陸祥雪 吳秋芳

知識與能力是教師專業(yè)發(fā)展的兩個方面。知識主要包括教育知識和學(xué)科知識兩個方面，這兩個方面融合為一體形成學(xué)科教學(xué)知識（簡稱PCK）。顧泠沅先生認(rèn)為教學(xué)案例是發(fā)展PCK的重要載體。為了探求環(huán)形跑道問題中的相等關(guān)系，筆者先組織學(xué)生模擬跑，再用幾何畫板模擬實驗。通過不斷優(yōu)化，發(fā)展了教師的教學(xué)能力，促進(jìn)了教師的專業(yè)發(fā)展。

一、教學(xué)實施

問題1：運動場環(huán)形跑道周長400m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)腫53]倍，他們從同一起點沿跑道的同一方向同時出發(fā)，5min后小紅第一次與爺爺相遇。請問：小紅和爺爺跑步的速度各是多少？

這是蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級上冊“用一元一次方程解決問題”中的問題4。教材在分析中直接給出這個問題的數(shù)量關(guān)系式：小紅跑的路程-爺爺跑的路程=400。

那么，教師在授課時，怎么來闡述這個相等關(guān)系呢？

師：這個問題中的相等關(guān)系是什么呢？

生1：第一次相遇時，小紅比爺爺多跑一圈。

師：你是怎么知道的？

（學(xué)生1沉默。）

師：好！為了驗證這位同學(xué)所說的相等關(guān)系，我們用幾何畫板做個模擬實驗。如圖1，我們用實心點表示小紅，空心點表示爺爺，為了方便區(qū)分，我們將小紅與爺爺?shù)耐慌艿?，分離為兩個同心圓，不過我們認(rèn)為它們的半徑是相同的。圖中的“動畫點”就相當(dāng)于小紅與爺爺起跑的“發(fā)令槍”，我只要一點擊，兩個點就運動起來了?，F(xiàn)在我開始點擊“動畫點”，請同學(xué)們注意觀察小紅比爺爺多跑了多少？

在學(xué)生觀看兩個點的運動的同時，教師手握鼠標(biāo)，當(dāng)實心點與空心點第一次相遇，再次點擊“動畫點”停止運動（如圖2）。

師：好！我們現(xiàn)在停止運動，請問，小紅與爺爺?shù)谝淮蜗嘤鰰r，小紅比爺爺多跑了多少？

生1：多跑了一圈。

師：你是怎么知道的？

（學(xué)生1還是沉默。）

師：我們重新演示一遍。

師：當(dāng)實心點（小紅）再次回到起點時（如圖3）（此時教師點擊“動畫點”按鈕，使兩點運動停止），此時實心點（小紅）已經(jīng)跑了多少？

生1：一圈。

師：當(dāng)實心點（小紅）第一次與空心點（爺爺）相遇時，小紅比爺爺多跑了多少？

生1：還是一圈。

師：請你解釋一下原因。

生1：因為從小紅再回到起點到追上爺爺（第一次相遇），小紅與爺爺跑的路程是相同的，而在此之前，小紅已經(jīng)跑了一圈，所以小紅比爺爺多跑了一圈。

師：很好！那就請你到黑板上來完整地解答這個問題。

師：接下來我們再看一下這道題的變式題。如圖4，小明與小華在一個邊長為100米的正方形ABCD的跑道上練習(xí)跑步，小明的速度為每分鐘200米，小華的速度為每分鐘150米，小明、小華分別從A、B兩點同時出發(fā)，按順時針方向跑。請問：當(dāng)小明和小華首次相遇時，此題的相等關(guān)系又是什么？

生2：小明比小華多跑了300米。

師：為什么？

生2：小明跑到小華的起點B時，小明跑了300米，當(dāng)小明首次與小華相遇時，小明比小華多跑了300米。

師：同意的請舉手。

二、教學(xué)改進(jìn)

起初，設(shè)計教學(xué)方案時，為了尋找相等關(guān)系，教師請兩名學(xué)生到講臺來，站在同一個位置。一名學(xué)生扮演“小紅”，另一名學(xué)生扮演“爺爺”，沿教室內(nèi)的過道，來模擬跑。教師提醒學(xué)生注意觀察小紅比爺爺多跑了多少。于是，兩名學(xué)生在教室內(nèi)跑了起來。教師問：“小紅是不是比爺爺多跑了一圈？”有學(xué)生說“是的”，但大多數(shù)學(xué)生不發(fā)聲。教師發(fā)現(xiàn)回答的人很少，就覺得可能有學(xué)生沒有看清，于是，又重新演示了一遍。當(dāng)教師再次提問時，學(xué)生的回答還是很少，說明大多數(shù)學(xué)生沒有看清問題中的相等關(guān)系。

設(shè)計模擬跑的目的是用實際情境幫助學(xué)生尋找問題中的相等關(guān)系，提升學(xué)生的參與度，提高學(xué)習(xí)興趣。但學(xué)生并沒有通過這個模擬跑的實驗發(fā)現(xiàn)問題中的相等關(guān)系。另外，教師在學(xué)生沒有辦法說明“小紅比爺爺多跑一圈”的情況下，也沒有幫助學(xué)生解決這個疑惑，而是選擇避而不談。筆者對此教學(xué)設(shè)計進(jìn)行反思，問題出在何處？在教室里模擬跑，學(xué)生的注意力僅是集中在兩個學(xué)生身上，而不能觀察到兩個學(xué)生的行進(jìn)路徑。找到問題的癥結(jié)，筆者做出幾點改進(jìn)。

改進(jìn)的目標(biāo)是化不可視的行進(jìn)路徑為可視。于是，有了兩個改進(jìn)的方案：一是用線示法，將小紅與爺爺跑的路線畫出來，如圖5，讓學(xué)生直觀地比較小紅比爺爺多跑了多少。在起點與相遇點之間，小紅與爺爺有一段路程是一樣的，如果我們把它們擦除，剩下的部分恰好是一圈。二是用幾何畫板來進(jìn)行模擬實驗，這樣小紅與爺爺跑的路徑可視性更強，且不需要場地。

三、教學(xué)反思

從最初設(shè)計到優(yōu)化后的最終設(shè)計，經(jīng)歷了“設(shè)計—實施—反思—改進(jìn)”的循環(huán)過程，這個過程不但提高了課堂教學(xué)效率，而且促進(jìn)了教師自身發(fā)展。

1.“設(shè)計—改進(jìn)”促進(jìn)終身學(xué)習(xí)。

在“環(huán)形跑道問題”中，學(xué)生不能探索出相等關(guān)系，所以需要改進(jìn)設(shè)計，打破原有的知識、思維框架，否則只能墨守成規(guī)，不斷退步。

現(xiàn)代教育技術(shù)已經(jīng)得到了很大的發(fā)展，雖然知識是古老而陳舊的，但借助新技術(shù)，知識以新的面貌呈現(xiàn)。其實，只要用幾何畫板的動態(tài)演示就能解決這個問題。利用軟件對動點的追蹤功能，學(xué)生可以很全面地從整體上觀察兩人的跑步路徑，而不是在教室或操場上只能看到局部的情形。這就是PCK分類中的一類，即將特定的學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生的策略知識。

2.“設(shè)計—改進(jìn)”促進(jìn)深度思考。

利用幾何畫板讓學(xué)生直觀地觀察小紅比爺爺多跑了一圈，但學(xué)生受路徑重疊的影響，效果反而不如圖5的“線示法”。學(xué)生在解決變式題時受挫，這都促使我們?nèi)シ此?，去進(jìn)行更深度的思考，觸及問題的本質(zhì)，由教師的深度思考去引導(dǎo)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。其實，這個模擬實驗，讓我們從直觀上獲得了感性知識，同時，還體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性特點。怎么說明這個從實驗中獲得的相等關(guān)系？這就需要教師在備課時做充分思考。我們?yōu)槭裁匆獜倪\動過程中抽出圖3，而不是僅僅出現(xiàn)起點與終點的圖1或圖2，目的就是為進(jìn)行理性的解釋鋪路。當(dāng)小紅再回到起點時，她已經(jīng)跑了一圈，小紅從現(xiàn)在到與爺爺?shù)谝淮蜗嘤?，兩人所跑的路程相同，所以小紅比爺爺多跑了一圈。根據(jù)學(xué)生回答的情況，可以多次重復(fù)演示，并在小紅回到起點時停留，讓學(xué)生觀察，找準(zhǔn)觀察的對象。這實際上就是基于同一個起點，如何比較小紅和爺爺所跑路程的長短問題。學(xué)生在明晰這點之后，就可以扔掉“直觀”的拐杖，解決相關(guān)的變式題。實踐證明，教師利用改進(jìn)優(yōu)化后的方案實施教學(xué)，學(xué)生解答變式題的準(zhǔn)確率提高很多。

3.“設(shè)計—改進(jìn)”促進(jìn)“四個理解”。

章建躍博士提出“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)”。我們要充分掌握這四個“理解”間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容。信息技術(shù)起輔助作用，還得結(jié)合學(xué)生的想象力。對七年級學(xué)生來說，形象思維占主導(dǎo)地位，所以我們通過幾何畫板來直觀、整體地呈現(xiàn)小紅及爺爺跑的過程，有助于學(xué)生突破難點，理解相等關(guān)系。教師應(yīng)樹立終身學(xué)習(xí)的理念，與時俱進(jìn)，只有常備一桶活水，方能澆灌新時代的花朵。

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué)，江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué)）