方湘豫，雷軼菊，歐祖軍

(1. 吉首大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖南 吉首 416000； 2. 新鄉(xiāng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 新鄉(xiāng) 453003)

0 引言

部分因析設(shè)計廣泛應(yīng)用在工業(yè)和科學(xué)研究中.兩個部分因析設(shè)計稱為是組合同構(gòu)的,如果其中一個設(shè)計可由另一個設(shè)計通過重新安排試驗順序，重新標記因子和置換水平得到.由于兩個組合同構(gòu)設(shè)計在同一個經(jīng)典的方差分析模型中有相同的統(tǒng)計性質(zhì),故被認為是等價的.從統(tǒng)計學(xué)的角度看,非組合同構(gòu)設(shè)計的判別不僅擴大了隨機設(shè)計的種類,而且擴大了各種效率準則的取值范圍,例如文獻[1]中的p-準則的取值范圍,因此對組合同構(gòu)設(shè)計的判別就顯得十分重要.

部分學(xué)者提出了一些設(shè)計組合同構(gòu)的檢測方法.兩個組合同構(gòu)設(shè)計的對應(yīng)試驗點間的Hamming距離在所有維度上相等.文獻[2]基于該結(jié)論提出了檢測兩個設(shè)計是否同構(gòu)的算法.此外,文獻[3]提出了有效的算法，用來從若干個設(shè)計中判別組合同構(gòu)設(shè)計,并要求在識別程序之前將這幾個設(shè)計中的每個設(shè)計排列成具體的形式.但文獻[3]只給出了判別設(shè)計組合同構(gòu)的充分條件,無法判別兩個非組合同構(gòu)設(shè)計.文獻[2]和文獻[3]分別提出了組合同構(gòu)檢測的方法,除此之外,也有一些學(xué)者提出了非組合同構(gòu)的檢測方法.文獻[4]基于均勻性測度提出了一個用于檢測非組合同構(gòu)的新的算法,并對該算法提供了理論證明.文獻[5]提出了最小低階混雜優(yōu)化準則,并證明了非組合同構(gòu)設(shè)計在該準則下是不同的.文獻[6]分別基于投影Hamming距離模式和所有水平置換下設(shè)計的均勻性測度分布提出了快速投影Hamming距離模式分布算法和水平置換匹配算法,這兩個算法能夠快速有效地用于檢測兩個設(shè)計是否為非同構(gòu)設(shè)計,其中水平置換匹配算法依次比較兩個設(shè)計在所有水平置換下的均勻性測度分布的均值、方差、偏度和峰度是否相等,如果在某一步驟上檢測出指標不相等,則終止下一步的比較,且判別這兩個設(shè)計為非同構(gòu)設(shè)計.

與文獻[6]不同的是,本文將基于KS檢驗方法，KS檢驗是常被用來比較兩個總體的分布是否相同的非參數(shù)統(tǒng)計方法[7]，從假設(shè)檢驗的角度對兩個設(shè)計在所有水平置換下的均勻性測度的分布是否相等進行檢驗,以判別兩個設(shè)計是否組合同構(gòu).本文基于KS檢驗討論了兩個設(shè)計是否組合同構(gòu).并用該方法對已有文獻的例子進行了驗證,得到的結(jié)果與已有文獻中的結(jié)果是一致的.

1 預(yù)備知識

記d(n;qs)為一具有n次試驗、s個q水平因子的設(shè)計,設(shè)計d中每個因子取自集合{0,1,…,q-1}中的元素.

定義1若集合{0,1,…,q-1}中的q個元素在設(shè)計d(n;qs)的每個因子中出現(xiàn)的次數(shù)相同,則稱設(shè)計d為對稱U-型設(shè)計.

記D(n;qs)為包含所有對稱U-型設(shè)計d(n;qs)的集合.對任意的設(shè)計d∈D(n;qs),d中的每個試驗點(vi1,…,vis)可映射為[0,1)s的點(xi1,…,xis),其中xij=(2vij+1)/(2q),i=1,…,n,j=1,…,s.偏差作為U-型設(shè)計均勻性的評價標準,用來刻畫試驗點集在試驗區(qū)域內(nèi)散布的均勻程度.目前有很多偏差可以用來衡量設(shè)計的均勻性,其中中心化L2-偏差和可卷型L2-偏差都是比較常用的偏差,而混合偏差在很大程度上克服了中心化L2-偏差和可卷型L2-偏差的不足之處[8].

定義2設(shè)d∈D(n;qs)為一n次試驗、s個q水平的對稱U-型設(shè)計,設(shè)計d的混合偏差可由下面表達式得到，

兩樣本的KS檢驗是用來比較兩樣本的總體分布最常用的非參數(shù)方法[8].

設(shè)X1,…,Xm和Y1,…,Yn為分別來自總體F和G的獨立同分布樣本,即X1,…,Xm～F(x),Y1,…,Yn～G(x).兩樣本的總體分布F和G的假設(shè)檢驗問題為

H0:F(x)=G(x)?H1:F(x)≠G(x).

當樣本量較大時, Glivenko給出了經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)與理論分布函數(shù)的F(x)接近程度的大樣本度量, 即證明了

由Glivenko定理知, 用經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)近似理論分布函數(shù)的F(x)是可行的.于是Smirnov提出了用下面的檢驗統(tǒng)計量來檢驗上述假設(shè)檢驗問題：

式中：Fm(x),Gn(x)分別表示總體F,G基于樣本X1,…,Xm和Y1,…,Yn的經(jīng)驗分布函數(shù).因此，Dmn愈小,直觀上看與原假設(shè)H0愈符合;反之,Dmn愈大,則與對立假設(shè)H1愈符合.由此,上述檢驗假設(shè)問題的一個直觀合理的檢驗φ為

φ:當Dmn

其中:c(α)與檢驗水平α有關(guān).

當樣本量較大時, Smirnov證明給出了在原假設(shè)H0成立時, 統(tǒng)計量Dmn的極限分布

這與Kolmogorov[8]在1933年針對單樣本的分布擬合問題給出的極限分布只相差一個倍數(shù),故兩者可合用一個極限分布表.

2 基于KS檢驗的組合同構(gòu)設(shè)計 判別

對任意兩個設(shè)計d1,d2∈D(n;qs),討論基于KS檢驗方法對設(shè)計d1,d2是否組合同構(gòu)進行判別,該判別方法也適用于任意兩個具有相同大小的非對稱設(shè)計組合同構(gòu)的判別.

由設(shè)計的組合同構(gòu)定義可知,如果設(shè)計d1可由設(shè)計d2通過置換一些列的水平得到,則設(shè)計d1,d2是組合同構(gòu)的,但它們不一定有相同的幾何結(jié)構(gòu),也就導(dǎo)致了均勻性測度可能不同,即可能有不同的混合偏差值.另一方面,僅僅通過重新安排試驗順序和重新標記因子這兩類操作得到的組合同構(gòu)設(shè)計,它們的混合偏差值不變.

對任意兩個設(shè)計d1,d2∈D(n;qs),若分別考慮設(shè)計d1,d2所有可能的水平置換,則分別可得到設(shè)計d1,d2的(q!)s個組合同構(gòu)設(shè)計.記P(d1),P(d2)分別為設(shè)計d1,d2的l=(q!)s個組合同構(gòu)設(shè)計的集合.類似地,組合同構(gòu)的設(shè)計在幾何結(jié)構(gòu)上可能不同,從而使得組合同構(gòu)設(shè)計的混合偏差值也可能不同.

下面的定理給出了設(shè)計d1,d2組合同構(gòu)判別的理論基礎(chǔ).

本文基于KS檢驗方法對X1,…,Xl和Y1,…,Yl的總體分布F和G是否相同來實現(xiàn)對設(shè)計d1,d2組合同構(gòu)的判別,其判別的具體步驟如下.

第一步 對任意兩個設(shè)計d1,d2∈D(n;qs),分別計算設(shè)計d1,d2的所有水平置換設(shè)計的混合偏差值

第二步 提出假設(shè)H0:F(x)=G(x)?H1:F(x)≠G(x).

第三步 基于KS檢驗方法,若拒絕H0,則判別設(shè)計d1,d2為非組合同構(gòu),否則判別設(shè)計d1,d2為組合同構(gòu).

基于定理1，下面給出了設(shè)計d1,d2組合同構(gòu)判別的具體算法.

算法：判別兩個設(shè)計d1,d2∈D(n;qs)組合同構(gòu).

輸入：兩個設(shè)計d1,d2∈D(n;qs).

輸出：設(shè)計d1,d2是否組合同構(gòu).

步驟:

KS檢驗:

將兩組樣本合并為一組樣本，記為S.

whileS不為空do

從S中選擇一個樣本X0,計算|Fl(X0)-Gl(X0)|

end if

從S中刪除樣本X0

end while

設(shè)計d1,d2組合同構(gòu)

else

設(shè)計d1,d2非組合同構(gòu)

end if

3 數(shù)值例子

本節(jié)中提供了兩個數(shù)值例子來驗證基于KS檢驗的組合同構(gòu)設(shè)計判別方法的有效性.數(shù)值例子表明:基于KS檢驗的組合同構(gòu)設(shè)計判別方法是非?？焖儆行У?

例1考慮文獻[9]中的三個設(shè)計d1,d2,d3∈D(18;37),具體的設(shè)計如表1所列.由文獻[9]可知設(shè)計d1,d2,d3是非組合同構(gòu)設(shè)計.現(xiàn)利用KS檢驗來對其是否組合同構(gòu)進行判別,具體數(shù)值結(jié)果如表2所列.

表1 三個非組合同構(gòu)設(shè)計d1,d2,d3∈D(18;37)

由表2可以發(fā)現(xiàn)設(shè)計d1,d2,d3間是否組合同構(gòu)的KS檢驗結(jié)果中的p值全都小于2.2e-16,故原假設(shè)H0不成立,即設(shè)計d1,d2,d3在所有水平置換下的設(shè)計的混合偏差的分布兩兩互不相同,因此設(shè)計d1,d2,d3兩兩非組合同構(gòu),這與文獻[9]中的結(jié)果是一致的.

表2 設(shè)計d1,d2,d3間是否組合同構(gòu)的KS檢驗結(jié)果

4 結(jié)語

本文基于KS檢驗給出了一種判別U-型設(shè)計是否組合同構(gòu)的簡單的方法,數(shù)值例子表明該方法對于設(shè)計的組合同構(gòu)判別非常有效，同時該方法也可推廣至非對稱U-型設(shè)計的組合同構(gòu)的判別，可為一般結(jié)構(gòu)的設(shè)計組合同構(gòu)研究提供參考.

表3 兩個組合同構(gòu)設(shè)計d4,d5∈D(9;33)