鄭前前，楊文杰，岳曉鵬

(許昌學(xué)院，河南 許昌 461000)

線性代數(shù)是高校理工科教育中一門重要的數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課，是后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，能夠培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的思維能力[1]。但在實(shí)際教學(xué)工作中，線性代數(shù)課程存在概念、理論較多，知識(shí)點(diǎn)彼此聯(lián)系不緊密，不能形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，內(nèi)容抽象不易被學(xué)生理解等問(wèn)題[2-3]。以線性代數(shù)中線性相關(guān)性為例，大部分學(xué)生只能從定義上理解向量之間的關(guān)系，認(rèn)為向量組線性相關(guān)或者線性無(wú)關(guān)，不能深層次理解、掌握其與解方程組之間的關(guān)系[4]，在矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)中也會(huì)遇到同樣的問(wèn)題。線性代數(shù)是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)課程，也是其應(yīng)用的一個(gè)重要方向，如系統(tǒng)最優(yōu)化、系統(tǒng)可測(cè)及可觀等[5]。線性代數(shù)還是圖論及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的重要工具，特別是特征值及特征向量[6]。線性代數(shù)與解析幾何也存在一定的關(guān)系[7]，但是這些聯(lián)系和承接關(guān)系，在線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)過(guò)程中卻很少涉及。

線性代數(shù)作為一門基礎(chǔ)課程，不僅在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用，而且也是科研過(guò)程中重要的數(shù)學(xué)工具，如何在教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮科研的作用是本文討論的重點(diǎn)。

1 基于矩陣?yán)碚摰膶W(xué)與用融合

學(xué)與用融合是目前高校教學(xué)探索的主要模式，課程學(xué)習(xí)是學(xué)生創(chuàng)新及科研能力培養(yǎng)的前提，科學(xué)研究是基礎(chǔ)培養(yǎng)的主要目標(biāo)之一，二者相輔相成，缺一不可。以矩陣?yán)碚撆c控制理論的融合為例，矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)中的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，矩陣?yán)碚撛趹?yīng)用數(shù)學(xué)與工程技術(shù)學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用。但是，線性代數(shù)課程中卻很少提及矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用，導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生認(rèn)為矩陣?yán)碚撝荒苡糜谇蠼饩€性方程組，也不了解矩陣?yán)碚撆c后續(xù)課程之間的關(guān)系。以線性代數(shù)中矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用為出發(fā)點(diǎn)，在已有矩陣?yán)碚摶A(chǔ)上講授線性代數(shù)矩陣?yán)碚撛谖⒎址匠糖蠼鈫?wèn)題及控制理論中的應(yīng)用，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

線性代數(shù)中矩陣?yán)碚撝饕獞?yīng)用于解線性方程組

即Ax=b解的問(wèn)題。下面介紹矩陣?yán)碚摰牧硗鈨煞N應(yīng)用：

在高等數(shù)學(xué)中，微分方程求解也是非常重要的問(wèn)題，探討一階線性微分方程組[8]與矩陣?yán)碚撝g的關(guān)系，一階線性微分方程組的一般表達(dá)式為

(1)

其中

以上例子可以看出，矩陣?yán)碚摬粌H可以用于求解線性方程組，還可以求解線性微分方程，同時(shí)判定相應(yīng)微分方程組的穩(wěn)定性，為此方程組對(duì)應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題提供理論參考。微分方程的求解可應(yīng)用于多種領(lǐng)域，如SIR傳染病模型、種群模型及電路問(wèn)題，更進(jìn)一步可以利用李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)定性及未來(lái)的發(fā)展動(dòng)態(tài)。求解問(wèn)題主要運(yùn)用到矩陣的概念、矩陣的乘積、正定矩陣的概念及矩陣的求逆運(yùn)算。通過(guò)實(shí)例，可以使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

對(duì)于線性時(shí)變控制系統(tǒng)[8]

(2)

其中A(t)∈Rn×n,B(t)∈Rn×m,C(t)∈Rr×n,D(t)∈Rr×m分別是系統(tǒng)(2)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和反饋矩陣，統(tǒng)稱為系數(shù)矩陣，并且是分段連續(xù)函數(shù)。同樣涉及矩陣的運(yùn)算，說(shuō)明矩陣?yán)碚撚绊懮羁糖覒?yīng)用廣泛。假設(shè)A(t)是n-2次可導(dǎo)函數(shù)，B(t)是n-1次可導(dǎo)函數(shù)，這是對(duì)線性代數(shù)中矩陣?yán)碚摰耐茝V。線性代數(shù)中的矩陣運(yùn)算包括線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、求逆運(yùn)算、數(shù)乘及冪運(yùn)算，并沒(méi)有給出求導(dǎo)運(yùn)算法則，實(shí)際上在高等數(shù)學(xué)課程中，求導(dǎo)運(yùn)算是最基礎(chǔ)的運(yùn)算形式，但并沒(méi)有推廣到線性代數(shù)中。矩陣或向量的求導(dǎo)，只是對(duì)每一個(gè)分量進(jìn)行求導(dǎo)即可，所以矩陣求導(dǎo)計(jì)算是線性代數(shù)矩陣?yán)碚摰暮?jiǎn)單拓展，在上述假設(shè)條件下，記

(1)如果存在t>t0，使得R(Pc(t))=n，則系統(tǒng)(2)在t0處可控。

(2)如果存在t>t0，使得R(Po(t))=n，則系統(tǒng)(2)在t0處可觀。

(3)如果系數(shù)矩陣均是常值矩陣，有

以上內(nèi)容是對(duì)矩陣?yán)碚摰暮?jiǎn)單應(yīng)用，主要涉及矩陣的運(yùn)算及矩陣的秩。這部分內(nèi)容對(duì)于初學(xué)者特別是電氣自動(dòng)化專業(yè)學(xué)生來(lái)說(shuō)容易接受，為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用指明了方向。

2 結(jié)語(yǔ)

矩陣?yán)碚摼哂絮r明的學(xué)科特點(diǎn)，教師應(yīng)充分利用其優(yōu)勢(shì)，重視學(xué)生綜合素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，為學(xué)生未來(lái)的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。當(dāng)前，高等教育對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)提出了更高要求，不僅需要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)理論的學(xué)習(xí)能力，更要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力，使學(xué)生愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)、愛(ài)用數(shù)學(xué)，激發(fā)思想活力和創(chuàng)造力，培養(yǎng)適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的復(fù)合型人才。