韓海燕

如何構(gòu)造與廣義超幾何函數(shù)相關(guān)的各種有意義的解析函數(shù)類一直都是國際上比較活躍的一個研究方向.MILLER等在1991年發(fā)表了超幾何函數(shù)的呈象性、凸性和局部單葉性［1］；2002年，DZIOK等利用從屬方法研究了解析函數(shù)子類的凸半徑、星象半徑及系數(shù)估計等［2］；DARWIAH等在2009年利用從屬定義了多葉解析函數(shù)類，并研究了其系數(shù)估計、極值點(diǎn)及凸半徑等［3］.受其啟發(fā)，本文利用卷積研究并得到廣義超幾何函數(shù)定義的某一解析函數(shù)類的有趣結(jié)論.

1 研究內(nèi)容

定義1設(shè)?(z)具有如下形式：

?(z)在單位圓盤E={z∈Z:|z|＜1}內(nèi)解析，設(shè)?表示函數(shù)?(z)所構(gòu)成的函數(shù)類.函數(shù)?(z)具有形式（1），ψ(z)具有如下形式：

定義(?*ψ)(z)為?(z)和ψ(z)的卷積，形式如下：

本文假設(shè)

定 義2設(shè) 廣 義 超 幾 何 函 數(shù)PFq(μ1,…,μp;ν1,…,νq;z)為：

其中：p≤q+1，p，q∈N?{0}，N={1 ,2,3,…}.這里(η)n為記號，定義為：

設(shè) 函 數(shù)G(μ1,…,μp;ν1,…,νq;z)可 表 示為：

定義3利用卷積定義線性算子

這里?(z)在去心單位圓盤E0=E{0}內(nèi)解析，且具有如下形式：

定義4定義函數(shù)?(μ1,…,μp;ν1,…,νq;z)為：

令函數(shù)?m(μ1,…,μp;ν1,…,νq;z)為：

其中：m＞0.

定義5類似于定義線性算子D(μ1,…,μp;ν1,…,νq;z)的方法，在?上定義線性算子Dl(μ1,…,μp;ν1,…,νq;z)，形式如下：

于是從式（8）、式（9）、式（10）易證明微分公式

定義6［4-6］設(shè)f(z)在單位圓盤E內(nèi)解析，滿足f(0)=1，且

這 里：z=reiθ，k≥2，0≤λ＜1，那 么 稱 函 數(shù)f(z)在 函 數(shù) 類Ωk(λ)內(nèi).此 外，記Ω(λ)=Ω2(λ)，表示實(shí)部大于λ的解析函數(shù)類.

說明：（i）易證得上述函數(shù)f(z)∈Ωk(λ)?存在f1，f2∈Ωk(λ)，使得

（ii）Ωk(λ)是凸集.

定義7設(shè)0≤λ＜1，c＞0，b∈C且Reb≥0，函數(shù)?(z)∈?滿足

其中：k≥2,ψ(z)∈?，且滿足

那么函數(shù)?(z)在函數(shù)類(α,λ,c,ω,k)內(nèi).

為證明本文主要結(jié)論，需要下述引理.

引理1［7］設(shè)f(z)在E內(nèi)解 析，f(0)=1，設(shè)ρ1∈C且Reρ1≥0，ρ1≠0，則

又

這里

β1是Reρ1遞增的函數(shù)，在某種意義上這個估計是準(zhǔn)確的.

引 理2[8]設(shè)α=α1+iα1，β=β1+iβ2，ψ(α，β)是復(fù)函數(shù)，且滿足下列條件：

（i）ψ(α，β)在域D?C2內(nèi)連續(xù)；

（ii）(1,0)∈D且Reψ(1,0)＞0；

2 主要結(jié)論

定 理1若b＞0，則

其中：f(0)=1，ψ(z)在E內(nèi)解析，f(0)=1，ψ(z)滿足條件（15），從說明（i）中可以得出?(z)∈(α,λ,c,ω,k)的充要條件是

其中：f1(z)，f2(z)∈ Ω(λ).

根據(jù)微分公式（11）及式（15）可以得到如下結(jié)果.

這里g(z)由式（15）給出.

由式（20）可以推導(dǎo)出：

因為?(z)∈(α,λ,c,ω,k)，從 式（21）和式（22）得出

令Fi(z)=fi(z)-λ，i=1，2，上述式子變?yōu)椋?/p>

為了證明結(jié)論，需要證明式（26）包含F(xiàn)i(z)∈ Ω(0)，i=1，2.定義函數(shù)ψ(α，β)，α=Fi(z)，β=zF′i(z)，故得到

易發(fā)現(xiàn)ψ(α，β)滿足引理2的條件（i），（ii）.因為g(z)∈ Ω(λ)，即Reg(z)＞λ，?z∈E，0≤λ＜1，故當(dāng)時，有

利用引理2，可以得出Fi∈Ω(0),i=1,2.

定 理2若0≤b1＜b2，則(α,λ,c,ω,k)?(α,λ,c,ω,k).

證明 設(shè)任意函數(shù)?(z)∈(α,λ,c,ω,k)，令

根據(jù)定理1，得到

經(jīng)計算

由說明（ii）知函數(shù)類Ωk(λ)是一凸集，故對于0≤b1＜b2，式（29）的右側(cè)屬于Ωk(λ)，即?(z)∈(α,λ,c,ω,k).

為了證明下面定理，需要使用Bernardi定義的算子Ld，算子Ld為：

定理3若?(z)∈?，Ld?(z)由式（34）給出，設(shè)b∈C，且Reb＞0，則

即

這里β是由式（18）給出，令

證明 對式（30）進(jìn)行微分得到

利用定義（9）得到

令

根據(jù)說明（i），那么需要證明f(z)具有如下形式：

其中：f1(z)，f2(z)∈Ω(β).

綜合式（34）～式（36），可以得到

故從說明（i）看出

結(jié)合引理1，得出fi(z)∈Ω(β)，i=1，2，β由式（18）給出且

定 理4設(shè)b＞0,＜ω＜1，若?(z)∈(α,0,c,ω,k)，則?(z)∈(α,0,c,ω,k),|z|＜R，這里

證明 令任意函數(shù)?(z)∈(α,0,c,ω,k)，令

且ψ(z)∈?滿足條件

根據(jù)說明（i），式（40）成立當(dāng)且僅當(dāng)

其中：f1(z)，f2(z)∈Ω(0)

類似于定理1的證明，可以得到

為了證明結(jié)論，需要估計R的值.

根據(jù)函數(shù)類Ω(0)的估計［9-10］，則有

由式（41）得

由式（46）和式（47）得到

容易看出，上述不等式的右邊大于或等于0的充要條件是

再根據(jù)式（47）即可證得結(jié)論.

3 結(jié)語

本文利用廣義超幾何函數(shù)得到一類新的解 析 函 數(shù) 子 類(α,λ,c,ω,k)，研 究 其 一 些 性質(zhì).本文給出新的解析函數(shù)類的構(gòu)造過程，有利于廣義超幾何函數(shù)在幾何函數(shù)理論中的研究.