劉志遠(yuǎn),王時(shí)英,盧 楓,劉貝貝

(太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,山西 太原 030000)

0 引 言

近年來,隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,各個(gè)行業(yè)對(duì)新型材料的需求也越來越大。因?yàn)槠鋬?yōu)異的性能,所以新型材料(例如工程陶瓷等)在高精尖領(lǐng)域扮演著越來越重要的角色[1]。

因?yàn)槠浯嘤驳奶匦?所以工程陶瓷在加工過程中經(jīng)常會(huì)發(fā)生崩邊問題,加大了工程陶瓷材料加工時(shí)的難度[2]。

傳統(tǒng)的機(jī)械加工[3]、激光加工[4]、電火花加工[5]、超聲加工[6]等等方法都可以對(duì)工程陶瓷進(jìn)行加工。而其中,超聲加工是利用超聲波特性對(duì)材料的表面進(jìn)行高頻沖擊加工的一種加工方法。傳統(tǒng)的超聲加工采用單一的振動(dòng)方式,其產(chǎn)生的振幅小,加工效率也不高。

復(fù)頻超聲加工是指在原有超聲加工過程中,在變幅桿和鉆頭之間加入了一自由質(zhì)量塊,自由質(zhì)量塊產(chǎn)生的低頻大振幅振動(dòng)和超聲波發(fā)生器產(chǎn)生的高頻小振幅振動(dòng)使鉆桿產(chǎn)生復(fù)頻沖擊,將其施加在材料的表面,以此來達(dá)到高效去除材料的目的。

方桂飛等人[7,8]建立了自由質(zhì)量塊的數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)并加工了一套復(fù)頻超聲加工裝置,并采用該復(fù)頻超聲加工裝置,對(duì)陶瓷材料進(jìn)行了加工實(shí)驗(yàn)研究。胡葉妮等人[9]分析了不同自由質(zhì)量塊對(duì)復(fù)頻超聲加工效率的影響?；羧鸪热薣10]主要對(duì)超高導(dǎo)熱陶瓷基板復(fù)頻超聲加工方法進(jìn)行了研究,建立了“剛?cè)岵?jì)”的復(fù)頻超聲加工試驗(yàn)系統(tǒng)。在復(fù)頻超聲加工實(shí)驗(yàn)過程中,存在復(fù)頻超聲加工單元發(fā)熱、自由質(zhì)量塊變形以及鉆桿更換不便等問題。

目前,國(guó)內(nèi)的學(xué)者對(duì)復(fù)頻超聲加工進(jìn)行了很多研究,其中包括對(duì)變幅桿和鉆桿、自由質(zhì)量塊和工程陶瓷所進(jìn)行的研究。但是,國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)特性方面開展的研究較少。

在復(fù)頻超聲加工過程中,由于自由質(zhì)量塊和變幅桿之間會(huì)發(fā)生多次碰撞,自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)是復(fù)雜非線性的。由于自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)的不確定性,目前,尚沒有很好的數(shù)值計(jì)算方法可以用來描述自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)。

針對(duì)自由質(zhì)量塊的復(fù)雜非線性運(yùn)動(dòng),筆者建立其振動(dòng)系統(tǒng)的時(shí)域離散動(dòng)態(tài)映射狀態(tài)矩陣,利用面向集合的數(shù)值方法(GAIO)求得自由質(zhì)量塊振動(dòng)過程的吸引子與吸引盆,描述自由質(zhì)量塊的碰撞振動(dòng)過程,為復(fù)頻超聲振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的提高奠定理論基礎(chǔ)。

1 面向集合的數(shù)值計(jì)算方法

面向集合的數(shù)值計(jì)算方法(GAIO)是用于對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中不變對(duì)象做全局分析的MATLAB工具箱。GAIO為面向集合的計(jì)算提供數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法,實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算和信息直觀化的目的。

GAIO主要可以解決以下幾種問題,具體包括:

(1)任意維度或拓?fù)涞牟蛔兗?最大不變集,鏈循環(huán)集,周期點(diǎn),全局吸引子);

(2)不變流形(任意不變集的穩(wěn)定/不穩(wěn)定流形);

(3)不變量度,幾乎不變的集,連貫集;

(4)值函數(shù),用于優(yōu)化控制問題。

吸引子或吸引集用來描述相位空間的部分或子集。隨著時(shí)間的推移,吸引子是一種不變集,找到吸引子是表征動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為的重要方式。

全局吸引子被定義為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的每個(gè)軌道接近的集合。假設(shè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在一個(gè)集合上定義,首先在集合中指定想要分析動(dòng)態(tài)行為的框;在第一步中,細(xì)分該框并拋棄不包含部分相對(duì)全局吸引子的盒子;然后以相同的方式進(jìn)行再次細(xì)分。概括地說,即使用單元映射技術(shù)與細(xì)分過程結(jié)合的方式,以接近全局吸引子。使用這個(gè)概念來推導(dǎo)一個(gè)數(shù)字方法,可以將全局吸引子達(dá)到指定的準(zhǔn)確性近似。在細(xì)分過程中,可以根據(jù)收縮率和細(xì)化速度來獲得誤差估計(jì)。

在計(jì)算過程中,面向集合的數(shù)值計(jì)算方法(GAIO)可以分成以下兩個(gè)次數(shù):

(1)細(xì)分。從一個(gè)有限大子集開始,它覆蓋了想要分析動(dòng)力學(xué)行為的域;將這些集合細(xì)分為更小的集合,并丟棄不包含部分相對(duì)全局吸引子的子集;用新的(更小的)集合繼續(xù)這個(gè)過程;

(2)選擇。選擇吸引子或吸引盆落在的那些盒子,丟棄吸引盆和吸引子沒落在的那些盒子;所有有吸引子和吸引盆的盒子對(duì)吸引子和吸引盆進(jìn)行覆蓋,得到理想的圖形。

通常,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以被分為二維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和三維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

其中,二維的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有:

(1)

此處,筆者選擇[-2,2]×[-2,2]作為二維圖形坐標(biāo)的范圍。

在細(xì)分次數(shù)為6,通過算法獲得的覆蓋物如圖1所示。

圖1 細(xì)分次數(shù)為6時(shí)所獲得的覆蓋物

圖1中,在經(jīng)過了6個(gè)細(xì)分次數(shù)后,對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有了大概的了解,但圖形的準(zhǔn)確性還有待于進(jìn)一步的提高。

其中的三維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有:

(2)

此處,筆者設(shè)置λ=2.35,μ=0.5,γ=0.1;并且選擇[-0.38,0.98]×[0.05,1.45]×[-0.38,0.98]作為三維圖形坐標(biāo)的范圍。

在細(xì)分次數(shù)k=5時(shí),通過算法獲得的覆蓋物如圖2所示。

圖2 細(xì)分次數(shù)為5時(shí)所獲得的覆蓋物

圖2中,由于這些覆蓋物是由相對(duì)全局吸引子自動(dòng)覆蓋的,細(xì)分算法的近似比通過直接仿真獲得的結(jié)果更加精確。

在細(xì)分次數(shù)k=22時(shí),通過算法獲得的覆蓋物如圖3所示。

圖3 細(xì)分次數(shù)為22時(shí)所獲得的覆蓋物

圖3中,當(dāng)細(xì)分次數(shù)為22時(shí),圖形準(zhǔn)確率得到了進(jìn)一步提高,但此時(shí)計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)間也隨之加長(zhǎng)。所以選擇合適的細(xì)分次數(shù)顯得尤為重要,過長(zhǎng)不行,過短也不行。

2 復(fù)頻超聲系統(tǒng)的組成

復(fù)頻超聲加工系統(tǒng)主要由5部分組成,即超聲波發(fā)生器、換能器、變幅桿、自由質(zhì)量塊和鉆桿。

復(fù)頻超聲系統(tǒng)核心結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。

圖4 復(fù)頻超聲系統(tǒng)核心結(jié)構(gòu)示意圖1—工件;2—工作臺(tái);3—鉆桿;4—自由質(zhì)量塊;5—變幅桿;6—換能器;7—超聲波發(fā)生器

圖4中,系統(tǒng)各部件功能介紹如下:

超聲波發(fā)生器是超聲系統(tǒng)的動(dòng)力來源;

換能器將高頻電信號(hào)轉(zhuǎn)換為機(jī)械振動(dòng)能量,通過變幅桿、自由質(zhì)量塊、鉆桿最終傳遞給工件;

變幅桿可以將質(zhì)點(diǎn)位移進(jìn)行放大,將超聲波發(fā)生器產(chǎn)生的高頻能量集中在變幅桿面積較小的端面上,以實(shí)現(xiàn)能量的聚集;

自由質(zhì)量塊是復(fù)頻加工系統(tǒng)的核心,變幅桿的高頻小振幅振動(dòng)傳遞到自由質(zhì)量塊,自由質(zhì)量塊會(huì)將接收的能量進(jìn)行二次傳遞,產(chǎn)生低頻大振幅振動(dòng);

鉆桿會(huì)與工件直接接觸,鉆桿產(chǎn)生高速?zèng)_擊,對(duì)工件進(jìn)行切削加工。

3 復(fù)頻超聲加工中的非線性特性

在國(guó)外,DELLNITZ M等人[11-15]在“動(dòng)力系統(tǒng)的理論,分析和有效模擬”的研究中,對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)有了更為深入的理解。DELLNITZ M認(rèn)為,動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的每個(gè)不變集合都是全局吸引子的一部分;他對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)行為逼近也進(jìn)行了一定的研究,并且提出了一種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為數(shù)值逼近的有效技術(shù)。

在國(guó)外專家的理論基礎(chǔ)上,國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)復(fù)頻超聲加工的非線性特性進(jìn)行了一定的研究,即參考非線性動(dòng)力學(xué)理論,在建立合理假設(shè)的情況下,用面向集合的數(shù)值計(jì)算方法GAIO進(jìn)行求解,描述自由質(zhì)量塊的碰撞振動(dòng)過程。

自由質(zhì)量塊產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)位移為u(t),依照牛頓運(yùn)動(dòng)定律,鉆頭的切削過程可表示為:

(3)

式中:m—鉆頭的質(zhì)量,kg;c0—阻尼系數(shù),N/(m·s-1);k0—?jiǎng)傂韵禂?shù),N/mm;F(t)—自由質(zhì)量塊對(duì)鉆頭施加的作用力,N。

自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)是周期性的,碰撞時(shí)間短,可以近似認(rèn)為其運(yùn)動(dòng)是周期性的矩形函數(shù),可表示為:

(4)

式中:T—自由質(zhì)量在鉆頭和變幅桿之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)所需要的時(shí)間,s;t0—自由質(zhì)量與鉆頭的接觸時(shí)間,s。

(5)

式中:h(t)—系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。

由于自由質(zhì)量塊做的是周期性運(yùn)動(dòng),其碰撞時(shí)間較短。在不考慮系統(tǒng)的阻尼系數(shù)的情況下,可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)h(t)為:

(6)

筆者取其中的一個(gè)周期進(jìn)行研究。

聯(lián)立式(4～6),可以得到:

(7)

式(7)對(duì)t進(jìn)行求導(dǎo),可以得到相對(duì)應(yīng)的速度函數(shù),即:

(8)

對(duì)自由質(zhì)量塊的非線性特性進(jìn)行研究,目的是了解自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)。這將通過使用面向全局集合的方法(GAIO)來完成,而不是通過基于單個(gè)軌跡的長(zhǎng)期計(jì)算的方法來完成。因?yàn)椴蛔兗怯蓮?fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)生成的話,單個(gè)軌跡的計(jì)算可能會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)性的結(jié)果。

筆者使用面向集合的數(shù)值計(jì)算方法(GAIO)做以下工作:

首先,使用GAIO識(shí)別包含吸引子的區(qū)域。這可以通過細(xì)分和丟棄與圖像本身不相交的所有框的循環(huán)來完成,其他的框覆蓋所有吸引子;一旦定位了吸引子,應(yīng)用算法到一個(gè)包含吸引子的矩形框中,從獲得的矩形框集合開始,將它們向前映射一次迭代;

然后,將它們“命中”的矩形框添加到該集合中,再將這些新包含的框向前映射;

最后,通過重復(fù)該過程,完成由一個(gè)又一個(gè)矩形框形成函數(shù)曲線的覆蓋。

在式(7,8)中,利用已知的系統(tǒng)參數(shù),用面向集合的數(shù)值計(jì)算方法(GAIO)進(jìn)行求解。

筆者用MATLAB中的GAIO工具箱繪制的自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)函數(shù)曲線(選取不同的細(xì)分次數(shù)n=8,16,24),如圖5所示。

圖5 不同細(xì)分次數(shù)下的運(yùn)動(dòng)函數(shù)曲線

從不同細(xì)分次數(shù)下的運(yùn)動(dòng)函數(shù)曲線可以看出:當(dāng)細(xì)分次數(shù)n=8時(shí),函數(shù)曲線圖形的準(zhǔn)確性不高;當(dāng)細(xì)分次數(shù)n=24時(shí),函數(shù)曲線圖形已經(jīng)近似于一條平滑的曲線,但計(jì)算所需時(shí)間是細(xì)分次數(shù)n=16時(shí)的5倍以上。

筆者經(jīng)過綜合,考慮選用細(xì)分次數(shù)n=16的自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)函數(shù)曲線。

選取細(xì)分次數(shù)n=16,筆者用MATLAB中的GAIO工具箱繪制了自由質(zhì)量塊的速度函數(shù)曲線,如圖6所示。

圖6 自由質(zhì)量塊的速度函數(shù)曲線

筆者以4 ms為一個(gè)周期,來分析自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)函數(shù)曲線和速度函數(shù)曲線。

分析結(jié)果表明:自由質(zhì)量塊在3.3 ms時(shí),運(yùn)動(dòng)到了最大位移2.6 mm,此時(shí)的速度為0;

自由質(zhì)量塊在2 ms時(shí),速度最大為1.4 mm/ms,此時(shí)自由質(zhì)量塊的位移為1.5 mm。在圖6的1 ms處,由于自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)的不確定性,此處包含吸引子的矩形框靠左或者靠右,才造成了1 ms處的函數(shù)曲線的空白。

從圖(5,6)中可以看出:

在起始階段函數(shù)曲線比較細(xì),這是由于系統(tǒng)振動(dòng)不明顯,吸引子比較集中造成的。

根據(jù)圖中獲得的信息,可以從復(fù)雜非線性運(yùn)動(dòng)中了解到自由質(zhì)量塊在何處獲得了最大速度,揭示了自由質(zhì)量塊的非線性動(dòng)力學(xué)規(guī)律。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了觀察自由質(zhì)量塊的復(fù)雜運(yùn)動(dòng),筆者采用千眼狼X213高速攝像機(jī)對(duì)自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)進(jìn)行追蹤拍攝。

在實(shí)驗(yàn)過程中,軸向靜壓力設(shè)定為40 N,選用4 mm厚度的自由質(zhì)量塊對(duì)陶瓷樣件進(jìn)行加工。

筆者以4 ms為一個(gè)時(shí)間間隔,用高速攝像機(jī)拍攝了自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)情況,如圖7所示。

圖7 自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)情況的高速攝像跟蹤

從高速攝像機(jī)拍攝得到自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)時(shí)間和運(yùn)動(dòng)位移的關(guān)系如圖8所示。

圖8 自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)位移和時(shí)間的關(guān)系

由圖8可以看出:

從初始狀態(tài)開始,自由質(zhì)量塊受重力的影響向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比向下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間要長(zhǎng),在3 ms時(shí)達(dá)到最大位移,位移為2.5 mm。

對(duì)比圖5和圖8可知:自由質(zhì)量塊的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位移與GAIO算法下的位移函數(shù)曲線的相對(duì)誤差均在5%以內(nèi),并且在0～4 ms內(nèi)具有趨勢(shì)一致性;該結(jié)果證明了細(xì)分算法下計(jì)算模型的合理性。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)自由質(zhì)量塊的復(fù)雜非線性運(yùn)動(dòng),筆者對(duì)復(fù)頻超聲加工的非線性特性進(jìn)行了研究;取不同的細(xì)分次數(shù)n=8,16,24對(duì)自由質(zhì)量塊的位移函數(shù)曲線進(jìn)行了對(duì)比分析,并且用高速攝像機(jī)拍攝了自由質(zhì)量塊的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況。

研究結(jié)果表明:

(1)GAIO可以將離散的全局吸引子用矩形框進(jìn)行覆蓋,通過面向集合的數(shù)值計(jì)算方法對(duì)自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)函數(shù)和速度函數(shù)進(jìn)行擬合;在不同細(xì)分次數(shù)的比較過程中,在準(zhǔn)確性上,細(xì)分次數(shù)n=16時(shí)繪制的位移函數(shù)曲線優(yōu)于細(xì)分次數(shù)n=8時(shí)繪制的曲線,在計(jì)算時(shí)間上要少于n=24;

(2)用高速攝像機(jī)對(duì)自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行追蹤拍攝,對(duì)比自由質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系圖和GAIO算法下的自由質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)函數(shù)曲線,說明了計(jì)算模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷内厔?shì)一致性,實(shí)驗(yàn)值和GAIO算法下的近似值相對(duì)誤差在5%以內(nèi),驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

由于復(fù)頻超聲振動(dòng)系統(tǒng)理論基礎(chǔ)和GAIO算法的不足,現(xiàn)階段只能對(duì)二維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。在后續(xù)的研究工作中,筆者將對(duì)三維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行研究。