張長青

（中國移動(dòng)通信集團(tuán)湖南有限公司岳陽分公司，湖南 岳陽 414000）

0 引言

大規(guī)模相控陣天線是由幾十或幾百，甚至上千天線陣元組成的天線陣列，每個(gè)天線陣元上設(shè)置一個(gè)移相器和一個(gè)功率放大器，從而使得波束寬度極小的賦形波束的傳輸距離，可以從幾米、幾十米，延長到幾千米，甚至幾萬米或更遠(yuǎn)，使之能用于移動(dòng)通信及更遠(yuǎn)距離的衛(wèi)星移動(dòng)通信等，成為6G的關(guān)鍵技術(shù)之一。

對稱平面天線將微帶貼片平面用在對稱天線上，將微帶貼片平面易于集成和輻射波束寬度相對較小的優(yōu)點(diǎn)，與對稱線天線優(yōu)秀的方向性相結(jié)合，若是作為大規(guī)模天線陣列的基本振子，由此形成的集成天線陣列，技術(shù)上不僅方便大規(guī)模輻射振子的集成，產(chǎn)生的波束賦形效果也會(huì)更加優(yōu)秀，特別適應(yīng)毫米波段范圍以內(nèi)的應(yīng)用。

傳統(tǒng)的集成天線陣列技術(shù)采用的是微帶貼片天線振子，雖然微帶貼片振子可以做得較小，也便于集成，但微帶貼片振子天線是閉合式天線，貼片的兩面一片在前，一片在后，電磁波只能從微帶貼片振子的前后貼片之間的四周側(cè)面向外泄漏，這種泄漏輻射生產(chǎn)的波束賦形效果有限，由此形成的集成天線陣列所產(chǎn)生的波束賦形效果并不理想。另外，微帶貼片天線的結(jié)構(gòu)實(shí)際上是一種電容模式，因而是一種容抗式天線，天線振子的容抗使其可以產(chǎn)生較為嚴(yán)重的容抗式虛功輸出，甚至還會(huì)產(chǎn)生較為嚴(yán)重的寄身振蕩，極大地影響了天線的輻射效果。

傳統(tǒng)的對稱線天線是一種開放式的阻抗式天線，輻射功率全部為實(shí)功，沒有任何虛功。而且還是一種典型的偶極子天線，天線輻射產(chǎn)生的方向圖，是所有線天線中最理想的模式之一。但因天線振子長為半波長的倍數(shù)，當(dāng)輻射波長較大時(shí)，天線架構(gòu)也比較大，一定程度上限制了它成為集成天線陣列的設(shè)計(jì)。但當(dāng)輻射波長是毫米波段時(shí)，這種情況就得到了根本解決。因此，將對稱貼片天線與集成天線陣列結(jié)合起來后，可以發(fā)揮微帶貼片天線、對稱天線和集成天線陣列的共有優(yōu)點(diǎn)。

1 對稱線天線的方向圖公式

根據(jù)電磁場理論[1]，當(dāng)最大幅值為Im的信號(hào)電流I，在z≥0范圍內(nèi)的值為I(z)=Imsin[k(l-z)]，在z<0范圍內(nèi)的值為I(z)=Imsin[k(l+z)]，即在整個(gè)線天線中的信號(hào)電流是：Imsin[k(l-|z|)]時(shí)，線天線對稱臂上沿z軸分布的輻射電流可以用駐波表述。若線天線上的輻射信號(hào)是角頻率的ω諧波，則對稱線天線振子上從中間向輻射臂兩端流動(dòng)的饋電激勵(lì)源信號(hào)電流可以簡單地表示為：I(z,t)=Imsin[k(l-|z|)]sin(ωt)。

根據(jù)圖1所示，當(dāng)線天線中位于Q點(diǎn)處的電流元Idz，距離觀察點(diǎn)P(r,θ,φ)的距離r遠(yuǎn)大于線天線長2lz時(shí)。線天線信號(hào)中電流元Idz在觀察點(diǎn)P處的電場元可以表示為[2]：

圖1 對稱線天線電流元的輻射示意圖

式中η為比例常數(shù)，k=2π/λ是波數(shù)，λ為信號(hào)波長，θ是線天線俯仰角，exp(-jkr)是電流元Idz輻射的電磁波從Q點(diǎn)到P點(diǎn)的波程差引起的相位差。

由于r>>lz，根據(jù)泰勒展開，若取1/r最低項(xiàng)，可取分母中r為天線中點(diǎn)0到觀察點(diǎn)P的距離r0；但因指數(shù)中的r與相位相關(guān)，可取r=PS+SQ=r0+zcosθ。則式(1)為：

再對上式積分。顯然，虛部是奇函數(shù)，積分為零，實(shí)部是偶函數(shù)，可以對稱處理，則上式積分簡化為：

再根據(jù)三角函數(shù)恒等式sinθcosφ=[sin(θ+φ)+sin(θ-φ)]/2和三角函數(shù)積分公式∫sinxdx=-cosx+c展開整體得：

再根據(jù)三角函數(shù)積分公式∫sinxdx=-cosx+c整體得：

最后得對稱線天線在P處的輻射電場：

式(2)中對應(yīng)的線天線的方向圖函數(shù)為：

因?yàn)榫€天線長為2lz，當(dāng)lz=λ/4時(shí)，線天線叫半波天線，其中klz=(2π/λ)(λ/4)=π/2，得半波天線方向圖函數(shù)：

2 對稱平面天線的方向圖公式

（1）用線天線電流元方式求解

如圖2所示，設(shè)對稱平面天線平面的寬為2lx、高為2lz，平面中間絕緣，將平面分成上下兩個(gè)平面振子，饋電激勵(lì)電流產(chǎn)生的信號(hào)，從中間向上下平面的兩端流動(dòng)，然后再從兩個(gè)平面振子輻射到空間。

圖2 對稱平面天線電流元輻射示意圖

若將圖2所示的對稱平面天線橫向分成無窮個(gè)對稱線天線，其中每個(gè)線天線上的輻射信號(hào)電流仍定義為I(z,t)=Imsin[k(l-|z|)]sin(ωt)，根據(jù)公式(1)，在Q處第i個(gè)對稱線天線上的饋電激勵(lì)信號(hào)電流元I(z)dzdx，則在遠(yuǎn)處P(r,θ,φ)產(chǎn)生的電磁場，可以表示為：

顯然，式(11)無法用初等函數(shù)完成二重積分的。

（2）用線天線元方式求解

若仍然將圖2所示的對稱平面天線橫向分成無窮個(gè)對稱線天線，但其中的每個(gè)線天線僅當(dāng)作一個(gè)線天線元，這樣求解問題就可以簡化了。

2.1 定義沿x軸上的信號(hào)電流不變

設(shè)式(2)為對稱面天線的線天線元dEθ，即：

其中Ix=Im定義為常量，分母中的r同樣用r0取代，指數(shù)中的r用r=r0+xcosφ取代，則式(12)可表示為：

式為：

最后得在對稱面天線在P(r,θ,φ)處的輻射電場為：

其中的方向圖函數(shù)如下：

圖3所示分別為線形對稱天線（振子）式(3)和平面對稱天線（振子）式(18)計(jì)算得到的歸一化三維方向圖和二維極坐標(biāo)歸一化方向圖。在方向圖函數(shù)的解析中，對稱線天線振子和對稱平面天線振子的高都為λ/2，對稱平面天線振子的寬為λ2/5。

從圖3可以看出，對稱平面天線與對稱線形天線的高一樣，都是半波長，但對稱平面天線的寬為是五分之二波長，因而只影響了水平方向圖，使對稱線形天線的圓形水平方向圖，變成了對稱平面天線的橢圓水平方向圖，而且非常明顯，即對稱平面天線水平方向圖的短半軸，與長半軸相比，至少小了10%以上。所以，雖然對稱平面天線和對稱線天線的水平方向圖都是全向的，但前者明顯優(yōu)于后者。

圖3 對稱線天線和對稱平面天線方向圖比較

2.2 用FDTD檢驗(yàn)式(18)的正確性

FDTD（Finite Difference Time Domain，時(shí)域有限差分）是一種基于時(shí)間和空間、對Maxwell旋度方程進(jìn)行有限差分離散、具有兩階精度、用中心有限差分格式近似代替微分形式的迭代數(shù)值計(jì)算法。FDTD將Maxwell微分方程在時(shí)空兩域同時(shí)差分，在空域?qū)﹄妶龊痛艌鲇猛芴绞浇惶嬗?jì)算，在時(shí)域通過更新方式模擬場強(qiáng)變化。FDTD分析電磁場因需考慮研究對象的幾何參數(shù)、材料參數(shù)，計(jì)算精度、復(fù)雜度和穩(wěn)定性，模擬精度較高。FDTD模擬空間電磁性質(zhì)的參數(shù)按空間網(wǎng)格給出，只需給定相應(yīng)空間點(diǎn)的媒質(zhì)參數(shù)，就可以模擬復(fù)雜的電磁結(jié)構(gòu)。FDTD在適當(dāng)?shù)倪吔绾统跏紬l件下解有限差分方程，用清晰的圖像描述復(fù)雜的物理過程，可直接反映電磁波的時(shí)域特性，可表現(xiàn)非常豐富的電磁場的時(shí)域信息，是現(xiàn)代電磁場研究的重要方法。

FDTD網(wǎng)格剖分采用Yee提出的在空間和時(shí)間都差半個(gè)步長的結(jié)構(gòu)方式，通過蛙跳步驟用前一時(shí)刻的磁、電場值得到當(dāng)前時(shí)刻的電、磁場值，并在每一時(shí)刻將過程算遍整個(gè)空間，從而得到整個(gè)空間中隨時(shí)間變化的電、磁場的時(shí)域解。若對時(shí)域解用Fourier變換，可得到相應(yīng)的頻域解。雖然電磁場的作用區(qū)域無限，但FDTD的計(jì)算空間有限，即由Yee元胞組成的Yee網(wǎng)格數(shù)量有限，必須在FDTD總場區(qū)的邊界設(shè)置電磁場吸收區(qū)域，如近似吸收邊界MUR和完全匹配吸收邊界PML，其中PML吸收邊界的完全匹配性，使得傳播到總場邊界處的電磁場幾乎全部吸收殆盡，仿真無限空間中的電磁波傳播效果非常真實(shí)。采用FDTD和PML邊界來分析適應(yīng)5G需求的同時(shí)頻收發(fā)天線間的電磁場傳播，完全可以獲得理想的效果。

圖4所示用FDTD仿真得到的輻射波形，與圖3所示的對稱平面天線振子的建模條件一件，也是高為λ/2，寬為λ2/5?？梢钥闯?，圖4D對應(yīng)的水平和垂直方向圖，與圖3中平面對稱振子方向圖幾乎一樣，只是波形稍微窄了一些。由于FDTD建模與實(shí)際情況一樣，因此理論上FDTD仿真更接近實(shí)際情況，由此可以證明，平面對稱天線的解析式(18)是正確的，可以作為后期研究陣的參考。

圖4 FDTD仿真對稱平面天線輻射的波形圖

2.3 定義沿x軸上的信號(hào)電流與z軸一樣

由于定義沿x軸上的信號(hào)電流與z軸一樣，所以上下兩個(gè)平面振子，需要分成左右兩個(gè)小平面振子，如圖5所示，從而在平面天線上的輻射信號(hào)電流，不僅在z方向是一個(gè)駐波，在x方向也是一個(gè)駐波，但求解方式仍然采用線天線元方法。

圖5 對稱平面天線輻射示意圖

根據(jù)式(1)，在Q處第i個(gè)對稱線天線上的饋電激勵(lì)信號(hào)電流元I(z)dzdx，在遠(yuǎn)處P(r,θ,φ)產(chǎn)生的電磁場，可以表示為：

其中I定義與線天線一樣，即I(x,t)=Imsin[k(lx-|x|)]sin(ωt)，分母中的r同樣用r0取代，指數(shù)中的r用r=r0+xcosφ取代，則式(19)可表示為：

若對上式在區(qū)間[-lx,lx]中積分，虛部是奇函數(shù)，積分為零，實(shí)部是偶函數(shù)，可以對稱處理，上式簡化為：

又根據(jù)三角函數(shù)恒等式sinθcosφ=[sin(θ+φ)+sin(θ-φ)]/2和三角函數(shù)積分公式∫sinxdx=-cosx+c展開整體得：

式(18)和式(25)都會(huì)使水平方位方向圖的由原來的圓形，變成橢圓形，而且橢圓的長軸位y軸，短軸位于x軸，但式(18)的短軸更短。也就是說，如果使平面振子上的輻射信號(hào)電流，僅按z方向呈駐波分布，在x方向盡量相同，則對稱平面天線的方向圖的水平方向性更好，見圖6所示，而且振子上的輻射信號(hào)電流也更易實(shí)現(xiàn)。所以，在設(shè)計(jì)對稱平面天線面時(shí)，應(yīng)該采用式(18)對應(yīng)的沿x軸上的信號(hào)電流不變，沿z軸上的信號(hào)電流為駐波分布方式，這也好理解，因?yàn)檠豿軸的信號(hào)電流為駐波，則x軸向邊緣處的信號(hào)電流為零，從而影響輻射效果。

圖6 當(dāng)z軸上信號(hào)電流為駐波時(shí)，x軸上信號(hào)電流不變和為駐波時(shí)的方向圖

3 對稱平面天線面陣的方向圖公式

3.1 對稱平面天線振子線陣輻射電場

對稱平面天線振子線陣可以分為平行振子線陣和共軸振子線陣[2]，如圖7所示：

圖7 4對稱平面平行振子和3對稱平面共軸振子線陣示意圖

根據(jù)陣列乘積定理，在由N個(gè)線天線組成的平行振子線陣中，第n個(gè)線天線振子在觀察點(diǎn)P處的電場為：

若取In=I0，則上為可簡化為：

與此類推，設(shè)有M個(gè)線天線組成的共軸振子線陣，共軸振子線陣在觀察點(diǎn)P處的電場：

若取Im=I0，則上為可簡化為：

3.2 對稱平面天線振子面陣輻射電場

同理，根據(jù)陣列乘積定理，由N平行平面振子和M共軸平面振子組成的面陣（圖8）在觀察點(diǎn)P處的電場為：

圖8 8′4對稱平面振子面陣示意圖

式中f1(θ,φ)為公式(18)，In,m是面陣中第（n、m）個(gè)振子激勵(lì)電流的強(qiáng)度；ψx=k·dxsinθcosφ是相鄰平行振子間的相位差，dx是振子水平方向間的間距；ψx0=-ax=kdxsinθ0cosφ0是觀察點(diǎn)相對面陣的方位角；ψz=k·dzcosθ是相鄰共軸振子間的相位差，dz是振子垂直方向間的間距；ψz0=-az=kdzcosθ0是觀察點(diǎn)相對面陣的俯仰角。

若取In,m=I0，則上式可簡化為：

其中對應(yīng)的面陣方向圖公式為：

顯然，從式(34)可知，調(diào)整ax和az或ψx0和ψz0，就等于調(diào)整了觀察點(diǎn)的觀察俯仰角和方位角，就可以確定面陣波束最大值輻射角的位置。若能使每個(gè)振子激勵(lì)電流相位差ax和az連續(xù)變化，使其覆蓋全部空域，就可以完成面陣波束最大值掃描全空間，這就是相近陣?yán)走_(dá)的掃描原理。

4 對稱平面天線面陣分析

對稱線天線屬于開放式天線，是一種全阻抗式輻射天線，其中半波長對稱線天線又叫半波天線，天線振子輻射的方向圖是偶極型，雖然水平方向圖是全向形，但垂直方向圖的方向性較強(qiáng)，標(biāo)準(zhǔn)方向角為74°，是一種廣泛應(yīng)用的線天線。由對稱線天線陣元組成的二維面陣陣列的輻射方向圖，是一種基于偶極輻射的方向性極強(qiáng)的定向輻射方向圖，用較少的陣元可以獲得品質(zhì)較高的賦形波束。

對稱平面天線屬于貼片天線，也屬于開放式天線，與傳統(tǒng)的對稱線天線一樣，同樣是全阻抗式輻射天線，振子輻射的方向圖同為偶極形。但因平面振子的輻射特征，使得全向水平方向圖的兩邊壓縮，在對稱線天線的基地上進(jìn)一步增強(qiáng)了水平傳輸?shù)姆较蛐院洼椛鋸?qiáng)度。另外，由于屬于貼片天線，在小波長輻射領(lǐng)域，用對稱平面天線振子組成陣列，還具有天線架構(gòu)方面的集成性和小型化等優(yōu)點(diǎn)。

為了分析對稱平面天線面陣，鑒于計(jì)算機(jī)仿真時(shí)的性能限制，也為了方便直觀賦形波束，設(shè)計(jì)了一款最簡單的陣列，它由四個(gè)對稱平面振子陣元組成，為了方便比較，還設(shè)計(jì)了一款由四個(gè)對稱線天線陣元組成的陣列，通過對兩者的計(jì)算和仿真分析，可以了解對稱平面天線面陣的優(yōu)點(diǎn)，見圖9所示：

圖9 2′2平面陣列

設(shè)線天線陣元的長2l z=λ/2，相鄰陣元間的間距d x=d z=λ/2；平面振子陣元的長2l z=λ/2，陣元的寬2lx=λ2/5，相鄰陣元間的間距dx-dz=λ/2。顯然，兩個(gè)陣列的設(shè)計(jì)完全同樣，其中線天線陣元沒有寬度設(shè)計(jì)。

如果選擇5G典型頻度28 GHz，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)波長為108 mm，顯然，這是基于毫米波應(yīng)用的陣列，就是加上陣列底板邊緣的寬度，這兩款最簡2′2平面陣列的大小結(jié)構(gòu)均為120 mm′120 mm，面積大約只有拇指甲大。

根據(jù)式(36)，可以得到求得解析式對稱平面天線陣列的方向圖。若設(shè)lx=0，則式(36)可以簡化為對稱線天線陣列的解析式方向圖函數(shù)。

圖10所示便是根據(jù)式(36)分別得到的2′2線天線陣元陣列（見圖10-A）和2′2平面天線陣元陣列（見圖10-B）的方向圖?？梢钥闯觯€天線陣元和平面天線陣元組成的陣列，兩者的垂直方向角完全一樣，但水平方向圖的方向角前者是48°，后者是44°，前者比者降低了約10%。

圖10 用解析式計(jì)算的2′2對稱線形振子和對稱平面振子面陣方向圖

如圖11所示是用FDTD仿真的2′2對稱平面振子面陣后來到的波形圖和方向圖，仿真中的建模與圖中一樣。

可以看出，圖11-D中的垂直方向角與圖9-B中一樣都是36°，雖然水平方向角是46°，但這應(yīng)該是仿真計(jì)算中的誤差所至。由此可以證明，解析式(36)，在分析對稱平面振子面陣時(shí)，準(zhǔn)確性很高，具有很高的參考意義。

圖11 用FDTD仿真的2′2對稱平面振子面陣方向圖

如圖12所示，是利用式(36)計(jì)算的3′3和4′4對稱平面振子面陣方向圖。在面陣中，開放式平面貼片振子增加一點(diǎn)，方向圖主辯的角度就會(huì)減少一些，僅僅分析面陣的水平方向圖的夾角。當(dāng)陣元是2′2時(shí)，水平角為44°；當(dāng)陣元是3′3時(shí)，水平角為28°；當(dāng)陣元是4′4時(shí)，水平角為20°。

圖12 用解析式計(jì)算的3′3和4′4對稱平面振子面陣方向圖

5 結(jié)論

在面陣方向圖函數(shù)式(36)中，對稱平面天線振子面陣和對稱線天線振子平面的唯一區(qū)別，是平面天線振子方向圖函數(shù)式(8)中的f1(θ,φ)，和線天線振子的方向圖函數(shù)式(8)中的f1(θ)不同，式(18)中的f1(θ,φ)比式(8)中的f1(θ)多了一項(xiàng)與水平方位角φ有關(guān)的因子函數(shù)：

顯然，式(37)是對稱平面天線振子面陣方向圖函數(shù)的重點(diǎn)，也是研究基于開放式對稱平面振子面陣中的關(guān)鍵研究點(diǎn)，因?yàn)樗苯記Q定了水平方向圖。

圖13-A所示圖中，給出了三個(gè)貼片寬度，既lx=λ/6、λ/5和λ/4時(shí)，式(37)畫出的方向圖。圖13-B所示曲線，表述的是lx在λ/30～λ/4之間連續(xù)變化時(shí)，圖13-A所示橢圓短軸連續(xù)改變的關(guān)系。圖13-B所示表述的是，對稱平面天線振子貼片的寬度越大，方向圖橢圓的短軸就越小，原則上講方向圖方向性越佳，對應(yīng)的對稱平面天線振子陣列的賦形波，也將越好。

圖13 式(37)表述的基本關(guān)系

因此，在設(shè)計(jì)對稱平面天線振子陣列時(shí)，可以先參考圖12，然后通過式(37)，得到平面天線振子貼片寬度的具體參數(shù)。

對稱平面天線振子陣列的優(yōu)點(diǎn)是，貼片振子方便集成化設(shè)計(jì)，開放式貼片沒有虛功損耗，輻射中的水平方向角更小，并可以根據(jù)對稱貼片寬的大小來調(diào)節(jié)水平方向角。這種集成化設(shè)計(jì)的陣列，非常適合毫米波輻射領(lǐng)域，在5G終端小型化設(shè)計(jì)中具有良好的選擇優(yōu)勢。

最后補(bǔ)充一點(diǎn)，解析式中方向圖基本上是對稱分布，尤其是垂直方向圖還是一個(gè)圓（如圖3-B），而不是像FDTD仿真中是一個(gè)橢圓（如圖4-D）。原因在于解析式簡化時(shí)，將式(7)中分母中的r直接用r0代替了。而FDTD是直接對天線建模，所以仿真的方向圖能夠真實(shí)地反映出來。