胡紅萍，喬世昌，孔慧華，徐喬王，白艷萍

(1.中北大學 理學院，山西 太原 030051；2.臨汾市財政局 國際金融組織貸款服務中心，山西 臨汾 041000)

0 引言

新型冠狀病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019,COVID-19）由于其高傳染性和高致病性，嚴重威脅到了人類的生命安全，并已迅速蔓延到全球，成為全球關注的問題之一.自疫情暴發(fā)以來，我國進行了全民總動員，真正做到“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”.但由于境外輸入COVID-19和無癥狀感染的影響，疫情防控仍然面臨反彈壓力.因此有效地預測COVID-19的累計確診人數(shù)對COVID-19的防控具有非常大的價值.

目前，常用的預測方法有差分自回歸移動平均乘積季節(jié)模型[1]，群智能算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡模型[2?3]，多尺度組合模型[4]，隨機森林算法和模糊信息?；幕旌纤惴╗5]，經(jīng)驗模態(tài)分解和極限學習機的組合預測模型[6]，等等.隨著群智能算法和機器學習的不斷改進，預測模型也隨之增加，更利于解決實際問題.如用螢火蟲算法優(yōu)化長短時記憶神經(jīng)網(wǎng)絡，并利用其預測生豬價格[2]；將粒子群算法和差分進化相結合優(yōu)化自適應小波神經(jīng)網(wǎng)絡的初始化網(wǎng)絡參數(shù)，進而對風電功率超短期多步預測[3]；利用改進的灰狼算法優(yōu)化Elman神經(jīng)網(wǎng)絡，對基于基因表達譜的乳腺癌進行識別[7]；利用改進粒子群算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡對甜菜產(chǎn)量進行預測[8]等.

最近很多學者將群智能算法和機器學習相結合對COVID-19進行預測.例如，文獻[9]利用機器學習、自適應神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)和增強甲蟲天線搜索群智能元啟發(fā)式相結合的混合方法預測COVID-19確診人數(shù)；文獻[10]利用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡對COVID-19確診人數(shù)進行預測；文獻[11]利用集合經(jīng)驗模態(tài)分解和自回歸移動平均模型對COVID-19全球預測系統(tǒng)預測結果進行改進.

樽海鞘群算法（Salp Swarm Algorithm,SSA）是受深海中樽海鞘的航行和覓食行為啟發(fā)提出的[12].自SSA提出以來，研究者已對SSA做了很多改進.例如，將SSA中樽海鞘鏈的領頭者的搜索方式修改為貪婪的交叉選擇方法，加強了SSA的性能且避免陷入局部最優(yōu)[13]；將正余弦算法和干擾算子加到SSA得到了一種特征選擇方法[14]；將混沌映射加入SSA中代替隨機數(shù)建立了混沌SSA（CSSA），并且將CSSA與2維曲波變換和深度學習技術相結合用于X射線圖像對COVID-19進行診斷[15]；將SSA的樽海鞘的位置更新修改為Singer的混沌映射，在開發(fā)階段使用局部搜索算法，得到動態(tài)的SSA[16].

本文針對其他樽海鞘對鏈中第i個跟隨者均有影響的問題，提出加權平均樽海鞘群算法（Average Salp Swarm Algorithm,AVSSA），并通過23個基準函數(shù)驗證AVSSA的有效性，進而用AVSSA優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡的權值和偏差，建立預測境外輸入COVID-19的預測模型AVSSA-BP.

1 樽海鞘群算法

樽海鞘群算法是受深海中樽海鞘的航行和覓食行為的啟發(fā)提出的[12].樽海鞘有透明的桶形身體，其組織非常類似于在海洋中發(fā)現(xiàn)的水母，它們像水母一樣通過身體泵水前進.SSA是從樽海鞘的群體行為中獲得的，它是以樽海鞘群體構成一個樽海鞘鏈，在該鏈中，第一個樽海鞘為領導者，其余的樽海鞘為跟隨者.

設F是n維搜索空間中的食物源，將其作為樽海鞘鏈的目標.與F相關的領導者的更新位置的方式為：

其中：l是當前迭代次數(shù)，L是迭代的最大次數(shù).

根據(jù)牛頓運動定律，跟隨者xs的位置更新方式為：

由于優(yōu)化的時間是迭代t，迭代之間的差異為1，在v0=0時，方程(3)變?yōu)椋?/p>

2 預測模型

2.1 加權平均樽海鞘群算法

在SSA中，第i個跟隨者的位置更新方式定義為方程（4），為第i個跟隨者和第i-1個跟隨者的位置的平均值，這可能導致樽海鞘鏈中前i個跟隨者對第i個跟隨者的影響不大.為此，將樽海鞘鏈中第i個跟隨者的位置更新改進為前i個跟隨者的加權平均，即：

其中：c1與方程（2）中的定義相同.我們將此改進稱為加權平均SSA，記為AVSSA.

為驗證所提算法AVSSA的有效性，選取了5個比較的優(yōu)化算法：蟻獅優(yōu)化器（ALO）、灰狼優(yōu)化器（GWO）、飛蛾撲火優(yōu)化（MFO）算法、鯨優(yōu)化算法（WOA）和樽海鞘群算法（SSA）.本文所采用的23個基準函數(shù)F1(x)～F23(x)來源于文獻[17]，其中：F1(x)～F7(x)為7個n維單峰函數(shù)，F(xiàn)8(x)～F13(x)為6個n維多峰函數(shù)，F(xiàn)14(x)～F23(x)為10個固定維數(shù)的基準函數(shù).在Win10 64bit專業(yè)平臺和64 GB RAM下Matlab R2019a工具箱下運行這6個算法.

在這6個可比較的算法中，種群大小為50，最大迭代次數(shù)T=500.每個可比較的算法獨立運行30次.將這30次獨立運行的每個算法所獲得的全局最小值的平均值（Avg.）和標準差（Std.）作為評價算法的性能指標.

獨立運行這6個算法30次，得到了23個基準函數(shù)的最小函數(shù)值的Avg.和Std.，如表1所示.部分基準函數(shù)的收斂曲線如圖1所示.由圖1可見，AVSSA有最好的收斂性能.由表1可知，利用AVSSA得到單峰函數(shù)F1(x)～F4(x)，F(xiàn)7(x)的Avg.分別為1.18×10?145、1.61×10?73、2.66×10?145、1.15×10?73和5.81×10?5，這些都最接近全局最小值0，而AVSSA和SSA在函數(shù)F6(x)上有相近的Avg..AVSSA在多峰函數(shù)F9(x)和F11(x)上的Avg.達到全局最小值0，在函數(shù)F7(x)、F10(x)和F12(x)的Avg.分別是5.81×10?5、8.88×10?16和4.40×10?3，這些都最接近全局最小值0，且在多峰函數(shù)F13(x)上的Avg.與其它可比較的算法具有相同的數(shù)量級.對于固定維數(shù)的函數(shù)F16(x)～F19(x)，所有可比較的算法AVSSA、SSA、ALO、GWO、MFO和WOA都達到了全局最小值-1.031 6、3、0.398和-3.86，但AVSSA有最小的Std..對于固定維數(shù)的函數(shù)F22(x)，AVSSA得到了最小的Avg.-8.326 6，最接近于全局最小值-10.402 8.

圖1 部分基準函數(shù)的收斂曲線

表1 23個基準函數(shù)的Avg.和Std.

基于上述分析和討論，所提出的算法AVSSA優(yōu)于其它可比較的算法SSA、ALO、GWO、MFO和WOA，更適于基準函數(shù)的極值尋優(yōu).

2.2 基于AVSSA和BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測模型

利用所提出的AVSSA優(yōu)化有一個隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡的參數(shù)：輸入層與隱含層的連接權值W，隱含層與輸出層的連接層的連接權值W′，隱含層的偏差b和輸出層的偏差b′.將此預測模型記為AVSSA-BP，具體步驟為：

步驟1：初始化.初始化的參數(shù)包括樽海鞘鏈中樽海鞘的大小、最大迭代次數(shù)、隱含層中神經(jīng)元節(jié)點的個數(shù)、終止條件.

步驟2：將鏈中的每個樽海鞘映射為連接權值W和W′，偏差b和b′.選取函數(shù)

作為AVSSA的適應度函數(shù)，其中Q是樣本數(shù)，yis和分別是第s個樣本的預測輸出和目標輸出.

步驟3：執(zhí)行AVSSA算法，利用公式（1）和（5）分別更新鏈中領導者和跟隨者的位置.

步驟4：若滿足終止條件，則返回AVSSA算法的食物源F，轉向步驟5.否則執(zhí)行AVSSA，轉向步驟2.

步驟5：將食物源F映射為連接權值W和W′，偏差b和b′，訓練和測試BP神經(jīng)網(wǎng)絡.

預測模型AVSSA-BP的流程圖如圖2所示.

圖2 AVSSA-BP模型的流程圖

3 實驗

3.1 數(shù)據(jù)源

本文所采用的COVID-19數(shù)據(jù)為2020年3月5日至2020年10月6日國家衛(wèi)健委公布的境外輸入COVID-19累計確診病例數(shù)，網(wǎng)站為http://www.nhc.gov.cn/xcs/xxgzbd/gzbd-index.shtml.所采用的COVID-19數(shù)據(jù)利用前3天的COVID-19累計確診病例數(shù)預測第4天的COVID-19累計確診病例數(shù).得到了214組3維輸入數(shù)據(jù)，再刪除最后一組3維數(shù)據(jù)，這樣就得到了213組輸入數(shù)據(jù)，將前192組數(shù)據(jù)作為訓練數(shù)據(jù)，剩下的21組數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù).

為驗證AVSSA-BP的預測性能，我們?nèi)匀贿x取SSA、ALO、GWO、MFO和WOA優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡的參數(shù)，建立預測模型SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP和WOA-BP進行比較，并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行比較.

在本文中，平均絕對誤差（Mean Absolute Error,MAE），根均方差誤差（Root Mean Square Error,RMSE），平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error,MAPE）和確定性系數(shù)R2[16]作為預測模型AVSSA-BP的評價指標.

3.2 實驗結果

在預測模型AVSSA-BP的BP神經(jīng)網(wǎng)絡中，輸入層神經(jīng)元的個數(shù)為3，輸出層的節(jié)點個數(shù)為1.經(jīng)過大量的實驗，選取預測模型AVSSA-BP中BP神經(jīng)網(wǎng)絡的隱含層的神經(jīng)元節(jié)點數(shù)為6.這樣我們將AVSSA-BP中樽海鞘鏈的每個樽海鞘映射為輸入層與隱含層之間的連接權值W，隱含層與輸出層之間的連接權值W′，隱含層的偏差b和輸出層的偏差b′，這樣預測模型AVSSA-BP中樽海鞘鏈的每個樽海鞘的維數(shù)為3×6+6×1+6+1=31，并選擇方程（7）作為AVSSA的適應度函數(shù).

在實驗中，AVSSA-BP、SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP和WOA-BP的種群大小為50，最大迭代次數(shù)為100.獨立運行BP神經(jīng)網(wǎng)絡，AVSSA-BP、SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP、WOA-BP和BP各30次，得到7個預測模型AVSSA-BP、SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP、WOA-BP和BP的21個測試樣本的預測值的平均值和評價指標，分別見表2和表3.

表2 測試數(shù)據(jù)的預測值

表3 測試數(shù)據(jù)的評價指標

由表3可知，利用AVSSA-BP得到的境外輸入病例確診的COVID-19累計病例數(shù)預測的平均MAE、RMSE和MAPE最小，分別為4.311 0、1.413 4和0.154 7，且具有最高的平均確定性系數(shù).因此，預測模型AVSSA-BP優(yōu)于其它預測模型SSA-BP、ALO-BP、GWO-BP、MFO-BP、WOA-BP和BP.實驗結果表明AVSSA算法能有效地優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡的參數(shù)實現(xiàn)COVID-19的預測.

4 討論與結論

本文對SSA中樽海鞘鏈中第i個跟隨者的位置更新進行了改進，得到加權平均的SSA，記為AVSSA.將AVSSA與BP神經(jīng)網(wǎng)絡相結合，對境外輸入確診COVID-19累計病例建立了預測模型AVSSA-BP，且AVSSA-BP具有最小的預測誤差MSE、MAE、RMSE和MAPE，最高的確定性系數(shù)R2.實驗結果表明AVSSA-BP優(yōu)于SSA-BP、ALOBP、GWO-BP、MFO-BP、WOA-BP和BP模型.

在以后的研究中，我們還可以對SSA算法進行改進，并將其與其他一種或多種群智能算法相結合，建立新的混合算法來提高其性能.這些新算法可以用來優(yōu)化某些機器學習算法的參數(shù)，以解決預測和分類問題.