艾延廷，解松霖,劉玉，田晶，趙丹，劉俊男

（1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué)航空發(fā)動(dòng)機(jī)學(xué)院，2.遼寧省航空推進(jìn)系統(tǒng)先進(jìn)測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室：沈陽(yáng) 100136；3.中國(guó)航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院，成都 610550）

0 引言

相互接觸的零件之間的結(jié)合部分被稱為“機(jī)械結(jié)合面”，航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣安裝邊螺栓連接結(jié)構(gòu)便是裝配形成的機(jī)械結(jié)合面。機(jī)械結(jié)合面之間的接觸并非光滑的面與面之間的接觸，而是由許多微凸體之間的相互接觸構(gòu)成的[1]，導(dǎo)致2個(gè)粗糙表面接觸時(shí)的實(shí)際接觸面積總是小于名義接觸面積[2-3]。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)中這種結(jié)合面分布廣泛，結(jié)合面間的接觸剛度對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、可靠性有著至關(guān)重要的影響[4-5]，準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)合面間的接觸剛度在航空發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)中尤為關(guān)鍵[6-7]。為了準(zhǔn)確計(jì)算粗糙表面間的接觸剛度，需要對(duì)粗糙表面間的微凸體接觸進(jìn)行建模。粗糙面接觸模型主要分為解析模型和有限元模型。目前大部分粗糙表面接觸模型都屬于解析模型，表征粗糙面形貌的解析方法主要分為統(tǒng)計(jì)描述和分形描述。大部分接觸剛度模型主要根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論接觸模型[8-9]及分形理論的接觸模型[10-11]建立。

關(guān)于粗糙表面間接觸建模已有許多研究成果[12-13]。Bhushan[14]于1996年將粗糙表面上的單個(gè)微凸體間相互接觸的問題分為彈性解析模型和彈塑性有限元模型來分類敘述；賀林等[15]于同年對(duì)粗糙面接觸分形模型進(jìn)行了概述；Bhushan[16]于1998年將之前建立的粗糙表面接觸模型按照微凸體的輪廓形狀和分布高度分為2類進(jìn)行了討論；Adams等[17]在2000年將微凸體間的接觸分為單個(gè)微凸體的接觸和多個(gè)微凸體的接觸，特別介紹了接觸面之間作用力（即粘著力）的產(chǎn)生；魏龍等[18]于2009年對(duì)粗糙表面接觸模型的發(fā)展進(jìn)行了總結(jié)，分別介紹了Hertz接觸模型、統(tǒng)計(jì)學(xué)接觸模型和分形接觸模型的優(yōu)劣性；Ghaednia等[19]于2017年分別按照微凸體的幾何形狀和加載方式對(duì)單個(gè)微凸體接觸模型進(jìn)行了評(píng)述。

隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)的發(fā)展，發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變得尤為關(guān)鍵。機(jī)匣做為發(fā)動(dòng)機(jī)主要承力部件，需要具有足夠的剛度來保證發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行。由螺栓連接所構(gòu)成的機(jī)匣安裝邊作為機(jī)匣中最重要的一環(huán)，可有效地提升其接觸剛度，對(duì)整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有著至關(guān)重要的影響。接觸模型的發(fā)展目前已較為完善，但是關(guān)于接觸剛度模型的綜述性文章仍然非常匱乏。

本文對(duì)國(guó)內(nèi)外不同的粗糙面接觸剛度模型的發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié)，重點(diǎn)對(duì)接觸剛度的計(jì)算進(jìn)行了詳細(xì)闡述。分析了現(xiàn)有結(jié)合面接觸剛度模型的不足，展望了接觸剛度模型的發(fā)展趨勢(shì)。

1 粗糙表面的描述和表征

1.1 單個(gè)微凸體接觸

要建立完整的粗糙表面接觸模型，首先要清楚粗糙表面上的單個(gè)微凸體受載荷的變形規(guī)律，該問題被稱為赫茲接觸[20-22]，是微觀接觸力學(xué)中的一個(gè)重要問題，被眾多學(xué)者所關(guān)注和研究。研究發(fā)現(xiàn)，粗糙表面上的單個(gè)微凸體在變形過程中共經(jīng)歷3個(gè)階段：相互接觸的微凸體首先進(jìn)入彈性變形階段，隨著載荷的增加逐漸進(jìn)入彈塑性變形階段，當(dāng)載荷達(dá)到一定值時(shí)進(jìn)入塑性變形階段。

當(dāng)微凸體處于彈性變形階段時(shí)，由赫茲接觸理論可知，接觸面積ae、接觸載荷fe、最大接觸壓力pem、平均接觸壓力pea分別為

式中：R為相對(duì)曲率（R=1/R1+1/R2）；R1、R2分別為2個(gè)微凸體的半徑；E為等效彈性模量，1/E=（1-υ12）/E1+（1-υ2

2）/E2，E1、E2和υ1、υ2分別為2個(gè)微凸體的彈性模量和泊松比；ω為微凸體的變形量。

當(dāng)微凸體所受載荷大于屈服極限時(shí)，塑性變形開始在微凸體內(nèi)部產(chǎn)生，此時(shí)微凸體處于彈性變形和塑性變形共存的階段，即彈塑性階段[23-25]。大多數(shù)彈塑性接觸模型都是采用有限元方法建立簡(jiǎn)化的球體與光滑的平板的接觸模型進(jìn)行分析[26-28]。眾多學(xué)者將彈塑性變形分為3類，即壓平模型、壓入模型和綜合模型[29-31]。目前還沒有從彈塑性變形基本理論推導(dǎo)出閉合解[32-33]。

當(dāng)載荷達(dá)到一定值后，塑性變形由原來的只存在于某一區(qū)域迅速擴(kuò)展至整個(gè)微凸體，這種狀態(tài)被稱為完全塑性變形階段[34-35]。通常采用Tabor[36]、Abbott等[37]的試驗(yàn)結(jié)果來計(jì)算微凸體處于完全塑性變形階段時(shí)的接觸面積ap、平均接觸壓力ppa和接觸載荷fp

式中：H=2.84σy為材料的硬度，σy為材料屈服強(qiáng)度。

1.2 粗糙面表面接觸

為了準(zhǔn)確地分析粗糙表面間接觸行為和接觸特性，需要建立與真實(shí)物體表面形貌相近的接觸模型，表面形貌即粗糙表面微凸體的數(shù)量、分布高度、曲率半徑、輪廓形狀和位置等參數(shù)[38]。接觸模型主要分為解析模型和有限元模型，其中解析模型是眾多學(xué)者主要研究的方向，解析模型又具體劃分為統(tǒng)計(jì)描述模型和分形描述模型。

1.2.1 解析模型

（1）統(tǒng)計(jì)學(xué)描述。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法描述粗糙表面最大的特點(diǎn)是可以體現(xiàn)其各微凸體高度的隨機(jī)性[12]，描述方法可分為隨機(jī)過程描述和微凸體高度分布描述。隨機(jī)過程描述是指微凸體的分布高度到基體的距離是隨機(jī)的，這一距離可用某一特定的分布函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)來描述，由此表征粗糙表面的形貌特征；微凸體高度分布描述則是假設(shè)粗糙表面上所有微凸體的高度和曲率滿足某種統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，通過特定的統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)來確定形貌特征。由此可見，微凸體高度分布描述是對(duì)隨機(jī)過程描述的一種簡(jiǎn)化，將包含多尺度信息的粗糙表面簡(jiǎn)化為單一尺度的粗糙表面。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)描述表征粗糙表面的過程較為簡(jiǎn)單，極大程度縮短了求解過程，有利于進(jìn)行粗糙表面間的接觸建模，但其不能完全表征粗糙表面所有的形貌特征，無法表征一個(gè)確定的粗糙表面。

（2）分形描述。隨著對(duì)粗糙表面研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)實(shí)際物體的粗糙表面的形成是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過程[39]，粗糙表面上的微凸體的高度分布與采樣設(shè)備的分辨率相關(guān)，將粗糙表面放大后，可以看到在任意尺度下粗糙表面的形貌特征基本不會(huì)發(fā)生變化，這就是粗糙表面形貌的自相似性及尺度不變性。因此，可采用分形參數(shù)（分形維數(shù)和特征尺度系數(shù)）來描述粗糙表面的形貌特征。分形理論所描述的物體形貌特征不受空間的束縛，更加接近客觀物體的真實(shí)屬性與狀態(tài)，更加符合客觀物體的多樣性與復(fù)雜性。應(yīng)用分形描述的方法來建立粗糙表面形貌特征是分形接觸模型的基礎(chǔ)，先通過儀器提取物體粗糙表面真實(shí)形貌數(shù)據(jù)，再基于分形理論計(jì)算得到與物體粗糙表面形貌相近的分形參數(shù)，由分形參數(shù)確定粗糙表面的形貌特征，進(jìn)而建立粗糙表面接觸模型。

1.2.2 有限元模型

隨著計(jì)算機(jī)水平的不斷進(jìn)步，有限元仿真方法逐漸被用于微觀粗糙面建模中[40-42]。有限元模型可以更直觀地觀察接觸面的微凸體分布、應(yīng)力分布，其結(jié)果更加真實(shí)。有限元模型雖然彌補(bǔ)了解析模型的一些不足，但是想要完整地描述粗糙面形貌特征，就必須進(jìn)行非常細(xì)致的網(wǎng)格劃分，這樣會(huì)大幅增加計(jì)算時(shí)間和計(jì)算難度。目前有限元方法通常僅適用于微小的接觸模型，對(duì)于跨尺度的模型仍存在一些挑戰(zhàn)。

2 基于統(tǒng)計(jì)描述的粗糙面接觸剛度模型

2.1 GW模型

關(guān)于粗糙表面接觸，Greenwood和Williamson[43]在1966年基于赫茲接觸理論提出的GW模型是統(tǒng)計(jì)接觸模型的典型代表，為其后學(xué)者研究粗糙表面間的接觸問題奠定了理論基礎(chǔ)，至今仍被廣大學(xué)者廣泛使用[44]。

GW模型用1個(gè)粗糙面和1個(gè)光滑剛性平面等效替代2個(gè)相互接觸的粗糙表面，其表面上所有微凸體間互不影響，并將所有微凸體等效成具有相同的曲率半徑的球形微凸體，微凸體頂點(diǎn)高度分布滿足高斯分布，GW模型只針對(duì)彈性變形進(jìn)行了分析，并提出了塑形指數(shù)作為彈性、塑形接觸狀態(tài)的區(qū)分條件。微凸體與光滑平面的接觸如圖1所示。圖中z為某個(gè)微凸體與微凸體平均高度之間的距離，d為微凸體平均高度與光滑平面之間的距離，h為粗糙表面輪廓線平均高度與光滑平面之間的距離，微凸體的變形量ω=zd。φ（z）dz為滿足高斯分布的微凸體高度分布函數(shù)。

圖1 微凸體與光滑平面的接觸

根據(jù)赫茲接觸理論，微凸體總數(shù)量為

式中：η為微凸體接觸面積密度函數(shù)；An為名義接觸面積。

當(dāng)微凸體變形量ω＞0，即z＞d時(shí)，微凸體將與剛性平面發(fā)生接觸，接觸的微凸體總數(shù)為

根據(jù)赫茲接觸理論，總的接觸面積A、接觸載荷F和接觸剛度K分別為

雖然GW模型為其后眾多學(xué)者廣泛借鑒，但仍有許多不足之處：（1）只考慮了微凸體間的彈性作用，忽略了微凸體間的彈塑性及塑性作用；（2）忽略了微凸體間的相互作用，認(rèn)為各微凸體相互獨(dú)立、互不影響；（3）將所有微凸體的曲率半徑簡(jiǎn)化為某一恒定的值，這是不符合實(shí)際情況的。隨著研究的進(jìn)一步深入，不斷有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)和補(bǔ)充。

2.2 考慮彈性及塑性的統(tǒng)計(jì)學(xué)接觸剛度模型

1987年，Chang等[45]在GW模型的基礎(chǔ)上建立了CEB模型，將微凸體的變形劃分為彈性變形階段和塑性變形階段2個(gè)階段，給出了微凸體彈性變形與塑性變形的臨界接觸變形量ωc，彌補(bǔ)了GW模型只考慮微凸體彈性變形的不足。同時(shí)根據(jù)單個(gè)微凸體在塑性變形過程中體積恒定，給出了單個(gè)微凸體處于塑性變形階段時(shí)的接觸面積ap、接觸載荷fp，計(jì)算得到接觸剛度kp

式中：Kc=0.454+0.41μ，為最大接觸壓力因子，μ為較軟材料的泊松比。

隨后根據(jù)發(fā)生接觸的微凸體總量，給出了總的接觸面積A、總載荷F，計(jì)算得到總接觸剛度K

式中：Ae、AP分別為彈性接觸面積、塑性接觸面積。

CEB模型只考慮了彈性變形及塑性變形，忽略了由彈性過渡到塑性時(shí)的彈塑性變形，導(dǎo)致臨界點(diǎn)處不連續(xù)，接觸壓力直接從2KH/3突然跳躍至KH。使得接觸剛度在由彈性變形向完全塑性變形轉(zhuǎn)化時(shí)是不連續(xù)的。

2.3 考慮彈性、彈塑性及塑性的統(tǒng)計(jì)學(xué)接觸剛度模型

為彌補(bǔ)CEB模型的不足，2000年，Zhao等[46]基于CEB模型建立了ZMC模型，將微凸體變形劃分為彈性階段、彈塑性階段、塑性階段3個(gè)階段。基于4階多項(xiàng)式和對(duì)數(shù)函數(shù)推導(dǎo)出微凸體處于彈塑性變形階段時(shí)的接觸面積、平均接觸壓力。該方法實(shí)現(xiàn)了平均接觸壓力在彈性屈服點(diǎn)和臨界塑性點(diǎn)的連續(xù)性，但仍然不具備光滑性，因此該模型建立的接觸剛度模型在臨界點(diǎn)處是不連續(xù)的。

2002年，Kogut和Estion[47]在ZMC模型的基礎(chǔ)上采用有限元方法計(jì)算了單個(gè)球體與剛性平面的接觸，并應(yīng)用冪函數(shù)擬合了有限元近似解?；谟邢拊獢?shù)據(jù)，將微凸體變形分為彈性階段、第1彈塑性階段、第2彈塑性階段、塑性階段4個(gè)階段。4個(gè)階段臨界處對(duì)應(yīng)的微凸體臨界變形量分別為ωc、6ωc、110ωc。即當(dāng)0＜ω＜ωc時(shí)，微凸體處于彈性變形階段；當(dāng)ωc＜ω＜6ωc時(shí)，微凸體處于第1彈塑性變形階段；當(dāng)6ωc＜ω＜110ωc時(shí)，微凸體處于第2彈塑性變形階段;當(dāng)110ωc＜ω時(shí)，微凸體處于完全塑性階段。處于彈塑性階段所對(duì)應(yīng)的接觸載荷、接觸剛度分別為

式中：fep1、kep1和fep2、kep2分別為微凸體處于第1、2彈塑性階段時(shí)的接觸載荷、接觸剛度。

根據(jù)GW模型中給出的總的接觸載荷、接觸剛度思路，可以計(jì)算出KE模型總的接觸載荷、接觸剛度

2017年，田小龍等[48]考慮了微凸體間的相互作用，應(yīng)用勒夫方程和圣維南原理推導(dǎo)出的接觸面各參數(shù)（接觸載荷、局部變形、表面壓強(qiáng)）和材料屬性之間的函數(shù)關(guān)系，將其代入微凸體變形量表達(dá)式中，得到了更接近真實(shí)情況的變形量表達(dá)式，將其帶入ZMC和KE模型中，得到了考慮微凸體之間相互影響的粗糙面接觸剛度模型，ω在彈性階段的表達(dá)式為

在第1彈塑性階段的表達(dá)式為

在第2彈塑性階段的表達(dá)式為

在塑性階段的表達(dá)式為

式中：pm為2個(gè)表面之間的壓強(qiáng)。

Jackson等[23]采用較KE模型有著更精密網(wǎng)格的有限元模型，建立了新的單個(gè)微凸體與剛性光滑平面接觸的有限元模型，即JG模型，該模型考慮了微凸體變形過程中微凸體硬度變化、幾何尺寸變化及材料屬性的影響。該模型發(fā)現(xiàn)微凸體的彈性變形可在[0，1.9ωc]內(nèi)發(fā)生，在微凸體變形量比較小時(shí)，接觸載荷、接觸面積、接觸剛度變化規(guī)律與Hertz接觸理論基本一致。但JG模型并沒有考慮微凸體開始發(fā)生塑性變形時(shí)的臨界接觸點(diǎn)。

2.4 具有連續(xù)光滑特性的統(tǒng)計(jì)學(xué)接觸剛度模型

2012年，Brake[49]提出了一種微凸體接觸載荷為光滑連續(xù)的粗糙面模型，應(yīng)用了Hermit多項(xiàng)式插值函數(shù)，但由于Hermit多項(xiàng)式階次過高，導(dǎo)致彈塑性變形階段的微凸體接觸載荷與變形量的關(guān)系出現(xiàn)震蕩，從而導(dǎo)致接觸剛度數(shù)值也出現(xiàn)波動(dòng)，甚至出現(xiàn)剛度小于0的情況，這是不符合實(shí)際情況的。

2021年，李玲等[50]應(yīng)用Hermit插值方法，使接觸載荷在彈性轉(zhuǎn)變?yōu)閺椝苄耘R界點(diǎn)及彈塑性轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄耘R界點(diǎn)處光滑且連續(xù)，將接觸載荷轉(zhuǎn)換到對(duì)數(shù)坐標(biāo)系，減小插值區(qū)間，進(jìn)而降低了由Hermit插值多項(xiàng)式階次過高帶來的震蕩。建立了單一微凸體連續(xù)光滑的接觸剛度模型，然后基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行無量綱處理，得到了結(jié)合面接觸剛度模型。其單個(gè)微凸體彈塑性變形區(qū)接觸剛度為

式中：C1、C2、C3為Hermit多項(xiàng)式系數(shù)；ωp=110ωc。

基于統(tǒng)計(jì)描述所建立的接觸模型，有利于描述不同粗糙表面的形貌特征，但由于粗糙表面的不確定性，無法準(zhǔn)確地分析粗糙表面的接觸特性。在一定測(cè)量條件下得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)具有局限性，不能表征完整的粗糙表面，這是由于粗糙表面具有多尺度特性所造成的。

為了考慮粗糙表面的多尺度特性，大多數(shù)學(xué)者采用分形理論來建立接觸模型，相較于統(tǒng)計(jì)描述更能夠反映出粗糙表面的多尺度特性。

3 基于分形描述的粗糙面接觸剛度模型

3.1 MB模型

1990年，Majumdar與Bhushan[51]共同提出了基于分形幾何理論構(gòu)建的粗糙表面接觸模型，即MB模型，這種模型將實(shí)際2個(gè)粗糙表面之間的接觸簡(jiǎn)化為1個(gè)光滑的剛性理想平面與1個(gè)粗糙平面的接觸，并且忽略了材料硬度隨微凸體深度的變化且假設(shè)各微凸體相互獨(dú)立，不過這一粗糙表面具有分形特性。

式中：D為分形維數(shù)；G為特征尺度系數(shù)；x為表面輪廓位置坐標(biāo)；Z為表面輪廓高度坐標(biāo)；γn為粗糙表面頻率參數(shù)。

該模型以W-M分形函數(shù)（W-M函數(shù)描述的粗糙表面與光滑平面接觸如圖2所示）及海洋島嶼面積分布規(guī)律為基礎(chǔ)，研究了單個(gè)微凸體變形處于彈性階段和塑性階段的變形機(jī)制，獲得了較為真實(shí)的微凸體接觸面積與接觸載荷之間的關(guān)系。給出了微凸體接觸面積分布函數(shù)n（a）及粗糙表面與剛性平面總的截面積公式，為今后學(xué)者的研究奠定了理論基礎(chǔ)。

圖2 W-M函數(shù)描述的粗糙表面與光滑平面接觸

式中：a為粗焅表面單個(gè)微凸體接觸面積，al為粗糙表面單個(gè)微凸體最大接觸面積。

Wang等[52]基于MB模型，考慮了溫度對(duì)微凸體面積分布密度函數(shù)的影響，修正了微凸體面積分布密度函數(shù)，但忽略了單個(gè)微凸體緩慢滑動(dòng)狀態(tài)。根據(jù)單個(gè)微凸體接觸面積隨溫度的變化關(guān)系及接觸面上的最高溫度，修正了MB接觸模型，得到了新的彈性、塑性接觸模型。

3.2 考慮彈性、塑性的分形接觸剛度模型

2000年，張學(xué)良等[53-54]基于MB分形模型，假設(shè)粗糙表面各向同性，各微凸體間相互獨(dú)立，考慮了微凸體塑性變形階段對(duì)接觸剛度的影響，給出了微凸體由塑性變形變?yōu)閺椥宰冃螘r(shí)的臨界接觸面積ac，

由分形理論可知，當(dāng)a＜ac時(shí)微凸體發(fā)生塑性形變；當(dāng)a＞ac時(shí)微凸體發(fā)生彈性形變。這顯然與統(tǒng)計(jì)學(xué)模型相互矛盾。

Morag等[55]針對(duì)這一現(xiàn)象給出了解釋，當(dāng)微凸體接觸面積非常小時(shí)，微凸體會(huì)受到1個(gè)較大的接觸壓力。因此，接觸面積小于臨界值的微凸體受到的壓力較大，更容易發(fā)生塑性變形；而接觸面積大于臨界值的微凸體受到的壓力較小，不會(huì)發(fā)生塑性變形。目前為止，這種非常規(guī)的接觸行為依然被許多研究者所采用。

根據(jù)上述理論，單個(gè)微凸體與剛性光滑平面接觸的法向接觸剛度kn、切向接觸剛度kt分別為

式中：G為接觸面2種材料的等效剪切模量；υ為接觸面2種材料的泊松比；μ為摩擦系數(shù)；P為微凸體所受的法向載荷；T為微凸體所受的切向載荷。

根據(jù)微凸體面積分布函數(shù)得到總的接觸剛度為

2009年，溫淑花等[56-57]基于分形理論引入以微凸體變形位置截面積a'為變量的接觸面積分布函數(shù)n（a'），建立了考慮區(qū)域擴(kuò)展因子的結(jié)合面接觸剛度分形模型

式中：φ為區(qū)域擴(kuò)展因子；a'為微凸體接觸截面積，其與真實(shí)接觸面積之間的關(guān)系為a'=2a。

整個(gè)結(jié)合面的法向接觸剛度、切向接觸剛度分別為

3.3 考慮彈性、彈塑性及塑性的分形接觸剛度模型

2015年，張學(xué)良等[58]基于分形理論、MB模型及KE模型，分別計(jì)算了微凸體變形處于4個(gè)階段（彈性變形階段、第1彈塑性變形階段、第2彈塑性變形階段、塑性變形階段）時(shí)的接觸剛度，建立了更符合實(shí)際情況的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。單個(gè)微凸體不同階段的法向剛度分別為

彈性階段的法向剛度

第1彈塑性階段的法向剛度

第2彈塑性階段的法向剛度

處于完全塑性的微凸體不具有法向剛度，則結(jié)合面總的法向接觸剛度為

式中：ac為微凸體變形量為ωc時(shí)的接觸面積。

2018年，陳建江等[59]基于分形理論建立了一種粗糙表面加卸載力學(xué)解析模型。推導(dǎo)出了單個(gè)微凸體變形處于不同階段（彈性變形階段、彈塑性變形階段和塑性變形階段）的條件。引入了頻率指數(shù)，并總結(jié)了不同頻率指數(shù)所對(duì)應(yīng)的微凸體面積密度分布函數(shù)。王顏輝等[60]基于上述理論得到了微凸體處于各變形臨界階段時(shí)頻率指數(shù)的大小，建立了頻率指數(shù)大小不同時(shí)的結(jié)合面接觸剛度模型。

4 有限元接觸剛度模型

隨著有限元技術(shù)的發(fā)展，越來越多的學(xué)者開始采用有限元方法建立接觸模型，彌補(bǔ)解析模型的不足。

2012年，楊國(guó)慶等[41]通過3D粗糙表面數(shù)字化表征方法，獲得了具有不同統(tǒng)計(jì)特征的高斯或非高斯粗糙表面，并分析了其接觸特性。

2017年，孫偉等[61]基于有限元方法提出了一種結(jié)合面法向接觸剛度多尺度計(jì)算方法。該方法在儀器測(cè)量的形貌數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，采用小波分析技術(shù)獲取了更加真實(shí)的形貌，并基于有限元微觀接觸分析建立了局部壓強(qiáng)與基礎(chǔ)剛度的關(guān)系?；谟邢拊暧^分析得到壓強(qiáng)分布，進(jìn)而得到結(jié)合面接觸剛度。實(shí)現(xiàn)了接觸剛度從微觀到宏觀的跨越。

2018年，吳少雷等[62]基于Matlab與Ansys構(gòu)建出3維隨機(jī)表面，簡(jiǎn)化了粗糙表面建模過程，完成了粗糙表面參數(shù)化建模。

2021年，伍偉敏等[63]基于車削運(yùn)動(dòng)原理，采用Abaqus建立了3維車削粗糙表面接觸模型，得到了法向接觸剛度有限元結(jié)果。為計(jì)算車削表面法向接觸剛度提供了一種新方法。

5 未來研究方向

隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)的逐漸進(jìn)步，發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)的穩(wěn)定性愈發(fā)重要，如何提高發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)定性將成為制約發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)進(jìn)步的關(guān)鍵因素。本文從接觸剛度的角度出發(fā)，提出以下3個(gè)研究方向，為今后航空發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)發(fā)展提供借鑒。

（1）納米級(jí)粗糙表面接觸剛度模型。隨著機(jī)械零件加工技術(shù)的不斷進(jìn)步，零件的尺寸已經(jīng)達(dá)到納米量級(jí)，零件的尺寸與微凸體的尺寸將同處于這一量級(jí)，材料的剛度性能將呈現(xiàn)出微尺度效應(yīng)，在今后的建模過程中，如何考慮這種尺度效應(yīng)，是接觸剛度建模的重要研究方向。

（2）考慮基體變形的粗糙表面接觸剛度模型。不管是統(tǒng)計(jì)描述接觸剛度模型還是分形描述接觸剛度模型，都忽略了材料基體變形對(duì)微凸體變形的影響。而在真實(shí)的接觸過程中，粗糙表面的基體和其上的微凸體都會(huì)產(chǎn)生形變，基體的變形對(duì)微凸體的接觸剛度計(jì)算有不可忽視的影響。只有將二者結(jié)合起來分析，才能得到更加準(zhǔn)確的接觸剛度。在今后的研究中，如何將微凸體變形反映在接觸剛度模型中是一個(gè)重要的研究方向。

（3）考慮微觀接觸的宏觀接觸有限元模型。由于結(jié)合面接觸剛度解析計(jì)算存在大量的簡(jiǎn)化過程，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)際接觸狀態(tài)有很大差異，因此建立完整的粗糙結(jié)合面實(shí)體模型具有重要意義。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)水平的不斷提高，應(yīng)用有限元方法建立的微觀粗糙表面接觸模型已經(jīng)成為一種趨勢(shì)。但受計(jì)算能力的限制，很難將整個(gè)粗糙面的接觸狀態(tài)表征到宏觀模型上。如何將微觀接觸力學(xué)性能反映到宏觀接觸有限元模型中，也是將來的主要研究方向。

6 結(jié)束語(yǔ)

接觸剛度一直是影響航空發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與可靠性的重要參數(shù)之一?；诮y(tǒng)計(jì)學(xué)描述的接觸剛度計(jì)算模型雖日漸成熟與完善，但仍有許多不足之處。學(xué)者提出的分形模型可通過分形參數(shù)定量地表達(dá)總的接觸剛度與粗糙度的關(guān)系，但并非所有的粗糙表面都具有分形特征?；诩{米級(jí)粗糙表面接觸剛度模型、考慮基體變形的粗糙表面接觸剛度模型、考慮微觀接觸的宏觀接觸有限元模型可彌補(bǔ)解析模型的不足，將是接觸剛度計(jì)算模型的未來發(fā)展方向。