羅 霞 ，胡劍鵬 ，甘易玄

（1.西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院, 四川 成都 611756；2.西南交通大學(xué)綜合交通運(yùn)輸智能化國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室, 四川 成都 611756）

空車調(diào)運(yùn)是實(shí)現(xiàn)鐵路資源優(yōu)化配置的重要內(nèi)容，空車調(diào)運(yùn)的優(yōu)劣直接影響鐵路車輛的利用效率、市場需求的滿足程度以及運(yùn)輸組織的現(xiàn)代化水平.

近年來空車調(diào)運(yùn)優(yōu)化問題的研究多從供需及環(huán)境的隨機(jī)性出發(fā)建立動(dòng)態(tài)隨機(jī)規(guī)劃模型.文獻(xiàn)[1]基于廣義旅速建立時(shí)空服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，提出了空車調(diào)配多階段動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法；在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[2]著重考慮了實(shí)際運(yùn)輸生產(chǎn)中的能力約束，建立了考慮車種替代動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型；文獻(xiàn)[3]則將空車調(diào)配分為基于固定需求的優(yōu)化調(diào)整和基于客戶實(shí)時(shí)需求的策略再優(yōu)化兩個(gè)階段，解決了空車需求的動(dòng)態(tài)變化問題；文獻(xiàn)[4]基于供需的不確定性，為約束條件和目標(biāo)函數(shù)設(shè)置了一定的置信水平，建立了多車種調(diào)配優(yōu)化模型；文獻(xiàn)[5]考慮了路網(wǎng)中轉(zhuǎn)能力和通行能力不確定性的影響，建立多目標(biāo)隨機(jī)期望約束模型；文獻(xiàn)[6]則針對列車走行時(shí)間的不確定性，提出了魯棒優(yōu)化模型，并利用對稱和對偶變化降低了模型求解難度，提高了求解效率.

在上述研究的基礎(chǔ)上，考慮到實(shí)際鐵路生產(chǎn)中空車的產(chǎn)生以及空車的需求是一個(gè)時(shí)空問題，除了物理層面的連接外，還應(yīng)當(dāng)結(jié)合空車與列車接續(xù)時(shí)間關(guān)系進(jìn)行列車之間的空車配流.同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中列車的旅行時(shí)間以及車站的技術(shù)作業(yè)時(shí)間具有不確定性，時(shí)間的波動(dòng)會直接對供需網(wǎng)絡(luò)的接續(xù)關(guān)系造成影響.因此，本文基于魯棒優(yōu)化理論對多車種、可替代條件下的空車調(diào)運(yùn)問題進(jìn)行了研究.

1 問題描述與建模

1.1 問題描述

供應(yīng)站與需求站的車站技術(shù)作業(yè)時(shí)間以及站間旅行時(shí)間不確定性時(shí)，如何確定需求站的空車來源、類型與空車數(shù)量是魯棒接續(xù)時(shí)間要求下空車調(diào)運(yùn)的核心問題.模型中包含下述參數(shù).

定義集合及索引：I、i分別為空車供應(yīng)站集合和索引，i∈I；J、j分別為空車需求站集合及索引，j∈J；E、e分別為供應(yīng)站內(nèi)產(chǎn)生空車的到達(dá)列車集合及索引，e∈E；F、f分別為供應(yīng)站發(fā)出的可掛運(yùn)空車的列車集合及索引，f∈F；G、g分別為需求站內(nèi)需使用到達(dá)空車裝車的發(fā)出列車集合及索引，g∈G；η為實(shí)際的空車類型， χ 為考慮車種替代后按用途歸類的空車類型，空車類型集合H包括平車（N）、棚車（P）和敞車（C），H={N,P,C} ，且 η , χ ∈H.

定義供應(yīng)站相關(guān)變量：ci、ti分別為供應(yīng)站i的等待車小時(shí)費(fèi)用及車站技術(shù)作業(yè)時(shí)間；Sie,η、Sif分別為供應(yīng)站i內(nèi)第e列到達(dá)列車產(chǎn)生 η 型空車的數(shù)目及第f列發(fā)出列車的最大空車掛運(yùn)數(shù)目；Aie、Lif分別為供應(yīng)站i第e列到達(dá)列車的到達(dá)時(shí)刻及第f列發(fā)出列車的最晚編組時(shí)刻.

定義需求站相關(guān)變量：pj、cj和tj分別為需求站j的空車裝車后產(chǎn)生收益、空車等待車小時(shí)費(fèi)用及車站技術(shù)作業(yè)時(shí)間；Sjg,χ為空車需求站j第g列發(fā)出列車需要的 χ 型空車數(shù)量；Ljg為空車需求站j第g列發(fā)出列車的最晚編組時(shí)刻.

定義0-1變量：xi,e,f表示供應(yīng)站i的第e列到達(dá)列車與供應(yīng)站i的第f列發(fā)出列車間是否存在接續(xù)關(guān)系，xi,e,f= 1 為是，xi,e,f= 0 為否；yif,jg= 0 表示供應(yīng)站i的第f列發(fā)出列車與需求站j的第g列發(fā)出列車間是否存在接續(xù)關(guān)系，yif,jg= 1 為是，yif,jg= 0 為否.

定義決策變量：di,e,f,η為供應(yīng)站i的第e列到達(dá)列車為供應(yīng)站i發(fā)出的第f列列車供應(yīng)的η型空車的數(shù)量；dif,jg,χ為供應(yīng)站i第f列發(fā)出列車為需求站j發(fā)出的第g列列車供應(yīng)的χ型空車的數(shù)量；dif,jg,η為供應(yīng)站i第f列發(fā)出列車為需求站j第g列發(fā)出列車供應(yīng)的η型空車的數(shù)量.

另外定義了空車供應(yīng)站i和空車需求站j間的空車輸送費(fèi)用cij及站間旅行時(shí)間tij.

1.2 名義模型構(gòu)建

名義模型是將供應(yīng)站與需求站車站技術(shù)作業(yè)時(shí)間以及站間旅行時(shí)間看作確定值時(shí)的空車調(diào)運(yùn)模型.

1）目標(biāo)函數(shù)

以空車調(diào)運(yùn)效益最大化為目標(biāo)函數(shù)，如式（1）所示，其中：等號右端第1項(xiàng)表示空車到達(dá)需求站后由需求站裝車發(fā)出所產(chǎn)生收益；第2項(xiàng)表示空車調(diào)運(yùn)時(shí)產(chǎn)生的路徑消耗費(fèi)用[7]；第3項(xiàng)表示空車在需求站的等待費(fèi)用；第4項(xiàng)表示空車在供應(yīng)站的等待費(fèi)用.

2）約束條件

式（2）表示供應(yīng)站i的第e列到達(dá)列車給該站各發(fā)出列車f提供的η型空車總數(shù)不得超過第e列到達(dá)列車產(chǎn)生η型空車總數(shù).

式（3）表示供應(yīng)站i的各次到達(dá)列車e為該站第f列發(fā)出列車供應(yīng)的空車總數(shù)不得超過第f列發(fā)出列車的最大空車掛運(yùn)數(shù)目.

式（4）表示dif,jg,η中 η 型箱的數(shù)量等于其實(shí)際替換的各車型dif,jg,χ的數(shù)量總和.設(shè)Rη為 η 型箱可替代的車型集合，參考文獻(xiàn)[8]，平車代替敞車有90%概率，棚車代替平車和敞車有75%的可能，敞車代替棚車有30%的可能，故有RN= {N,C}，RP= {N,P,C}，RC= {P,C}.

式（5）表示供應(yīng)站i發(fā)出的第f列列車中掛運(yùn)的各型空車均用于滿足需求站的空車需求[9-10].

式（6）表示各供應(yīng)站發(fā)出的列車為需求站j發(fā)出的第g列列車提供的χ型空車數(shù)量等于該列車對χ型空車的需求量.

式（7）表示列車間空車輸送數(shù)量非負(fù).

式（8）表示如果供應(yīng)站i的第e列到達(dá)列車在供應(yīng)站i完成相關(guān)技術(shù)作業(yè)后，到達(dá)調(diào)車場的時(shí)刻不晚于i站第f列發(fā)出列車的最晚編組時(shí)刻，則該組供應(yīng)站到達(dá)列車與發(fā)出列車之間滿足最小接續(xù)時(shí)間要求，即xi,e,f= 1，否則，xi,e,f= 0.供應(yīng)站到達(dá)列車產(chǎn)生的空車來自重車卸車時(shí)，ti= (ti,dj+ti,zx) + (ti,jt+ti,zx) +(ti,xc+ti,zx)；到達(dá)列車本身掛有空車時(shí)，ti= (ti,dj+ti,zx) +(ti,jt+ti,zx)；其中：ti,dj、ti,zx、ti,jt和ti,xc分別為i站的到達(dá)技術(shù)作業(yè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)、轉(zhuǎn)線作業(yè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)、解體作業(yè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)（含推峰時(shí)間）及卸車作業(yè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn).

式（9）表示若供應(yīng)站i發(fā)出的第f列列車在需求站j完成相關(guān)技術(shù)作業(yè)后，到達(dá)調(diào)車場的時(shí)刻不晚于j站發(fā)出第g列列車的最晚編組時(shí)刻，即yie,jg= 1，否則，yie,jg= 0.列車在需求站j的技術(shù)作業(yè)時(shí)間tj=(tj,dj+tj,zx) + (tj,jt+tj,zx) + (tj,zc+tj,zx)，其中：tj,dj、tj,zx、tj,jt、tj,zc分別為j站到達(dá)技術(shù)作業(yè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)、轉(zhuǎn)線作業(yè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)、解體作業(yè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)及裝車作業(yè)的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn).

式（10）表示只有當(dāng)供應(yīng)站i第f列發(fā)出列車存在滿足接續(xù)時(shí)間要求的空車來源時(shí)，即xi,e,f= 1時(shí)，才考慮該發(fā)出列車與需求站發(fā)出列車的接續(xù)關(guān)系.

為便于說明，本文定義了屬于關(guān)系、連接關(guān)系和車流關(guān)系，如圖1所示，圖中：三角框?yàn)楣?yīng)站，正方形框?yàn)樾枨笳?，圓圈為列車，后同.

圖1 空車調(diào)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Empty wagon allocation network

定義1屬于關(guān)系指供應(yīng)站到達(dá)列車e、發(fā)出列車f與供應(yīng)站i之間的關(guān)系以及需求站發(fā)出列車g與需求站j之間的關(guān)系.

定義2連接關(guān)系為供應(yīng)站發(fā)出的列車f與該列車到達(dá)的需求站j之間的關(guān)系，供應(yīng)站發(fā)出的任一可掛運(yùn)空車的列車有且只與一個(gè)需求站建立連接關(guān)系.

定義3車流關(guān)系是指當(dāng)某一列車中的車輛可以成為另一列車中的車流來源時(shí)，兩列列車之間存在的關(guān)系.車流關(guān)系可以定義為兩部分：

1）供應(yīng)站到達(dá)列車e與該站發(fā)出列車f之間的車流關(guān)系定義為第1階段車流關(guān)系；

2）供應(yīng)站發(fā)出的列車f與需求站發(fā)出的列車e之間的車流關(guān)系定義為第2階段車流關(guān)系.

車流關(guān)系由約束條件式（8）～（10）確定.

1.3 魯棒優(yōu)化模型構(gòu)建

實(shí)際運(yùn)輸中由于設(shè)備因素、環(huán)境因素和人為因素的影響，列車站間旅行時(shí)間以及車站技術(shù)作業(yè)時(shí)間是不確定的，若以固定的旅行時(shí)間和技術(shù)作業(yè)時(shí)間作為空車接續(xù)時(shí)間的判斷依據(jù)，當(dāng)接續(xù)條件Lif-(Aie+ti)≥0或Ljg-(Lif+tij+tj)≥0 ，但取值較小時(shí)，技術(shù)作業(yè)時(shí)間和旅行時(shí)間的波動(dòng)可能使得既有的接續(xù)關(guān)系失效，導(dǎo)致求得方案不可行.因此，基于Dimitris等[11]提出的魯棒優(yōu)化理論建立了空車調(diào)運(yùn)魯棒優(yōu)化模型.

1）目標(biāo)函數(shù)

魯棒優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)如式（12），約束關(guān)系如式（13）所示，結(jié)合波動(dòng)程度與波動(dòng)下限約束，式（12）中的C2如（14）所示，矩陣表達(dá)如式（15）所示.

式（13）、（15）中： δij、 δi、 δj、 θij、 θi、 θj為松弛系數(shù)；n為供應(yīng)站數(shù)目 ；m為需求站數(shù)目；En為n×n的單 位 矩 陣 ；Zn為 元 素 全 為 1的 1 ×n矩 陣 ； δn=(δ1,δ2,···,δn)T； θn=(θ1,θ2,···,θn)T；Unm=(α11,α12,···,αnm)T；Vn=(β1,β2,···,βn)T；Wm=(γ1,γ2,···,γm)T.

證明一個(gè)矩陣為完全幺模矩陣的充分條件為：① 矩陣中元素僅包含 0、1、-1；② 矩陣每列最多兩個(gè)非0元素；③ 矩陣的行可分劃成兩個(gè)子集，使得同列中兩個(gè)非零元素符號相同時(shí)，對應(yīng)的兩行在不同的行子集中，當(dāng)符號不同時(shí)，對應(yīng)的兩行在同一行子集中.易得：約束矩陣式（15）滿足條件 ①、②，并且當(dāng)矩陣行劃分為(1,4)和(2,3,5,6)兩個(gè)行子集時(shí)滿足條件 ③，故該約束矩陣為完全幺模矩陣.結(jié)合完全幺模矩陣的性質(zhì)，當(dāng) Γ1、 Γ2和 Γ3均取整數(shù)時(shí)，式（13）、（14）的最優(yōu)解 α*、 β*、 λ*也為整數(shù)，因αij,βi,γj≥0，且 αij,βi, γj≤1 ，故其最優(yōu)值取0或1.

2）約束條件

原約束條件中式（2）～（7）、（10）不變，式（8）、（9）分別變更為式（16）、（17）.

2 求解算法

2.1 名義模型求解算法

名義模型為非線性整數(shù)規(guī)劃模型，求解困難，因此，求解前結(jié)合約束關(guān)系式(8) ～ (10)對模型進(jìn)行簡化.

以算例中的供應(yīng)站3為例，為便于表示，此處僅保留三列供應(yīng)站發(fā)出列車，變化前后網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示.與原網(wǎng)絡(luò)相比，新網(wǎng)絡(luò)中僅保留了xi,e,f=1 和yie,jg=1時(shí)所對應(yīng)的決策變量di,e,f,η和dif,jg,η，進(jìn)而去除模型中的約束條件式（8）～（10），轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，可調(diào)用CPLEX進(jìn)行求解.

圖2 簡化前后網(wǎng)絡(luò)圖Fig.2 Network diagrams of pre- and post-simplification

2.2 魯棒優(yōu)化模型求解算法

魯棒優(yōu)化模型中引入了變量 αij、 βi、 γj，這些變量會導(dǎo)致供需網(wǎng)絡(luò)中既有車流關(guān)系的變化，但對于每組 αij、 βi、 γj存在唯一的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，求解時(shí)可以看作名義模型.

遍歷滿足約束的每組 αij、 βi、 γj是最準(zhǔn)確的求解方法，但當(dāng) Γ1、 Γ2、 Γ3取值較高時(shí)模型的求解復(fù)雜度會劇增，導(dǎo)致求解困難.研究發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的車流關(guān)系減少時(shí)，最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案才可能改變，故設(shè)計(jì)下述步驟求解.求解時(shí) Γ1、 Γ2、 Γ3和為已知值.

步驟1結(jié)合式(8)～(10)，得出固定出行時(shí)間下供需網(wǎng)絡(luò)中存在的車流關(guān)系，令供應(yīng)站i的第1階段車流關(guān)系集合為 Ω1,i，供應(yīng)站i的第2階段車流關(guān)系集合為 Ω2,i，形式如下：

式中：Ω1,i中(e,f)表示i站第e列到達(dá)列車可以為i站第f列發(fā)出列車供應(yīng)空車；Ω2,i中(f,j,g)表示i站發(fā)出的第f列列車可以為j站發(fā)出的第g列列車供應(yīng)空車.

步驟 2令集合U、V、W中的各項(xiàng)元素均為 1，即所有的tij、ti、tj都存在波動(dòng)，結(jié)合式（10）、（16）、（17），得出絕對魯棒下的網(wǎng)絡(luò)中存在的車流關(guān)系 Π1,i、Π2,i，形式同 Ω 1,i、 Ω 2,i.

步驟 3比較 Π 1,i、 Π 2,i和 Ω 1,i、 Ω 2,i中的車流關(guān)系數(shù)量，確定此時(shí)減少的車流關(guān)系.若 Π1,iΩ1,i，說明第1階段車流關(guān)系發(fā)生了變化，若 Π2,iΩ2,i，說明第2階段車流關(guān)系發(fā)生變化.假設(shè)此時(shí)減少的車流關(guān)系為 Ω1,1的 (1,1)， Ω1,2的 (1,2)， Ω2,2的(1,1,1)，Ω2,3的(2,2,1).

步驟4找出減少的車流關(guān)系中包含的供應(yīng)站集合I1、需求站集合J1以及連接關(guān)系集合O，以步驟3中假設(shè)為例，減少的車流關(guān)系中包含的供應(yīng)站為I1= {1,2,3}，包含的需求站為J1= {1,2}，包含的連接關(guān)系為O={(2,1),(3,2)}.

步驟5令集合U、V、W中的各項(xiàng)元素均為0.同時(shí)，根據(jù)供應(yīng)站n1、需求站n2、連接關(guān)系n3及波動(dòng)下限 Γ1、Γ2、Γ3，按下述方法確定 βi、 γj、 αij的取值：

1）若 Γ1≥|n1| （ |n1| 表示n1中元素個(gè)數(shù)，其余同），則令I(lǐng)1內(nèi)各供應(yīng)站的系數(shù) βi為 1，以I1={1,2,3} 為例

即 β1=1 、 β2=1 、 β3=1 ；若 Γ1＜|I1| 則得到從I1中取Γ1個(gè)元素的全排列集合N1，令每組排列的系數(shù)為1；

2）針對 Γ2的調(diào)整方法同T1，當(dāng) Γ2＜|J1| 時(shí)，得到從J1中取 Γ2個(gè)元素的全排列集合N2；

3）若 Γ3≥|O| ，則令O中各元素的系數(shù) αij=1 ，以步驟3中假設(shè)為例， α21=1 ， α32=1 ；否則，得到從O中取 Γ3個(gè)元素的全排列組合N3,令每組排列的系數(shù)為1.

步驟 6輸入由N1、N2、N3中元素組成的 αij、 βi、γj排列，調(diào)用CPLEX求解各網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的最佳效益值，取其中的最小值作為魯棒解.

該算法在給定波動(dòng)量t?ij、t?i、t?j的情況下，找出最劣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)較理想網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中減少的車流關(guān)系，以此為入手點(diǎn)找出波動(dòng)下限 Γ1、 Γ2、 Γ3下最可能引起網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化的 αij、 βi、 γj排列，避免了無效遍歷，減少了求解時(shí)間.

3 模擬計(jì)算及結(jié)果分析

3.1 參數(shù)輸入

以5個(gè)需求站和4個(gè)供應(yīng)站構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析.供應(yīng)站列車的到達(dá)時(shí)刻Aie、產(chǎn)生的各型空車數(shù)量Sie,η見表1.供應(yīng)站發(fā)出列車f的最晚編組時(shí)刻Lif、發(fā)往需求站j和最大空車掛運(yùn)數(shù)量Sif見表2.需求站發(fā)出列車g的最晚編組時(shí)刻Ljg及空車需求量Sjg,χ見表3.站間空車輸送費(fèi)用cij、名義旅行時(shí)間tij見表4.各車站等待車小時(shí)費(fèi)用ci、cj，固定作業(yè)時(shí)間ti、tj，空車裝車后的發(fā)送效益pj見表5.規(guī)劃階段起始時(shí)刻為 0，1 天為 1 440 min，表中負(fù)號對應(yīng)前一天的時(shí)間.前一階段殘存空車也按照其實(shí)際列車到達(dá)情況加入供應(yīng)站到達(dá)列車數(shù)據(jù).

表1 供應(yīng)站列車到達(dá)時(shí)刻及空車產(chǎn)生數(shù)量Tab.1 Time of train arrival and number of empty wagons produced in supply stations

表2 供應(yīng)站列車最晚編組時(shí)刻及最大空車掛運(yùn)數(shù)量Tab.2 Train marshalling time limit and maximum number of empty wagons in supply stations

表3 需求站列車最晚編組時(shí)刻及所需空車數(shù)量Tab.3 Train marshalling time limit and number of empty trains required in demand stations

表4 站間空車輸送費(fèi)用及名義旅行時(shí)間Tab.4 Empty wagon transportation cost and nominal travel time between stations

表5 車站參數(shù)數(shù)據(jù)Tab.5 Station parameter data

3.2 名義模型求解結(jié)果

通過MATLAB 2018a調(diào)用數(shù)學(xué)優(yōu)化軟件CPLEX編程求解，得到該供需網(wǎng)絡(luò)下的最優(yōu)空車匹配方案，供應(yīng)站各發(fā)出列車掛運(yùn)的空車來源見表6.各需求站發(fā)出列車的空車來源見表7.該網(wǎng)絡(luò)下存在474個(gè)第1階段車流關(guān)系，204個(gè)第2階段車流關(guān)系，空車輸送效益值為53 708元.

表6 供應(yīng)站發(fā)出列車的空車來源Tab.6 Empty wagon source of trains leaving from supply stations

表7 需求站發(fā)出列車空車來源Tab.7 Empty wagon source of trains leaving from demand station

空車替代情況：需求站2發(fā)出的列車2中由列車(4,1,1)供應(yīng)的1輛敞車為平車用作敞車.需求站4發(fā)出的列車2中由列車(1,5,4)供應(yīng)的棚車中，有1輛為敞車用作棚車.需求站5發(fā)出的列車1中由列車(1,3,7)供應(yīng)的棚車中，2輛為敞車用作棚車.

3.3 魯棒優(yōu)化模型分析

波動(dòng)量和波動(dòng)下限造成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化可能導(dǎo)致無可行解，為保證可行解的存在對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行下述變化.

1）為各供應(yīng)站增加一輛虛擬到達(dá)列車，該列車與供應(yīng)站所有發(fā)出列車f均存在接續(xù)關(guān)系，且掛有充足的各類型空車；

2）任一供應(yīng)站與所有需求站間均增加一列虛擬發(fā)出列車，該列車與需求站所有發(fā)出列車g均存在接續(xù)關(guān)系且發(fā)出列車的空車掛運(yùn)能力充足；

3）當(dāng)供應(yīng)站發(fā)出列車空車來源為供應(yīng)站虛擬到達(dá)列車時(shí)，供應(yīng)站庫存費(fèi)用取較大常數(shù)，當(dāng)需求站發(fā)出列車車流來源為供應(yīng)站虛擬發(fā)出列車時(shí)，需求站發(fā)車效益為0.

4）求得最優(yōu)解后，除去供應(yīng)站虛擬到達(dá)列車和虛擬發(fā)出列車對應(yīng)車流關(guān)系，結(jié)合式（1）求解實(shí)際效益，作為當(dāng)前方案下的效益值.

3.3.1 單因素波動(dòng)影響分析

模型中的不確定因素包括站間旅行時(shí)間、供應(yīng)站及需求站作業(yè)時(shí)間3項(xiàng).各因素的不確定程度由波動(dòng)量和波動(dòng)下限 Γ1、 Γ2、 Γ3共同決定，令不同波動(dòng)下限下效益值隨的變化即可看作效益值隨波動(dòng)率q1、q2、q3的變化.單因素波動(dòng)導(dǎo)致效益值和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變化如圖3所示.

圖3 單因素波動(dòng)率影響分析Fig.3 Fluctuation influence analysis from single factor

由圖3可知：

1）單因素的不確定性導(dǎo)致效益值出現(xiàn)較大變化時(shí)，必然伴隨車流關(guān)系的變化.只有當(dāng)減少的車流關(guān)系屬于當(dāng)前最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案時(shí)效益值才會有較大變化.

2）相同波動(dòng)率下效益值差距較大時(shí)，波動(dòng)下限越大效益值越小.此時(shí)，相同波動(dòng)率下的最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案不同，波動(dòng)下限越大，網(wǎng)絡(luò)中存在車流關(guān)系越少，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)越劣，效益越小.

3）相同波動(dòng)率下效益值很接近時(shí)，波動(dòng)下限越大效益值越大.此時(shí)最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案一致，波動(dòng)下限越大，受到影響的作業(yè)或旅行時(shí)間越多，車輛的等待時(shí)間越小，效益值越大.

4）從單因素的絕對魯棒性來看，波動(dòng)率相同時(shí)，效益值越小則受波動(dòng)率影響越大，故各因素對效益的影響程度為tj＞tij＞ti.

3.3.2 多因素波動(dòng)率影響分析

給定 Γ1=15 ， Γ2=2 ， Γ3=3 ，q1 、q2 、q3 之間互動(dòng)關(guān)系如圖4.q2的大小決定第1階段連接關(guān)系的數(shù)量，也決定了優(yōu)化結(jié)果的上限.隨著q2的增大，效益值整體波動(dòng)幅度逐漸減小，q2不變時(shí)效益值隨q1、q3的增大而減小.

圖4 多因素波動(dòng)率影響分析Fig.4 Fluctuation influence analysis from multiple factors

3.3.3 波動(dòng)下限影響分析

當(dāng)q1=5% ，q2=4% ，q3=5% 時(shí)，不同Γ1、Γ2、Γ3下方案效益值如圖5所示.

圖5 波動(dòng)下限影響分析Fig.5 Influence analysis of lower limit of fluctuation

1）站間旅行時(shí)間波動(dòng)下限影響分析

Γ2、 Γ3取值相同， Γ1∈[0,2]時(shí)， Γ1對效益有顯著影響，并且 Γ1越大效益越小.Γ1∈[3,20]時(shí)， Γ1對效益無顯著影響， Γ1越大效益值越大.

2）供應(yīng)站作業(yè)時(shí)間波動(dòng)下限影響分析

Γ1、 Γ3取值相同， Γ2的取值對效益無較大影響，并且 Γ2越大效益值越大.

3）需求站作業(yè)時(shí)間波動(dòng)下限影響分析

Γ1、Γ2取值相同，Γ3∈[0,1]時(shí)的效益明顯大于 Γ3∈[2,5]時(shí)的效益，且效益與 Γ3的呈負(fù)相關(guān).但當(dāng)Γ3∈[2,5]時(shí)，雖然效益仍與 Γ3呈負(fù)相關(guān)，但無顯著差異.

綜上，供應(yīng)站作業(yè)時(shí)間波動(dòng)下限對效益值的影響最小.旅行時(shí)間波動(dòng)下限和需求站作業(yè)時(shí)間波動(dòng)下限取值較小時(shí)，它們對效益值有較大影響，并且二者間存在相互影響.

4 結(jié) 論

1）提出供應(yīng)站到達(dá)列車、發(fā)出列車以及需求站發(fā)出列車間的空車接續(xù)時(shí)間關(guān)系判斷方法，并據(jù)此分別建立了確定環(huán)境與不確定環(huán)境下的空車調(diào)運(yùn)優(yōu)化模型.

2）考慮構(gòu)建模型的特征，將確定環(huán)境下的模型轉(zhuǎn)化為了線性模型，并結(jié)合車流關(guān)系的變化是效益值變化的主要原因這一特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了魯棒優(yōu)化模型的求解算法，求得了考慮車種替代的空車配流方案.

3）需求站技術(shù)作業(yè)時(shí)間波動(dòng)率對效益值影響最大.供應(yīng)站技術(shù)作業(yè)時(shí)間波動(dòng)下限對效益值影響最小.方案效益值隨方案魯棒性的提高而下降.