◎商鈺瑩 （張家港市合興初級(jí)中學(xué)，江蘇 張家港 215600）

教育是培養(yǎng)人的事業(yè)，教師是教育的主力軍，教學(xué)具有教育性，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅僅是計(jì)算和證明，還可以進(jìn)行核心素養(yǎng)的滲透、思維能力的培養(yǎng)、解題方法的總結(jié)．隨著我國(guó)新課改的不斷推進(jìn)，教學(xué)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求也越來(lái)越高．核心素養(yǎng)理念是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要手段，數(shù)學(xué)教學(xué)改革要求數(shù)學(xué)教師站在核心素養(yǎng)的高度，將學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)中，由此引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的逐步養(yǎng)成和數(shù)學(xué)思維的增強(qiáng)．?dāng)?shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要路徑，在教育快速發(fā)展的今天，每一個(gè)數(shù)學(xué)理論和分支的產(chǎn)生和發(fā)展都烙上了數(shù)學(xué)猜想的烙?。?dāng)?shù)學(xué)猜想對(duì)一些數(shù)學(xué)理論的證明有著重要的意義．

一、數(shù)學(xué)猜想的定義及其特征

數(shù)學(xué)猜想以數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)事實(shí)為基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)猜想如果被驗(yàn)證真實(shí)存在，就會(huì)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)定理，成為數(shù)學(xué)理論體系的重要組成部分，數(shù)學(xué)猜想不僅有利于數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，還有利于數(shù)學(xué)方法論的研究．

邏輯和非邏輯兩部分構(gòu)成數(shù)學(xué)猜想，所以教學(xué)猜想是科學(xué)的，人們通過(guò)推理和論證過(guò)程，確定猜想的正確性．推理和論證過(guò)程則是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力．

二、核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)猜想的指導(dǎo)作用

核心素養(yǎng)背景下，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，為學(xué)生設(shè)計(jì)符合他們認(rèn)知水平的學(xué)習(xí)過(guò)程．教師要懂猜想、會(huì)猜想，才能培養(yǎng)出具有猜想能力的學(xué)生，教師應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維、解題方法的培養(yǎng)．

要使學(xué)生掌握解題方法，教師就必須引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”．?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)對(duì)知識(shí)進(jìn)行了論證和研究，學(xué)生要想發(fā)現(xiàn)規(guī)律，需要教師的指點(diǎn)和幫助．一般來(lái)說(shuō)，猜想是新舊知識(shí)的融合，學(xué)生通過(guò)歸納、類比、觀察、聯(lián)想，得到最終的論證結(jié)果．

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)猜想

（一）歸納猜想

歸納猜想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方法，歸納猜想就是按照一類事物的部分對(duì)象具備的某種性質(zhì)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、分析和討論，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部具有的某種共性或規(guī)律，從而推出這類事物的一切對(duì)象都具有這種性質(zhì)的一種推理．歸納猜想是從特殊到一般的過(guò)程．

例如，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402＝412，求第n個(gè)式子．

5、7、9 是連續(xù)的奇數(shù)，則猜想第n個(gè)式子中的第一位是2n＋1．12、13，24、25，40、41 是連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)，則設(shè)第二、三個(gè)數(shù)是分別k，k＋1．根據(jù)（2n＋1）2＋k2＝（k＋1）2，可得k＝2n2＋2n，所以第n個(gè)式子是（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2．

又如，算式2（3＋1）×（32＋1）×（34＋1）× …×（316＋1）＋1，求其個(gè)位數(shù)字．

此題主要考查了利用平方差公式探究規(guī)律．根據(jù)題中式子的特點(diǎn)，我們可以將2 寫(xiě)成3-1，進(jìn)行式子的簡(jiǎn)化計(jì)算，得到：原式＝332，再根據(jù)3 的冪的特點(diǎn)，找出個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，即可求值．原式＝（3-1）（3＋1）×（32＋1）×（34＋1）×…×（316＋1）＋1＝（32-1）×（32＋1）×（34＋1）×…×（316＋1）＋1＝（34-1）×（34＋1）×…×（316＋1）＋1＝332-1＋1＝332．

由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，得到個(gè)位數(shù)是3、9、7、1 的循環(huán)，32÷4＝8，所以332的個(gè)位數(shù)是1．

近年來(lái)，越來(lái)越多的創(chuàng)新探究題出現(xiàn)在中考?jí)狠S題中，通常涉及對(duì)圖形變化的歸納，對(duì)幾何圖形中數(shù)量關(guān)系的猜測(cè)探究，對(duì)位置關(guān)系及幾何形狀的猜測(cè)，這些都需要我們用心探索，掌握技巧．

如圖1，在△ABC中，∠A＝x°，A1是∠ABC與∠ACD的角平分線交點(diǎn)，A2是∠A1BC與∠A1CD的角平分線交點(diǎn)，A2022是∠A2021BC與∠A2021CD的角平分線交點(diǎn)，求∠A2022．

圖1

找出∠A1和∠A之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．找出規(guī)律即可求出∠A2022．

因?yàn)锽A1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，所以∠A1CD＝

（二）類比猜想

類比是一種主觀的、不充分的、似是而非的推理，所以，為了證實(shí)猜想的有效性，我們要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯論證．

學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，可以類比平面幾何中的結(jié)論．如圖2，長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方體類比，類比關(guān)系如下：

圖2

長(zhǎng)方形長(zhǎng)方體每相鄰兩邊互相垂直；每相鄰兩棱互相垂直；每相鄰兩面互相垂直對(duì)邊互相垂直對(duì)棱長(zhǎng)度平行對(duì)邊長(zhǎng)度相等對(duì)棱互相相等兩條對(duì)角線相等兩條對(duì)角線相等對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相平分對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)和寬的平方和對(duì)角線的平方等于長(zhǎng)、寬、高的平方和面積等于兩鄰邊的乘積S＝ab體積等于長(zhǎng)、寬、高的乘積V＝abc

在學(xué)習(xí)相似三角形的性質(zhì)時(shí)，可以類比全等三角形（如圖3）．類比關(guān)系如下表：

圖3

全等三角形相似三角形對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)邊成正比例對(duì)應(yīng)邊上的高線相等；對(duì)應(yīng)邊上的中線相等；對(duì)應(yīng)角的角平分線相等對(duì)應(yīng)高線的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比周長(zhǎng)和面積相等周長(zhǎng)比等于相似比；面積比等于相似比的平方

在求一元n次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，設(shè)ax2＋bx＋c＝0 的兩個(gè)根分別是x1，x2，則有ax2＋bx＋c＝a（x-x1）·（x-x2），整理得類比此方法，我們可以求出一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系．

設(shè)n次多項(xiàng)式f（x）＝anxn＋an-1xn-1＋…＋a1x＋a0的n個(gè)根為x1，x2，…，xn，則有anxn＋an-1xn-1＋…＋a1x＋a0＝an（xx1）·（x-x2）…（x-xn），整理得：

（三）觀察猜想

觀察猜想就是指導(dǎo)學(xué)生觀察和分析數(shù)學(xué)命題的結(jié)構(gòu)、解題的過(guò)程，從而提出新的結(jié)論或論點(diǎn)．觀察猜想是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要途徑．中學(xué)生的抽象思維較弱，在幾何圖形教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生可以通過(guò)觀察圖形的變換、轉(zhuǎn)化、運(yùn)動(dòng)、應(yīng)用等過(guò)程，提升空間幾何感．

例如，41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，…觀察等式，寫(xiě)出4101的末位數(shù)字．

我們觀察以上等式，可以發(fā)現(xiàn)等式右邊數(shù)的末位數(shù)是4、6 這2 個(gè)數(shù)字的循環(huán)，由于101÷4＝25…1，所以4101的末位數(shù)字是4．

此題考查用代數(shù)式表示數(shù)量．我們仔細(xì)觀察分子和分母，易發(fā)現(xiàn)分子是從1 開(kāi)始的奇數(shù)，分母是從3 開(kāi)始的奇數(shù)．因此，第n個(gè)數(shù)應(yīng)為形如2n-1 或2n＋1（n為正整數(shù)）的式子表示奇數(shù)．一般地，對(duì)于一個(gè)有規(guī)律排列的數(shù)列，當(dāng)你探索出其中的規(guī)律并用含n的式子表示出第n個(gè)數(shù)之后，可以列舉數(shù)值代入表達(dá)式來(lái)證明猜想正確．

再如，若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且：1！＝1，2！＝2×1＝2，3?。?×2×1＝6，4?。?×3×2×1＝24，…求的值．

新定義題型是近年來(lái)的熱點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生要讀懂題目，觀察其規(guī)律．因?yàn)?00?。?00×99×98×97×…×1，98！＝98×97×…× 1，所以＝ 100 ×99＝9900．

在學(xué)習(xí)用配方法解一元二次方程時(shí)，觀察下列各式中常數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系．

（1）x2＋6x＋32＝（x＋3）2；

（2）x2＋8x＋42＝（x＋4）2；

（3）x2-4x＋22＝（x-2）2；

（4）x2＋px＋（ ）2＝（x＋）2．

我們觀察等式的左邊，可以發(fā)現(xiàn)所填的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，通過(guò)觀察猜想，總結(jié)出一般規(guī)律x2＋px＋進(jìn)而歸納出配方法的步驟．

（四）聯(lián)想猜想

聯(lián)想是類比的發(fā)展．教學(xué)過(guò)程中，我們通過(guò)聯(lián)想，可以將新舊知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，有利于知識(shí)的發(fā)展與遷移，提高數(shù)學(xué)思維的靈敏性，從而完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)后，可以通過(guò)聯(lián)想得到長(zhǎng)方形、菱形和正方形的性質(zhì)．在求不規(guī)則石塊的體積時(shí)，根據(jù)曹沖稱象的故事，我們可以利用規(guī)則的容器，求出水的體積，得出所求石塊的體積．

又如，已知tanα＝2，求sin2α-sinαcosα＋2 的值．

若根據(jù)tanα＝2 直接求正、余弦的值，則會(huì)出現(xiàn)取正負(fù)值的問(wèn)題．我們應(yīng)利用tanα＝2，求出的解，在式子中構(gòu)造tanα．在解題時(shí)學(xué)生應(yīng)注意式子中的分母問(wèn)題，聯(lián)想到具有特殊性的式子sin2α＋cos2α＝1，即sin2α-

四、核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

課堂是教學(xué)的主陣地，課堂教學(xué)是落實(shí)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵途徑．在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要為學(xué)生營(yíng)造良好的課堂氛圍和學(xué)習(xí)環(huán)境，根據(jù)班級(jí)學(xué)生情況，因人施教，把學(xué)生放在課堂的主體位置，關(guān)注學(xué)生在課堂中的每一個(gè)眼神、每一個(gè)動(dòng)作、每一次發(fā)言，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，結(jié)合現(xiàn)代教育理論，積極聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，探索并實(shí)踐培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的有效途徑，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，從而提升數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效率，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展．

猜想對(duì)數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展有著重要的作用．猜想是學(xué)生對(duì)知識(shí)信息進(jìn)行構(gòu)建的一種數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，具有一定的科學(xué)性和預(yù)測(cè)性．猜想過(guò)程不再是枯燥的填鴨式教學(xué)，通過(guò)讓學(xué)生先猜結(jié)果，再驗(yàn)證是否正確，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．長(zhǎng)期進(jìn)行猜想訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展．在教學(xué)過(guò)程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓課堂教學(xué)更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從而落實(shí)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)．