黃 政

（日照市金海岸小學(xué) 山東日照 276800）

一、數(shù)的學(xué)習(xí)從整數(shù)到分?jǐn)?shù)

從整數(shù)概念到分?jǐn)?shù)概念是數(shù)概念的一次重大擴展，無論是在意義上，還是在讀寫方法和計算方法上，整數(shù)和分?jǐn)?shù)之間都有極大的差別。進入高年級，學(xué)生開始大量接觸關(guān)于分?jǐn)?shù)的知識，包括分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)的乘、除法計算法則，以及用分?jǐn)?shù)的乘、除法解決實際問題等。

以六年級上冊第三單元《分?jǐn)?shù)除法》一道練習(xí)題為例，如：“一輛小汽車行3/2千米用汽油3/25升。行1千米用汽油多少升？1升汽油行多少千米？”學(xué)生做題時往往出現(xiàn)兩類問題：一是列式計算時被除數(shù)和除數(shù)的順序顛倒，或者干脆不知道列式時誰是被除數(shù)，誰是除數(shù)，這是最普遍的問題；二是如果此題只設(shè)計一個問題，比如行“1千米用汽油多少升？”或者“1升汽油行多少千米？”學(xué)生的正確率相對較高。還有一個有趣的現(xiàn)象，當(dāng)我們把題目改成“一輛小汽車行100千米用汽油10升。行1千米用汽油多少升？1升汽油行多少千米？”時，學(xué)生反而豁然開朗。題目當(dāng)中的數(shù)據(jù)從分?jǐn)?shù)改為整數(shù)，但是邏輯關(guān)系沒有任何變化，如果學(xué)生面對分?jǐn)?shù)無從下手，建議教師先把題目中的數(shù)據(jù)以整數(shù)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù)關(guān)系，利用遷移和轉(zhuǎn)化來處理分?jǐn)?shù)問題[1]。

相對而言，分?jǐn)?shù)概念比整數(shù)更加抽象，學(xué)生更加難于理解和掌握。除了分?jǐn)?shù)概念本身的復(fù)雜性之外，從心理學(xué)的角度和學(xué)生的思維活動過程來分析，小學(xué)生缺乏感性知識經(jīng)驗的支持。雖然分?jǐn)?shù)的應(yīng)用范圍非常廣泛，但是就小學(xué)生接觸到的生活范圍來講，它比整數(shù)的接觸機會要少得多。因此，小學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)“1/5”比掌握整數(shù)“5”要難得多。

那么，如何來克服學(xué)生從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)困難呢？一般來講，小學(xué)階段屬于形象思維階段，對于這一階段的小學(xué)生，我們在教學(xué)時應(yīng)多注意通過具體直觀的模型來幫助學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的初步概念。

1.初步認(rèn)識整體與部分之間的關(guān)系

因為用分?jǐn)?shù)表示整體與部分之間的關(guān)系是分?jǐn)?shù)初步概念的起點。同時，它揭示了單位“1”不僅可以表示單個物體，例如一個大餅、一根繩子等，也可以表示多個物體的組合，如一盒鉛筆、一群鴨子、一個單位長度等。

2.通過具體操作、直觀認(rèn)識幾分之一

分?jǐn)?shù)教學(xué)應(yīng)盡量利用兒童對平分與公平的直覺，在學(xué)習(xí)上應(yīng)從最容易的“對半平分”（也就是一半）、“對分再對分”（四分之一）開始，這種方式能夠讓兒童比較容易操作。

3.通過幾個幾分之一的累積來認(rèn)識幾分之幾

學(xué)生通過分?jǐn)?shù)單位的學(xué)習(xí)學(xué)會把一個分?jǐn)?shù)“拆分”，再通過單位分?jǐn)?shù)的累積來認(rèn)識幾分之幾，可以有效地使學(xué)生聯(lián)想到自然數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，為學(xué)生順利地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步概念創(chuàng)造條件。

二、正確辨析除法的兩種含義

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中對乘、除法的意義是這樣描述的：乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算，除法是已知兩個數(shù)的積與其中的一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，乘法和除法互為逆運算。二年級，學(xué)生從二年級就已經(jīng)開始了對乘、除法的學(xué)習(xí)，在實際教學(xué)過程中，五、六年級的學(xué)生在解決實際問題時，經(jīng)常出現(xiàn)對乘、除法的意義辨析不清楚、導(dǎo)致混用或者錯用的情況，本文結(jié)合教學(xué)案例，簡要分析出現(xiàn)這一問題的原因和解決方案。

以人教版六年級上冊教材第三單元《分?jǐn)?shù)除法》中一道例題為例，“一瓶感冒藥共有有12片，每次吃半片，一天吃三次，這瓶藥夠吃幾天？”學(xué)生在解決這個問題時出現(xiàn)了以下三類問題：一是學(xué)生能夠列式：12÷1/2÷3=8（天）或者12÷（1/2×3）=8（天）來解決問題，但是不能夠解釋分步算式的意義，比如12÷1/2或者1/2×3的結(jié)果代表什么意義；二是部分學(xué)生用算式12÷3÷1/2=8（天）來解決問題，自認(rèn)為結(jié)果正確，卻不知道問題所在；三是學(xué)生在讀完題目后，無法正確分析條件和結(jié)果之間的邏輯關(guān)系，從而無從下手[2]。

分析問題出現(xiàn)的原因，主要是因為進入五年級后，學(xué)生進一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，單位“1”和“平均分”的概念不斷被強化，深入人心。六年級學(xué)生開始接觸分?jǐn)?shù)乘、除法，除了“數(shù)的學(xué)習(xí)從整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)”帶給學(xué)生的沖擊以外，還有上文提到的，我們一般是從計算的角度來描述除法的意義，淡化了除法的兩種“功能”分類，學(xué)生理解除法的作用過于“固化”在“平均分”，所以在解決問題時出現(xiàn)以上問題。

為解決以上問題，首先要明確除法的兩種含義：把一個數(shù)平均分成幾份，求每份是多少，已知總數(shù)和要分的份數(shù)，求每份的數(shù)量；求一個數(shù)里面有幾個另一個數(shù)，或者說求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍。教師應(yīng)認(rèn)識到學(xué)生長期以來先入為主的認(rèn)知誤區(qū)：除法就是為了實現(xiàn)“平均分”，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析問題，對照算式說出除法算式的意義。以上題為例，做法一中“12÷1/2=24（次）”是求12片里面有多少個1/2片，或者說12片是1/2片的多少倍，結(jié)果表示12片能夠吃24次，用商24÷3=8（天）是求24里面有幾個3次，也就是夠吃幾天。同樣地，做法二中“12÷（1/2×3）”是先求一天吃藥3/2片，12÷3/2同樣是求12片里面有幾個3/2片，就是一瓶藥夠吃幾天?？梢?，本題中所有的除法運算都表示除法的第二種含義，與“平均分”毫無關(guān)系。學(xué)生如果采用分步算式，應(yīng)要求學(xué)生注意書寫單位，正確書寫單位不僅是做題格式的要求，同樣也是學(xué)生理解結(jié)果所代表的意義的一種證明。

三、用“平均分”思想解決兩個量相除的問題

單位通常指計量事物標(biāo)準(zhǔn)量的名稱。在解決實際問題的過程中，如果存在兩個不同的量相除或者相比，往往會產(chǎn)生一個新的單位。比如，總價除以數(shù)量等于單價，路程除以時間等于速度，工作總量除以工作時間等于工作效率等。某些情境下，兩個不同的量相除，所得結(jié)果的意義不易把握，學(xué)生容易在列式時顛倒被除數(shù)和除數(shù)的順序，下面結(jié)合教學(xué)案例，說明如何借助“平均分”的思想方法突破這一難題。

人教版五年級上冊《分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》中有這樣一道練習(xí)題：“三個同學(xué)走一條22千米的路，甲走了6小時，乙走了5小時，丙走了4小時，誰走得快？”本題旨在結(jié)合行程問題中時間、速度、路程之間的關(guān)系來考查分?jǐn)?shù)的比較大小。同學(xué)們呈現(xiàn)出以下三種做法[3]。

做法一：分別求出三者的速度進行比較。22÷6=22/6（千米/小時），22÷5=22/5（千米/小時），22÷4=22/4（千米/小時），分子相同，分母越小，分?jǐn)?shù)值越大，顯然，丙同學(xué)速度最快。

做法二：部分同學(xué)認(rèn)為，既然路程相同，只需要比較時間的長短即可，丙同學(xué)所用時間最短，所以丙同學(xué)速度最快。

做法三：學(xué)生列出除法算式：6÷22=6/22，5÷22=5/22，4÷22=4/22，通過比較分?jǐn)?shù)大小，選擇此種做法的同學(xué)出現(xiàn)兩種結(jié)論：多數(shù)判斷甲走得最快，少數(shù)判定丙走得最快。

前兩種做法爭議不大，也就意味著第三種做法中多數(shù)同學(xué)判斷錯誤。他們認(rèn)為，在三個分?jǐn)?shù)中，6/22最大，所以對應(yīng)的甲走得最快。6/22固然最大，但是分?jǐn)?shù)值越大，就代表走得越快嗎？顯然學(xué)生并不理解這三個分?jǐn)?shù)值的意義，因而錯誤地作出判斷。那么用時間除以路程所得的商到底是什么含義呢？我們暫不探究。

筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)這樣一種現(xiàn)象：關(guān)于速度的計算方法學(xué)生能夠脫口而出，卻很少有學(xué)生能夠準(zhǔn)確解釋速度的含義，究其原因，學(xué)生在接觸速度這個新的單位時，往往機械地背誦它的定義以及計算方法，解決問題時喜歡生搬硬套，卻忽略了速度這個單位的產(chǎn)生過程。速度表示單位時間內(nèi)行駛的路程，所謂路程÷時間=速度，就是把一段路程“平均分”到對應(yīng)的時間內(nèi)，得到單位時間（每秒、每分或者每小時等）內(nèi)走過的路程，這就是速度的含義。學(xué)生只有了解了速度產(chǎn)生的過程，才能真正理解速度的含義，更加靈活地運用速度的知識解決實際問題。

說到平均分，我們自然地想到了除法。在用除法解決實際問題時，被除數(shù)通常代表要分的總量，除數(shù)通常代表平均分成的份數(shù)。這種“平均分”的思想能否幫助我們更好地理解兩個量相除的結(jié)果呢？

我們以“500千克花生油可以榨花生油100千克”為例，提出以下問題：1千克花生能榨油多少千克？榨1千克花生油需要多少千克花生？根據(jù)已知條件，本題可以預(yù)設(shè)兩種“平均分”：

其一，把100千克花生油平均分到500千克花生中，或者說把100千克花生油平均分成500份。這里的一份表示1千克花生的產(chǎn)油量。用除法算式表達就是100÷500=0.2（千克）。我們還可以嘗試把結(jié)果寫為“0.2千克花生油/千克花生”，這個單位雖然“笨拙”，但是卻充分體現(xiàn)了它的產(chǎn)生過程。

其二，把500千克花生平均分到100千克花生油中，或者說把500千克花生平均分成100份。這里的一份表示1千克花生油所需要的花生量。明確了被分的總量和分成的份數(shù)，結(jié)果表達的含義也就明確了。除法算式水到渠成，500÷100=5（千克），同樣我們也可以賦予結(jié)果以單位“千克花生/千克花生油”。

我們再用“平均分”的思想來解決以下問題：一輛汽車行駛100千米需消耗8升汽油，請問每行駛1千米，需要耗油多少升？1升汽油能支持汽車行駛多少千米？“行駛1千米，耗油多少升”是把8升汽油看作總量，平均分到100千米中去，容易列出除法算式8÷100=0.08（升/千米）。同樣，“1升油能行駛多少千米？”是把100千米看作總量，平均分到8升油中去，求每升油對應(yīng)多少千米？可以用除法算式100÷8=12.5（千米/升）求解。

“平均分”的思想有助于我們深入理解兩個量相除的關(guān)系。但是需要說明的是，通常意義上的平均分大多以分物為主，比如“把16塊糖平均分到4個袋子中”，“把40本書平均分給5個同學(xué)”。這種分物的情景比較貼近生活實際，學(xué)生容易理解和接受，這種情境中，被分的對象一般是實實在在的“物”，而每一份都落在“盤子里”“袋子里”“班級里”，或者干脆就是平均分給幾個人。有些情境則不同，比如上文中提到的時間除以路程，把一段時間平均分到路程中去，這顛覆了學(xué)生對于平均分的固有認(rèn)知。這種平均分不再是普通的分物情境，而是表達了一個量與另一個量相除的抽象關(guān)系，而且兩個量相除的過程中往往會產(chǎn)生一個新的單位，如速度單位千米/時[4]。

讓我們回到本文開始時提到的問題，學(xué)生用時間除以路程所得到的6/22、5/22和4/22這三個分?jǐn)?shù)到底是什么含義呢？我們試著從平均分的角度再來分析，把三位同學(xué)的時間平均分到22千米中去，恰好表示他們每走1千米所耗費的時間，分?jǐn)?shù)值越小，就表示他們走1千米耗費的時間越短，也就意味著走得越快。

綜上，在面對兩個量相除的情時，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從“平均分”的角度去分析，準(zhǔn)確把握結(jié)果的含義，列出除法算式解決問題。

四、利用分?jǐn)?shù)除法尋找單位“1”

六年級上冊第三單元《分?jǐn)?shù)除法》解決問題的主要特征是“已知一個數(shù)（單位1）的幾分之幾是多少，求這個數(shù)？”以教材例題“已知兒童體內(nèi)的水分占體重的4/5，小明體內(nèi)有28千克水，小明的體重是多少？”為例，來說明此類問題的解題方法。

教師可在教學(xué)開始建議引入分?jǐn)?shù)乘法解決問題來形成對比，提問：“已知兒童體內(nèi)的水分占體重的4/5，如果知道小明的體重是35千克，請問他體內(nèi)的水分有多重？”學(xué)生通過討論、交流、了解這類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特征，再借助題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系式，總結(jié)解題規(guī)律。

新教材中的解題方法淡化了用算術(shù)解題的要求，更側(cè)重于與初中知識的銜接，側(cè)重于用代數(shù)思想解題，用字母表示未知數(shù)，順向推導(dǎo)，更加符合學(xué)生的認(rèn)知水平，讓學(xué)生根據(jù)題中的等量關(guān)系和分?jǐn)?shù)乘法的意義列出方程。而算式法是一種逆向思維的呈現(xiàn)，28÷4/5=小明的體重，即“數(shù)量除以分率等于單位1”。算式法的特點是列式簡單，書寫方便，理解起來跨度較大。由于小學(xué)生現(xiàn)階段尚未接觸到比較復(fù)雜的用算術(shù)方法很難解決的實際問題，所以對方程解法的優(yōu)越性認(rèn)識不足。一些學(xué)生覺得用方程法解答，需要寫設(shè)句比較麻煩，因此更喜歡用算術(shù)解法。

以上主要分析了方程法和除法解決分?jǐn)?shù)問題的區(qū)別，那么這兩種方法既然可以用來處理同一類問題，它們之間存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？上題中設(shè)小明的體重為x千克，列方程為4/5x=28，根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以4/5，x=28÷4/5，仔細(xì)觀察，方程求解的過程其實就是算式法。所以，我們可以簡單地認(rèn)為：在處理此類分?jǐn)?shù)解決問題時，除法一般是由方程法“引申”出來的。教學(xué)時，教師建議學(xué)生使用方程法解決此類問題，當(dāng)然，也可以借助方程法自行推導(dǎo)算式法。