翁日爾

（福鼎市實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 福鼎 355200）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》對(duì)“問題解決”明確提出要求：“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)?！逼渲小矮@得分析問題和解決問題的一些基本方法”的基礎(chǔ)與前提，就是要讓學(xué)生習(xí)得信息的處理方法，逐步形成較成熟的信息處理策略，以提升問題解決能力。

但在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)問題情境所呈現(xiàn)的信息讀取能力弱，觀察問題情境時(shí)大都是憑著自身固有的閱讀能力獲取信息、理解題意，基本未掌握正確的處理信息方法，對(duì)分析問題之前的信息處理方法的指導(dǎo)重視不足。實(shí)際上，在指導(dǎo)學(xué)生分析問題之前，對(duì)數(shù)學(xué)信息處理的方法指導(dǎo)是非常有必要的，它不僅能提升學(xué)生的問題解決能力，也能培養(yǎng)學(xué)生“以數(shù)學(xué)的眼光看待世界”的素養(yǎng)。

一、列表——梳理對(duì)應(yīng)信息

列表是收集、整理信息的常用方法，是分析問題的重要方法，也是學(xué)生問題解決過程中重要的思維方式。當(dāng)問題情境呈現(xiàn)的信息比較多時(shí)，就需要將對(duì)應(yīng)的信息梳理、排列出來，便于找到其中的關(guān)聯(lián)；或是將較復(fù)雜的信息按一定的標(biāo)準(zhǔn)分類，提煉問題中同一類的已知條件和所求問題，便于抽象出它們的共同特征。這樣的處理過程，比較適合用列表的方法。經(jīng)過列表處理后，可較清晰地理解題意，學(xué)生也較容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的關(guān)系。

（一）排列對(duì)應(yīng)信息，理清數(shù)量關(guān)系

問題情境大都是用文字?jǐn)⑹龅男问匠尸F(xiàn)。雖然語言描述、文字?jǐn)⑹鍪浅Ｓ玫男畔鬟f方式，但這樣的方式傳遞的信息可能比較雜亂，數(shù)量關(guān)系大都不突出，邏輯、線索不清晰，不利于學(xué)生抓住主要信息、分析問題、理清關(guān)系。［1］而列表就是對(duì)這種情況中的信息進(jìn)行重新整理，將信息對(duì)應(yīng)排列，變敘事性陳述為邏輯性表達(dá)，變單線思路為多線思路。

例1.某車間3 臺(tái)機(jī)器5 小時(shí)可加工零件300 個(gè)零件，照這樣計(jì)算，4 臺(tái)機(jī)器幾小時(shí)可加工零件480 個(gè)零件？

此題屬于“雙歸一”問題，解決問題的關(guān)鍵是找到單一量，難點(diǎn)是所求問題需要用到哪個(gè)數(shù)量關(guān)系、所列算式每一步表達(dá)什么意義。教師可引導(dǎo)學(xué)生先將信息按一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系排列好（如圖1），從第一行信息可得出“每臺(tái)每小時(shí)加工零件的個(gè)數(shù)”，形成表格（見圖2），再根據(jù)數(shù)量關(guān)系“每臺(tái)每小時(shí)加工的個(gè)數(shù)×臺(tái)數(shù)×小時(shí)數(shù)=總個(gè)數(shù)”解決本題。

圖1

圖2

（二）歸類對(duì)應(yīng)信息，促進(jìn)有序思考

分類的過程是不斷尋找標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生體會(huì)屬性，抓住本質(zhì)，對(duì)事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程；［2］讓學(xué)生逐漸經(jīng)歷由顯性的標(biāo)準(zhǔn)到隱性的標(biāo)準(zhǔn)，再到關(guān)系化的標(biāo)準(zhǔn)，由表及里、由淺入深、層層推進(jìn)的思維過程；也是對(duì)事物共同屬性的抽象過程。這種將對(duì)應(yīng)信息按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的方法，可以讓學(xué)生有序思考，有利于找到解決問題所需要的關(guān)聯(lián)信息、數(shù)量關(guān)系，方便問題的解決。

例2.從若干張5 元幣、2 元幣、1 元幣（每種至少有10 張），拿出10 元錢買鋼筆，一共有多少種不同的拿法？

經(jīng)過梳理后，所有信息按一定的順序分門別類，得到的表格（如表1）呈現(xiàn)出所有分類信息，一目了然，省卻大量繁雜的文字，問題解決過程水到渠成。

表1

列表是將關(guān)聯(lián)信息對(duì)應(yīng)排列后，便于對(duì)比觀察，理清數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系。表格是分類信息的外在表現(xiàn)形式，在很多情況下，只要將信息對(duì)應(yīng)排列，不畫出表格框線，也是列表策略的一種內(nèi)在體現(xiàn)。

二、圖示——具化抽象信息

幾何直觀能力［3］是人們利用實(shí)物、形體模型和圖形，生動(dòng)形象地描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題，展開豐富多彩的空間聯(lián)想，直觀地反映和揭示問題思路，形成表象，從而有效解決問題的一種認(rèn)知能力。小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，所以，幾何直觀能力是思考數(shù)學(xué)問題、發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)，是學(xué)生必備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。對(duì)問題情境進(jìn)行信息處理，幾何直觀通常通過圖示來體現(xiàn)。常見的圖示有線段圖、示意圖、模擬圖等，其主要作用就是通過圖示來描述、分析數(shù)量關(guān)系，將較繁雜數(shù)學(xué)信息以簡潔化、形象化，理清思路。線段圖比較常見，應(yīng)用也比較廣泛，下文重點(diǎn)介紹一些比較典型的圖示:

例3.五人一起參加象棋比賽，每兩人之間比賽一盤。甲乙賽了4 盤，乙賽了3 盤，丙賽了2 盤，丁賽了1 盤，問戊賽了幾盤？

此問題的各項(xiàng)信息之間不存在必然的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生很難用已掌握的數(shù)量來列式解決問題。即使用枚舉法一一列舉各種可能，也是相當(dāng)繁瑣的過程。而采用圖示法（如圖3），既能形象地表達(dá)出比賽的過程，還能在具體盤次的推理中得到問題的答案。

圖3

例4.平均數(shù)問題：兩組工人加工零件，甲組有30 人，人均加工60 個(gè)零件。乙組有25 人，共人均加工數(shù)比甲乙兩組平均數(shù)多6 個(gè)。兩組工人平均每人加工多少個(gè)零件？

此為比較復(fù)雜的平均數(shù)問題，不能直接用“兩組總數(shù)÷兩組總?cè)藬?shù)”的數(shù)量關(guān)系解決，只能用“移多補(bǔ)少”的方法，顯然比較復(fù)雜，需要用圖示將其中的關(guān)系直觀呈現(xiàn)出來。將較復(fù)雜的平均數(shù)問題用圖示法呈現(xiàn)（如圖4），可以讓學(xué)生比較清楚地看出：可以將乙組25 人比兩組平均數(shù)多的（25×6=150）個(gè)，補(bǔ)到甲組距離兩組平均數(shù)不足的部分，得出甲組平均數(shù)比兩組平均數(shù)少（150÷30=5）個(gè)，這樣就能算出兩組平均數(shù)是（60+5=65）個(gè)。

圖4

比較有趣的是，此圖示不僅直觀呈現(xiàn)出問題情境的所有信息，還將平均數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面圖形面積的問題，直接發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀能力，將抽象的觀念、內(nèi)容、方法直觀化、具象化，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想。

三、增減——明晰關(guān)鍵信息

本文前言中提到的學(xué)生容易忽略關(guān)鍵信息，或是找不到問題情境中的主要信息的現(xiàn)象，很重要的原因是有些問題情境呈現(xiàn)的信息偏多或偏少，學(xué)生不容易找到關(guān)鍵、有用的信息，造成解決問題的困難。因此，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有信息做一些必要的增補(bǔ)、刪減，使信息更完整、更清晰、更典型。

（一）增補(bǔ)隱性信息

受小學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與注意力水平的限制，他們關(guān)注的大多是問題情境中的數(shù)字信息，對(duì)文字?jǐn)⑹鏊P(guān)聯(lián)的語境、語言表達(dá)背后的意圖疏于關(guān)注或難以深入分析。比如“老師帶著20 位同學(xué)去公園玩”解決“購票”問題時(shí)常常只計(jì)20 人而忽略了老師。同樣，一些敘述比較簡練或在特殊語境中的概括性語言，對(duì)其背后隱藏的一些關(guān)鍵信息忽略或誤讀。

例5.水結(jié)成冰體積增加1/11，冰化成水體積減少幾分之幾？

解決“分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問題”，最關(guān)鍵的就是要找到單位“1”的量。本題所呈現(xiàn)的信息精煉，但不是諸如“一種量比另一種量多（少）幾分之幾”之類典型分?jǐn)?shù)問題的敘述方式。那么，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生增補(bǔ)適當(dāng)?shù)男畔?，使之?dāng)⑹龇绞礁湫汀Ｔ鲅a(bǔ)如下：“水結(jié)成冰，冰的體積比水多1/11；那么，冰化成水后，冰的體積比水減少幾分之幾？”這樣就比較容易找到單位“1”的量，就找到了解決問題的關(guān)鍵。

（二）刪減——去除冗余信息

有些問題情境追求還原生活環(huán)境，在敘述上比較詳細(xì)、具體，弊端就是導(dǎo)致學(xué)生摸不清關(guān)鍵詞，找不到重點(diǎn)內(nèi)容；或者，有些情境故意設(shè)置了一些不必要的冗余信息，讓學(xué)生從中搜取有用的必要信息。因此，教師可指導(dǎo)學(xué)生簡化已知條件、提煉關(guān)鍵信息。

例6.A、B 兩人，從相距20km 的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行。A 的速度是6km/h，B 的速度是4km/h。倘若陪同A 一起出發(fā)的還有一只小狗，小狗的速度是8km/h，其路徑方向也是朝向B，當(dāng)小狗遇到B 后便立刻回頭去找A，在碰到A 之后，又掉頭回去跑向B，直到A 與B 兩人相遇，求小狗一共跑了多少km？

對(duì)此，教師應(yīng)當(dāng)先指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行已知信息的簡化，通過分析可知，此問題除了A、B 外，還增加了一只小狗，而小狗在此過程中所花費(fèi)的時(shí)間實(shí)際上就是A 與B 兩個(gè)人相向而行所消耗的時(shí)間，所以教師引導(dǎo)學(xué)生首先去思考A 與B 兩人相遇需要花費(fèi)多長時(shí)間，然后根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”可得到所需時(shí)間。這樣在求解小狗所跑的路徑長度就變得簡單多了。已知:A、B 兩人相遇的時(shí)間=A、B 兩人經(jīng)過的路程之和÷A、B 兩人的速度之和，即20÷（6+4）=2h;小狗的速度是8km/h，小狗跑的路程=小狗的速度×所花費(fèi)的時(shí)間,而小狗所跑的時(shí)間實(shí)際上就是A 與B 相遇所花費(fèi)的時(shí)間。由此可知，小狗跑的路程就是8×2=16km。在此例題中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題目簡化，進(jìn)而整理出已知條件與關(guān)鍵點(diǎn)，通過求解A 與B 相遇所花費(fèi)的時(shí)間中完成問題的解答。

四、架構(gòu)，溝通關(guān)聯(lián)信息

數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)之間都有內(nèi)在聯(lián)系，具有結(jié)構(gòu)層次性。學(xué)習(xí)新知時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的、零散的已有知識(shí)喚醒并加以歸納、整理，使之條理清晰、綱舉目張。學(xué)生學(xué)會(huì)畫架構(gòu)圖或思維導(dǎo)圖、關(guān)系圖，有利于聯(lián)結(jié)知識(shí)間的關(guān)系，將散落的知識(shí)點(diǎn)“串成一條線”，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)問題解決的能力。

如在學(xué)習(xí)“折扣問題”時(shí)，學(xué)生對(duì)于諸如“進(jìn)價(jià)（成本價(jià)）”“售價(jià)”“定價(jià)”“優(yōu)惠價(jià)”“利潤”之類的概念容易混淆，進(jìn)而嚴(yán)重影響了問題解決。因此，教師很有必要引導(dǎo)學(xué)生基于實(shí)例架構(gòu)一個(gè)關(guān)系圖（如圖5），以結(jié)構(gòu)化的思想引導(dǎo)學(xué)生厘清各個(gè)概念、溝通關(guān)聯(lián)信息、理清數(shù)量關(guān)系。

圖5

教師邊解釋概念邊完善架構(gòu)圖：第一，如果“進(jìn)價(jià)”（成本價(jià)）為100 元，準(zhǔn)備以150 元賣出（此為“定價(jià)”），若成交，則此時(shí)的“定價(jià)”即為“售價(jià)”；第二，若久未成交，商家準(zhǔn)備打八折售出，則實(shí)際“售價(jià)”為120 元（“定價(jià)”150 元的80%）。此時(shí)，利潤為“售價(jià)120 元-進(jìn)價(jià)100 元=20 元”，利潤率為20÷100=20%；第三，剩余一些尾貨，商家準(zhǔn)備在原有售價(jià)120 元的基礎(chǔ)上再優(yōu)惠30%，優(yōu)惠價(jià)為原售價(jià)的70%，即120×（1-30%）=84 元。此時(shí)，商家虧本100-84=16 元，利潤為負(fù)值。結(jié)構(gòu)化教學(xué)將各類相關(guān)概念進(jìn)行系統(tǒng)性地溝聯(lián)，有利于學(xué)生以比較系統(tǒng)的視角、完整的視野整合、溝通相關(guān)知識(shí)，提升問題解決能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)中問題解決的方法非常多，但這些方法都內(nèi)隱在知識(shí)和知識(shí)的獲取過程中，內(nèi)隱在問題解決過程中，都是“緘默”的。正因其“緘默”，所以教師要讓信息處理方法可言傳、能操作，指導(dǎo)學(xué)生從問題情境的信息處理開始，掌握這些方法，讓內(nèi)隱的“緘默”顯性化，并且形成一定的處理策略，提升學(xué)生問題解決的能力。