◎項(xiàng)赟飚

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，安徽 合肥 230026)

一、項(xiàng)目緣起

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)團(tuán)隊(duì)2020年因率先攻克了哈密爾頓-田猜想和偏零階估計(jì)猜想這兩個(gè)國際微分幾何領(lǐng)域20余年懸而未決的難題而刷屏，這一成果無疑是我國2020年度最重大成果之一，先后入選2020年度“中國十大科技進(jìn)展”“國內(nèi)十大科技新聞”。

幾何是研究形狀的科學(xué)，是非常直觀、自然的學(xué)問。生活中處處離不開幾何。古典微分幾何作為研究曲線與曲面的幾何，近年來在諸如計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、三維打印等方面大放異彩。而現(xiàn)代微分幾何，看似抽象，卻是現(xiàn)代物理學(xué)的基石。從愛因斯坦的廣義相對(duì)論、楊-米爾斯的規(guī)范場論到近年來依然熱門的弦理論，都是幾何學(xué)與物理學(xué)相互結(jié)合、共同發(fā)展的最好典范。從某種意義上來說，現(xiàn)代幾何學(xué)與現(xiàn)代物理學(xué)可以看作是同一個(gè)事物的兩個(gè)不同側(cè)面[1]。

拓?fù)鋵W(xué)起源于哥尼斯堡七橋問題，在20世紀(jì)得到了飛速發(fā)展。我國數(shù)學(xué)家吳文俊先生在這個(gè)方向上曾作出了極其重要的工作。目前拓?fù)鋵W(xué)已經(jīng)成為現(xiàn)代分析與現(xiàn)代幾何的基礎(chǔ)?，F(xiàn)代微分幾何的一個(gè)中心問題之一就是幾何量、拓?fù)淞颗c物理量之間的關(guān)系。近一個(gè)世紀(jì)以來，許多著名數(shù)學(xué)家如陳省身、丘成桐都在這一方面上作出了舉世矚目的貢獻(xiàn)。

拓?fù)鋵W(xué)有著廣泛的應(yīng)用，包括物理學(xué)(如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類)、化學(xué)(如分子的拓?fù)錁?gòu)形)、生物學(xué)(如DNA的環(huán)繞、拓?fù)洚悩?gòu)酶)、經(jīng)濟(jì)學(xué)(如經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型，均衡的存在性、性質(zhì)、計(jì)算，系統(tǒng)理論、對(duì)策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論)。過去十年里，這一領(lǐng)域的研究促進(jìn)了凝聚態(tài)物理研究的前沿發(fā)展，人們不僅僅對(duì)拓?fù)洳牧夏軌蛟谛乱淮娮悠骷统瑢?dǎo)體中產(chǎn)生應(yīng)用抱有希望，而且看好其在未來量子計(jì)算機(jī)方面的應(yīng)用。2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位科學(xué)家——戴維·索利斯、鄧肯·霍爾丹和邁克爾·科斯特利茨，以表彰他們發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)拓?fù)湎嘁约霸谕負(fù)湎嘧兎矫孀鞒龅睦碚撠暙I(xiàn)。拓?fù)鋵W(xué)是三位得獎(jiǎng)?wù)吣茏龀鲞@一成就的關(guān)鍵，它解釋了為什么薄層物質(zhì)的電導(dǎo)率會(huì)以整數(shù)倍發(fā)生變化。

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社借助這一契機(jī)，開始瞄準(zhǔn)學(xué)校微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)重大研究，約請(qǐng)他們對(duì)微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)。

2017年，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社將微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)的著作進(jìn)展整合，篩選出《古典微分幾何》《近代微分幾何》《點(diǎn)集拓?fù)洹贰段⒎滞負(fù)洹贰洞鷶?shù)拓?fù)渫{(diào)論》《代數(shù)拓?fù)渫瑐愓摗?，冠以叢書名《微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)》申報(bào)國家出版基金項(xiàng)目，后成功立項(xiàng)，并獲批“十三五”國家重點(diǎn)出版物出版規(guī)劃項(xiàng)目。

迄今為止，不乏關(guān)于每個(gè)主題的有關(guān)數(shù)學(xué)教材與著作，然而作為一套系列著作，高屋建瓴地將微分幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)的全貌一氣呵成地展示給讀者，真是實(shí)屬少見! 更難能可貴的是，每本著作向讀者展示了微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)深?yuàn)W的知識(shí)點(diǎn)、學(xué)科發(fā)展的來龍去脈、與諸多學(xué)科之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)概念之間的滲透，不僅將知識(shí)點(diǎn)交待得一清二楚，而且點(diǎn)撥了學(xué)習(xí)研究微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)的途徑和要領(lǐng)，實(shí)屬難得。

二、項(xiàng)目主要內(nèi)容

這套系列著作的亮點(diǎn)是高屋建瓴、條分縷析；先見森林、后見樹木；正例反例、全方位啟發(fā)；構(gòu)造思維、領(lǐng)創(chuàng)新之路。

首先看微分幾何學(xué)部分。

大學(xué)數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容是牛頓微積分，它為人類認(rèn)識(shí)世界、研究宇宙提供了極其重要的工具。上至天文、下至地理，左至科研、右至教學(xué)，前至生產(chǎn)、后至生活，處處難覓不使用牛頓微積分的角落，似乎牛頓微積分已經(jīng)解決了人類所有的問題。那么，數(shù)學(xué)家對(duì)于牛頓微積分還有什么話要說、在其之后還有什么事要做呢？

“微分幾何學(xué)”回答了這個(gè)問題?！拔⒎謳缀螌W(xué)”分成《古典微分幾何》與《近代微分幾何》兩冊(cè)。“古典微分幾何”瞄準(zhǔn)牛頓微積分未處理但已清晰可見的問題：n維歐氏空間中的曲線、曲面具有什么樣的局部性質(zhì)、整體性質(zhì)；“近代微分幾何”則是微分幾何學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展(包括Riemann幾何的完美理論體系，及其與近代物理的密切聯(lián)系和應(yīng)用)。

這兩本書各具特點(diǎn)?！豆诺湮⒎謳缀巍芬粫奶攸c(diǎn)是：清楚地區(qū)分n維歐氏空間中曲線、曲面的局部性質(zhì)與大范圍性質(zhì)；《近代微分幾何》的特點(diǎn)則是：明確地指出微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)研究的三個(gè)重要觀點(diǎn) —— 坐標(biāo)觀點(diǎn)(經(jīng)典)、映射觀點(diǎn)(現(xiàn)代)、活動(dòng)標(biāo)架觀點(diǎn)(融合與升華)。

在《古典微分幾何》的“曲線論”部分，首先復(fù)習(xí)了數(shù)學(xué)分析中三維歐氏空間R3的曲線曲率(曲線的彎曲程度)、曲率半徑、曲線切向量、弧長、曲率圓、撓率(曲線離開密切平面的程度)等局部性質(zhì)。緊接著過渡到n維向量空間Rn中更深刻的概念——Frenet標(biāo)架(與R3不同的、高維空間中使用的坐標(biāo)系，也稱為自然活動(dòng)標(biāo)架)；然后通過多個(gè)例子給出求曲率、撓率、建立Frenet標(biāo)架的方法，以加深印象和理解.接著證明曲線論的基本公式(Frenet公式)，并借助于Frenet公式證明曲線論的基本定理(存在與唯一性定理)。這些內(nèi)容，使得讀者清楚了曲線局部性質(zhì)的學(xué)習(xí)要領(lǐng)，領(lǐng)悟到曲線局部性質(zhì)的研究方向。

關(guān)于曲線整體性質(zhì)：通過“4頂點(diǎn)定理”“Minkowski定理”“Fenchel定理”“Fary-Milnor不等式”(關(guān)于扭結(jié)的全率不等式)以及它們的清晰證明，啟示了曲線整體性質(zhì)所應(yīng)掌握的內(nèi)容與研究的方向。

《古典微分幾何》的第二個(gè)重要部分，“曲面論”，與曲線論異曲同工：將曲面局部性質(zhì)通過曲面的切向量、切空間以及在解析幾何中熟知的例子(旋轉(zhuǎn)面、直紋面、可展面)等內(nèi)容，清楚地展示出來。之后引入曲面的第一基本形式、第二基本形式；再以曲率為主線，將各種曲率(法曲率、Gauss曲率、測地曲率)的定義、性質(zhì)、作用以及其間的關(guān)系，條理分明地一一刻畫。

然后給出曲面的基本方程與曲面論的基本定理。

關(guān)于曲面整體性質(zhì)，則是通過緊致全臍超平面的剛性定理、極小曲面的Bernstein定理、Gauss-Bonnet公式、二維緊致定向流形的Poincare切向量場指標(biāo)定理，這四個(gè)重要定理的敘述與證明，清楚地啟示了曲面整體性質(zhì)的學(xué)習(xí)要領(lǐng)與研究方向。

我們來看《近代微分幾何》，這部分是現(xiàn)代物理學(xué)的基礎(chǔ)、直接與Einstein廣義相對(duì)論及Yang-Miles規(guī)范場掛鉤的現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論；是世界范圍內(nèi)的幾何與拓?fù)鋵W(xué)家們對(duì)古典微分幾何向更高深、更抽象、更智慧、更神奇的幾何理論的重要發(fā)展與巨大貢獻(xiàn)。

讀者在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)很快體會(huì)到三種重要觀點(diǎn)。坐標(biāo)觀點(diǎn)：古典觀點(diǎn)，接近于Euclid空間中的笛卡爾坐標(biāo)，也便于計(jì)算；映射觀點(diǎn)：近代觀點(diǎn)，幾何直觀性強(qiáng)、整體性強(qiáng)；活動(dòng)標(biāo)架觀點(diǎn)：微分結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)的結(jié)合、嶄新的微分幾何工具，滲透在《近代微分幾何》一書中。這是專著的精華之處，也是作者的匠心所在。

事實(shí)上，作者是以嶄新觀點(diǎn)介紹《近代微分幾何》必備的重要專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)的。首先是Riemann幾何基本知識(shí)，如Riemann度量g、Levi-Civita連絡(luò)各種曲率、子流形幾何(包括全測地、極小、全臍等子流形)；配以大量的極小曲面典型實(shí)例，如Veronese極小曲面、Clifford極小超曲面等。而后建立長度與體積的第一變分公式、第二變分公式，以便深入研究曲線長度、子流形體積的局部極小性與整體極小性，其次是星算子*、上微分算子在微分形式上推廣了的Laplace算子△、在微分形式上的Hodge分解與同構(gòu)定理、主特征值的各種估計(jì)，以及等譜問題，這些內(nèi)容的進(jìn)一步研究，都是當(dāng)今科學(xué)研究的熱點(diǎn)。然后給出Riemann幾何中四個(gè)漂亮而又深刻的比較定理(Rauch比較定理、Hessian比較定理、Laplace比較定理、體積比較定理)，并證明了著名的拓?fù)淝蛎娑ɡ怼?/p>

下面轉(zhuǎn)向代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。

《代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)》分為三個(gè)主題：點(diǎn)集拓?fù)?、微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)?。又將其分為《點(diǎn)集拓?fù)洹贰段⒎滞負(fù)洹贰洞鷶?shù)拓?fù)洌和{(diào)論》《代數(shù)拓?fù)洌和瑐愓摗匪谋緦Ｖ?，依次詳述，展現(xiàn)了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的全貌與細(xì)節(jié)。

《點(diǎn)集拓?fù)洹纷鳛橥負(fù)鋵W(xué)的起點(diǎn)，同時(shí)也是與微積分、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)這三門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)課程連接最緊密的一門學(xué)科?！饵c(diǎn)集拓?fù)洹芬粫浞值伢w現(xiàn)了這套系列著作“高屋建瓴、條分縷析”的思維風(fēng)格、“先見森林、后見樹木”的治學(xué)特色。不多的三章，把點(diǎn)集拓?fù)涞闹饕蝿?wù)與內(nèi)容整理得頭頭是道、描繪得清清楚楚：“拓?fù)洳蛔兞俊钡难芯?、“新拓?fù)淇臻g”的構(gòu)造、“基本群”及其計(jì)算法。前兩者是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的重要任務(wù)，后者則直通代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的至高點(diǎn)。這不僅使得讀者了解拓?fù)鋵W(xué)與近代數(shù)學(xué)千絲萬縷的聯(lián)系，而且也把大學(xué)數(shù)學(xué)提升到一個(gè)新的高度、把點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的近代氣息完全彰顯出來了！ 這是《點(diǎn)集拓?fù)洹返牡谝粋€(gè)特點(diǎn)。

仔細(xì)閱讀“構(gòu)造新拓?fù)淇臻g”一章，會(huì)發(fā)現(xiàn)《點(diǎn)集拓?fù)洹返牡诙€(gè)特點(diǎn)：在“(子拓?fù)淇臻g，嵌入映射)、(積拓?fù)淇臻g，投影映射)、(商拓?fù)淇臻g、商映射)”框架下，指明了原拓?fù)淇臻g與所構(gòu)造的新拓?fù)淇臻g的重要紐帶——嵌入映射(或稱恒同映射)、投影映射、商映射；解答了為何要構(gòu)建新拓?fù)淇臻g、所給定的已知拓?fù)淇臻g應(yīng)滿足什么條件、已知拓?fù)淇臻g的哪些性質(zhì)會(huì)遺傳給被構(gòu)建的新拓?fù)淇臻g，等等。而后利用關(guān)鍵聯(lián)系(三種映射)詳細(xì)證明所構(gòu)建的新拓?fù)淇臻g的性質(zhì)，特別是拓?fù)洳蛔冃?，也就是從給定空間所能遺傳下來(或繼承下來)的拓?fù)湫再|(zhì)，如分類性質(zhì)、各種連通性、各種緊致性、各種正則性正規(guī)性。每一步的構(gòu)建都配以清晰易懂的例子；每一個(gè)性質(zhì)都給予嚴(yán)格的證明；整個(gè)第二章前后呼應(yīng)，一氣呵成。

《點(diǎn)集拓?fù)洹返牡谌齻€(gè)特點(diǎn)，是全書輔以大量的正例、反例。眾所周知，數(shù)學(xué)的高度抽象性，決定了舉例子的重要性。特別是給出反例，尤為重要。一般來說，正例比較容易舉出，但反例就大不相同了。在微分幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)中，由于這兩個(gè)學(xué)科深層的難度與高度的抽象，要想得到比較直觀、容易理解的反例更屬不易。

點(diǎn)集拓?fù)?，一般設(shè)置在大學(xué)本科3年級(jí)下學(xué)期或4年級(jí)上學(xué)期、4個(gè)周學(xué)時(shí)的課程。這時(shí)期，大學(xué)本科數(shù)學(xué)分析、解析幾何、高等代數(shù)(常稱“老三高”)已經(jīng)打下基礎(chǔ)，復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)課程也已經(jīng)讀完；點(diǎn)集拓?fù)淙羟『门c泛函分析課程同時(shí)起步，對(duì)于培養(yǎng)一個(gè)職業(yè)數(shù)學(xué)工作者來說，是很合適的。然而，正如“點(diǎn)集拓?fù)涫菑?9世紀(jì)經(jīng)典分析到20世紀(jì)近代數(shù)學(xué)的橋梁，其知識(shí)與能力的培養(yǎng)至關(guān)重要”，特別是從形象思維到抽象思維能力的引導(dǎo)和訓(xùn)練，更是重中之重。諸多問題需要解決，例如，為什么有了直線、平面、人類生活的三維空間，還不夠用？為什么要建立抽象的拓?fù)淇臻g？各種抽象拓?fù)淇臻g有什么重要拓?fù)湫再|(zhì)？所研究的拓?fù)湫再|(zhì)(分離性、可數(shù)性、連通性、緊性)等繁多的概念有何背景與實(shí)際意義？特別是各種緊致性之間有何關(guān)系？只有明確地解決了這些問題，才能穩(wěn)步地從形象思維過渡到抽象思維，才能更好地學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)！系列叢書在引入每個(gè)新概念的同時(shí)，都輔以清晰解說，并給以大量的正例、反例。這些例子連接著經(jīng)典數(shù)學(xué)分析與近代數(shù)學(xué)科學(xué)、連接著真實(shí)的現(xiàn)實(shí)世界與抽象的數(shù)學(xué)領(lǐng)空。每當(dāng)遇到一個(gè)抽象拓?fù)涓拍顣r(shí)、總有非常貼切的正例或反例相伴，幫助初學(xué)者理解、認(rèn)識(shí)、抽象、升華。

再往高處、深處，就輪到《微分拓?fù)洹贰洞鷶?shù)拓?fù)洌和{(diào)論》《代數(shù)拓?fù)洌和瑐愓摗妨?。這三個(gè)主題中，《微分拓?fù)洹肥茄芯课⒎至餍?如流形、流形等)在一定的映射下(如微分同構(gòu)、微分同胚、同調(diào)、同倫等)保持不變的各種性質(zhì)的學(xué)科?！洞鷶?shù)拓?fù)洹穭t是抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)(群、環(huán)等)與點(diǎn)集拓?fù)湎嗷B透、相互聯(lián)系、相互影響、有機(jī)結(jié)合的學(xué)科。它以群環(huán)概念與方法為主要工具、以組合方法給出單純同調(diào)群與奇異同調(diào)群，并研究它們的特征性質(zhì)，特別是拓?fù)洳蛔冃?同胚不變、同倫不變等)。這些都是當(dāng)代的主流數(shù)學(xué)。

從連續(xù)性開始，到同胚、同構(gòu)、同調(diào)、同倫……讀者不難看到，幾何與拓?fù)鋵W(xué)家手中這些強(qiáng)有力的重要數(shù)學(xué)工具，以及由這些工具所刻畫的一個(gè)個(gè)鮮活的自然規(guī)律及它們之間的深刻內(nèi)涵性質(zhì)?！洞鷶?shù)拓?fù)鋵W(xué)》這三本系列專著更讓讀者深深地領(lǐng)會(huì)到：拓?fù)鋵W(xué)家巧妙地利用重要的拓?fù)洳蛔兞?，將具有?fù)雜結(jié)構(gòu)的(代數(shù)的、拓?fù)涞?、微分?抽象的拓?fù)淞餍?、微分流形進(jìn)行分類，從而確定它們是否同胚、同構(gòu)、同倫。

三、如何利用學(xué)校優(yōu)勢做好重點(diǎn)項(xiàng)目

(一)服務(wù)學(xué)校“雙一流”建設(shè)

“雙一流”建設(shè)大學(xué)監(jiān)測指標(biāo)體系的監(jiān)測要素“課程與教學(xué)”下列有“年度公開出版的代表性教材”、“科學(xué)研究成果”下列有“公開出版的專著清單”，這為大學(xué)出版社做好重點(diǎn)項(xiàng)目創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件。所有的大學(xué)都非常重視學(xué)校的“雙一流”建設(shè)，教材和專著的出版是學(xué)科評(píng)估中一項(xiàng)很重要的指標(biāo)，所以大學(xué)出版社得到了學(xué)校政策和資金的支持，出版社可以借此機(jī)會(huì)從中整合資源做好重點(diǎn)項(xiàng)目。

(二)瞄準(zhǔn)學(xué)校重大科研項(xiàng)目和科研成果

學(xué)校和各學(xué)院以及科研部網(wǎng)站會(huì)實(shí)時(shí)更新科研項(xiàng)目的申報(bào)、科研成果的發(fā)表等相關(guān)信息，出版社可以整合信息進(jìn)行策劃重點(diǎn)項(xiàng)目。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社針對(duì)學(xué)校在量子方面重大成果源源不斷產(chǎn)出成果策劃出版了《量子科學(xué)出版工程》，該系列叢書在短短幾年間已經(jīng)出版了4輯、40余本，均獲得國家出版基金的資助。

(三)專職編輯負(fù)責(zé)學(xué)校重點(diǎn)學(xué)科

出版社針對(duì)學(xué)校的學(xué)科優(yōu)勢成立相應(yīng)的編輯室，編輯室派專職編輯與負(fù)責(zé)學(xué)科老師保持密切的聯(lián)系，了解學(xué)科的動(dòng)態(tài)，做好出版服務(wù)工作，選取適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)在編輯室之間召開專題會(huì)議，找出學(xué)科與學(xué)科之間的交叉點(diǎn)，做好交叉科學(xué)方面重點(diǎn)項(xiàng)目的出版。

(四)利用重點(diǎn)項(xiàng)目申報(bào)契機(jī)組稿

利用國家組織申報(bào)國家出版基金、國家古籍專項(xiàng)基金、絲路書香出版工程、經(jīng)典中國國際出版工程、“十四五”規(guī)劃等項(xiàng)目申報(bào)的契機(jī)，聯(lián)系相關(guān)院系領(lǐng)導(dǎo)和學(xué)科帶頭人，組織重點(diǎn)項(xiàng)目的申報(bào)[2]。

四、結(jié)語

黨的十九大將文化建設(shè)擺在更加重要的戰(zhàn)略地位，這使得出版業(yè)特別是大學(xué)出版價(jià)值凸顯。出版社只有創(chuàng)造更高的社會(huì)效益才能在數(shù)字化浪潮中站穩(wěn)腳跟，大學(xué)出版社只有依托所在學(xué)校的優(yōu)勢才能做好重點(diǎn)項(xiàng)目，創(chuàng)造更高的社會(huì)效益。