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(2+1)維四階非線性方程的解析解

2022-02-04 00:44秦立春
南昌大學學報(理科版) 2022年6期
關鍵詞:圖圖長波四階

秦立春

(柳州鐵道職業(yè)技術學院,廣西 柳州 545616)

1 引言與研究背景

非線性偏微分方程常用來描述物理定律隨時間和空間變化的過程。然而數學物理中的絕大多數用偏微分方程來解釋的非線性問題不能通過解析方法求解。精確可解的往往都是常系數和線性的。然而,隨著孤子理論的發(fā)展,許多求解非線性偏微分方程的方法被提出,比如:三波法、雙線性神經網絡方法、正二次函數法、tanh函數法、同倫攝動法等等[1-7]。

本文考慮馬文秀教授提出的一個(2+1)維四階非線性方程[8]

γ6utt+γ1uyt+γ5uyy+γ3uxt+γ4uxy+γ2uxx+3αutuxx+3βuyuxx+

3ux(αuxt+βuxy+2uxx)+αuxxxt+βuxxxy+uxxxx=0

(1)

其中u=u(x,y,t),α,β和γi(i=1,2,…,5,6)均是常數。該方程包含了三種四階導數項和所有線性二階導數項的組合。馬文秀教授利用正二次函數法獲得了方程(1)的兩類塊狀解。方程(1)包含了許多重要的物理模型,比如:

(Ⅰ) 當α=β=0,γ3=-γ5=1,其他的γi均為零,方程(1)約化為一個(2+1)維潛在的Kadomtsev-Petviashvili方程

uxt-uyy+6uxuxx+uxxxx=0

(2)

該方程可以用來描述單層淺層流體中振幅小、對橫向坐標依賴慢的長波。

(Ⅱ) 當α=0,β=1,γ3=γ5=1,其他的γi均為零,方程(1)約化為一個廣義Bogoyavlensky-Konopelchenko方程

uxxxy+uxt+uyy+6uxuxx+uxxxx+3(uxuy)x=0

(3)

該方程可以用來描述單層淺層流體中振幅小、對橫向坐標依賴慢的長波。

當u=2[lnf(x,y,t)]x時,方程(1)將直接變成下列雙線性形式

(4)

γ5fyy+γ3ftx+γ4fxy+γ2fxx+αfxxxt+βfxxxy+fxxxx)=0

(5)

這樣的話,我們只需要求解方程(5)就可以得到方程(1)相應的解析解。

2 解析解

根據三波法,假設

f=e-xτ11-yτ12-tτ13-τ14+exτ11+yτ12+tτ13+τ14δ1+δ2tan(xτ21+yτ22+tτ23+τ24)+

δ3tanh(xτ31+yτ32+tτ33+τ34)

(6)

其中δi和τij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)是未知常數。借助Mathematica軟件,將該假設代入方程(5),有

(7)

此時可得方程(1)相應的解析解

(8)

其中f滿足方程(6)和(7)。方程(8)的動力學性質被展示在圖1。

(a)三維圖形 (b)等高線圖 (c)密度圖圖1 τ22=τ23=β=2,τ12=τ24=τ34=α=y=1,τ32=-3,τ13=-2,δ1=3,δ2=τ14=δ3=τ33=-1Fig.1 τ22=τ23=β=2,τ12=τ24=τ34=α=y=1,τ32=-3,τ13=-2,δ1=3,δ2=τ14=δ3=τ33=-1

(2)τ31=-βτ32-ατ33,τ21=-βτ22-ατ23,τ11=-βτ12-ατ13,

(9)

此時可得方程(1)相應的解析解

(10)

其中f滿足方程(6)和(9)。

(a)三維圖形 (b)等高線圖 (c)密度圖圖2 τ22=γ2=β=2,τ12=τ24=τ34=α=y=1,τ32=-3,γ1=γ3=γ4=γ6=-2,τ33=δ2=τ14=δ3=-1,δ1=3Fig.2 τ22=γ2=β=2,τ12=τ24=τ34=α=y=1,τ32=-3,γ1=γ3=γ4=γ6=-2,τ33=δ2=τ14=δ3=-1,δ1=3

(3)τ31=-βτ32-ατ33,τ21=-βτ22-ατ23,τ11=-βτ12-ατ13,

(11)

此時可得方程(1)相應的解析解

(12)

其中f滿足方程(6)和(11)。方程(12)的動力學性質被展示在圖2和圖3。

(a)三維圖形 (b)等高線圖 (c)密度圖圖3 τ22=γ2=β=2,τ12=τ24=τ34=α=t=1,τ32=-3,γ1=γ3=γ4=γ6=-2,τ33=δ2=τ14=δ3=-1,δ1=3Fig.3:τ22=γ2=β=2,τ12=τ24=τ34=α=t=1,τ32=-3,γ1=γ3=γ4=γ6=-2,τ33=δ2=τ14=δ3=-1,δ1=3

(13)

此時可得方程(1)相應的解析解

(14)

其中f滿足方程(6)和(13)。

(15)

此時可得方程(1)相應的解析解

(16)

其中f滿足方程(6)和(15)。

(17)

此時可得方程(1)相應的解析解

(18)

其中f滿足方程(6)和(17)。

(7)δ1=0,τ31=-βτ32-ατ33,τ21=-βτ22-ατ23,γ5=-β2γ2+βγ4,

τ11=-βτ12-ατ13,γ6=α(-αγ2+γ3),γ1=-2αβγ2+βγ3+αγ4

(19)

此時可得方程(1)相應的解析解

(20)

其中f滿足方程(6)和(19)。

(21)

此時可得方程(1)相應的解析解

(22)

其中f滿足方程(6)和(21)。

(23)

此時可得方程(1)相應的解析解

(24)

其中f滿足方程(6)和(23)。

3 結論

最近,馬文秀教授提出了一個新的(2+1)維四階非線性偏微分方程。該方程考慮了所有的線性二階導數項,包含了Kadomtsev-Petviashvili方程和廣義Bogoyavlensky-Konopelchenko方程等物理模型,可以用來描述單層淺層流體中振幅小、對橫向坐標依賴慢的長波。本文利用三波法和Mathematica軟件獲得了新的(2+1)維四階非線性偏微分方程大量的解析解,這些解含有豐富的動力學性質。從求解過程中可以看出三波法求解解析解是非常簡單方便的,能夠用于很多其他的高階非線性偏微分方程。

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