尹文倩

捕食-食餌關(guān)系是種群之間相互作用的基本關(guān)系之一，經(jīng)典的捕食-食餌種群模型是由LOTKA［1］和VOLTERRA［2］提 出 的Lotka-Volterra模型［3］.很多動力學(xué)文獻(xiàn)中對捕食-食餌種群模型都有廣泛的研究.

在文獻(xiàn)［4］中，作者研究了食餌具有Allee效應(yīng)的確定性捕食-食餌種群模型.在實際生活中，種群會受到各種隨機(jī)因素的影響，在文獻(xiàn)［5］中，作者將文獻(xiàn)［4］的模型中死亡率為d1的食餌種群和死亡率為d2的捕食者種群帶有白噪聲，從而得到隨機(jī)捕食-食餌種群模型.

事實上，不僅死亡率會受到隨機(jī)因素的影響，種群內(nèi)部競爭強(qiáng)度也會受到隨機(jī)因素的影響.基于文獻(xiàn)［5］中的模型，本文除了將死亡率為d1的食餌種群和死亡率為d2的捕食者種群帶有白噪聲，將食餌種群的內(nèi)部競爭強(qiáng)度也考慮在內(nèi)，從而得到食餌具有Allee效應(yīng)和雙參數(shù)擾動的隨機(jī)捕食-食餌種群模型.

1 正解的存在唯一性

本文考慮帶有白噪聲且種群內(nèi)部競爭強(qiáng)度為α的食餌種群模型，從而得到如下食餌具有Allee效應(yīng)和雙參數(shù)擾動的隨機(jī)捕食-食餌種群模型：

其 中：初 值x(0)=x0，y(0)=y0.這 里w={w1(t),w2(t),w3(t),t≥0}表示定義在完備概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的三維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，分 別 表 示 噪 聲w1(t)，w2(t)和w3(t)的強(qiáng)度.

模型中所有參數(shù)都假定為正數(shù)，它們的生物意義如下：b表示食餌種群的人均最大出生率，di(i=1,2)分別表示食餌種群和捕食者種群的平均最大死亡率，α表示食餌種群的種內(nèi)競爭強(qiáng)度，s表示有效搜索率，h表示捕食者的處理時間，c表示攝取食餌轉(zhuǎn)化成捕食者的換能效率，A表示食餌種群的Allee效應(yīng)常數(shù)，sx(t)( 1+shx(t))表示捕食功能反應(yīng)，即食餌密度與捕食者平均攝食量之間的關(guān)系.

模型（1）中x(t)和y(t)分別表示食餌和捕食者種群數(shù)量的大小，因此，這一部分研究模型（1）正解的存在唯一性.由于模型（1）的系數(shù)不滿足線性增長條件，經(jīng)典的隨機(jī)微分方程理論對其不適用，因此為了證明模型（1）正解的存在唯一性，首先考慮方程

其中：初值x(0)=x0.

引理1對任意給定初值x0∈R+=(0,+∞)，對于任意t≥0，方程（2）存在唯一正解x(t)，即，以概率1有x(t)∈R+.

證明 對任意x0∈R+，首先考慮方程

其中初值u(0)=logx0.顯然，方程（3）的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件.因此，對給定初值u(0)，當(dāng)t∈[0,τe)時方程存在唯一最大局部解u(t)，其中τe表示爆發(fā)時間.由?公式可知，當(dāng)t∈[0,τe)時，方程（2）存在唯一局部正解x(t)=eu(t).為了證明該解是全局的，只需證明τe=∞a.s.對x0∈( 1k0,k0)，令k0＞0且充分大，對任意整數(shù)k≥k0，定義停時

對 于 空 集?，定 義inf?=∞.顯 然，當(dāng)k→∞時，τk單調(diào)遞增，同時對于τk∈[0,τe]極限存在.因此，定義顯然τ∞是一個停時且τ∞≤τea.s.如果可以證明τ∞=∞a.s.那么對任意t≥0，有τe=∞a.s.對u＞0，易 知為 了證明τ∞=∞a.s.首先定義C2函數(shù)V:R+→R+，

其中:LV:R+→R定義為

注意到LV(x)最高次系數(shù)為負(fù)，因此，存在K1＞0，使得

將上式代入式（5）得

對任意k≥k0及T＞0，當(dāng)t1∈[0,T]時，對上式兩邊分別從0到τk∧t1積分并取期望得

由此得

注意到，對任意ω∈{τk≤T},x(τk,ω)等于k或1k，因此

代入式（8）得

其中：I{τk≤T}表示集合{τk≤ T}的示性函數(shù).

令k→∞，得

則P{τ∞≤T}=0.又因為T＞0是任意的，故P{τ∞＜∞}=0.因此P{τ∞=∞}=1.

定理1 對任意給定初值(x0,y0)∈={(x,y)∈R2:x＞0,y＞0}，當(dāng)t≥0時，式（1）存在唯一正解，且存在?(t),φ(t),ψ(t)和ξ(t)，使得對任意的t≥0，

證明 對初值(x0,y0)∈，首先考慮模型

其中：初值(u(0),v(0))=(logx0,logy0).顯然，該模型的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件，對于給定初值(u(0),v(0))，當(dāng)t∈[0,τe)時，該模型存在唯一最大局部解(u(t),v(t))，其中τe為爆發(fā)時間.因此，利用公式可得，當(dāng)t∈[0,τe)時，(x(t),y(t))=(eu(t),ev(t))是初值為(x0,y0)的模型（1）的唯一局部正解.

接著運(yùn)用隨機(jī)比較原理證明該解是全局的，即τe=∞.注意到，局部解(x(t),y(t))為正解.對于捕食者種群，有

設(shè)ψ(t)是下列方程的唯一解

解得

設(shè)ξ(t)是下列方程的唯一解

解得

根據(jù)隨機(jī)比較原理得，對任意的t∈[0,τe)，有

同理，對于食餌種群有

設(shè)?(t)是下列方程的唯一解

設(shè)φ(t)是下列方程的唯一解

根據(jù)隨機(jī)比較原理，對任意的t∈[0,τe)，有

由引理1可知，對任意t≥0，存在唯一的φ(t),?(t)，因此有τe=∞.

2 滅絕性

這一部分主要研究噪聲強(qiáng)度及Allee效應(yīng)如何影響食餌種群和捕食者種群滅絕的問題.首先給出種群滅絕的定義.

定義1若種群大?。ɑ蛎芏龋﹛(t)滿足

則稱該種群以概率1滅絕.

下面的定理研究了噪聲強(qiáng)度對捕食者種群的影響.

定理2設(shè)(x(t),y(t))是模型（1）的解，其初值(x0,y0)∈R+.若σ22＞2(c h-d2)，則

即捕食者種群以概率1呈指數(shù)滅絕.（證明過程見文獻(xiàn)［5］的定理3.3）.

下面討論Allee效應(yīng)對食餌種群和捕食者種群的影響.

定理3設(shè)(x(t),y(t))是模型（1）的解，其初值(x0,y0)∈R+.若模型參數(shù)滿足下列條件之一：

①d1＞b且αA≤0.5(d1-b)；

②d1≤b且αA≥b-d1, 或αA＜b-d1且

(b-d1-αA)2(b-d1+8αA)-27d1(αA)2＜0；

③αA≤b且則

即食餌種群和捕食者種群以概率1呈指數(shù)滅絕.

證明 對于食餌種群，當(dāng)t≥0時，x(t)為正解，由模型（1）可得

考慮函數(shù)f(x)=x[bx(A+x)-d1-αx]，其中x＞0.

①若αA≤0.5(d1-b)，函 數(shù)f在[0,∞)上單調(diào)遞減，且最大值為f(0)=0.（證明過程見文獻(xiàn)［5］定理3.2），則

設(shè)?(t)是下列方程的解.

由隨機(jī)比較原理得，當(dāng)t∈[0,∞)時，0≤x(t)≤?(t) ,a.s.則 有 logx(t)≤log?(t)a.s.根據(jù)公式和式（9）得

因此

設(shè)n=1 , 2 , …，由指數(shù)鞅不等式［6］得

將上式代入式（10）得

因此，對幾乎所有ω∈Ω，若0＜n-1≤t≤n且n≥n0時，

由強(qiáng)大數(shù)定律［6］可得

結(jié)合式（11）可推出

因此

②當(dāng)d1≤b時，則αA＞0.5(d1-b).αA≥b-d1，函數(shù)f在[0,∞)上單調(diào)遞減，且最大值為f(0)=0（.證明過程見文獻(xiàn)［5］定理3.2）因此，重復(fù)情形①的步驟可得αA＜b-d1且(b-d1-αA)2(b-d1+8αA)-27d1(αA)2＜0，函數(shù)f在[0,∞)上單調(diào)遞減，且最大值為f(0)=0（.證明過程見文獻(xiàn)［5］定理3.2）.同理有

③對logx(t)利用?公式得

對上式兩邊分別從0到t積分得

將上式代入（12）得

考慮函數(shù)f(x)=bx(A+x)-αx-d1-由αA1≤b得此時函數(shù)f取得最大值為因此，對幾乎所有ω∈Ω，若0＜n-1≤t≤n且n≥n0有

由定理條件及強(qiáng)大數(shù)定律得

則

因此對任意t≥t0,ω∈Ωε，有

對上式運(yùn)用強(qiáng)大數(shù)定律得

由ε的任意性，

則

3 結(jié)語

本文討論食餌具有Allee效應(yīng)及雙參數(shù)擾動的捕食-食餌種群的滅絕性，得到在一定條件下，食餌種群和捕食者種群以概率1呈指數(shù)滅絕的結(jié)論.并且當(dāng)食餌種群滅絕時，捕食者種群一定會滅絕.

本文僅對模型正解的存在唯一性及種群滅絕性進(jìn)行了研究，今后將對該模型的全局吸引性及其數(shù)值模擬等作進(jìn)一步探究.