秦 進(jìn)，吳志君，楊 康，毛成輝，黎熙瓊，CHANTHAVONG Vanpadith

(1.中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2.軌道交通大數(shù)據(jù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

我國(guó)高速鐵路(以下簡(jiǎn)稱“高鐵”)營(yíng)業(yè)里程已近4萬(wàn) km，路網(wǎng)規(guī)模、運(yùn)輸密度等均居世界首位。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，2019年我國(guó)高鐵動(dòng)車(chē)組發(fā)送旅客同比增長(zhǎng)14.1%，至22.9億人次，占全路旅客發(fā)送量64.1%[1]，這表明高鐵已經(jīng)成為我國(guó)鐵路旅客運(yùn)輸?shù)闹髁Α５壳案哞F的市場(chǎng)化運(yùn)營(yíng)水平相對(duì)航空、汽運(yùn)等仍比較落后，尤其是客票定價(jià)還未能充分考慮市場(chǎng)需求特征，無(wú)法實(shí)現(xiàn)客流的有效引導(dǎo)和調(diào)節(jié)，導(dǎo)致熱門(mén)車(chē)次供不應(yīng)求和冷門(mén)車(chē)次供過(guò)于求的情況同時(shí)存在，造成一定程度上的高鐵運(yùn)輸資源浪費(fèi)，也降低了高鐵服務(wù)水平和企業(yè)收益。

差異化定價(jià)是指對(duì)具有可替代性的多個(gè)產(chǎn)品制定不同的價(jià)格，調(diào)節(jié)供需匹配關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)服務(wù)水平和企業(yè)收益最大化的一種商品銷售定價(jià)策略，如法國(guó)高鐵允許同一起訖點(diǎn)(Origin-Destination, OD)的列車(chē)根據(jù)旅行時(shí)間、發(fā)車(chē)時(shí)段以及服務(wù)水平等因素設(shè)置不同的價(jià)格。目前我國(guó)高鐵正進(jìn)行市場(chǎng)化運(yùn)營(yíng)的改革探索，在票價(jià)方面，也開(kāi)始有學(xué)者嘗試通過(guò)對(duì)高鐵列車(chē)實(shí)施差異化定價(jià)，以達(dá)到調(diào)節(jié)客流、提高列車(chē)上座率的目的。Van[2]根據(jù)邊際成本理論研究鐵路客運(yùn)最優(yōu)定價(jià)決策，建議鐵路在不同發(fā)車(chē)時(shí)段采取不同票價(jià)；尹少成[3]指出鐵路應(yīng)借鑒航空領(lǐng)域市場(chǎng)化經(jīng)營(yíng)經(jīng)驗(yàn)，列車(chē)票價(jià)應(yīng)隨發(fā)車(chē)時(shí)段、購(gòu)票時(shí)間等因素波動(dòng)；王燦燦等[4]提出應(yīng)根據(jù)運(yùn)輸?shù)镜目土鞣逯挡煌?，進(jìn)行季節(jié)性的差異化定價(jià)；文獻(xiàn)[5-8]基于列車(chē)屬性特征的不同，以平衡列車(chē)能力利用率和實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)效益增收為目標(biāo)，構(gòu)建多列車(chē)差異化定價(jià)方法。

由于客票定價(jià)與坐席分配之間存在密切聯(lián)系[9]，因此將兩者進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化正成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。既有研究多基于隨機(jī)效用理論或期望效用理論，假設(shè)旅客完全理性，構(gòu)建相應(yīng)優(yōu)化模型，如趙翔等[10-11]考慮隨機(jī)需求特征，分別構(gòu)建單交通模式和多交通模式下的平行車(chē)次差異化票價(jià)票額綜合優(yōu)化模型；宋文波等[12]提出固定需求環(huán)境下的多列車(chē)差異化票價(jià)和票額的綜合優(yōu)化方法；Hu等[13]通過(guò)形式票價(jià)描述坐席分配策略，有效降低問(wèn)題規(guī)模。但這些研究在描述旅客行為時(shí)往往忽略旅客出行特征的不同。

出行特征是旅客選擇行為的主要影響因素之一[14]，Espino等[15]指出忽略旅客出行特征不能準(zhǔn)確描述旅客選擇行為，從而導(dǎo)致高估所得優(yōu)化方案的效果。部分學(xué)者為解決這兩個(gè)問(wèn)題做出了嘗試。Qin等[16]利用前景理論描述旅客的有限理性，但是由于前景理論自身局限性，模型適用范圍較小。文獻(xiàn)[10,17-18]也有意識(shí)地考慮旅客出行特征，但模型中對(duì)于出行特征的體現(xiàn)不夠全面，均只涉及部分內(nèi)容。

綜上所述，在高鐵差異化定價(jià)的既有研究中，對(duì)于旅客決策行為的非完全理性和旅客出行特征均考慮較少。行為科學(xué)領(lǐng)域中的累積前景理論(Cumulative Prospect Theory, CPT)，在保留前景理論能夠刻畫(huà)有限理性的優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，利用累積變形概率函數(shù)實(shí)現(xiàn)了理論大范圍適用和滿足一階隨機(jī)占優(yōu)現(xiàn)象，因此在高鐵差異化定價(jià)問(wèn)題中引入CPT更具優(yōu)勢(shì)。從理論層面看，高鐵票價(jià)影響需求，坐席分配決定供給，將票價(jià)和坐席分配進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，是充分考慮供需匹配關(guān)系。從實(shí)踐層面看，高鐵票價(jià)制定與坐席分配相互聯(lián)系不可分割，在定價(jià)問(wèn)題中聯(lián)合優(yōu)化坐席分配，可進(jìn)一步提升客票總收益，同時(shí)也可在一定程度上，避免實(shí)際需求與坐席分配方案相差較大，從而給工作現(xiàn)場(chǎng)帶來(lái)大量臨時(shí)調(diào)整工作[9]。本文基于歷史客票數(shù)據(jù)分析旅客出行特征并進(jìn)行旅客分類，利用CPT描述每類旅客出行選擇行為的有限理性，在此基礎(chǔ)上以客票總收益最大化為目標(biāo)，提出彈性需求下高鐵差異化定價(jià)和坐席分配的聯(lián)合優(yōu)化方法。

1 變量定義及問(wèn)題分析

旅客根據(jù)高鐵票價(jià)、旅行時(shí)間、發(fā)車(chē)時(shí)刻等多個(gè)因素進(jìn)行列車(chē)選擇，最終形成多列車(chē)多OD間的客流分布。差異化定價(jià)的目的，在于給高鐵列車(chē)制定有差別的票價(jià)，引導(dǎo)客流轉(zhuǎn)移，形成新的票價(jià)水平下的客流分布狀態(tài)，使得列車(chē)之間的客流需求更為均衡，提高運(yùn)力資源的利用效率和總收益的增長(zhǎng)。

客流需求規(guī)律是進(jìn)行科學(xué)差異化定價(jià)的基礎(chǔ)[19]。為準(zhǔn)確描述高鐵旅客客流需求規(guī)律，需要深入分析高鐵旅客的出行特征。旅客出行特征主要包括出行目的、出行距離、出行時(shí)間和出行費(fèi)用[20]。這些因素的細(xì)微差異，都可能會(huì)影響具體旅客的出行選擇決策。因此對(duì)每位旅客個(gè)體進(jìn)行單獨(dú)的選擇行為描述是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。本文根據(jù)上述因素對(duì)旅客出行行為的影響規(guī)律對(duì)旅客進(jìn)行分類，在此基礎(chǔ)上刻畫(huà)每類旅客的選擇行為。

另外，相關(guān)研究表明，旅客在出行選擇過(guò)程中的有限認(rèn)知能力和邏輯推理能力，使得其決策過(guò)程呈現(xiàn)出有限理性的特征[21]，例如，旅客的出行決策都存在參照點(diǎn)依賴，并更傾向于追求低概率的“高價(jià)值獲益”和避免低概率“高價(jià)值損失”，同時(shí)旅客對(duì)損失的規(guī)避程度和對(duì)相同程度獲益的偏好程度也并不相同，但都厭惡損失[22-23]。

CPT是Tversky等[24]提出的描述性決策理論，認(rèn)為有限理性的自然人是極大累積前景效用的追求者，累積前景效用是所有可能情形下價(jià)值函數(shù)值與累積概率值的乘積之和，價(jià)值函數(shù)與累積概率函數(shù)均是實(shí)際結(jié)果和決策人內(nèi)心參照點(diǎn)偏離程度的函數(shù)。CPT理論主要貢獻(xiàn)在于將參照點(diǎn)作為價(jià)值曲線原點(diǎn)來(lái)體現(xiàn)參照點(diǎn)依賴，利用不對(duì)稱性的價(jià)值曲線反應(yīng)厭惡損失，采用累積變形的概率函數(shù)解釋人追求小概率事件的心理，利用CPT可以較好解釋人在決策過(guò)程中的有限理性。因此本文根據(jù)客票數(shù)據(jù)對(duì)高鐵旅客進(jìn)行分類，基于CPT理論進(jìn)行不同類旅客的出行選擇行為的有限理性特征刻畫(huà)。

本文研究的問(wèn)題可以描述為：針對(duì)給定的高鐵線路，首先根據(jù)旅客出行特征進(jìn)行旅客市場(chǎng)細(xì)分，并準(zhǔn)確刻畫(huà)各類旅客出行行為的有限理性選擇特征，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造科學(xué)的高鐵旅客彈性需求函數(shù)，以客票總收入最大化為目標(biāo)，充分考慮列車(chē)運(yùn)輸能力(坐席數(shù)量)、票價(jià)水平區(qū)間和票價(jià)不倒掛等約束，求解線路上服務(wù)各OD間的各高鐵列車(chē)的最優(yōu)票價(jià)和和相應(yīng)的最優(yōu)席位分配數(shù)量。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，做出以下合理假設(shè)：

(1) 列車(chē)開(kāi)行方案已經(jīng)給定且不發(fā)生變化。

(2) 按照旅客先到先得的規(guī)則服務(wù)，超出票額限制的出行需求將不被滿足。

(3) 旅客出行需求主要受票價(jià)、旅行時(shí)間、發(fā)車(chē)時(shí)刻和退票成本4個(gè)因素影響。

(4) 不考慮列車(chē)席位等級(jí)。

為方便后面描述，符號(hào)及定義見(jiàn)表1。

表1 符號(hào)及定義

2 旅客分類

出行特征是旅客選擇行為的主要影響因素之一，不同出行特征的旅客選擇行為呈現(xiàn)一定的差異[14]。本文依據(jù)出行特征對(duì)旅客進(jìn)行分類，將出行特征類似的旅客歸為一類，為后續(xù)彈性需求函數(shù)的構(gòu)建奠定基礎(chǔ)。高鐵的歷史客票數(shù)據(jù)包含著大量旅客行為信息，可以直觀反應(yīng)旅客的旅行時(shí)間、出行距離和出行費(fèi)用，盡管出行目的在客票數(shù)據(jù)中無(wú)法直接體現(xiàn)，但旅客的出行日期和提前購(gòu)票天數(shù)可以從側(cè)面和局部反映旅客的出行目的。因此，本文考慮從歷史高鐵客票數(shù)據(jù)中選取出行日期、提前購(gòu)票天數(shù)、旅行時(shí)間、出行距離、出行費(fèi)用5個(gè)外顯變量，利用潛在類別模型實(shí)現(xiàn)考慮旅客出行特征的旅客分類。

潛在類別模型是一種將潛在變量理論和分類相結(jié)合的統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)，利用最少的潛在類數(shù)目解釋外顯變量之間的聯(lián)系。既有研究多利用潛在類別模型對(duì)給定高鐵線路所有OD服務(wù)的所有旅客同時(shí)分類，僅能處理小規(guī)模數(shù)據(jù)，在客票數(shù)據(jù)超過(guò)5萬(wàn)條時(shí)分類效果難以滿足要求[25]。此外由于客票數(shù)據(jù)中僅包含高鐵的出行費(fèi)用和旅行時(shí)間，而目前高鐵出行費(fèi)用和旅行時(shí)間都與出行距離密切相關(guān)，因此對(duì)所有旅客同時(shí)分類的方式，會(huì)忽略距離相近但備選交通方式集不同的OD間出行費(fèi)用、旅行時(shí)間的差異，從而不能準(zhǔn)確反映旅客出行特征。以京滬高鐵為例，濟(jì)南西—南京南和北京南—南京南的距離相差不大，但濟(jì)南西—南京南無(wú)直達(dá)航班，組合出行費(fèi)時(shí)又昂貴，因此絕大多數(shù)旅客都會(huì)選擇高鐵出行，因此該OD間旅客備選交通方式主要為公路和鐵路。而北京南—南京南之間有直達(dá)航班，備選交通方式有公路、鐵路及航空。這兩個(gè)OD間旅客的備選交通方式的旅行時(shí)間集合、出行費(fèi)用集合顯然有較大差異，在旅客類別細(xì)分時(shí)必須加以考慮。

本文以歷史客票數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)每個(gè)OD間的旅客進(jìn)行單獨(dú)分類。因?yàn)閷?duì)于同一OD間的旅客，其出行距離相同，可選交通方式相同，所以旅客備選交通方式的旅行時(shí)間集合與出行費(fèi)用集合組成是相同的。在后續(xù)旅客選擇行為描述中，通過(guò)不同的參數(shù)取值即可體現(xiàn)各OD間旅行時(shí)間、出行距離和出行費(fèi)用不同給旅客帶來(lái)的影響，因此這3個(gè)外顯變量在旅客分類過(guò)程中不予考慮。再利用剩余出行日期A、提前購(gòu)票天數(shù)B兩個(gè)能夠從側(cè)面反應(yīng)出行目的的外顯變量，對(duì)每個(gè)OD間的旅客進(jìn)行單獨(dú)分類以區(qū)分出行目的，即可實(shí)現(xiàn)在模型中全面考慮出行特征的主要內(nèi)容。對(duì)每個(gè)OD間的旅客分類，也是對(duì)歷史客票數(shù)據(jù)的降維，可以處理更大量級(jí)的數(shù)據(jù)。

選取好外顯變量之后，提取的數(shù)據(jù)并不能直接用于分類，需要對(duì)所有外顯變量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以不同的數(shù)字表示各外顯變量的不同取值。借鑒文獻(xiàn)[25]思想及高鐵退票費(fèi)率，分別對(duì)出行日期和提前購(gòu)票天數(shù)分段進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。分水平處理結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 分水平處理結(jié)果

根據(jù)潛在類別模型框架[25]，對(duì)于外顯變量組合為{a,b}的旅客，屬于潛在類別i的分類效用值Uabi為

a=1,2,…,7b=1,2,…,5

( 1 )

( 2 )

外顯變量組合為{a,b}的旅客屬于潛在類別i的概率P(i|{a,b})為

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

3 彈性需求函數(shù)構(gòu)建

考慮到高鐵網(wǎng)絡(luò)中任意列車(chē)票價(jià)的變化，會(huì)影響系統(tǒng)內(nèi)所有客流需求的時(shí)空分布，進(jìn)一步又會(huì)影響多趟相關(guān)列車(chē)的需求分擔(dān)比例。因此不宜單獨(dú)確定單趟列車(chē)需求與其票價(jià)之間的彈性關(guān)系[10]?？紤]到OD間的總需求與不同列車(chē)需求之間的內(nèi)生關(guān)系，可以分2步確定列車(chē)的彈性需求函數(shù)，首先構(gòu)建任意OD間的各類旅客總需求的彈性函數(shù)，然后建立服務(wù)該OD間所有列車(chē)的各類旅客需求分擔(dān)比例函數(shù)，對(duì)各類需求求和即可獲得不同列車(chē)的客流需求量。使用累積前景效用描述旅客出行行為的關(guān)鍵，在于構(gòu)建出行效用函數(shù)和參照點(diǎn)。

根據(jù)累積前景理論，旅客是極大累積前景效用的追求者。累積前景效用的計(jì)算與高鐵出行效用、旅客內(nèi)心參照點(diǎn)相關(guān)。累積前景效用的計(jì)算過(guò)程見(jiàn)圖1。

圖1 累積前景效用計(jì)算過(guò)程

(1)高鐵出行效用函數(shù)

( 7 )

( 8 )

( 9 )

考慮現(xiàn)實(shí)中旅客對(duì)于出行效用微小差異的辨別能力十分有限，可利用離散分布擬合效用的連續(xù)分布[21]。舍棄高鐵出行效用連續(xù)分布兩側(cè)的小概率極端取值，保留一定置信水平y(tǒng)%下中間的置信區(qū)間。然后將置信區(qū)間等距分割成K份，認(rèn)為該等距分割段的中值與該段其余值僅存在微小差異，可以取中值代表該等距分割段，作為高鐵出行效用波動(dòng)的一個(gè)結(jié)果。由此，得到高鐵出行效用向量表達(dá)為

(10)

每一等距分割段上的概率分布值作為相應(yīng)波動(dòng)結(jié)果出現(xiàn)的概率，得到概率向量為P=(P1,…,PK)。

(2)出行決策參照點(diǎn)

(11)

s.t.

(12)

(13)

(3)高鐵出行需求彈性函數(shù)

(14)

1≤g≤K

(15)

式中：α、β(0<α≤1,0<β≤1)用于判斷遠(yuǎn)離參考點(diǎn)的敏感性變化，α、β的值越大，出行者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的感知越強(qiáng)；λ為損失規(guī)避系數(shù)，且始終存在λ>1，體現(xiàn)了決策者對(duì)損失的敏感性更強(qiáng)。

累積概率函數(shù)是描述旅客對(duì)客觀風(fēng)險(xiǎn)概率的反應(yīng)程度，用參數(shù)δ反應(yīng)累積概率函數(shù)的曲率。旅客的累積概率φ(P)為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

對(duì)所有類旅客求和，即可得到列車(chē)h的價(jià)格彈性需求函數(shù)為

(23)

4 聯(lián)合優(yōu)化模型

以期望總客票收益最大化為目標(biāo)，構(gòu)建高鐵差異化定價(jià)與坐席分配聯(lián)合優(yōu)化為

(24)

s.t.

(25)

m∈[1,N-1]h∈Hrs

(26)

(27)

(28)

(29)

h∈Hrs

(30)

(31)

h∈Hrs

(32)

模型中，式(7)體現(xiàn)了根據(jù)旅行時(shí)間、發(fā)車(chē)時(shí)段等不同因素對(duì)列車(chē)差異化定價(jià)的影響，由差異化價(jià)格調(diào)節(jié)需求；式(24)、式(25)體現(xiàn)了差異化定價(jià)和坐席分配的聯(lián)合優(yōu)化；式(26)為列車(chē)運(yùn)輸能力約束；式(27)為票價(jià)上下限約束；式(28)、式(29)表示對(duì)于同一到站或同一發(fā)站，較長(zhǎng)區(qū)段的票價(jià)應(yīng)高于較短區(qū)段的票價(jià)，避免產(chǎn)生票價(jià)倒掛現(xiàn)象；式(30)表示長(zhǎng)區(qū)段票價(jià)應(yīng)不小于其他可以拼接成該區(qū)段的各較短區(qū)段的票價(jià)之和，避免旅客多段拼接購(gòu)票或者“買(mǎi)短+上車(chē)補(bǔ)票”；式(31)表示坐席分配取值下限，τ為最小滿足客流需求比例，避免一味追求最大利益而致使某些OD不分配坐席數(shù)量；式(32)表示決策變量的取值范圍。

5 模型求解

5.1 基于多段映射罰函數(shù)的模型轉(zhuǎn)化

模型中式(28)～式(30)是有關(guān)票價(jià)的關(guān)鍵約束，為求解算法設(shè)計(jì)帶來(lái)了困難。可以采用非固定多段映射罰函數(shù)對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，以避免罰函數(shù)法中難以確定罰因子難題[30]。

構(gòu)造廣義目標(biāo)函數(shù)為

(33)

懲罰力度與懲罰項(xiàng)的更新公式為

(34)

(35)

(36)

(37)

上述聯(lián)合優(yōu)化模型屬于混合整數(shù)非線性規(guī)劃，并且票價(jià)和預(yù)期售票數(shù)量組合維度大，基于CPT構(gòu)造的彈性需求函數(shù)含有正態(tài)分布和多次非線性變化，一般優(yōu)化算法難以在有效時(shí)間內(nèi)求取高質(zhì)量的最優(yōu)解?；净依撬惴?Grey Wolf Optimizer, GWO)是一種全新的群智能優(yōu)化算法，通過(guò)模擬狼群狩獵行為實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，由于全局搜索能力強(qiáng)、調(diào)整參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，在工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[31-32]。本文結(jié)合所研究問(wèn)題的特征，在對(duì)基本灰狼算法進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)求解方法進(jìn)行計(jì)算與分析。

5.2 GWO算法基本思路

GWO算法的基本原理，是狼群中每一只狼位置信息代表問(wèn)題的一個(gè)解，最容易捕獲的獵物位置代表優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解，狼群逐漸靠近獵物實(shí)施抓捕，即不斷優(yōu)化獲得最終解的過(guò)程[31]。首先通過(guò)隨機(jī)的方式，在可行域范圍內(nèi)隨機(jī)生成初始狼群位置，對(duì)每一個(gè)體灰狼位置進(jìn)行適應(yīng)度值計(jì)算。根據(jù)適應(yīng)度值將狼群劃分為4個(gè)等級(jí)，狼群中位置最優(yōu)個(gè)體、次優(yōu)個(gè)體、次次優(yōu)個(gè)體分別記為記為G1、G2、G3，其余灰狼均為低等級(jí)狼G‘。

在迭代過(guò)程中，G1、G2和G3被認(rèn)為是3只高等級(jí)狼，擁有獲取獵物位置的潛在能力，高等級(jí)狼共同指導(dǎo)所有低等級(jí)灰狼G‘進(jìn)行位置移動(dòng)。捕食過(guò)程前期，狼群離開(kāi)當(dāng)前獵物位置前往別處搜尋更容易捕獲的獵物，即進(jìn)行全局搜索；到了后期，狼群逐漸靠近當(dāng)前獵物實(shí)施抓捕，進(jìn)行局部搜索。

算法執(zhí)行中通過(guò)線性變化的距離控制參數(shù)d來(lái)影響狼群采取何種行動(dòng)。狼群位置每更新一次，重新計(jì)算適應(yīng)度值，根據(jù)適應(yīng)度值更新高等級(jí)狼的位置，新的高等級(jí)狼繼續(xù)指導(dǎo)狼群移動(dòng)，循環(huán)往復(fù)，直至捕獵行為結(jié)束。當(dāng)算法迭代結(jié)束時(shí)，G1狼的位置代表優(yōu)化問(wèn)題的最終解。

5.3 GWO算法的改進(jìn)

GWO存在以下幾處不足：首先，初始狼群位置隨機(jī)生成，狼群位置分布并不總是均勻的，而既有研究已證明初始種群均勻分布能提升群智能算法的尋優(yōu)能力[33]；其次，線性變化的距離控制參數(shù)d并不能始終很好地平衡算法全局搜索能力和局部搜索能力；最后，算法中缺乏陷入局部最優(yōu)后的跳出機(jī)制。針對(duì)上述不足，對(duì)GWO算法進(jìn)行改進(jìn)。

(1)初始狼群的改進(jìn)

利用佳點(diǎn)集策略生成均勻分布的初始狼群。任意給定一定數(shù)量的點(diǎn)，用這些點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)成的任何加權(quán)求和形式來(lái)近似計(jì)算函數(shù)在歐式空間單位立方體上的積分時(shí)，所取得的誤差最小的點(diǎn)集稱為佳點(diǎn)集。佳點(diǎn)集本質(zhì)上是一個(gè)均勻分布的點(diǎn)集。將歐式空間單位立方體上的佳點(diǎn)集映射到求解空間能夠使初始狼群在解空間中均勻分布。記問(wèn)題決策變量維數(shù)是Dim，取Q個(gè)點(diǎn)的佳點(diǎn)集Dn(m)用以狼群初始化。

Dn(m)={({exp(1)×m},{exp(2)×m},…,

{exp(Dim)×m}),m=1,2,…,Q}

(38)

式中：{exp(·)×m}為exp(·)×m的小數(shù)部分。Dn(m)佳點(diǎn)集的每個(gè)分量均在[0,1]之間，為了將單位立方體上的佳點(diǎn)映射至解空間，還需要將佳點(diǎn)集進(jìn)行映射處理。映射f為

f[exp(g)×m]=lbg+{exp(g)×m}×(ubg-lbg)

(39)

式中：lbg、ubg分別為第g個(gè)分量的取值上下限。對(duì)佳點(diǎn)集Dn(m)中每個(gè)佳點(diǎn)的每個(gè)分量執(zhí)行映射f，即得初始狼群。基于此方法構(gòu)造的初始狼群隱含票價(jià)上下限約束，能保證票價(jià)在上下限范圍內(nèi)均勻取值。

(2)距離控制參數(shù)的改進(jìn)

灰狼算法中距離控制參數(shù)d的設(shè)置，影響著算法全局搜索能力和局部搜索能力的平衡?？梢钥紤]使參數(shù)d非線性遞減以提升算法性能，即在迭代的前期，選擇較大的d值可提高全局搜索能力以避免算法出現(xiàn)早熟收斂的情況；迭代后期，有較小的d值可以讓狼群在某區(qū)域內(nèi)集中搜索，加強(qiáng)局部搜索能力。

(40)

式中：iter和itermax分別為當(dāng)前迭代次數(shù)和最大允許迭代次數(shù)。

(3)最差位置改變策略

基本灰狼算法沒(méi)有考慮陷入局部最優(yōu)之后的跳出策略，因此本文借鑒隨機(jī)蛙跳算法[34]對(duì)適應(yīng)度最差蛙的位置改變策略對(duì)灰狼位置更新方式進(jìn)行改進(jìn)。在每一次迭代過(guò)程中，計(jì)算每個(gè)灰狼個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值，記錄最差適應(yīng)度值的灰狼個(gè)體。引入蛙跳概率Pfrog，在每次迭代過(guò)程中生成隨機(jī)數(shù)和Pfrog的值進(jìn)行比對(duì)。當(dāng)隨機(jī)數(shù)大于Pfrog時(shí)，最差灰狼個(gè)體按基本灰狼算法更新位置；當(dāng)隨機(jī)數(shù)小于等于Pfrog時(shí)，最差灰狼個(gè)體按照式(41)更新自身位置，即最差灰狼個(gè)體跳出當(dāng)前解，根據(jù)最優(yōu)灰狼位置去尋找更優(yōu)解。

(41)

5.4 算法步驟

具體算法步驟如下：

Step1根據(jù)給定線路，從歷史售票數(shù)據(jù)中獲取列車(chē)開(kāi)行方案、固定票價(jià)下客流量等數(shù)據(jù)。設(shè)置模型和算法所需的參數(shù)。

Step2初始化算法迭代參數(shù)。當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度值Fmax=-∞，迭代次數(shù)iter=0，3只高等級(jí)狼G1、G2和G3的位置向量設(shè)為零向量。

Step3初始化狼群。根據(jù)佳點(diǎn)集理論初始化灰狼種群，每一只灰狼的位置向量對(duì)應(yīng)一組票價(jià)集合。

Step5G1、G2和G3適應(yīng)度值及位置向量更新。將當(dāng)前代灰狼種群的適應(yīng)度值與G1、G2和G3的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，更新G1、G2和G3適應(yīng)度值以及對(duì)應(yīng)的位置向量。

Step6狼群位置更新。根據(jù)式(40)計(jì)算距離控制參數(shù)，更新灰狼位置向量；同時(shí)按照蛙跳概率Pfrog更新最差灰狼位置使其能跳出局部最優(yōu)。

Step7判斷算法是否滿足收斂條件。如果是則算法終止，輸出最優(yōu)票價(jià)組合G1位置向量及其對(duì)應(yīng)最優(yōu)坐席分配方案，輸出最優(yōu)客票收益值Gα對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值；否則返回Step4繼續(xù)迭代。

6 算例分析

以京滬高鐵下行(北京南往上海虹橋)的G1、G3、G5、G7、G11、G13、G15、G17共8列車(chē)為研究對(duì)象進(jìn)行計(jì)算分析。當(dāng)前運(yùn)行圖中各列車(chē)的停站方案見(jiàn)圖2。為避開(kāi)假期等特殊時(shí)期對(duì)客流的影響，選取2017年6月1日至30日作為數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)段，將每趟列車(chē)的日平均客流量作為算例的初始客流需求。

圖2 停站方案

6.1 旅客分類結(jié)果分析

為了便于求解和保證結(jié)果合理性，需要找出既具有較少類別，又具有較好擬合優(yōu)度的旅客分類結(jié)果。進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的主要方法有似然比卡方統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)G2、Pearson 檢驗(yàn)χ2，基于似然比卡方檢驗(yàn)的信號(hào)評(píng)價(jià)指標(biāo)AIC和Bayesian信號(hào)評(píng)價(jià)指標(biāo)BIC。這里將上述4種指標(biāo)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行模型擬合優(yōu)度的評(píng)價(jià)，指標(biāo)越小表明模型適配度越高。利用Latent Gold軟件對(duì)潛在類模型進(jìn)行求解，將潛在類別個(gè)數(shù)從1開(kāi)始逐個(gè)增加至5，結(jié)合BIC、AIC、χ2、G24種評(píng)價(jià)選取最終潛在類別個(gè)數(shù)。以O(shè)D對(duì)北京南—上海虹橋?yàn)槔?，潛在類模型檢驗(yàn)指標(biāo)輸出見(jiàn)表3。隨著潛在類別個(gè)數(shù)的增加，指標(biāo)χ2、G2一直下降；而B(niǎo)IC、AIC先下降后又升高，分別在潛在類別個(gè)數(shù)為4和5的時(shí)候達(dá)到最小值。當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，BIC是主要參考指標(biāo)，因此北京南—上海虹橋最佳潛在類別個(gè)數(shù)為4。

表3 北京南—上海虹橋潛在類模型檢驗(yàn)指標(biāo)

不同OD對(duì)之間達(dá)到最優(yōu)擬合效果的潛在類別個(gè)數(shù)并不完全相同，算例中所有OD的最優(yōu)潛在類別見(jiàn)表4。

表4 各OD最優(yōu)潛在類別數(shù)目

對(duì)于最優(yōu)潛在類別為1的OD對(duì)，表明在算例研究范圍內(nèi)該OD對(duì)的全體旅客出行特征都類似，不需要額外進(jìn)行分類。對(duì)于其余OD對(duì)，考慮到多個(gè)潛在類別會(huì)增加聯(lián)合優(yōu)化模型的求解復(fù)雜度，且模擬結(jié)果中這些OD潛在類別為2時(shí)BIC的值與最小值相差均不超過(guò)1%，故本文將這些OD旅客分為2類，即潛在類別數(shù)目為2。以濟(jì)南西—上海虹橋?yàn)槔?，潛在類別數(shù)目設(shè)置為2時(shí)，參數(shù)擬合結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 濟(jì)南西—上海虹橋潛在類模型參數(shù)擬合結(jié)果

將2類旅客分別命名為公務(wù)型旅客和休閑型旅客。從參數(shù)擬合結(jié)果來(lái)看，該OD對(duì)旅客以類別1為主，占比達(dá)64.45%。類別1旅客的顯著特點(diǎn)是傾向于在工作日出行，一般較晚購(gòu)票，計(jì)劃性較弱，此類旅客的出行目的偏向于公務(wù)出差，因此命名為公務(wù)型旅客；而類別2旅客傾向于周末出行，提前較長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行購(gòu)票，計(jì)劃性較強(qiáng)，這些特征表明該類旅客出行目的偏向于休閑旅游，因此命名為休閑型旅客。

6.2 結(jié)果分析

所得的最優(yōu)方案中，8趟列車(chē)的總客票收益為4 528 824元，較原始固定票價(jià)下的總客票收益(4 326 914.5)元增加了4.67%，優(yōu)化后票價(jià)結(jié)果見(jiàn)表6。從表6可知，相對(duì)于初始票價(jià)，不同OD對(duì)的票價(jià)有不同的波動(dòng)情況。北京南—上海虹橋運(yùn)輸距離長(zhǎng)，同時(shí)有直達(dá)航班，旅客需求彈性大，各列車(chē)通過(guò)降價(jià)的方式吸引更多旅客進(jìn)行購(gòu)票。而北京南—濟(jì)南西運(yùn)輸距離超出了公路的優(yōu)勢(shì)運(yùn)距范圍，且沒(méi)有直達(dá)航班，旅客需求彈性較小，各列車(chē)票價(jià)上漲以達(dá)到提升收益的目的。值得注意的是，同一OD對(duì)各列車(chē)差異化定價(jià)結(jié)果，并不完全取決于該OD間初始客流需求的分布。以北京南—濟(jì)南西為例，G15初始客流需求僅為19人，但優(yōu)化后票價(jià)上漲了18.16%。這是因?yàn)镚15大量席位被分配給北京南—上海虹橋的旅客，僅有少量席位可供北京南—濟(jì)南西的旅客預(yù)定。因此G15在北京南—濟(jì)南西票價(jià)上漲，正是通過(guò)票價(jià)調(diào)節(jié)需求，使得旅客選擇其他高鐵列車(chē)。這從側(cè)面說(shuō)明了高鐵差異化定價(jià)是一個(gè)復(fù)雜的組合優(yōu)化問(wèn)題，最終票價(jià)結(jié)果需綜合考慮所有OD需求在各列車(chē)之間的分布情況。

表6 優(yōu)化后票價(jià) 元

將最大值與最小值之差與平均值的比值定義為差異值，用以衡量各列車(chē)優(yōu)化后票價(jià)的差異大小。不同OD對(duì)不同列車(chē)之間優(yōu)化后票價(jià)差異見(jiàn)表7。由表7可知，在具有多趟列車(chē)的6個(gè)OD對(duì)中，優(yōu)化后的票價(jià)差異比較明顯，始終處于[5.83%,28.67%]。

表7 優(yōu)化方案票價(jià)差異值情況 %

票價(jià)發(fā)生變化，各OD的客運(yùn)需求也發(fā)生改變，因此各OD的票額分配數(shù)量也相應(yīng)變化，最終實(shí)現(xiàn)列車(chē)發(fā)送旅客人數(shù)變化，各OD總客流變化情況見(jiàn)表8。由表8可知，在差異化定價(jià)方案下，總發(fā)送客流量呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。從不同OD 來(lái)看，差異化定價(jià)方案下長(zhǎng)途客流增加，短途客流減少。在采取單一票價(jià)時(shí)，由于費(fèi)率采取遞遠(yuǎn)遞減的梯度設(shè)置，在短途客流能完整裂解全程席位的情況下，分配短途票額能使收益達(dá)到最大化。但是在差異化定價(jià)條件下，單位費(fèi)率并不一定符合遞遠(yuǎn)遞減的梯度原則。并且短途初始票價(jià)不高，客流需求彈性系數(shù)也相對(duì)更小，同等比例的票價(jià)變化幅度對(duì)短途客流需求調(diào)節(jié)力度相對(duì)更弱，票價(jià)對(duì)客流的調(diào)節(jié)作用并不總能實(shí)現(xiàn)大量短途客流完整裂解全程席位。結(jié)合表6的票價(jià)優(yōu)化結(jié)果，差異化定價(jià)方案傾向于以低票價(jià)吸引長(zhǎng)途客流，以最大程度利用列車(chē)運(yùn)輸能力，發(fā)揮高鐵運(yùn)距長(zhǎng)的優(yōu)勢(shì)。

表8 各OD總客流量變化情況

差異化定價(jià)提升客票收益的關(guān)鍵在于提高列車(chē)能力利用率。票價(jià)優(yōu)化前后，各區(qū)段列車(chē)客座率對(duì)比情況見(jiàn)表9。由表9可知，優(yōu)化之后更多區(qū)段趨于飽和，部分車(chē)次在部分區(qū)間客座率有明顯提升。結(jié)合表7中各OD總客流量變化可知，長(zhǎng)距離OD客流量增加足以彌補(bǔ)短距離OD客流量的部分減少，從而使得各區(qū)段客座率有不同程度提升，部分區(qū)段甚至所有列車(chē)的客座率均達(dá)到1。

表9 不同列車(chē)不同區(qū)段客座率變化情況

各區(qū)段列車(chē)客座率的方差見(jiàn)圖3。由圖3可見(jiàn)，從列車(chē)客座率的方差角度來(lái)看，每個(gè)區(qū)段列車(chē)客座率方差均顯著減小，這說(shuō)明不同列車(chē)客座率之間的差異減小，差異化定價(jià)充分發(fā)揮了客流調(diào)節(jié)作用，使得旅客在不同列車(chē)之間的分布更為平衡。

圖3 客座率方差

7 結(jié)論

固定票價(jià)無(wú)法有效調(diào)節(jié)高鐵客流，可替代列車(chē)之間客座率相差較大，造成運(yùn)輸資源浪費(fèi)，未能充分挖掘高鐵盈利能力。本文著眼于該實(shí)際問(wèn)題，從不同高鐵列車(chē)之間的可替代性出發(fā)，對(duì)高速鐵路差異化定價(jià)進(jìn)行了研究。首先，利用潛在類別模型對(duì)旅客進(jìn)行分類。其次，引入CPT構(gòu)建差異化定價(jià)下的彈性需求函數(shù)。之后，構(gòu)建高鐵差異化定價(jià)和坐席分配的聯(lián)合優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)改進(jìn)的灰狼算法對(duì)模型進(jìn)行求解。最后，通過(guò)數(shù)據(jù)實(shí)例驗(yàn)證模型和算法的有效性。主要結(jié)論如下：

(1)與既有方法相比，本文考慮了出行特征不同給旅客選擇行為帶來(lái)的影響，體現(xiàn)了差異化定價(jià)背景下旅客決策的有限理性，從而使得構(gòu)建的彈性需求函數(shù)更貼近真實(shí)情況，對(duì)于鐵路企業(yè)市場(chǎng)化改革更具借鑒意義。

(2)京滬高鐵算例的數(shù)值驗(yàn)證結(jié)果顯示，本文方法所得各OD間各列車(chē)之間票價(jià)差異明顯，坐席分配方案科學(xué)合理。在不投入更多運(yùn)輸資源的同時(shí)，差異化定價(jià)與坐席分配聯(lián)合優(yōu)化可使企業(yè)客票收益上漲4.67%。本文研究成果能指導(dǎo)鐵路企業(yè)靈活定價(jià)和科學(xué)分配坐席數(shù)量，有助于提高服務(wù)水平，擴(kuò)大收益，實(shí)現(xiàn)企業(yè)健康長(zhǎng)足發(fā)展。

(3)高鐵差異化定價(jià)是復(fù)雜的組合優(yōu)化問(wèn)題，某OD間某列車(chē)的票價(jià)優(yōu)化結(jié)果并不僅僅取決于該OD間初始客流需求，而是多OD間多列車(chē)共同作用的結(jié)果。因此，多OD間多列車(chē)定價(jià)問(wèn)題研究更具意義。

(4) 差異化定價(jià)對(duì)客流有明顯調(diào)節(jié)作用。票價(jià)優(yōu)化后，各OD間客流量產(chǎn)生明顯變化。長(zhǎng)途旅客相較于短途旅客，彈性系數(shù)大、初始票價(jià)高，在運(yùn)輸資源較為充裕的前提下，差異化定價(jià)方案更傾向于以低票價(jià)吸引更多長(zhǎng)途旅客，從而提升客票收益。差異化定價(jià)方案有利于發(fā)揮高鐵在中長(zhǎng)途運(yùn)輸中的運(yùn)距優(yōu)勢(shì)。各列車(chē)區(qū)段客座率有明顯提升，多個(gè)區(qū)段能力趨于飽和。同時(shí)，各列車(chē)區(qū)段客座率方差顯著減小，說(shuō)明差異化定價(jià)后旅客需求在不同列車(chē)之間分布更為均勻。