龔夢輝，韓 軍，周長光，馮虎田，歐 屹

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

0 引言

滾珠絲杠副是一種能將直線運動與旋轉運動相互轉化的關鍵傳動功能件，因其傳動效率高、驅動速度快、定位精度高等特點，被廣泛應用于數控機床、航空航天、農業(yè)生產等領域。滾珠絲杠副的剛性是衡量其綜合性能的重要的指標之一,不僅影響滾珠絲杠副的精度、承載能力和使用壽命，還影響裝備的工作效率和使用壽命。因此，對滾珠絲杠副的剛度進行可靠性分析及優(yōu)化，對于提高裝備的可靠性具有重要意義。

目前很多學者在滾珠絲杠副剛性的理論建模方面做了大量研究。例如黃金寶建立雙螺母墊片預緊滾珠絲杠副的剛度模型時考慮了滾珠絲杠副在受軸向載荷時接觸角的變化對其影響[1]；劉濤[2]在建立自適應預緊滾珠絲杠副剛度模型時，分析了預緊力與變形之間的關系；張義民等[3]建立了單螺母滾珠絲杠副軸向靜剛度模型；DIEGO等[4]基于接觸應力建立了一種新型的滾珠絲杠副接觸變形與優(yōu)化模型；DADALAU等[5]提出了一種有效的計算滾珠絲杠副剛度的方法。

以上研究對滾珠絲杠副的剛度可靠性計算奠定了良好的理論基礎。例如魏宗平[6]采用區(qū)間理論的方法計算了軸向接觸靜剛度的可靠度；張義民等[3]采用改進的一次二階矩法對單螺母滾珠絲杠副的軸向靜剛度的可靠性進行了研究，該方法對參數的信息量要求較高；王丹等[7]采用蒙特卡洛仿真法對滾珠絲杠副的軸向靜剛度進行了分析，但是需要較大的樣本量；黃寬等[8]提出的基于Halton序列擬蒙特卡洛方法雖然克服了這些缺點，但是僅考慮了參數的不確定性。

在研究滾珠絲杠副的剛度可靠性時，除了需要考慮參數固有不確定性外，還需考慮因技術人員的知識不完備而造成的認知不確定性[9]。確信可靠度理論的提出為可靠性分析打開了新的思路，該理論能對隨機不確定性和認知不確定性進行量化。LIU[10]首次提出了確信可靠度的概念，并建立了確信可靠度度量體系。ZENG等[11]提出了設計裕量、隨機不確定性因子和認知不確定性因子的確定方法。

本文基于確信可靠性理論，考慮固有不確定性和認知不確定性，對雙螺母墊片預緊式滾珠絲杠副的軸向靜剛度進行可靠性分析，并與現階段常用的蒙特卡洛仿真法計算的可靠度進行對比。并基于確信可靠性模型，對隨機不確定性因子和認知不確定性因子進行靈敏度分析，以提出行之有效的滾珠絲杠副可靠性增長策略。

1 確信可靠度分析方法

確信可靠度理論是以不確定度理論[12]、概率論和機會理論[13]三大數學理論為基礎的可靠性理論，可用不確定度理論描述認知不確定度，用概率論描述隨機不確定度，用機會理論描述隨機不確定度和認知不確定度同時存在的混合不確定度。確信可靠性的度量框架圖，如圖1所示。

圖1 確信可靠性度量框圖

在確信可靠性理論中性能裕量m是描述系統(tǒng)功能行為的狀態(tài)變量，表征的是性能參數p與其故障閾值pth之間的距離或相對距離。根據性能參數p和故障閾值pth的關系，性能參數的類型有3種：

(1)望小性能參數(STB)：當p≥pth時，產品發(fā)生故障，則性能參數為望小性能參數；

(2)望大性能參數(LTB)：當p≤pth時，產品發(fā)生故障，則性能參數為望大性能參數；

(3)望目性能參數(NTB)：當p≤pth,L或p≥pth,U時，產品發(fā)生故障，則性能參數為望目性能參數；

不同類型的性能參數，其對應的性能裕量也不同：

(1)

基于康銳等建立的系統(tǒng)確信可靠度評估計算方法[11]，本文將同時考慮滾珠絲杠副的參數和模型不確定性對性能裕量模型的影響，在建立滾珠絲杠副剛度模型的基礎上，從設計裕量、隨機不確定性因子(aleatory uncertainty factor，AUF)和認知不確定性因子(epistemic uncertainty factor，EUF)的角度出發(fā)，建立基于性能裕量的滾珠絲杠副確信可靠性模型，計算滾珠絲杠副軸向靜剛度的可靠性指標。

2 滾珠絲杠副軸向靜剛度建模

滾珠絲杠副的剛度是指其抵抗變形的能力，表示為單位載荷下的變形量，因此本文以滾珠絲杠副的軸向變形量來對剛度進行量化。對于雙螺母墊片預緊式滾珠絲杠螺母，在空載情況下，左右兩邊螺母只受初始預緊力Fp作用，受力如圖2所示。圖3為以滾珠中心為原點建立的坐標系，圖中α為滾珠與滾道之間的接觸角，β為螺旋升角，滾珠與左右螺母滾道接觸面的法向載荷為：

圖2 空載下墊片預緊式雙螺母滾珠絲杠副示意圖

圖3 滾珠坐標系

(2)

式中，i為單個螺母滾珠循環(huán)圈數；z為單圈承載滾珠數。

對單個滾珠而言，其法向變形量為滾珠與螺母滾道、絲杠滾道法向變形量之和。根據赫茲定理，在初始預緊力作用下，滾珠絲杠副的法向變形量為：

(3)

式中，∑ρs、∑ρn分別為絲杠和螺母與滾道接觸點處的主曲率和；μ1、μ2為泊松比；E1、E2為彈性模量；E′為當量彈性模量；ma為接觸橢圓長軸系數；e為橢圓偏心率；K(e)為第一類完全橢圓積分。

在彈性范圍內，滾珠絲杠副軸向變形量與法向變形量的關系[14]為：

(4)

滾珠絲杠副軸向變形量為：

(5)

當滾珠絲杠副承受軸向載荷Fa時，其受力如圖4所示，此時螺母2為工作螺母，所受力由Fp增加為F2，螺母1為預緊螺母，所受力由Fp減小為F1。

圖4 受軸向載荷墊片預緊式雙螺母滾珠絲杠副示意圖

根據受力平衡條件：

F2-F1=Fa

(6)

根據變形協(xié)調關系[6]：

(7)

對于式(7)的非線性方程，可用Newton-Raphson迭代法[6]求解。

由靜力平衡方程，螺母1中滾珠承受的法向力為：

(8)

螺母2中滾珠承受的法向力為：

(9)

螺母1和2相對于絲杠的軸向變形量為：

(10)

由于螺母1、2及滾珠的材料參數相同，且滾珠絲杠本身存在預緊力，因此兩螺母軸向剛度一致，即螺母1和2軸向變形量變化相同：

Δ1=Δ2=δp-δ1=δ2-δp

(11)

因此，在軸向載荷Fa作用下，雙螺母墊片預緊式滾珠絲杠副軸向變形量為：

(12)

從式(12)看出，雙螺母墊片預緊式滾珠絲杠副的軸向變形量與結構參數、材料參數、預緊力和軸向載荷有關。

3 滾珠絲杠副確信可靠性建模

滾珠絲杠副在加工制造過程中，由于存在誤差，其相關結構參數與理論值存在一定的偏差，如節(jié)圓直徑D、壓力角α、適應比f、滾珠直徑d、螺旋升角β等。現階段，對于滾珠絲杠副的可靠性計算，都是基于經驗假設，其分布模型和分布參數都是依據經驗所得，缺乏理論依據，因此，必須考慮參數不確定性和模型不確定性對滾珠絲杠副可靠度的影響。

根據定義可知，滾珠絲杠副的軸向變形量為望小性能參數，其故障閾值為pth=Δ，性能參數為p:

p=Δa(D,α,β,f,d,Fa,Fp)

(13)

則性能裕量為：

(14)

為計算考慮參數和模型不確定性的確信可靠度，首先得明確設計裕量、隨機不確定性因子和認知不確定性因子。

3.1 設計裕量

滾珠絲杠副的設計裕量md定義為：

md=gm(xN)

(15)

式中，xN為D、α、β、f、d、Fa、Fp的均值組成的向量。

3.2 滾珠絲杠副隨機不確定性因子的確定方法

隨機不確定性因子描述了滾珠絲杠副參數隨機變化的分散性，例如制造誤差、材料特性變化等。根據定義[11]，隨機不確定性因子為：

(16)

式中，ZRp為標準概率正態(tài)分布的累積函數在Rp處的取值：

(17)

理論上可靠度Rp可通過概率密度求得，但由于滾珠絲杠副剛性的影響因素較多，求解聯(lián)合密度式較困難。目前，求解經典概率可靠度較常用的方法是蒙特卡洛仿真法[15]和結構可靠性方法[16]，本文將采用蒙特卡洛仿真法求解Rp。

3.3 滾珠絲杠副認知不確定性因子的評估方法

認知不確定性描述性能裕量分布的分散性，其分散程度的大小取決于產品故障過程及規(guī)律的認知程度。一般來說對產品故障的認知越充分，認知不確定性因子的值越小。在工程上，技術成熟度等級系統(tǒng)[17]描述了典型產品制造和加工過程，描述了技術從基本概念發(fā)展到成功實踐的全過程，反映了人們對相關技術的認知從無到逐漸完善的過程，已被廣泛應用于航空航天等多個領域[18]。技術成熟度等級(technology readiness level，TRL)能夠很好地刻畫人們的認知不確定度水平，因此可以基于技術成熟度等級來對滾珠絲杠副的認知不確定性因子進行量化。

(1)基于條件距離的專家權重的計算

邀請n位專家對滾珠絲杠副的技術成熟度等級條件質量進行打分，需打分的條件有m個，則第i個條件的分數記為：Qi,1，Qi,2，…，Qi,n。第i個條件的平均條件質量為：

(18)

條件距離為：

(19)

基于條件距離的專家權重為：

(20)

(2)基于貢獻的條件權重計算

第i個條件的條件質量為：

(21)

條件權重為：

(22)

(3)計算等級得分

技術等級得分表示滾珠絲杠副在某一技術成熟度等級下的表現，假設滾珠絲杠副當前技術成熟度等級為N，則其等級得分為：

(23)

(4)計算技術成熟度得分

技術成熟度得分表征的是在技術發(fā)展周期內，滾珠絲杠副的成熟程度。假設滾珠絲杠副技術成熟度共有Nmax級，則技術成熟度得分為：

(24)

(5)計算認知不確定性因子

求得技術成熟度得分后，滾珠絲杠副的認知不確定性因子為：

(25)

圖5為認知不確定性與技術成熟度得分的關系圖。從圖中可以看出，不同技術成熟度等級下，技術成熟度得分不同，呈現分段特性。技術成熟度等級越高，技術成熟度得分越大，認知不確定性因子也就越低，且在同一技術成熟度等級下，當技術成熟度得分較小時，其對認知不確定性因子的影響較大，隨著技術成熟度得分的增大，這種影響會顯著減小，說明在同一個技術成熟度等級下，單靠提升技術成熟度得分只能在一定程度上提升產品的可靠性。

圖5 認知不確定性因子與技術成熟度得分關系圖

3.4 滾珠絲杠副確信可靠度計算

將設計裕量md、隨機不確定性因子σm、認知不確定性因子σe代入式(26)，即可算出滾珠絲杠副確信不確定度。

(26)

式中，Φ(·)為標準正態(tài)累積分布函數。

4 滾珠絲杠副確信可靠性實例分析

本次計算采用絲杠型號為FC1Z-4010-3，相關參數如表1所示。假設滾珠絲杠副的節(jié)圓直徑D、接觸角α、螺旋升角β、滾珠適應比f、滾珠直徑d、軸向載荷Fa、初始預緊力Fp等參數服從正態(tài)分布，取均值的5%作為其標準差。

表1 滾珠絲杠副參數表

采用蒙特卡洛仿真法，取100 000次抽樣得到概率可靠度Rp=0.920 41，其分布圖如圖6所示。從圖中可以看出，滾珠絲杠副的軸向變形量的分布呈近似正態(tài)分布。

圖6 蒙特卡洛法分布圖

查標準正態(tài)分布表得ZRp=1.407。計算得設計裕量為md=0.197 4，隨機不確定性因子為：σm=0.140 3。

根據GJB7688[17]可知，成熟滾珠絲杠副產品的技術成熟度等級為9級，設計階段滾珠絲杠副產品的技術成熟度等級則在1～8級。根據不同的等級條件，通過專家打分，計算得9種技術成熟度等級下的等級得分、技術成熟度得分、認知不確定性因子如表 2所示。

表2 不同技術成熟度等級條件下認知不確定性數值

基于蒙特卡洛法計算的可靠度及基于不同技術度成熟度等級下的確信可靠性方法計算的可靠度如表3所示，從表3中，我們可以得出：確信可靠性理論計算的結果比蒙特卡洛法更加保守，說明在考慮認知不確定后，滾珠絲杠副的軸向靜剛度可靠性會降低，也說明由于認知不足產生的認知不確定性對滾珠絲杠副的可靠性提升具有阻礙作用，隨著技術成熟度等級的提高，人們對于滾珠絲杠副的認知更充分，認知不確定性因子會降低，滾珠絲杠副的確信可靠度會顯著提高，可見通過系統(tǒng)學習，彌補對絲杠認知上的缺陷對于滾珠絲杠副可靠性提升是十分必要的。

表3 可靠度計算值

5 滾珠絲杠副確信可靠性靈敏度分析

為研究隨機不確定性因子和認知不確定對因子對滾珠絲杠副確信可靠度的影響，本節(jié)對其進行靈敏度分析。首先確定這兩個參數的取值范圍。計算設計裕量md為0.197 4；取滾珠絲杠副概率可靠度Rp為范圍為[0.7,1]，對應隨機不確定性因子σm范圍為[0,0.379 6]；通過仿真可得，式(23)中的等級得分LN的取值范圍為[0,1]，取技術成熟度為5～9級，認知不確定性因子范圍為(0,0.555 6)。

圖7為不同認知不確定性因子下滾珠絲杠副的確信可靠度隨著隨機不確定性因子變化情況；圖8為不同技術成熟度等級下所能達到的最大確信可靠度曲線圖；圖9為技術成熟度等級從5級到9級時滾珠絲杠副確信可靠度隨認知不確定性因子σe和隨機不確定性因子σm變化圖，其中圖9a為三維圖，圖9b為等值線圖，圖中虛線表示滾珠絲杠副的軸向靜剛度確信可靠度RB為0.9的等值線。

圖7 確信可靠度隨σm和σe變化曲線圖

圖8 各技術成熟度等級最大確信可靠性

(a)三維圖

通過圖7可以看出，當隨機不確定性因子較大時，認知不確定性因子對滾珠絲杠副的確信可靠度影響較小。當隨機不確定性因子減小時，認知不確定性因子對滾珠絲杠副確信可靠度影響程度增大。因此，在對滾珠絲杠副剛性進行可靠性提升時，在初期，應通過優(yōu)化滾珠絲杠副的結構參數來減小隨機不確定性因子，提高滾珠絲杠副的確信可靠度。當隨機不確定性因子減小到一定值后，若通過優(yōu)化滾珠絲杠副的結構參數來提高可靠度，成本將會激增，提升效果也不明顯，因此，后期應加強對員工的培訓，完善其知識體系，減小認知不確定性的影響，達到確信可靠度增長的目的。

通過圖8可以看出當技術成熟度等級小于8級時，最大可靠度均小于0.9，這是因為當技術成熟度較低時我們對滾珠絲杠副的了解還不夠深入，從而制約了滾珠絲杠副的可靠性增長，因此，減小認知不確定性的影響是保證滾珠絲杠副可靠性增長的必經之路。

從圖9中可以看出，隨著隨機不確定性因子和認知不確定性因子的減小，滾珠絲杠副的確信可靠度能夠得到顯著提升。且由于認知不確定性的存在，滾珠絲杠副的確信可靠度總是比概率可靠度小，只有當認知不確定性因子趨近于0時，確信可靠度才趨于概率可靠度；當隨機不確定性因子和認知不確定性因子都趨于0時，若md>0，則確信可靠度趨向于1，此時確信可靠度幾乎不受不確定性的影響，只由設計裕量決定，即初始設計是可靠的(md>0)，則滾珠絲杠副就是可靠的。一般情況下，滾珠絲杠副的可靠性應保證在0.9以上，從圖9b中可以看出，必須使認知不確定性因子σe小于0.15，才能保證滾珠絲杠副的可靠度滿足規(guī)定要求。

6 結束語

本文在滾珠絲杠副剛度模型中，考慮了參數和模型不確定導致的認知不確定性對性能裕量的影響，從設計裕量、隨機不確定性因子、認知不確定性因子出發(fā)，建立了基于性能裕量的確信可靠性模型，求得在不同技術成熟度等級下雙螺母墊片預緊式滾珠絲杠副的軸向靜剛度確信可靠度并對其進行了靈敏度分析，通過分析得出：

(1)考慮了認知不確定性后，滾珠絲杠副的軸向靜剛度可靠度明顯降低，只有當認知不確定性因子趨于0時，確信可靠度才趨于概率可靠度，當隨機不確定性因子和認知不確定性因子都趨于0時，若md>0，則確信可靠度趨向于1。提高技術成熟度等級能夠減小認知不確定性的影響，提升可靠性，隨著技術成熟度等級從1級提升到9級，確信可靠度從0.586 795顯著提升到0.920 284，且達到9級時，可靠度與采用蒙特卡洛法所求的0.920 410接近。

(2)當滾珠絲杠副可靠性較小時，隨機不確定性因子對其確信可靠性影響較大，當其可靠性提升到一定程度后，認知不確定性因子對確信可靠度影響更大。

(3)當滾珠絲杠副可靠性較低時應通過優(yōu)化絲杠結構參數來獲得可靠性增長，當可靠性增長到一定值時，應加強對技術人員培訓，以減小認知不確定性的影響，獲得可靠性增長，且為了保證滾珠絲杠副可靠度達到0.9以上，必須確保認知不確定因子小于0.15。