賈春曉，李 明，劉潤然*

(1. 杭州師范大學(xué)復(fù)雜科學(xué)研究中心 杭州 311121；2. 合肥工業(yè)大學(xué)物理學(xué)院 合肥 230009)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論描述了真實世界事物之間的普遍聯(lián)系，而多層網(wǎng)絡(luò)則描述了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)或復(fù)雜系統(tǒng)之間的聯(lián)系。多層網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用[1-2]，如因特網(wǎng)和電力網(wǎng)絡(luò)之間因互相依賴而組成的多層網(wǎng)絡(luò)[3-4]；一個生物細(xì)胞可以看成是代謝網(wǎng)絡(luò)，蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)和基因轉(zhuǎn)錄網(wǎng)絡(luò)的相互依賴而形成的多層網(wǎng)絡(luò)[5]。這些聯(lián)系在保證每個復(fù)雜系統(tǒng)正常運(yùn)行的同時，也給其帶來了系統(tǒng)性風(fēng)險，如重大停電事故與大范圍的通信中斷[3,6]、嚴(yán)重的交通癱瘓[7-8]等。負(fù)責(zé)電力傳輸與分配的電力網(wǎng)絡(luò)依賴于信息傳輸網(wǎng)絡(luò)提供監(jiān)控和調(diào)度等方面的支持，同時，信息傳輸網(wǎng)絡(luò)也依賴于電力網(wǎng)絡(luò)提供電力保障[3,9]。類似地，電力網(wǎng)絡(luò)和鐵路網(wǎng)絡(luò)也存在著雙向的依賴關(guān)系，電力網(wǎng)絡(luò)的故障會影響鐵路交通的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，而鐵路的非正常運(yùn)轉(zhuǎn)又會影響發(fā)電站燃料和物資的供應(yīng)。因此，研究復(fù)雜系統(tǒng)的魯棒性，需要考慮它們之間的相互依賴性，并基于這種依賴性對復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行分析和建模，以了解這種相互依賴性導(dǎo)致系統(tǒng)大規(guī)模癱瘓的發(fā)生機(jī)理，從而為減少和干預(yù)級聯(lián)失效提供預(yù)防、應(yīng)急和控制措施[2]。

除了相互依賴的關(guān)系之外，多層網(wǎng)絡(luò)還可以描述復(fù)雜系統(tǒng)之間其他性質(zhì)的耦合或聯(lián)系，如協(xié)作[10]、競爭[11-12]和對抗[13]等。人們將網(wǎng)絡(luò)層間存在依賴關(guān)系的多層網(wǎng)絡(luò)稱為相依網(wǎng)絡(luò)，或網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)[14-16]。另外，多層網(wǎng)絡(luò)還可以表示同一組節(jié)點(diǎn)具有不同性質(zhì)連接的網(wǎng)絡(luò)。在這樣的多層網(wǎng)絡(luò)中，每種類型的連接都可獨(dú)自形成一個網(wǎng)絡(luò)，但是它們共享同一個節(jié)點(diǎn)集合。如航空網(wǎng)絡(luò)可被視作一個多層網(wǎng)絡(luò)，每個機(jī)場為一個節(jié)點(diǎn)，不同航空公司的航線為不同類型的連接[17]。當(dāng)然在多層網(wǎng)絡(luò)中并不一定每個節(jié)點(diǎn)都能夠出現(xiàn)在所有的網(wǎng)絡(luò)層中，但每層網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的節(jié)點(diǎn)都是系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的子集。如某些航空公司在某些機(jī)場并不一定有運(yùn)營的航班，但是其包含的節(jié)點(diǎn)一定是航空網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)(機(jī)場)的子集。類似地，多層網(wǎng)絡(luò)中的同一節(jié)點(diǎn)可在不同網(wǎng)絡(luò)層中扮演不同角色，如在交通網(wǎng)絡(luò)中，一個城市可能同時是航空網(wǎng)絡(luò)、鐵路網(wǎng)絡(luò)和公路網(wǎng)絡(luò)的交通樞紐[18]。在這種情況下，同一個節(jié)點(diǎn)的不同角色互為副本節(jié)點(diǎn)，類似的情況還存在于社交網(wǎng)絡(luò)中[19-21]。

文獻(xiàn)[3]于2010 年提出了雙層相依網(wǎng)絡(luò)上的滲流模型，用于研究網(wǎng)絡(luò)之間的相互依賴性對于級聯(lián)故障和網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響。在相依網(wǎng)絡(luò)中，一旦某個節(jié)點(diǎn)被刪除或者失效，與其互相依賴的其他網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)就會完全失效。這是一種非常強(qiáng)的依賴關(guān)系，在這種情況下，相依網(wǎng)絡(luò)和共享同一節(jié)點(diǎn)集的多層網(wǎng)絡(luò)等價。研究發(fā)現(xiàn)，雙層相依網(wǎng)絡(luò)上的滲流模型為一階不連續(xù)相變，這與單層網(wǎng)絡(luò)上的二階連續(xù)相變有著本質(zhì)的不同。該結(jié)論證明了網(wǎng)絡(luò)的相互依賴性不但極大地降低了網(wǎng)絡(luò)魯棒性，而且影響了網(wǎng)絡(luò)的破碎方式。更令人驚訝的是，當(dāng)相依網(wǎng)絡(luò)的度分布的異質(zhì)性增強(qiáng)時，相依網(wǎng)絡(luò)對隨機(jī)故障的脆弱性也會增強(qiáng)，如兩個具有冪律度分布的相依無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)會比兩個相依隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊下更加脆弱，這與單個網(wǎng)絡(luò)的情況完全相反(單個無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對于隨機(jī)攻擊的魯棒性是非常高的)。從統(tǒng)計物理學(xué)的角度來看，多層相依網(wǎng)絡(luò)上的一階不連續(xù)相變本質(zhì)上為混合相變(hybrid percolation)，即在網(wǎng)絡(luò)發(fā)生滲流相變的臨界點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)巨分支規(guī)模既存在二階連續(xù)相變所具備的臨界現(xiàn)象，也存在一階相變的不連續(xù)跳躍現(xiàn)象。系統(tǒng)的序參量(互聯(lián)巨分支規(guī)模S)與節(jié)點(diǎn)的保留概率p存在漸近關(guān)系S?Sc∝(p?pc)1/2，其中pc為網(wǎng)絡(luò)發(fā)生滲流相變的臨界點(diǎn)。這與單層網(wǎng)絡(luò)中k核滲流[22]、靴攀滲流[23]、關(guān)節(jié)節(jié)點(diǎn)滲流[24]及核滲流[25]中的混合相變完全相同[26]。

以上研究是基于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)依賴假設(shè)，即多層網(wǎng)絡(luò)中相互依賴的一組節(jié)點(diǎn)，其中一個失效時，其余也立即失效。這種點(diǎn)對點(diǎn)的強(qiáng)相互依賴還被推廣到單層網(wǎng)絡(luò)中，用于描述節(jié)點(diǎn)之間的隱含依賴性[27-33]。強(qiáng)依賴雖然能夠刻畫一些現(xiàn)實系統(tǒng)之間的節(jié)點(diǎn)耦合機(jī)制，但在某些情況下網(wǎng)絡(luò)中某個節(jié)點(diǎn)的失效可能不會導(dǎo)致其他網(wǎng)絡(luò)中與之依賴的節(jié)點(diǎn)完全失效，而是造成一定程度的損害，從這個角度來說弱耦合機(jī)制更能夠描述復(fù)雜系統(tǒng)之間更為一般的耦合和聯(lián)系。在弱依賴的情形下，多層網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)與強(qiáng)依賴的情況有明顯的不同。首先，網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)之間耦合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會對網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效動力學(xué)有著強(qiáng)烈的影響。而對于強(qiáng)耦合的多層網(wǎng)絡(luò)中的一組相依節(jié)點(diǎn)，一旦其中一個節(jié)點(diǎn)失效，其余節(jié)點(diǎn)也就完全失效，它們之間的依賴結(jié)構(gòu)不會對系統(tǒng)有顯著影響。此外，弱依賴多層網(wǎng)絡(luò)模型能夠描述復(fù)雜系統(tǒng)更為豐富的耦合機(jī)制，如依賴強(qiáng)度的異質(zhì)性[34]、依賴強(qiáng)度的非對稱性[35]及依賴關(guān)系的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[36]等。在弱依賴的情況下，多層網(wǎng)絡(luò)在級聯(lián)失效過程中會表現(xiàn)出更為豐富的相變現(xiàn)象。

多層網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)吸引了物理學(xué)、數(shù)學(xué)、信息科學(xué)、管理學(xué)和計算機(jī)等多學(xué)科交叉領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注。經(jīng)過十多年的發(fā)展，多層網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效已在理論建模、實證分析和應(yīng)用研究方面取得非常豐富的成果，國內(nèi)相關(guān)學(xué)者已經(jīng)在概念模型[37]、功能與動力學(xué)[38-39]、魯棒性優(yōu)化[40]和級聯(lián)失效的預(yù)防[41]等方面進(jìn)行了較為系統(tǒng)的綜述。在多層網(wǎng)絡(luò)的研究中，滲流理論扮演了非常重要的角色。為了介紹滲流理論對多層網(wǎng)絡(luò)模型的作用和相關(guān)進(jìn)展，本文聚焦基于滲流理論的相依多層網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效。首先介紹描述相依多層網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的理論模型，再分別介紹多層網(wǎng)絡(luò)跨層節(jié)點(diǎn)耦合特性、網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)連接結(jié)構(gòu)特征、層內(nèi)節(jié)點(diǎn)耦合特性、攻擊方式等幾個方面的特征對魯棒性和級聯(lián)失效動力學(xué)的作用，然后介紹具有弱耦合機(jī)制的多層網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效動力學(xué)的特性，最后進(jìn)行總結(jié)并展望未來可能的研究問題和相關(guān)方向。

1 理論模型

多層網(wǎng)絡(luò)模型始于相依雙層網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型的研究[3]。隨后人們將雙層相依網(wǎng)絡(luò)推廣到了M個網(wǎng)絡(luò)，因此雙層相依網(wǎng)絡(luò)是多層網(wǎng)絡(luò)的一個特例[42-43]。這M個網(wǎng)絡(luò)都具有N個節(jié)點(diǎn)，將這M個網(wǎng)絡(luò)標(biāo)記為A,B, ···，每個網(wǎng)絡(luò)中的N個節(jié)點(diǎn)按照自然數(shù)編號為1,2, ···,N。不同網(wǎng)絡(luò)中具有相同自然數(shù)編號的節(jié)點(diǎn)具有相互依賴性。第一個網(wǎng)絡(luò)中的某個節(jié)點(diǎn)Ai，第二個網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)Bi等M個網(wǎng)絡(luò)中的M個節(jié)點(diǎn)之間存在相互依賴性。對于互相依賴的一組節(jié)點(diǎn)，如果其中一個節(jié)點(diǎn)失效，其余所有節(jié)點(diǎn)就會立即失效。這M個網(wǎng)絡(luò)中任意一個網(wǎng)絡(luò)X都可以擁有獨(dú)立或相關(guān)聯(lián)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

多層網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效由隨機(jī)刪除網(wǎng)絡(luò)A中比例為1?p的節(jié)點(diǎn)觸發(fā)，其中p表示保留節(jié)點(diǎn)的比例。由于不同網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的互相依賴性，網(wǎng)絡(luò)A中的一個節(jié)點(diǎn)刪除會導(dǎo)致其余M?1 個網(wǎng)絡(luò)中依賴于該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)也立即失效。當(dāng)一個節(jié)點(diǎn)失效時，其所有邊也將會被刪除。各層網(wǎng)絡(luò)中一部分節(jié)點(diǎn)失效后，會破碎成一些規(guī)模不等的分支，這些分支被稱為分支集群。如果一些節(jié)點(diǎn)和它們所依賴的節(jié)點(diǎn)在各自所在的網(wǎng)絡(luò)層中都能形成同一個分支，則這樣的分支被稱為互連分支。但是，由于網(wǎng)絡(luò)連接方式的差異性，某個網(wǎng)絡(luò)中的一個分支中的節(jié)點(diǎn)在另一個網(wǎng)絡(luò)中所依賴的節(jié)點(diǎn)并不一定能夠形成同一個分支。因此，不能形成互連分支的節(jié)點(diǎn)將會被刪除，從而誘發(fā)網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)一步破碎，進(jìn)而形成一個級聯(lián)失效的過程。經(jīng)過一定步數(shù)的迭代，網(wǎng)絡(luò)最終會達(dá)到一個穩(wěn)態(tài)。

圖1 展示了相依網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效示意圖。在圖1a中，級聯(lián)失效由初始失效的A3節(jié)點(diǎn)觸發(fā)；在圖1b中，A網(wǎng)絡(luò)破碎成兩個分支{A1,A2}和{A4,A5,A6,A7}，B網(wǎng)絡(luò)破碎成3 個分支{B1,B2}，{B4}和{B5,B6,B7}，由于{A1,A2}和{B1,B2}分支在網(wǎng)絡(luò)A和B中同時存在， 構(gòu)成一個互聯(lián)分支集群。同時由于{B4}分支獨(dú)立，將會導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)A4的連接被刪除，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)A分支{A4,A5,A6,A7}進(jìn)一步破碎為{A4},{A5}和{A6,A7}。在圖1c 中，{A5}為獨(dú)立分支，將會導(dǎo)致B5節(jié)點(diǎn)的連接被刪除。在圖1d 中，網(wǎng)絡(luò)B進(jìn)一步發(fā)生破碎，最終又會導(dǎo)致A6和A7之間的連接被刪除，并達(dá)到AB兩個網(wǎng)絡(luò)中的互聯(lián)分支都一致的穩(wěn)態(tài)。

圖1 雙層相依網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效示意圖

在達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時候，只有網(wǎng)絡(luò)互連巨分支中的節(jié)點(diǎn)才能保存下來，用互連巨分支的規(guī)模S來度量網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。理論和數(shù)值模擬研究的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，如果保留節(jié)點(diǎn)的比例大于一個臨界值pc，在級聯(lián)故障過程結(jié)束時，網(wǎng)絡(luò)的互連巨分支就能夠存在，即S>0，相依網(wǎng)絡(luò)的功能就能保留下來；反之如果p

多層網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效的臨界點(diǎn)可用概率生成函數(shù)的方法來求解。定義RX為網(wǎng)絡(luò)X中的一條隨機(jī)邊能夠連接到穩(wěn)態(tài)時互連巨分支的概率，其中X∈{A,B,···}。同時定義為網(wǎng)絡(luò)X的度分布的生成函數(shù)，為網(wǎng)絡(luò)X的余度分布的生成函數(shù)，其中為網(wǎng)絡(luò)X的度分布。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)X中的一條隨機(jī)邊能夠連接到巨分支時，在沿著這條隨機(jī)邊所到達(dá)的一個節(jié)點(diǎn)的其余邊中，需要至少有一條能夠連接到網(wǎng)絡(luò)的巨分支。這條隨機(jī)邊所到達(dá)節(jié)點(diǎn)的度值k服從概率分布，因此網(wǎng)絡(luò)X中的一條隨機(jī)邊能夠連接到巨分支的概率為，寫成生成函數(shù)的形式為。類似地，對于度為k的節(jié)點(diǎn)，屬于互連巨分支則需要在所有k條邊中至少有一條能夠通向互連巨分支，其概率可以表示為1?(1?RX)k?？紤]網(wǎng)絡(luò)度分布，一個隨機(jī)節(jié)點(diǎn)屬于網(wǎng)絡(luò)X巨分支的概率為，寫成生成函數(shù)的形式為1 ?。因此，對于任意一個RX滿足方程：

網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)巨分支的規(guī)模S可以寫成：

隨著節(jié)點(diǎn)保留比例p的變化，當(dāng) ψX首次與RX相等的時候，系統(tǒng)將發(fā)生滲流相變?？紤]系統(tǒng)中所有的網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)發(fā)生滲流相變的臨界點(diǎn)可由如下方程組給出：

式中，I為單位矩陣；J表示雅克比矩陣，其元素JAB=?ψA/?RB。在臨界點(diǎn)將 ψX展開，在式(1)和式(2)被同時滿足的情況下可得：

這一結(jié)果表明多層網(wǎng)絡(luò)上的不連續(xù)相變?yōu)榛旌舷嘧?，同時具備二階相變的臨界特性也具有一階不連續(xù)相變的跳躍[44]。這與k核滲流、靴攀滲流、核滲流和關(guān)節(jié)節(jié)點(diǎn)滲流中的混合相變的類型完全相同。文獻(xiàn)[24,45]的研究也說明，這種混合相變只存在于級聯(lián)失效的穩(wěn)態(tài)中，如果強(qiáng)行使級聯(lián)過程在任何有限次停止，都只能觀察到與經(jīng)典滲流一樣的臨界現(xiàn)象。文獻(xiàn)[46]研究了具備動力學(xué)過程的多層網(wǎng)絡(luò)上的魯棒性，發(fā)現(xiàn)不連續(xù)相變在耦合動力學(xué)系統(tǒng)上仍然存在。

代入網(wǎng)絡(luò)的度分布，可通過式(1)和式(2)求出網(wǎng)絡(luò)的滲流相變點(diǎn)pc和網(wǎng)絡(luò)巨分支的大小S。有關(guān)多層網(wǎng)絡(luò)模型的概率生成函數(shù)求解的方法，文獻(xiàn)[26,42]已經(jīng)進(jìn)行了綜述。對于單個網(wǎng)絡(luò)的情況下，網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性越強(qiáng)，其滲流臨界值pc就越小。與此相反的是，相互依賴的網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性越強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)的臨界值pc就會越大。這說明在平均度相同的情況下，度分布異質(zhì)性較強(qiáng)的多層網(wǎng)絡(luò)更脆弱，這一結(jié)果與單層網(wǎng)絡(luò)的情況截然相反。

多層網(wǎng)絡(luò)中這種不連續(xù)相變的產(chǎn)生機(jī)理可由多層網(wǎng)絡(luò)中的“臨界節(jié)點(diǎn)”來解釋。臨界節(jié)點(diǎn)被定義為滿足如下兩個條件的節(jié)點(diǎn)：1) 其自身或其任意依賴節(jié)點(diǎn)有且只有一條邊能夠連接到所在網(wǎng)絡(luò)的巨分支，這條邊被稱為臨界邊；2) 其自身和其所有依賴節(jié)點(diǎn)都能夠連接到它們所在網(wǎng)絡(luò)的巨分支。這條臨界邊至關(guān)重要，一旦它所連接的鄰居被刪除，臨界節(jié)點(diǎn)和它的依賴節(jié)點(diǎn)都會被刪除。在此失效傳播過程中，這條邊具有指向性，從臨界節(jié)點(diǎn)的一個鄰居指向該臨界節(jié)點(diǎn)。當(dāng)臨界節(jié)點(diǎn)通過這些臨界邊能夠連接在一起的時候，就形成了一個“臨界分支”。一旦其中一個臨界節(jié)點(diǎn)被刪除，雪崩就會沿著一定方向在臨界分支中傳播，處在臨界分支最頂端的節(jié)點(diǎn)被稱為“基石節(jié)點(diǎn)”，它的刪除會導(dǎo)致整個臨界分支的崩潰。當(dāng)p從大至小接近臨界點(diǎn)時，臨界分支的發(fā)散會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)巨分支的不連續(xù)跳躍[44]。

2 跨層節(jié)點(diǎn)耦合特性

一些真實復(fù)雜系統(tǒng)中可能存在一些不依賴其他任何節(jié)點(diǎn)的“自治節(jié)點(diǎn)”，一個網(wǎng)絡(luò)中的某個節(jié)點(diǎn)也可能依賴于另一個網(wǎng)絡(luò)中的多個節(jié)點(diǎn)。此外，網(wǎng)絡(luò)間的依賴性不但有雙向的，還有單向的。圍繞雙向依賴或單向依賴、一對一依賴或一對多依賴的問題，已涌現(xiàn)出許多研究成果。文獻(xiàn)[48]研究了一個由兩個相互依賴的網(wǎng)絡(luò)A和B組成的系統(tǒng)，其中網(wǎng)絡(luò)A中的一部分節(jié)點(diǎn)qA依賴于網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)，同時網(wǎng)絡(luò)B中的一部分節(jié)點(diǎn)qB依賴于網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)。與多層網(wǎng)絡(luò)的原始模型相同，一個網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點(diǎn)最多只有一條有向的依賴邊。因此參數(shù)qA、qB或qA=qB≡q控制著網(wǎng)絡(luò)間的依賴強(qiáng)度，這一方法在后續(xù)的研究中被廣泛借鑒[49-52]。當(dāng)一個網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時，它們會導(dǎo)致另一個網(wǎng)絡(luò)中依賴于它們的節(jié)點(diǎn)也發(fā)生故障。當(dāng)臨界占據(jù)概率p達(dá)到臨界點(diǎn)pc時，穩(wěn)態(tài)滲流巨分支就能夠出現(xiàn)。理論分析和數(shù)值模擬顯示，降低網(wǎng)絡(luò)之間耦合節(jié)點(diǎn)的比例qA和qB會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的相變形式在一個臨界點(diǎn)處從一階滲流相變轉(zhuǎn)變到二階滲流相變[48]。另外出于保護(hù)中心節(jié)點(diǎn)的目的，將其設(shè)置為“自治節(jié)點(diǎn)”可以有效提升網(wǎng)絡(luò)的魯棒性[50-51]。

文獻(xiàn)[53]研究了一對多的有向依賴的多層網(wǎng)絡(luò)模型，發(fā)現(xiàn)當(dāng)網(wǎng)絡(luò)之間的依賴邊平均度趨向于無限或存在自治節(jié)點(diǎn)時，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)的巨分支以連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)，而在其他情況下，網(wǎng)絡(luò)巨分支以不連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)。文獻(xiàn)[54]研究了非對稱依賴的相依網(wǎng)絡(luò)模型，即A網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)對B網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)是一對多的雙向依賴，而B網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)對A網(wǎng)絡(luò)是一對一的雙向依賴。在這種情況下，網(wǎng)絡(luò)A在隨著保留節(jié)點(diǎn)p的變化會出現(xiàn)多重相變現(xiàn)象，即網(wǎng)絡(luò)巨分支首先以二階連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)，隨后會再發(fā)生一次一階不連續(xù)相變，而網(wǎng)絡(luò)B的巨分支以一階不連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)。在部分節(jié)點(diǎn)存在耦合的情況下，多層網(wǎng)絡(luò)的每個網(wǎng)絡(luò)層都在其他網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一定數(shù)量的節(jié)點(diǎn)作為相互依賴的節(jié)點(diǎn)時，系統(tǒng)隨著攻擊強(qiáng)度的增大會出現(xiàn)多重相變的現(xiàn)象，即會發(fā)生多次崩潰[49]。此外，文獻(xiàn)[55]基于依賴邊在描述節(jié)點(diǎn)跨網(wǎng)絡(luò)耦合時連接和依賴的雙重作用，研究了雙層相依網(wǎng)絡(luò)多對多依賴時的魯棒性，發(fā)現(xiàn)增加網(wǎng)絡(luò)之間的耦合邊密度時會增加網(wǎng)絡(luò)的部分連通性，導(dǎo)致部分網(wǎng)絡(luò)的魯棒性增強(qiáng)。

真實網(wǎng)絡(luò)之間的互相依賴關(guān)系不是隨機(jī)的，而是根據(jù)節(jié)點(diǎn)的某些特性進(jìn)行耦合的。跨層相依節(jié)點(diǎn)的度度相關(guān)性也受到廣泛關(guān)注，即在正相關(guān)的時候，一個網(wǎng)絡(luò)中度值大(小)的節(jié)點(diǎn)更容易依賴于另一個網(wǎng)絡(luò)中度值大(小)的節(jié)點(diǎn)，反之則是負(fù)相關(guān)。如度值較大的港口往往與具有較多航班的機(jī)場之間存在較為緊密的耦合。文獻(xiàn)[56]研究了網(wǎng)間度度相關(guān)性和網(wǎng)間聚類系數(shù)對相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個網(wǎng)絡(luò)之間依賴節(jié)點(diǎn)相似性較強(qiáng)時，系統(tǒng)在面對隨機(jī)故障時就會變得更加穩(wěn)健。類似地，文獻(xiàn)[57]的研究結(jié)果表明相同度值節(jié)點(diǎn)的耦合使得網(wǎng)絡(luò)的魯棒性會變得更強(qiáng)。同樣，當(dāng)從兩個網(wǎng)絡(luò)挑選度值最大的部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行耦合匹配時[58-59]，或降低互相依賴節(jié)點(diǎn)的不平衡性時[60]，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性也可以顯著提高。另外，在網(wǎng)絡(luò)存在模塊度[61]、依賴簇[62]時，跨網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的正相關(guān)耦合對網(wǎng)絡(luò)魯棒性仍有較強(qiáng)的促進(jìn)作用。文獻(xiàn)[63]借助于Bako-Tang-Wiesenfeld 沙堆模型，發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)連接度的無標(biāo)度分布，層內(nèi)同配性和跨網(wǎng)絡(luò)中心節(jié)點(diǎn)之間的耦合可以顯著提升網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。文獻(xiàn)[64]研究了多層網(wǎng)絡(luò)上的鍵滲流模型，發(fā)現(xiàn)當(dāng)多層網(wǎng)絡(luò)中某一層網(wǎng)絡(luò)與其他網(wǎng)絡(luò)層節(jié)點(diǎn)耦合方式為反相關(guān)時，多層網(wǎng)絡(luò)上的鍵滲流存在多重相變的現(xiàn)象，即會發(fā)生多次相變，相變的次數(shù)與網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)有關(guān)。隨后文獻(xiàn)[65]發(fā)現(xiàn)在多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性優(yōu)化的過程中，增強(qiáng)度度相關(guān)性雖然可以提高網(wǎng)絡(luò)破碎時的攻擊閾值，但是也在網(wǎng)絡(luò)破碎的過程中引入了多重不連續(xù)相變的現(xiàn)象。

重疊邊在多層網(wǎng)絡(luò)中也是常見的。如在社交網(wǎng)絡(luò)中，兩個朋友通過電子郵件和電話兩種途徑進(jìn)行通信的現(xiàn)象很常見；在交通網(wǎng)絡(luò)中，通過公路連接的兩個城市也可能通過鐵路或航班連接。文獻(xiàn)[66-67]幾乎同時研究了連接的重疊性對于相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，重疊邊的存在也能有效促進(jìn)多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性的提升。對這種現(xiàn)象的一個直觀解釋是，重疊邊的存在減弱了兩個相依網(wǎng)絡(luò)巨分支節(jié)點(diǎn)分布的隨機(jī)性，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的互聯(lián)巨分支更容易涌現(xiàn)。

真實多層網(wǎng)絡(luò)并不是單層網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)組合，網(wǎng)絡(luò)層間的耦合會存在一些空間相關(guān)性[68-70]。這種空間相關(guān)性可以有效提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性，使網(wǎng)絡(luò)在遭受蓄意攻擊時可能會以連續(xù)相變的形式崩潰[71]。文獻(xiàn)[72]研究了雙層相依規(guī)則網(wǎng)格上的滲流，在模型中，互相依賴的兩個節(jié)點(diǎn)的最大距離被限制在r之內(nèi)，當(dāng)rqmax時是非常差的，刪除一個節(jié)點(diǎn)就會導(dǎo)致整個系統(tǒng)的崩潰，qmax會隨著隨機(jī)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)平均度的降低而降低。這些結(jié)果說明相依節(jié)點(diǎn)之間的距離對于網(wǎng)絡(luò)的魯棒性和破碎形式起著非常重要的作用。當(dāng)取消節(jié)點(diǎn)跨層依賴距離的限制時(相依節(jié)點(diǎn)隨機(jī)連接)，相依規(guī)則網(wǎng)格就非常脆弱，只要跨層耦合節(jié)點(diǎn)的比例q≠0時，系統(tǒng)就會發(fā)生一階不連續(xù)相變的現(xiàn)象。

文獻(xiàn)[74]提出了一種冗余滲流模型，該模型假設(shè)一個節(jié)點(diǎn)能夠保持功能的條件是至少還有另外一個相依節(jié)點(diǎn)能夠在其他網(wǎng)絡(luò)層中保持功能[74-75]。當(dāng)層數(shù)等于2 時，該模型簡化為文獻(xiàn)[3]中最初的相依網(wǎng)絡(luò)模型。該模型描述了向多層網(wǎng)絡(luò)中添加新層可以增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)健性，這一情況與網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)中隨著網(wǎng)絡(luò)數(shù)的增加系統(tǒng)的魯棒性降低的情況相反[42-43]。

3 網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)連接結(jié)構(gòu)特征

自從多層網(wǎng)絡(luò)的模型被提出以后，一些網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)，如簇系數(shù)、同配性、模塊度、有向性和空間嵌入特性等，對于網(wǎng)絡(luò)魯棒性和級聯(lián)失效動力學(xué)的影響也得到了廣泛關(guān)注。這些研究對于理解真實復(fù)雜系統(tǒng)的一些結(jié)構(gòu)特性對于魯棒性的影響有重要的意義。

文獻(xiàn)[76]研究了網(wǎng)絡(luò)的簇結(jié)構(gòu)對于相依多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)簇結(jié)構(gòu)能夠?qū)е戮W(wǎng)絡(luò)的魯棒性的降低，表現(xiàn)為網(wǎng)絡(luò)滲流相變臨界點(diǎn)pc的顯著增大。文獻(xiàn)[52]通過兩種方式來調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)，第一種是保證網(wǎng)絡(luò)平均度的不變的情況下改變網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)；第二種方法是保證網(wǎng)絡(luò)度分布不變來調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)，并研究了兩種簇系數(shù)的調(diào)整方式對部分節(jié)點(diǎn)存在依賴的多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，同樣發(fā)現(xiàn)簇系數(shù)的增加能夠降低網(wǎng)絡(luò)的魯棒性并增加網(wǎng)絡(luò)的滲流閾值。隨著依賴節(jié)點(diǎn)比例的降低，簇系數(shù)對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響會逐漸下降。同時，網(wǎng)絡(luò)從一階相變到二階相變的臨界點(diǎn)qc也會隨著簇系數(shù)的增加而增大。類似的發(fā)現(xiàn)可以在支持-依賴的雙層網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)，即降低網(wǎng)絡(luò)間的耦合或網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)都可以增加網(wǎng)絡(luò)的魯棒性[77]。

文獻(xiàn)[78]研究了多層有向網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效。雙層相依有向隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的崩潰過程分為兩個階段，即網(wǎng)絡(luò)巨分支以連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)，隨后再發(fā)生一次不連續(xù)相變。同時也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)度分布異質(zhì)性較強(qiáng)時，網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)的出度和入度的相關(guān)性可以增強(qiáng)相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，而網(wǎng)絡(luò)度分布異質(zhì)性較弱而網(wǎng)絡(luò)間耦合強(qiáng)度較強(qiáng)時，網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)的出度和入度的相關(guān)性可以減弱相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。對于多個有向網(wǎng)絡(luò)的耦合，隨著網(wǎng)絡(luò)保留節(jié)點(diǎn)比例p變化，網(wǎng)絡(luò)在破碎時可能會表現(xiàn)為二階相變、多重相變(先發(fā)生二級相變，然后再次發(fā)生一階相變)、一階相變以及不穩(wěn)定崩潰(在p=1 時，系統(tǒng)仍處于崩潰狀態(tài))等幾種不同的形式。崩潰的形式取決于網(wǎng)絡(luò)之間耦合節(jié)點(diǎn)比例q的大小[79]。

網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)結(jié)構(gòu)對于多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性的作用也受到關(guān)注，文獻(xiàn)[80]發(fā)現(xiàn)一個多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性可以通過調(diào)整不同網(wǎng)絡(luò)層社團(tuán)結(jié)構(gòu)之間的相關(guān)性來控制。文獻(xiàn)[81]發(fā)現(xiàn)當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)特征增強(qiáng)時，相互依賴的網(wǎng)絡(luò)會更脆弱，這一結(jié)果與單一網(wǎng)絡(luò)的情況相反。當(dāng)一個網(wǎng)絡(luò)層的社團(tuán)結(jié)構(gòu)非常強(qiáng)且社團(tuán)間的連接非常稀疏時，另一層網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)強(qiáng)度的微小變化會引起整個系統(tǒng)魯棒性的突變。文獻(xiàn)[82]研究了具有社團(tuán)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，他們發(fā)現(xiàn)跨社團(tuán)的連接邊在影響網(wǎng)絡(luò)魯棒性的同時，還扮演著類似于鐵磁-順磁自旋系統(tǒng)中外場的作用。

文獻(xiàn)[83]發(fā)現(xiàn)存在階層結(jié)構(gòu)的相依網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊時會出現(xiàn)多重相變的現(xiàn)象，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與每個階層中的社團(tuán)數(shù)，階層的連接度和網(wǎng)絡(luò)間的依賴強(qiáng)度有關(guān)。具有模塊度的多層網(wǎng)絡(luò)在遭受攻擊時也會發(fā)生雙重相變的現(xiàn)象，其中一個相變發(fā)生在模塊分離的地方，另一個相變發(fā)生在各個模塊崩潰的時候。兩個相變的類型取決于多層網(wǎng)絡(luò)之間的依賴強(qiáng)度和依賴的結(jié)構(gòu)[84]。

4 層內(nèi)節(jié)點(diǎn)耦合特性

理解多層網(wǎng)絡(luò)上的k核滲流對于研究網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學(xué)十分重要，如識別有影響力的傳播者和理解網(wǎng)絡(luò)局部化現(xiàn)象。文獻(xiàn)[85]研究了多層網(wǎng)絡(luò)上的k ≡(kA,kB,···,kM)核滲流，多層網(wǎng)絡(luò)上的k核巨分支比單個網(wǎng)絡(luò)A上kA核巨分支更難出現(xiàn)。對于雙層網(wǎng)絡(luò)A和B，單個網(wǎng)絡(luò)kA+kB核的滲流閾值比相應(yīng)的多層網(wǎng)絡(luò)中的(kA,kB)核的滲流閾值更高。文獻(xiàn)[86]通過調(diào)整節(jié)點(diǎn)對鄰居局域依賴閾值k和網(wǎng)絡(luò)間的耦合節(jié)點(diǎn)比例q，發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)保留概率p增大時，網(wǎng)絡(luò)可能會出現(xiàn)二階相變、多重相變和一階相變。文獻(xiàn)[87]研究了真實多層網(wǎng)絡(luò)層間的關(guān)聯(lián)性(如度關(guān)聯(lián)、節(jié)點(diǎn)相似性等)與多層網(wǎng)絡(luò)k核大小的關(guān)系。在網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性較強(qiáng)時，正的度度相關(guān)性與網(wǎng)絡(luò)中強(qiáng)k核結(jié)構(gòu)有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。如果網(wǎng)絡(luò)度分布均勻時，節(jié)點(diǎn)相似性水平上的正相關(guān)與網(wǎng)絡(luò)中強(qiáng)k核結(jié)構(gòu)有較強(qiáng)的相關(guān)性。類似地，對于跨層節(jié)點(diǎn)存在度相關(guān)的多層網(wǎng)絡(luò)的度度相關(guān)性會導(dǎo)致多層網(wǎng)絡(luò)的k核巨分支更容易涌現(xiàn)[88]。這些研究為真實多層網(wǎng)絡(luò)k核結(jié)構(gòu)的識別和預(yù)測提供了理論基礎(chǔ)[89]。

文獻(xiàn)[90]研究了多層網(wǎng)絡(luò)上的核滲流，反復(fù)刪除每層網(wǎng)絡(luò)上度值為1 的葉節(jié)點(diǎn)及其最近鄰節(jié)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)多層網(wǎng)絡(luò)上的核滲流具有一階不連續(xù)相變的特性，這與單層網(wǎng)絡(luò)上核滲流的連續(xù)相變有著本質(zhì)的不同。文獻(xiàn)[91]將葉節(jié)點(diǎn)的定義推廣到度值小于k的節(jié)點(diǎn)，并通過反復(fù)刪除度值小于k的葉節(jié)點(diǎn)及其最近鄰節(jié)點(diǎn)的剪枝過程來研究多層網(wǎng)絡(luò)上的核滲流，這一模型被用于真實多層網(wǎng)絡(luò)的分解。

5 攻擊方式

文獻(xiàn)[92-93]研究了多層網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊下的魯棒性，當(dāng)度值較大的節(jié)點(diǎn)有較大的概率被攻擊時，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性會顯著下降。同時當(dāng)度大的節(jié)點(diǎn)受到保護(hù)，被攻擊概率降低時，多層網(wǎng)絡(luò)的滲流閾值并不能降低至0，這說明保護(hù)度值較大的節(jié)點(diǎn)不能阻止網(wǎng)絡(luò)的崩潰，這一結(jié)果與單層網(wǎng)絡(luò)有著本質(zhì)的不同。文獻(xiàn)[94-95]研究了網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊下的魯棒性，同樣發(fā)現(xiàn)蓄意攻擊能夠使相依網(wǎng)絡(luò)和多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性降低。蓄意攻擊可以讓多層網(wǎng)絡(luò)崩潰的更加迅速，探討多層網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊下的魯棒性的極限是一個重要問題。因此，如何找到能夠迅速破壞多層網(wǎng)絡(luò)的最小節(jié)點(diǎn)集是一個計算代價高昂同時難以優(yōu)化的問題。文獻(xiàn)[96]提出了多層網(wǎng)絡(luò)有效度的指標(biāo)作為蓄意攻擊目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的選擇依據(jù)，該策略考慮了多層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的刪除所帶來的間接損傷，從而獲得了一個比現(xiàn)有的非計算密集型算法所得到的更小的初始攻擊目標(biāo)節(jié)點(diǎn)集。

局域攻擊策略[97-99]是一種在現(xiàn)實中廣泛存在的攻擊策略，在多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性的研究中也受到了廣泛關(guān)注[100-101]。文獻(xiàn)[102]研究了局域攻擊下空間耦合網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效動力學(xué)，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)局域攻擊大于臨界尺寸時，級聯(lián)故障會擴(kuò)散到整個系統(tǒng)，導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。此外，局域攻擊和隨機(jī)攻擊對不同度分布的相依網(wǎng)絡(luò)的破壞性也在文獻(xiàn)[103]中有對比研究，不同組合攻擊策略在相依網(wǎng)絡(luò)的研究中也受到關(guān)注[104]。

6 弱依賴多層網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效

在前文所述的多層網(wǎng)絡(luò)模型中，一個節(jié)點(diǎn)的失效會導(dǎo)致其依賴節(jié)點(diǎn)完全失效，這是一種點(diǎn)對點(diǎn)的強(qiáng)依賴。這一假設(shè)雖然能夠刻畫一些現(xiàn)實系統(tǒng)之間的節(jié)點(diǎn)耦合機(jī)制，如因特網(wǎng)中的節(jié)點(diǎn)對電力網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的依賴。但是在存在緩沖或應(yīng)急機(jī)制的情況下，這一假設(shè)就會顯得過于簡單而直接，如一些基礎(chǔ)設(shè)施的節(jié)點(diǎn)可能存在備用電源，當(dāng)電網(wǎng)故障時，它可能會因電力供應(yīng)的減少而維持部分主要功能；類似地，在經(jīng)濟(jì)社會中，金融網(wǎng)絡(luò)和企業(yè)間的貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)存在依賴性，金融機(jī)構(gòu)通過向企業(yè)借貸而獲得利息和收益，而企業(yè)依靠金融網(wǎng)絡(luò)提供資金流來維持運(yùn)作，當(dāng)企業(yè)倒閉時，可能會對金融機(jī)構(gòu)造成影響，而金融機(jī)構(gòu)的倒閉也可能會對企業(yè)造成沖擊。由于風(fēng)險的分散，這種沖擊可能不會非常強(qiáng)，一個企業(yè)倒閉可能不會造成與之相互依賴的金融機(jī)構(gòu)的完全破產(chǎn)，反之亦然。因此，存在弱依賴節(jié)點(diǎn)的多層網(wǎng)絡(luò)更具有一般性[105]。

為了描述這種弱耦合機(jī)制，文獻(xiàn)[105]提出了一種點(diǎn)對邊的相互作用機(jī)制。當(dāng)一個節(jié)點(diǎn)失效的時候，其依賴節(jié)點(diǎn)的部分功能會受到損害而失去一些連接。具體而言，假如A網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點(diǎn)Ai依賴于B網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)Bi，如果節(jié)點(diǎn)Ai失效，節(jié)點(diǎn)Bi的每一條邊都有1?α 的概率被刪除(α 的概率保留)，反之亦然。當(dāng)α=1 時，網(wǎng)絡(luò)之間的依賴性最弱，而當(dāng)α=0 時，網(wǎng)絡(luò)的依賴性最強(qiáng)，此時等價于強(qiáng)依賴的多層網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)某個網(wǎng)絡(luò)層X中的一部分節(jié)點(diǎn)失效時，與這些失效節(jié)點(diǎn)有依賴性的節(jié)點(diǎn)就會受到影響而損失一些邊，從而導(dǎo)致它們所在的網(wǎng)絡(luò)破碎，使某些節(jié)點(diǎn)脫離網(wǎng)絡(luò)而失效。這些失效的節(jié)點(diǎn)又會導(dǎo)致其他網(wǎng)絡(luò)層(包括X)中相互依賴的節(jié)點(diǎn)受到損害。在這種依賴失效和破碎失效的交替作用下，級聯(lián)失效隨之產(chǎn)生。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時，用每個網(wǎng)絡(luò)層中存活節(jié)點(diǎn)的比例來評估網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

圖2 給出了雙層相依網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效示意圖。在圖2a 中，級聯(lián)失效由初始失效的A3和B3節(jié)點(diǎn)觸發(fā)， 導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)A和B的同時破碎。在圖2b 中，B網(wǎng)絡(luò)中的B4節(jié)點(diǎn)因脫離巨分支而失效，進(jìn)而會對A網(wǎng)絡(luò)中的A4節(jié)點(diǎn)造成損害而損失一條邊，進(jìn)一步導(dǎo)致A5節(jié)點(diǎn)的失效。在圖2c 中，A網(wǎng)絡(luò)中的A5節(jié)點(diǎn)的失效會對B網(wǎng)絡(luò)中的B5節(jié)點(diǎn)造成損害而損失一條邊。進(jìn)而導(dǎo)致B7節(jié)點(diǎn)的失效。在圖2d中，B網(wǎng)絡(luò)中B7失效后對網(wǎng)絡(luò)A中的A7造成影響，由于這種影響以一定概率發(fā)生而未造成實際損害，此時網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。

圖2 弱依賴情況下，雙層相依網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效示意圖

在弱依賴的情況下，一些互相依賴的復(fù)雜系統(tǒng)可能通過它們之間的聯(lián)系而具有某種結(jié)構(gòu)。有一些復(fù)雜系統(tǒng)依賴的系統(tǒng)較多，而另外一些系統(tǒng)所依賴的系統(tǒng)較少。即不同系統(tǒng)的“超級度”存在差異。對于超級度不同的網(wǎng)絡(luò)層，它們的滲流閾值和滲流相變的類型也不相同。網(wǎng)絡(luò)層的超級度越大，其滲流閾值就越大，魯棒性也就越差。同時，一些超級度較大的網(wǎng)絡(luò)層在滲流時可能表現(xiàn)為一階不連續(xù)相變，而一些超級度較小的網(wǎng)絡(luò)層的滲流相變類型為二階連續(xù)相變，在超級度較大的網(wǎng)絡(luò)發(fā)生滲流時，會導(dǎo)致其已經(jīng)發(fā)生滲流的最近鄰網(wǎng)絡(luò)再次發(fā)生相變，從而導(dǎo)致系統(tǒng)中出現(xiàn)多重相變現(xiàn)象[106]。

多層網(wǎng)絡(luò)的雪崩過程本質(zhì)上可以分解為兩個微觀動力學(xué)過程：深度滲透(層間級聯(lián))和廣度擴(kuò)展(層內(nèi)級聯(lián))。在深度滲透的過程中，失效在跨層傳播過程中能夠逐步放大。在這些跨層耦合的節(jié)點(diǎn)中，一個節(jié)點(diǎn)的失效會引起另外一個甚至更多節(jié)點(diǎn)的失效，失效的節(jié)點(diǎn)越多，對剩余節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的破壞力就越大。在范圍擴(kuò)展的過程中，故障會隨著各網(wǎng)絡(luò)層中連接的移除而在各層網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部傳播。在兩個過程的協(xié)同作用下，整個多層網(wǎng)絡(luò)會逐漸走向崩潰，同時系統(tǒng)滲流相變的類型會隨著網(wǎng)絡(luò)耦合強(qiáng)度的下降從一階不連續(xù)相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A連續(xù)相變，這意味著層間的級聯(lián)過程控制著層內(nèi)的級聯(lián)過程，并且對整個系統(tǒng)的魯棒性有著較強(qiáng)的控制力[107]。

弱依賴機(jī)制的引入使得多層網(wǎng)絡(luò)模型能夠較為自然地使用非對稱依賴的概念，這一特點(diǎn)在現(xiàn)實中也廣泛存在。對于互相依賴網(wǎng)絡(luò)中的兩個節(jié)點(diǎn)，一個重要的節(jié)點(diǎn)對次要的節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度可能會不等于次要的節(jié)點(diǎn)對重要的節(jié)點(diǎn)的依賴強(qiáng)度。文獻(xiàn)[35]研究了節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的非對稱依賴對于網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，當(dāng)調(diào)整跨網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)依賴強(qiáng)度的時候，網(wǎng)絡(luò)發(fā)生滲流相變的類型也能夠從一階相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎A相變。文獻(xiàn)[108]研究了具有派系的弱依賴相依網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效，網(wǎng)絡(luò)在從不連續(xù)相變到連續(xù)相變的過程中呈現(xiàn)出混合相變現(xiàn)象：具有派系大的層發(fā)生連續(xù)滲流相變，具有派系小的層發(fā)生不連續(xù)滲流相變。

7 結(jié)束語

多層網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)失效是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)研究的重要問題。這一問題的研究與網(wǎng)絡(luò)科學(xué)諸多細(xì)分領(lǐng)域共同推動了多層網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)研究的發(fā)展，如多層網(wǎng)絡(luò)的同步[38,109-116]、多層網(wǎng)絡(luò)上的信息傳播[117-120]、疾病傳播[121-129]和免疫[130-133]、多層網(wǎng)絡(luò)上演化博弈[134-139]和交通流[7-8,17]等。本文綜述了多層網(wǎng)絡(luò)滲流的基礎(chǔ)理論和級聯(lián)失效動力學(xué)研究，包含跨層節(jié)點(diǎn)的耦合特性、網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)連接結(jié)構(gòu)特征、層內(nèi)節(jié)點(diǎn)耦合特性和攻擊方式等幾個方面的研究。這些研究成果的推廣不但豐富了人們對多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性和級聯(lián)失效動力學(xué)的認(rèn)識，為多層網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的預(yù)防[41,140-141]和魯棒性的提升[40,142]等方面的應(yīng)用研究提供了理論支撐，同時為多層網(wǎng)絡(luò)其他動力學(xué)的研究提供了借鑒。

在當(dāng)前信息和人工智能飛速發(fā)展的今天，基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的資源能夠得到及時有效的調(diào)度，從而實現(xiàn)系統(tǒng)容量的最優(yōu)化和負(fù)荷的最大化，如在交通網(wǎng)絡(luò)中，交通流可以通過實時大數(shù)據(jù)和智能算法實現(xiàn)最高效率的流轉(zhuǎn)，任意一個系統(tǒng)和環(huán)節(jié)發(fā)生故障就會引起整個系統(tǒng)的功能受到較大的損失。在這樣的背景下，多層網(wǎng)絡(luò)之間的相互作用機(jī)理也變得越來越復(fù)雜，因此對多層網(wǎng)絡(luò)耦合機(jī)理進(jìn)行實證調(diào)研并進(jìn)一步建模將是未來一個重要且具有挑戰(zhàn)性的問題。其次，真實的多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)十分復(fù)雜，一些大系統(tǒng)中還存在一些子系統(tǒng)，在各個系統(tǒng)之間存在不同層次的相互作用，如節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)存在耦合、子系統(tǒng)與子系統(tǒng)也存在耦合、相互作用的層次性對于多層網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效動力學(xué)的影響也需要進(jìn)一步考慮。此外，由于真實多層網(wǎng)絡(luò)各個子系統(tǒng)的功能是互相配合的，節(jié)點(diǎn)之間的相互依賴性是動態(tài)的，調(diào)研各個系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)功能的時間相關(guān)性以及耦合結(jié)構(gòu)的時間特性也是一個非常值得關(guān)注的問題。最后，多層網(wǎng)絡(luò)研究的發(fā)展需要在理論方法上有更進(jìn)一步的突破，深挖和拓展現(xiàn)有理論及研究方法以解決以上問題也具有非常大的挑戰(zhàn)。