周凱紅,郭玉田,黃思敏

(桂林理工大學(xué) 機械與控制工程學(xué)院,廣西 桂林 541006)

0 引 言

作為一種新型的齒輪傳動機構(gòu),非圓錐齒輪機構(gòu)能實現(xiàn)相交軸之間的變速比傳動,具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動效率高等優(yōu)點[1,2]。目前,非圓錐齒輪已在限滑差速器、變量齒輪泵、步進裝置等方面得到了應(yīng)用[3-7]。

非圓錐齒輪節(jié)曲線具有復(fù)雜性,球面節(jié)曲線不是一個圓,除了具有對稱性之外,任意兩個齒有著不同的齒廓曲線,一個齒的左邊和右邊齒廓曲線也不相同[8-13],這使得非圓錐齒輪在傳動過程中存在著較大的振動和沖擊。

如何使非圓錐齒輪在傳動過程中運行得更加平穩(wěn),是目前研究的熱點。林超、侯玉杰等人[14]對非圓錐齒輪的傳動特性進行了分析,推導(dǎo)出了相應(yīng)的公式,獲得了其傳動的運動規(guī)律和變化關(guān)系。李文長、賈巨民等人[15]利用保測地曲率映射的方法,通過改變其傳動比規(guī)律,設(shè)計出非圓錐齒輪,并對其進行了運動學(xué)仿真分析,得出了結(jié)論,即通過增加齒數(shù)、減小鎖緊系數(shù)可使其傳動更加平穩(wěn)。譚偉明[16]通過在高階橢圓齒輪泵中增加非圓齒輪對數(shù),利用相互補償?shù)姆椒?使得齒輪泵運轉(zhuǎn)時的波動大大降低;其中,3個三階橢圓齒輪組合時,該結(jié)構(gòu)降低波動的效果最好。

綜上所述,目前對非圓錐齒輪傳動性能的研究大多在理論層面上,關(guān)于如何減少傳動過程中振動和沖擊的研究較少,且沒有涉及到機電一體化控制方面的研究。

ADAMS能很好地反映出實際的物理模型,其仿真的結(jié)果也與實際分析結(jié)果相近[17]。MATLAB/Simulink是集眾多功能在一個可視化環(huán)境中的強大控制仿真模塊[18],能夠快捷、方便地建立仿真模型。

本研究采用ADAMS和MATLAB聯(lián)合仿真的方法,控制非圓錐齒輪副中主動輪的轉(zhuǎn)速,從而降低嚙合傳動中的振動和沖擊,為研究非圓錐齒輪復(fù)雜傳動系統(tǒng)提供一種新的方法。

1 非圓錐齒輪模型及分析

1.1 節(jié)曲線的設(shè)計

設(shè)非圓錐齒輪的傳動比函數(shù)為[19]:

(1)

式中：z1,z2—齒輪1、2的齒數(shù)；c—控制非圓錐齒輪傳動比的變化極限，小于1的一個常系數(shù)，也可以看作是齒輪的偏心率；N1—非圓錐齒輪的階數(shù)；φ1—主動輪的轉(zhuǎn)角。

當(dāng)非圓錐齒輪的軸間夾角為90°時，其傳動比函數(shù)又可以表示為[20]：

(2)

式中：δ1,δ2—齒輪1、2錐頂角的一半；φ1,φ2—齒輪1、2的轉(zhuǎn)角；dφ1,dφ2—齒輪1、2的瞬時角速度。

以齒輪的軸線為z軸,建立球面坐標(biāo)系,可得到其球面節(jié)曲線方程:

r(δ,φ)=Rsinδcosφi+Rsinδsinφj+Rcosδk

(3)

式中：R—球面半徑；i,j,k—兩兩相互垂直的方向矢量。

聯(lián)立式(1～3)，并取c=0.2、R=100、z1=z2=54，N1=2；再用MATLAB軟件編程,便可得到2階單個非圓錐齒輪球面節(jié)曲線,如圖1所示。

圖1 非圓錐齒輪節(jié)曲線

1.2 模型的建立

齒輪齒形的平面直角坐標(biāo)方程為[21]48-49:

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：ψ—節(jié)曲線上任一點的切線方向與x軸夾角；s—節(jié)曲線與齒形的交點到n點的齒形法線與節(jié)曲線交點之間的節(jié)曲線弧長；αn—齒條刀具齒形角。

根據(jù)逆投影關(guān)系,筆者采用將當(dāng)量齒形投影到球面漸開線齒形[21]49的方法,并結(jié)合微分幾何知識[22],給定了非圓錐齒輪的齒數(shù)、模數(shù)、偏心率、外錐距等相關(guān)參數(shù)。

利用MATLAB和UG畫圖軟件,筆者得到了非圓錐齒輪模型,如圖2所示。

圖2 非圓錐齒輪模型

1.3 階數(shù)和偏心率對傳動比的影響

由式(1)可知:階數(shù)N1、偏心率c均對傳動比函數(shù)有影響。

當(dāng)偏心率c=0.2,取N1=[2,3,4],則傳動比的變化規(guī)律如圖3所示。

圖3 階數(shù)對傳動比的影響

從圖3中可以看出:當(dāng)偏心率一定時,階數(shù)增大,傳動比曲線的上下幅值不變,周期減小,頻率增大。

當(dāng)階數(shù)N1=2時,取偏心率c為0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,其曲線圖如圖4所示。

圖4 偏心率對傳動比的影響

從圖4中可看出:當(dāng)階數(shù)一定時,隨著偏心率的增加,傳動周期沒有發(fā)生任何變化,而傳動比曲線的上下波動幅值增大,即在非圓錐齒輪嚙合傳動中的振動、沖擊增大,影響齒輪運動的平穩(wěn)性和使用壽命。

因此,在滿足預(yù)定傳動比大小的情況下,應(yīng)盡量減小偏心率。

2 ADAMS和MATLAB聯(lián)合仿真

采用聯(lián)合仿真技術(shù),可避免對復(fù)雜微分方程進行推導(dǎo),便于直觀、及時地發(fā)現(xiàn)設(shè)計模型存在的問題,提高設(shè)計效率、降低成本。

2.1 虛擬模型的建立

對于簡單的幾何模型而言,可以直接在ADAMS中進行建模。而對于比較復(fù)雜的模型和裝配體,則需借助其他的畫圖軟件進行建模(如SolidWorks、UG、Creo等[23]),并將建立好的模型另存為.x_t或.stp等格式,導(dǎo)入到ADAMS中。

筆者以2階、偏心率為0.2的非圓錐齒輪副為例,進行聯(lián)合仿真(若選取不同階數(shù)和偏心率的非圓錐齒輪,僅需改變MATLAB/Simulink控制模塊中“Fcn”自定義函數(shù)對應(yīng)的參數(shù)即可,對控制模塊的整體框架沒有影響)。采用聯(lián)合仿真技術(shù),可避免對復(fù)雜微分方程進行推導(dǎo),便于直觀、及時地發(fā)現(xiàn)設(shè)計模型存在的問題,提高設(shè)計效率、降低成本。

在畫圖軟件中,筆者建立好非圓錐齒輪裝配體模型,另存為.stp格式,導(dǎo)入到ADAMS中打開;同時,按實際情況,對非圓錐齒輪的基本信息進行設(shè)置;

此處定義齒輪的材料為鋼,給主動輪、從動輪分別添加以“ground”為參考對象的旋轉(zhuǎn)副;主動輪與主動軸固定,從動輪與從動軸固定。

添加的零件運動副如表1所示[24]。

表1 添加的零件運動副

筆者給主動輪添加驅(qū)動,給從動輪添加負載,且兩個齒輪的接觸設(shè)置為“碰撞接觸”。

碰撞參數(shù)的設(shè)定[25]如表2所示。

非圓錐齒輪嚙合的虛擬模型如圖5所示。

表2 碰撞接觸參數(shù)

圖5 非圓錐齒輪ADAMS模型

2.2 輸入輸出變量定義

在ADAMS與MATLAB/Simulink之間,由單向狀態(tài)變量進行數(shù)據(jù)傳遞[26]。在計算過程中,單向狀態(tài)變量是包含一系列數(shù)值的數(shù)組,代表輸入、輸出等提前擬定好的參數(shù)[27]。

在ADAMS中,設(shè)定的輸出變量是MATLAB/Simulink控制系統(tǒng)的輸入變量,通過控制系統(tǒng)的分析計算,輸出信號又返回作為ADAMS的輸入變量,如圖6所示。

圖6 ADAMS/MATLAB的輸入輸出關(guān)系

筆者在ADAMS中設(shè)置的輸入和輸出變量如下:

(1)定義輸入的主動輪旋轉(zhuǎn)角速度和從動輪負載為:input_av,load_force;

(2)定義輸出的從動輪角速度、角加速度、碰撞接觸力為:output_av,output_ac,contact_force。

筆者在ADAMS/Control中進行參數(shù)的設(shè)定,建立起與MATLAB/Simulink的連接,如圖7所示。

2.3 MATLAB/Simulink中機械系統(tǒng)的生成

打開MATLAB軟件,在命令行窗口輸入導(dǎo)出生成的.m文件名,便生成輸入、輸出信息,如圖8所示。

圖7 ADAMS/Control窗口

圖8 MATLAB生成的輸入輸出信息

接著筆者輸入Adams_sys,得到非圓錐齒輪機械系統(tǒng)Adams_sub模塊,如圖9所示。

圖9 Adams sub模塊

筆者在ADAMS Plant模塊中,設(shè)置Animation mode(動畫模式)為interactive,即可看到仿真時相應(yīng)ADAMS機構(gòu)運動的動畫;Simulation mode(仿真模式)設(shè)置為continuous(連續(xù));ADAMS和MATLAB每次信息交換傳遞的時間設(shè)定為0.01 s,便于快速、準(zhǔn)確地進行數(shù)據(jù)傳遞。

3 仿真結(jié)果分析

3.1 僅有恒值輸入的情況

當(dāng)只提供一個恒值信號時,聯(lián)合仿真系統(tǒng)框圖如圖10所示。

圖10 聯(lián)合仿真系統(tǒng)框圖

從動輪的角速度仿真結(jié)果如圖11所示。

圖11 從動輪角速度曲線

從圖11中可看出:當(dāng)主動輪以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動時,從動輪以余弦函數(shù)的形式呈周期性轉(zhuǎn)動;且與理論分析出的曲線運動相比,運用ADAMS和MATLAB聯(lián)合仿真得到的從動輪運動曲線趨勢大體一致。該結(jié)果驗證了聯(lián)合仿真的可行性、有效性;

而兩曲線運動的頻率略有差別,主要是因為齒輪建模過程中的設(shè)計計算存在誤差,且裝配時兩個嚙合的齒之間存在一定間隙,使得兩曲線不能完全重合。

對非圓錐齒輪傳動進行分析、優(yōu)化時,可忽略該誤差的影響。

從動輪角加速度曲線如圖12所示。

圖12 從動輪角加速度曲線

從圖12可以看出:在嚙合過程中,非圓錐齒輪角加速度曲線是周期性不斷變化的,當(dāng)主動輪輸入轉(zhuǎn)速為10°/s時,從動輪角加速度可高達5000°/s2;再結(jié)合圖9中從動輪角速度曲線的上下波動,說明在傳動過程中存在著不小的振動和沖擊,這大大降低了非圓錐齒輪運動的平穩(wěn)性,縮短了使用壽命。

碰撞接觸力曲線如圖13所示。

圖13 碰撞接觸力

圖13中,可以看到傳動過程中,非圓錐齒輪兩個齒從進入嚙合到脫開的接觸力大小變化(正負號代表力的方向),最高碰撞接觸力約為175 N;當(dāng)一對齒脫離時,便會有下一對齒進入嚙合,如此循環(huán)往復(fù),從而使主動輪帶著從動輪連續(xù)轉(zhuǎn)動。

該結(jié)果進一步驗證了聯(lián)合仿真的可行性和有效性。

3.2 PI控制模塊添加的情況

在連續(xù)系統(tǒng)中,PID是一種技術(shù)成熟、應(yīng)用廣泛的控制方式[28-30],其具有結(jié)構(gòu)簡單、工作可靠、調(diào)整方便等優(yōu)點,因而在工業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用。

PID的控制規(guī)律為:

(8)

式中：e(t)—控制偏差；kp—比例系數(shù)；Ti—積分時間常數(shù)；Td—微分時間常數(shù)。

在PID控制中,比例環(huán)節(jié)可將控制系統(tǒng)的偏差信號按比例進行放大或縮小;積分環(huán)節(jié)可消除靜差,使動態(tài)響應(yīng)變得緩慢;微分環(huán)節(jié)可反映偏差信號變化趨勢,并通過引入修正信號減少過渡過程的時間,降低超調(diào)量[31]。

其系統(tǒng)原理框圖如圖14所示。

圖14 模擬PID控制系統(tǒng)原理框圖

由于非圓錐齒輪是變速比傳動,想要使傳動過程運行得更加平穩(wěn),實時控制調(diào)節(jié)主動輪轉(zhuǎn)速是其中的一種方法。

筆者對非圓錐齒輪傳動的主動輪轉(zhuǎn)速進行PI調(diào)節(jié)控制,其控制系統(tǒng)框圖如圖15所示。

圖15 聯(lián)合仿真非圓錐齒輪傳動控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

通過調(diào)整比例系數(shù)kp和積分系數(shù)ki[32],筆者得到了控制后的從動輪角速度如圖16所示。

圖16 控制后從動輪角速度曲線

從圖16中可看出:在添加PI控制后,從動輪的運動趨勢沒有發(fā)生改變,仍是按余弦函數(shù)的形式周期性轉(zhuǎn)動;但與圖11相比,從動輪角速度曲線的上下波動幅值明顯減小,周期明顯增大,由周期和頻率呈反比例關(guān)系可知,其頻率減小。

角加速度曲線如圖17所示。

圖17 控制后從動輪角加速度曲線

與圖12相比,圖17中的角加速度曲線的波動范圍和頻率都明顯減小,即非圓錐齒輪在嚙合傳遞中的振動、沖擊減小,運行更加平穩(wěn)。該結(jié)果說明,該控制方案具有可行性,為非圓錐齒輪傳動的進一步設(shè)計和優(yōu)化提供了一種新的方法,有利于非圓錐齒輪的應(yīng)用和推廣。

4 結(jié)束語

非圓錐齒輪機構(gòu)是一種新型的傳動機構(gòu),既能實現(xiàn)相交軸變速比傳動,也能進行軸向進給運動,具有一定的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

為了減小非圓錐齒輪機構(gòu)傳動過程中存在的振動和沖擊,筆者采用ADAMS和MATLAB聯(lián)合仿真的方法,控制非圓錐齒輪副中主動輪的轉(zhuǎn)速,從而降低嚙合傳動中的振動和沖擊。

具體研究步驟和結(jié)論如下:

(1)運用MATLAB和UG軟件相結(jié)合的方法,建立了非圓錐齒輪模型,分析了階數(shù)和偏心率對傳動比的影響,并得出結(jié)論,即階數(shù)增大,傳動比曲線周期減小;偏心率增大,傳動比曲線上下波動的幅值增大;

(2)將裝配好的模型導(dǎo)入到ADAMS中,構(gòu)建齒輪機構(gòu)動力學(xué)虛擬樣機模型,并設(shè)定輸入和輸出;通過ADAMS/Control接口與MATLAB/Simulink進行數(shù)據(jù)傳遞,搭建起了非圓錐齒輪傳動聯(lián)合仿真系統(tǒng);

(3)通過對仿真結(jié)果進行對比,結(jié)果表明,添加構(gòu)建的PI控制系統(tǒng),可以有效地降低非圓錐齒輪傳動中存在的振動和沖擊。該結(jié)果驗證了該控制策略的正確性、可行性。

聯(lián)合仿真技術(shù)為非圓錐齒輪傳動性能的分析和優(yōu)化提供了一種新途徑。在后續(xù)的研究工作中,筆者將對非圓錐齒輪傳動平穩(wěn)性的聯(lián)合仿真控制算法做進一步的研究。