)與圖9(a)所示在深度z=0處，孔隙水壓消散比uw/uw0為0，表明表層土中的孔隙水壓力已經(jīng)完全消散，而在z=8 m處孔隙水壓消散比uw/uw0仍接近1，表明在土層底部，孔隙水壓力的消散程度較小。同理，在圖8(b)與圖9(b)所示孔隙氣壓力的消散曲線(xiàn)中也能看到類(lèi)似的趨勢(shì)。

圖8 在t=7.5×102 s(即12.5 min)時(shí)三種解法計(jì)算得孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散比隨深度變化曲線(xiàn)

圖9 在t=5×104 s(即13.89 h)時(shí)三種解計(jì)算得孔隙水壓力與孔隙氣壓力消散比隨深度變化曲線(xiàn)

對(duì)比圖8(a)與圖9(a)所示本文解析解與文獻(xiàn)[6]解析解的孔隙水壓力消散曲線(xiàn)可知，這兩者較為接近，但本文解析解更接近于有限差分解的孔隙水壓力消散曲線(xiàn)。對(duì)比圖8(b)與圖9(b)所示本文解析解與文獻(xiàn)[6]解析解的孔隙氣壓力消散曲線(xiàn)可知：由于文獻(xiàn)[6]中將滲氣系數(shù)視為常數(shù)，因此，當(dāng)t=7.5×102s(即12.5 min)時(shí)，在土層底部處文獻(xiàn)[6]解析解的孔隙氣壓力的消散程度還很小(其孔隙氣壓消散比ua/ua0約為0.999)，但隨著土層變淺，其孔隙氣壓力消散程度急劇增大(其孔隙氣壓消散比ua/ua0迅速減小至0)；當(dāng)t=5×104s(即13.89 h)時(shí)，在土層底部處文獻(xiàn)[6]解析解的孔隙氣壓力消散比ua/ua0已經(jīng)減小至不足0.3，隨著土層變淺，孔隙氣壓力消散比減小至接近于0。相比之下，本文解析解在考慮了滲氣滲水函數(shù)后，所得的孔隙氣壓力消散程度較小，但在地表處這兩種解析解的計(jì)算曲線(xiàn)逐漸接近。

此外，由圖8—9亦可知，本文解析解計(jì)算的的孔隙氣壓力消散程度高于有限差分解(圖8(b)與圖9(b))，而其計(jì)算的孔隙水壓力消散程度低于有限差分解(圖8(a)與圖9(a))。究其原因在于：本文解析解在考慮滲氣滲水函數(shù)的離散線(xiàn)性化時(shí)，對(duì)飽和度分段數(shù)的選取會(huì)顯著影響考慮滲氣滲水函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，從而使解析解計(jì)算的孔隙氣、水壓力的消散速率與有限差分解產(chǎn)生差異。

4.3 三種解沉降變形的對(duì)比計(jì)算分析將4.1節(jié)中相關(guān)參數(shù)與4.2節(jié)中孔隙水、氣壓力消散的計(jì)算結(jié)果帶入到式(55)中，整理出采用本文解析解與文獻(xiàn)[6]解析解、有限差分解算得的沉降量w與土層初始厚度H之比隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)，如圖10所示，非飽和土層在荷載作用下的固結(jié)沉降變形隨著時(shí)間的推移經(jīng)歷了緩慢增長(zhǎng)、快速增長(zhǎng)、穩(wěn)定三個(gè)階段。由于在固結(jié)過(guò)程的初始階段(t<1000 s時(shí))，土層中的孔隙水、氣兩相在其淺層位置處搶占孔隙消散通道，形成了孔隙水、氣壓力消散初期的短暫平緩階段(如圖4所示)，此時(shí)土層的沉降量增幅較緩。然而，在隨后的孔隙水、氣壓力急劇消散階段(t=1000～7×106s時(shí))，由于孔隙水壓力的消散滯后于孔隙氣壓力，因此孔隙水壓力的消散速率逐漸加快，此時(shí)土層的沉降量也由緩慢增長(zhǎng)轉(zhuǎn)為快速增長(zhǎng)。當(dāng)w/H增至1.9%時(shí)，土層的沉降變形進(jìn)入穩(wěn)定階段，此時(shí)孔隙水、氣壓力也基本消散穩(wěn)定，此后的沉降多是由土層蠕變等因素產(chǎn)生的緩慢變形。

圖10 三種解計(jì)算得沉降量與土層初始厚度之比隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)

由圖10亦可知，三種解的計(jì)算曲線(xiàn)所描述的非飽和土層沉降變形趨勢(shì)總體一致。然而，相較于文獻(xiàn)[6]解析解，本文解析解的計(jì)算結(jié)果與有限差分解更為吻合。究其原因在于：本文解析解考慮了滲氣滲水函數(shù)所反映的水、氣滲流相互作用對(duì)非飽和土固結(jié)變形過(guò)程的影響，故而算得的沉降變形曲線(xiàn)更為接近于有限差分解。

5 結(jié)論

本文以混合物理論為基礎(chǔ)，在非飽和土的滲流-變形耦合方程組中引入了滲氣滲水函數(shù)和持水曲線(xiàn)方程，開(kāi)展了非飽和土固結(jié)性狀的解析研究，主要得出了以下結(jié)論：(1)將飽和度、滲氣滲水系數(shù)比值和滲水系數(shù)進(jìn)行離散線(xiàn)性化，構(gòu)建了考慮滲氣滲水系數(shù)變化的非飽和土固結(jié)微分方程組，進(jìn)而采用Laplace變換和有限Fourier變換求得非飽和土層孔隙水、氣壓力消散及其沉降變形的解析解。(2)選用水、氣兩相相互連通的非飽和土層典型算例，對(duì)比分析本文解析解、已有文獻(xiàn)解析解與有限差分解計(jì)算得孔隙水、氣壓力的消散比隨時(shí)間與深度的變化曲線(xiàn)，結(jié)果表明：因考慮了滲氣滲水函數(shù)，本文解析解計(jì)算的孔隙水、氣壓力消散速率較已有文獻(xiàn)解析解更慢，其消散曲線(xiàn)較已有文獻(xiàn)解析解更接近于有限差分解。(3)對(duì)比分析本文解析解、已有文獻(xiàn)解析解與有限差分解計(jì)算得沉降變形與土層初始厚度之比隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)，結(jié)果表明：非飽和土層在荷載作用下的固結(jié)沉降變形隨著時(shí)間的推移經(jīng)歷了緩慢增長(zhǎng)、快速增長(zhǎng)、穩(wěn)定三個(gè)階段；三種解的計(jì)算曲線(xiàn)對(duì)這三個(gè)階段的沉降變形趨勢(shì)描述總體一致；本文解析解因考慮了水、氣滲流相互作用對(duì)非飽和土固結(jié)變形過(guò)程的影響，故其沉降變形曲線(xiàn)較已有文獻(xiàn)解析解更接近于有限差分解。

本文提出了考慮滲氣滲水函數(shù)的非飽和土固結(jié)解析解，可為大壩蓄水引起的水環(huán)境變化誘發(fā)其周邊建筑物地基沉降變形分析及其整體穩(wěn)定性評(píng)價(jià)，提供一種新的計(jì)算方法。