朱承元， 張澈， 管建華

(中國民航大學空中交通管理學院, 天津 300300)

隨著中國經(jīng)濟的持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展，航空運輸市場的需求量不斷擴大，在航空流量密集的區(qū)域，空中交通擁塞逐漸增多，不僅嚴重地威脅飛行安全，而且導致了大量飛行延誤，對中國民航發(fā)展造成了巨大經(jīng)濟損失。在保持現(xiàn)有資源的條件下解決這一問題的有效途徑之一就是對空中交通流量實施控制。盡管一部分空中交通阻塞可能是由于容量不足造成的，但是在航空領(lǐng)域有這樣的一種共識，即這些問題可以通過更好的空域管理來解決。為了更有效地管理空域資源，研究者逐漸開始側(cè)重于發(fā)展空中交通分析和管理工具，開發(fā)高保真度的空域仿真模型是這項研究的重要組成部分。由美國航空航天局開發(fā)的未來空中交通管理概念評估工具(future air traffic management concepts evaluation tool,FACET)和它的衍生物正是這方面研究的成果。盡管對于某些空管領(lǐng)域中的應用，使用空域中航空器級的模型是必須的，但是這種詳盡全面的模型并不完全適用于交通流量管理問題，因為在這類模型中一架航空器的動力學方程至少需要三個微分方程來表達，導致問題的維數(shù)過大難以操作和計算。因此，低階且高保真的空域模型是研究者所期望的。

針對空中交通流建模，楊磊等[1]根據(jù)空中交通流廣義屬性，將空中交通流模型分為“以流為中心”和“以人為中心”兩類，對各類廣義交通流模型的核心概念、建模方法和適用范圍進行評述。Lighthill等[2]將行駛在道路上的群體車輛視為連續(xù)流體介質(zhì)，提出了流體動力學模擬理論，建立LWR(Lighthill-Whitham-Richards)交通流連續(xù)性方程，分析交通流擁堵-傳播-消散過程。Sun等[3-4]采用基于連續(xù)時間和空間的LWR偏微分方程建立國家空域網(wǎng)絡空中交通流模型，采用相互聯(lián)結(jié)的一維線元表示空域中的航路航線網(wǎng)絡,用偏微分方程組解決交通流在網(wǎng)絡中的傳遞問題。Menon等[5]通過對LWR方程進行時空離散處理，首次提出空中交通流一維元胞模型，并引入現(xiàn)代控制理論對模型的可控性、相應特性和穩(wěn)定性進行分析,能夠較好地的解決擴散性問題。張洪海等[6]和許研等[7]基于系統(tǒng)動力學推演方法建立一維元胞傳輸模型，對終端區(qū)進離場交通流流量-密度-速度三參數(shù)關(guān)系進行研究，具有較高的計算效率。Menon等[8]和Bai等[9]首次將一維交通流模型拓展至二維平面中，將空域按照1度經(jīng)緯度等額遞增離散正方形面元，通過恒速交通流在不同面元間的轉(zhuǎn)換來表示空中交通的改航，更貼近實際交通流的運行情況。

針對柵格化空域, 程承旗等[10]以等度、等分、等秒的剖分網(wǎng)格為基礎, 建立適合協(xié)調(diào)空地聯(lián)合行動的網(wǎng)格體系, 設計了簡單實用的定位編碼方法, 對空域進行柵格化表征。徐鑫宇等[11]針對經(jīng)緯度坐標表征空域描述復雜、無區(qū)域特征的不足，提出基于改進GeoSOT網(wǎng)格的空域柵格化表征方法，彌補了傳統(tǒng)經(jīng)緯度坐標表征方法煩瑣復雜的缺點。

航空運輸發(fā)達的國家和地區(qū)已經(jīng)大規(guī)模地開展了有關(guān)空中交通流量管理理論問題方面的研究，以上所述模型均有相應的控制方法和尋優(yōu)算法。隨著中國軍民航空中交通運輸量的持續(xù)增長，空中交通流建模以及流量控制的重要性不言而喻。綜合分析現(xiàn)階段國內(nèi)外交通流系統(tǒng)建模研究現(xiàn)狀，中國學者主要致力于空中交通流一維元胞模型，此類模型的重要假設是嚴格遵循現(xiàn)有航路航線飛行，隨著靈活航路的推廣，若想更為全面地反映交通流的運行狀態(tài)，則需要一個更靈活的二維空中交通流建?？蚣?，因此二維控制體模型(2D menon model, MM2D)模型的二維元胞特點符合要求。傳統(tǒng)MM2D模型將交通流視為恒速流，然而終端區(qū)進離場航空器速度變化較大且范圍較小，若按1°經(jīng)緯度離散，控制體個數(shù)較少，模型精度低，因此現(xiàn)權(quán)衡地理范圍離散目標空域以及各二維面元中交通流平均速度，建立終端區(qū)場景下MM2D模型，并對模型進行穩(wěn)定性、能控性以及最小控制量組合的分析。

1 MM2D模型

1.1 空中交通流概述

空中交通流是指空域的某個時間段運輸網(wǎng)絡內(nèi)運行的航空器所形成的交通流。構(gòu)建的MM2D模型是基于連續(xù)的穩(wěn)態(tài)流，即航線上的航空器數(shù)量小于航線上節(jié)點的容量，航空器平穩(wěn)運行。交通流特性可用交通流量、速度和密度三個參數(shù)來描述并分析交通流的變化規(guī)律。

其中，交通流量表示交通流在單位時間內(nèi)通過路線指定斷面的載運工具的數(shù)量(架/分)；速度表示交通流流動的快慢(km/h)；交通流密度表示交通流的疏密程度，指路線單位長度上含有載運工具的數(shù)量(架/km)。

如果考慮同一航路長度L、時段T，航空器架數(shù)n，其中三要素的相互關(guān)系為：交通量q=n/T；速度v=L/T；交通密度K=n/L。對于航線飛行而言，航空器飛行速度v通常視為確定值，因此針對區(qū)域管制空域的交通流建模而言，重要的是交通量與密度之間關(guān)系。對于終端區(qū)空域中進離場交通流而言，在進近管制移交空域和目的地機場間速度變化較大，速度變化量往往在200 km/h以上，需要對平均速度進行分段處理。

1.2 空域柵格化與二維面元信息的獲取

空域的柵格化是MM2D模型建立的前提，相較于傳統(tǒng)的基于經(jīng)緯度坐標表征空域的方法更有效地利用信息資源。在Menon等[8]和Bai等[9]提出的二維歐拉模型中，每個正方形柵格均視為一個二維面元(surface element, SEL)?；诖_定的SEL幾何形狀，對目標空域離散化處理，柵格化的填充處理過程如圖1所示，二維面元SEL(i,j)的數(shù)字變化是：j自左至右增加，i自下至上增加，即等量增加經(jīng)緯度。

連接各SEL的中心點和各邊中點與頂點可獲得8條交通流，即各SEL的8個交通流狀態(tài)，如圖2所示，其中(i,j)確定二維面元的位置，x代表在任一給定時刻一個交通流中航空器的數(shù)目。一個交通流中航空器的數(shù)目是關(guān)于時間的函數(shù)：x(kT)(k=0,1,2,…)，其中T表示時間間隔。

圖1 柵格化填充過程Fig.1 Rasterization filling process

圖2 二維面元交通流狀態(tài)變化命名Fig.2 Name of state changes of two-dimensional surface element traffic flow

圖3 特殊位置二維面元的輸入Fig.3 Input of two-dimensional surface element in special position

1.3 MM2D模型參數(shù)

在MM2D模型中，如果航空器進入一個SEL，則有8個可能的方向流出，因而存在不同流向之間轉(zhuǎn)換。這些交通流流向的變化在模型中可由流量分離參數(shù)βmn表示，即從流n中進入SEL后，從流m或到達流qarrive中流出的百分比。因此，對于一個SEL，所有的分離參數(shù)相加為1，即

(1)

若航空器在某一SEL中始終保持在一個流中，則

(2)

考慮終端區(qū)實際飛行情況及標準進離場飛行程序結(jié)構(gòu)，排除航空器在同一個SEL中不存在反向飛行的可能，某些參數(shù)可默認為0。一個SEL中的交通流的狀態(tài)變量x的狀態(tài)變化，可通過總的輸入輸出流來描述。一些航空器在給定的時間段內(nèi)，可能不會飛出其所在的SEL。因此，參數(shù)a(i,j,m)表示交通流駐留比率，代表由于元素尺寸或航空器速度的不同，在給定的時間段T內(nèi)，沒有飛出SEL的航空器占航空器總數(shù)的比率。當目前沒有航空器時，它的默認值是0?？刂谱兞縰(i,j,m)表示管制員對SEL(i,j)中m方向交通流施加的控制量。

1.4 空域狀態(tài)方程

對于二維面元SEL(i,j)，以方向1交通流為例，其空域狀態(tài)方程表示為

(3)

(4)

綜上，空域狀態(tài)方程能簡潔的表達為

(5)

(6)

式中：A(k)為系統(tǒng)矩陣；B、B*、Bd、Be為控制矩陣；C(k)為輸出矩陣；D為前饋矩陣；U為控制向量；X(k)為交通流航空器數(shù)量向量；Y(k)為相鄰SEL輸入航空器數(shù)量向量。

1.5 MM2D模型約束條件

X(k+1)可簡化為X(k)、可控輸入U(k)和擾動輸入W(k)的線性組合，即

(7)

一系列控制U(k)達到控制目標為

(8)

對于空中交通流系統(tǒng)的控制而言，一個SEL的流出率不能小于0，而且必須小于或等于離開二維面元的航空器的數(shù)目,即在保證系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的前提下，施加流量控制指令應盡可能少。

2 離散時間系統(tǒng)分析

從宏觀交通流的角度，空中交通網(wǎng)絡及其中流動的交通流可視為離散時間的空中交通流系統(tǒng)，管制員對空中交通網(wǎng)絡中航空器的等待指令可視為對系統(tǒng)施加的控制。在現(xiàn)代的空中交通流量管理中，為保證空中交通流系統(tǒng)安全穩(wěn)定的高效運行，需要對流量進行控制和規(guī)劃管理，因此本文建立基于MM2D模型的終端區(qū)交通流控制系統(tǒng)，結(jié)合離散時間系統(tǒng)理論對交通流進行控制分析。

2.1 能控性分析

如果在有限的時間周期內(nèi)，控制系統(tǒng)能夠從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移至某個期望的狀態(tài)(也是任意狀態(tài))，則此系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全可控的，即在有限時間期間每個狀態(tài)變量都可被某個無約束的控制信號控制時，那么系統(tǒng)為可控的。如果存在獨立于控制信號的狀態(tài)變量，則控制該狀態(tài)變量是不可能的，于是系統(tǒng)是不可控的。

設離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

X(k+1)T=GX(kT)+HU(kT)

(9)

假設當kT≤t<(kT+1)T時，U(kT)為常值。其中，X(kT)為n維向量，U(kT)為r維向量，G為n×n矩陣，H為n×r矩陣，那么該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是n×nr矩陣[H∶GH∶…∶Gn-1H]的秩為n，即

rank[H∶GH∶…∶Gn-1H]=n

(10)

2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

對于控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性是需要研究的一個基本問題，其實質(zhì)是考察系統(tǒng)由初始狀態(tài)擾動引起的受擾運動能否趨近或返回到原平衡狀態(tài)。在現(xiàn)代控制理論中，李雅普諾夫第二方法是研究穩(wěn)定性的主要方法，既是研究控制系統(tǒng)理論問題的一種基本工具，又是分析具體控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種常用方法。

對于給定線性定常離散系統(tǒng)x(k+1)=Ax(k)。其中x(k)∈Rn，A為n×r常數(shù)矩陣。設λ1,λ2,…,λn為矩陣A的n個特征值(可以相同)，記|λi|為特征值λi的?；蚪^對值。則有：

該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為

|λi|<1，i=1,2,…,n

(11)

該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

|λi|≤1，i=1,2,…,n

(12)

式(12)中：當|λi|=1時，λi為A的最小多項式的單根。如果存在某個特征值λi，使得|λi|>1，或者|λi|=1，但λi為A的最小多項式的重根，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3 利用MM2D方法建立空域交通流模型

作為中國最繁忙的空域之一，西安空域是東北-西南和西北-東南方向航路的匯聚點，從地理位置上來看，有得天獨厚的航空運輸優(yōu)勢，特別是北京大興國際機場和成都天府國際機場投入運行后更是成為連接西南空域和華北空域的重要紐帶。其中，作為進場航班脫離航路執(zhí)行進近著陸和離場航班起飛后加入航路的過渡區(qū)、飛行程序之間相互滲透和制約，終端區(qū)空域是整個空中交通網(wǎng)絡中最復雜的空域。西安終端管制區(qū)高度范圍為6 000 m(含)至咸陽塔臺管制區(qū)外圍邊界高度，屬于C類空域，西安終端區(qū)水平區(qū)域圖和進離場程序，如圖4所示。近年來，西安終端區(qū)空中交通流量快速增長，空域資源日趨緊張，以西安進近管制空域為背景，同時考慮05L跑道對應的6條標準進場程序和4條標準離場程序建立終端區(qū)交通流MM2D模型。

圖4 西安終端區(qū)空域情況Fig.4 Airspace situation of Xi’an terminal area

3.1 西安進近管制空域交通流建模

由于空域柵格化需要對選定航空管制區(qū)中的每個SEL進行建模。因此，SEL的尺寸不能過大，以提供合理分辨率，避免過大的計算誤差；也不能過小，以滿足航空器間安全運行間隔，同時便于建模分析。根據(jù)《中華人民共和國航空資料匯編》中扇區(qū)邊界數(shù)據(jù)，西安進近管制空域南側(cè)NSH(寧陜)與北側(cè)NUGLA(洛州)相距289 km；東側(cè)SHX(商縣)與西側(cè)HO(長武)相距 255 km。在考慮實際航路走向、航段距離以及SEL個數(shù)等因素后，本文確定SEL尺寸為：邊長35 km，對角線長度50 km，并依此對西安進近管制空域進行柵格化處理。

本文中使用TAAM軟件對柵格化空域進行仿真建模，首先根據(jù)西安區(qū)域管制空域及相關(guān)空域機場信息、航路航線信息、導航臺配置情況等，選取西安區(qū)域管制空域某典型繁忙日全天運行的1 337條領(lǐng)航計劃報數(shù)據(jù)，使用TAAM軟件中Cloning Tool功能，建立連續(xù)五日的時刻表，構(gòu)建靜態(tài)模型。其次，模型經(jīng)一線管制員根據(jù)所涉及空域相關(guān)的管制思路對模型進行動態(tài)修正，構(gòu)建動態(tài)模型，較大程度地模擬目標空域的運行過程，目標空域柵格化仿真模型如圖5(a)所示。

由于實際的航段長度與走向并不能完全契合SEL交通流的預定走向，為更好地表征以及分析空域系統(tǒng)，將西安咸陽國際機場對應的標準進離場飛行程序結(jié)構(gòu)視為一種星型拓撲結(jié)構(gòu)進行簡化處理，作為進場交通流的終點和離場交通流的起點SEL(4,5)位于機場上方，空域結(jié)構(gòu)復雜同時承載大量的交通壓力，因此視為該結(jié)構(gòu)的中央節(jié)點，其余各SEL的命名及簡化后的建模結(jié)果如圖5(b)所示。其中，各SEL計量符號上的帶箭頭短線段表示管制員發(fā)布的流量控制所應用的方向，即每個方向線段代表在每個SEL上的狀態(tài)方程中的一個差分方程。

圖5 西安終端區(qū)空域交通網(wǎng)絡簡圖Fig.5 Schematic diagram of airspace traffic network in Xi’an terminal area

圖6 改進終端區(qū)MM2D模型Fig.6 Improved MM2D model of terminal area

傳統(tǒng)的MM2D模型將交通流視為恒速流處理，但是對于進離場航空器而言，程序起止間的速度相差往往在200 km/h以上，恒速的處理會導致模型失真。因此，根據(jù)TAAM中航空器實際運行數(shù)據(jù)，確定各SEL中的平均速度。這種空間離散化使得采樣步長為3 min(0.05 h為一個時間單位)，MM2D模型的精度依賴于交通流率的變化和空域離散化程度(即元胞的物理尺寸)，與航空器數(shù)量無關(guān)。元胞尺寸由交通流平均速度和理想的時間分辨率決定。根據(jù)Shanon采樣定理，時間分辨率通常為交通流模式變化率的2倍以上[12]。因為對于一個特定形式的交通流，要滿足采樣定理，即一個信號中采樣頻率應該至少是兩倍的最高頻。交通流數(shù)據(jù)預期在6 min或更長時間上發(fā)生重大變化，則通過控制體的時間必須在3 min或更少的時間內(nèi)，即采樣時間為3 min。MM2D模型包含29個SEL，因為西安進近管制空域存在ZL(R)306、ZL(R)307、ZL(R)308和ZL(R)309四個限制區(qū)，部分柵格并無交通流存在，同時移交點附近的交通流方向變化較少、航段復雜度較低，因此剔除此類柵格，僅對SEL(4,5)等10個SEL及其產(chǎn)生的35條交通流進行分析。

3.2 空域狀態(tài)方程的建立

因為空中交通流系統(tǒng)模型中每個SEL的劃分約為一個時間步長所能確定的尺寸，所以在每個SEL中，流量分離參數(shù)以及沒有飛出SEL的航空器占航空器總數(shù)的比率a(i,j,m)在單個時間步長中假定是不變的。本文中僅對位于西安機場上空且空域結(jié)構(gòu)最為復雜的中央節(jié)點SEL(4,5)內(nèi)空域狀態(tài)方程進行分析。

對于SEL(4,5)方向1的交通流為

(13)

對于SEL(4,5)方向3的交通流為

(14)

對于SEL(4,5)方向5的交通流為

(15)

對于SEL(4,5)方向7的交通流為

(16)

對于SEL(4,5)方向8的交通流為

(17)

對于SEL(4,5)方向9的交通流即到場交通流為

(18)

對于SEL(4,5)方向10的交通流即離場交通流為

(19)

3.3 模型數(shù)據(jù)的選取

本文中時間間隔設置為0.05 h。為使得方程簡化，取T=1，即一個時間單位。aj=1-vjtj/Ωj，Ωj為交通流的物理尺寸，控制體中如果沒有管制行為，則航空器將會在下一個時間步長飛入隨后的一個控制體，所以大部分SEL的a(i,j,m)均取值為0。參照實際情況對參數(shù)進行計算，代入各個二維面元SEL可得，以SEL(4,5)為例演示參數(shù)計算過程如下。

因為其中方向1對應的航路距離約為10 km，SEL平均速度為180 km/h，步長為9 km，故沒有飛出SEL的比例為a(4,5,1)=(10-9)/9=0.1，同理可得a(4,5,3)=0.1、a(4,5,7)=0.357、a(4,5,8)=0.55、β(4,5,1,10)=0.070、β(4,5,3,5)=1、β(4,5,4,3)=1、β(4,5,7,10)=0.442、β(4,5,8,10)=0.550。

鑒于大多數(shù)交通流駐留比率為0，現(xiàn)僅列舉非零的交通流駐留比率以及流量分離參數(shù)的取值結(jié)果，具體見表1和表2。

3.4 系統(tǒng)能控性及穩(wěn)定性結(jié)果分析

根據(jù)離散時間控制系統(tǒng)的相關(guān)理論，空中交通流系統(tǒng)能控性可由矩陣A和矩陣B確定，通過計算矩陣的秩，rank[BABA2B…A34B]=35，系統(tǒng)滿秩，證明該系統(tǒng)完全可控。通過計算矩陣A的特征值為：0.04、0.194、0.517和0.529，均小于1，證明空域系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

對于目標空域，能控性分析可以用來確定其能否由其中控制變量U的組合來進行控制，即根據(jù)能控性的概念可得出用來管制飛機數(shù)目在期望的限制中的最小組合。這一點也是符合現(xiàn)實的，因為就本文中考慮的建?？沼蚨?，實際工作中，不可能各SEL二維面元的8個方向上都存在管制調(diào)控。

表1 交通流駐留比取值

圖7 最優(yōu)控制量組合及穩(wěn)定性分析Fig.7 Optimal control quantity combination and stability analysis

表2 流量分離參數(shù)取值

在空域容量逼近極限的情況下，空中交通流的流動可視為對有限的空域資源和管制員生理和心理資源的競爭。因此管制資源的配置要根據(jù)現(xiàn)實出發(fā)，從資源的配置的角度考慮，交通流的控制應在完全能控性的前提下最大限度減少管控量，避免管制負荷的增加和管制效能的下降。根據(jù)式(8)，系統(tǒng)的能控性可根據(jù)能控性矩陣的秩的判斷，通過對每個SEL中交通流的可縮減情況進行遍歷分析，得出該空域模型達到完全能控下的最小控制量U的組合，部分SEL的空中交通流控制情況如圖7所示。

圖7中，系統(tǒng)的能控性用1代表能控，0代表不能控。以SEL(3,5)中x(3,5,3)為例，綠線的走向表示，當管制員放棄對此交通流的控制，系統(tǒng)能控性矩陣不滿秩，說明在擁擠發(fā)生時空中交通流系統(tǒng)將處于失穩(wěn)狀態(tài)；紫線的走向表示，當管制員放棄此交通流的控制，系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，此時該系統(tǒng)依然處于完全能控狀態(tài)，實際管制過程中可縮減對該方向交通流的控制。最終，在既滿足現(xiàn)實因素即每個SEL中至少有一個控制量又達到完全能控的前提下，對35條交通流中的19條施加控制即可實現(xiàn)空域系統(tǒng)的完全能控，交通流控制率可縮減45.7%，得到最優(yōu)控制組合為：在SEL(5,4)、SEL(3,4)、SEL(3,5)和SEL(3,6)中，最少有1個控制量的存在；在SEL(3,4)、SEL(4,3)和SEL(4,6)中，最少有2個控制量的存在；在SEL(4,5)和 SEL(5,5)中，最少有3個控制量的存在，才能保證MM2D系統(tǒng)完全能控。

4 結(jié)論與展望

本文研究了終端區(qū)場景下空中交通流MM2D模型的建立和控制問題，建立現(xiàn)代控制理論與空中交通流系統(tǒng)之間的聯(lián)系，得到了目標空域內(nèi)空中交通流的最優(yōu)控制策略。所做的研究工作主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

(1)對西安進近管制空域進行柵格化處理，參考大量現(xiàn)實資料和仿真數(shù)據(jù)，根據(jù)6條標準進場程序和4條標準離場程序，建立終端區(qū)空域的MM2D模型。

(2)對目標空域內(nèi)交通流建立空域狀態(tài)方程并簡化為標準狀態(tài)空間形式，得到系統(tǒng)矩陣、控制矩陣、輸出矩陣和前饋矩陣。

(3)結(jié)合離散時間系統(tǒng)相關(guān)理論對目標空域系統(tǒng)進行能控性以及穩(wěn)定性分析，在空域系統(tǒng)完全能控的前提下對系統(tǒng)中16條交通流進行縮減，實現(xiàn)最優(yōu)控制。

對西安終端區(qū)空域進行二維面元控制體建模與以往空中交通流一維元胞模型不同，通過交通流之間的轉(zhuǎn)換表示實際交通流的運行。未來可針對SEL形狀、大小以及交通流平均速度進行優(yōu)化建立更精細的模型以及分高度建立三維控制體，同時可引入更多控制理論如二次型最優(yōu)控制等對空中交通流系統(tǒng)深入研究。