馬 波，張 洪，朱月恒

(云南省地礦測繪院，云南 昆明 650218)

0 引言

隨著改革開放的不斷深化，中國的政治建設(shè)、經(jīng)濟建設(shè)、文化建設(shè)、基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、網(wǎng)絡(luò)建設(shè)以及城市化進程等領(lǐng)域經(jīng)歷了40多年的高速發(fā)展。在城市建設(shè)領(lǐng)域，大部分城市的國土部門和規(guī)劃部門都先后建立了各自體系內(nèi)的城市坐標系，以滿足其相關(guān)業(yè)務(wù)的順利開展。目前，隨著自然資源局的掛牌成立，原國土和規(guī)劃部門的并入，坐標系的不一致、原有基礎(chǔ)資料的共享利用、相關(guān)業(yè)務(wù)是否能順利開展成為了急待解決的問題。

我國西部地區(qū)的海拔較高，屬于高原地區(qū)，采用國家大地坐標系(CGCS2000)投影至橢球體面上的坐標不能滿足長度變形值不大于25 mm/km的要求(CJJ/T 8—2011《城市測量規(guī)范》中的基本規(guī)定第一條要求：城市平面坐標系的投影長度變形值不應(yīng)大于25 mm/km)[2]，需要將控制網(wǎng)邊長投影至某一高程面上，建立相對獨立的城市坐標系。

在不考慮高斯投影變形的前提下，簡化后的每千米高程投影變形公式為：

(1)

式中：H為大地高；R為CGCS2000框架下地球橢球的平均曲率半徑。

通過式(1)計算可得表1結(jié)果。

表1 投影變形對比表Tab.1 Comparison of projection deformation

從表1可以看出：對于海拔高高于150 m的城市，不能直接采用國家大地坐標系作為城市坐標系，必須建立與國家大地坐標系有關(guān)聯(lián)的城市獨立坐標系，以滿足城市建設(shè)中規(guī)劃、設(shè)計、施工、驗收、變形監(jiān)測等需要。建立獨立坐標系時，可根據(jù)城市所在地理位置、海拔高度、投影變形值等因素綜合考慮中央子午線經(jīng)度和抵償高程面高程值。

1 中央子午線和抵償高程面的選取

1.1 任意3度帶抵償面高斯投影坐標系

從式(1)可知，高程投影變形值恒為負數(shù)，通過高斯投影公式可知高斯投影變形值恒為正數(shù)，故二者可相互抵消，建立城市坐標系宜采用“任意3度帶抵償面高斯投影坐標系”[2-5]。

通常情況下，選擇城市中心作為中央子午線位置，選擇平均海拔高程作為抵償高程面高程。但是，根據(jù)筆者多年的工作經(jīng)驗和大量的實踐證明，如不進行嚴密的公式推導和計算以及大量算例數(shù)據(jù)的驗證，就確定中央子午線經(jīng)度和抵償高程面的值，是不可取的。中央子午線和抵償高程面的選擇需要結(jié)合城市的地形地貌及建設(shè)發(fā)展情況，通過嚴密公式精確計算出不同地理位置的投影變形值，并綜合考慮抵償高程面與偏離中央子午線Y坐標的關(guān)系式，最終確定中央子午線經(jīng)度和主投影面高程，達到利用一個投影面控制面積最大化的要求。

1.2 投影變形

1.2.1 高程投影變形

如圖1所示，可推導出各參考面邊長與參考橢球半徑、大地高、正常高、高程異常的關(guān)系。設(shè)地球表面觀測所得邊長為S，抵償高程面邊長為S0，Hm為大地高，H0為高程抵償投影面的正常高，hm為參考橢球的高程異常，Δh為地面點高出抵償投影面的高差，R為參考橢球的平均曲率半徑。根據(jù)相似三角形原理，可得：

圖1 橢球參考面關(guān)系圖Fig.1 Relationship of ellipsoidal reference surface

(2)

如圖1所示，可得Hm=H0-hm+Δh。

由式(2)可推導出：

(3)

將式(3)按照牛頓二項式定理[3]進行展開，取至前四項，可得到毫米級精度的高程投影長度比公式，設(shè)高程投影長度比為m1，公式可寫為：

(4)

1.2.2 高斯投影變形

本文要討論的是球面坐標投影至高斯平面直角坐標后的投影變形情況，并推導出高斯投影長度比公式?？赏ㄟ^高斯投影正算公式推導出高斯投影長度比公式。

高斯投影正算公式中的第二式[4]：

cos5B(5-18t2+t4+14η2-58η2t2)l″5

(5)

(6)

式(6)即為高斯投影長度比公式，其中，ym為兩點間的Y坐標平均值，Δy為兩點間的Y坐標差值，R為平均曲率半徑。

1.2.3 投影變形公式

某一橢球面上的邊長經(jīng)高程投影和高斯投影至高斯平面上，其邊長投影長度比為：

(7)

投影后的長度變形為(1-m1×m2)；按《城市測量規(guī)范》的要求，投影后長度變形要求滿足“每公里變形不大于±25 mm”，令式(7)的右邊為“±25”，式(7)的左邊為“投影長度變形×1 000 000”，即可得到每千米邊長的投影變形公式：

(1-m1×m2)×1 000 000=±25

(8)

可以看出式(8)是一個以Δh和ym為變化量的二元函數(shù)，Δh為高出抵償面的高差，ym為偏離中央子午線Y坐標值，為了方便研究式(8)的性質(zhì)和圖像，m1、m2只取其第一項，即可得到邊長投影長度變形公式的簡化公式，即：

(9)

式中：R、H0、hm均為常數(shù)，設(shè)(R+H0-hm)=B，2R2=C；則式(9)可寫為：

(10)

以CGCS2000地球橢球為例，橢球平均曲率半徑R=6 202 279 m，由于高程抵償面H0和參考橢球高程異常hm兩個數(shù)值涉密，故在此不列出具體值，直接代入計算，可得式(10)中B=6 204 100 m，C=2R2=7.693 652 95913m。將B、C的值代入式(10)，可得到以Δh和ym為變化量、投影變形值為±25 mm的投影變形公式。

1.3 投影變形曲線圖

為了進一步研究式(10)的圖像及性質(zhì)，在此定義坐標軸。以Δh變化的方向為坐標縱軸，以ym變化的方向為坐標橫軸。在此坐標軸下，取一些特征值，使之滿足式(10)，可繪制出變形值為±25 mm的投影變形曲線圖，如圖2所示。

圖2 投影變形曲線圖Fig.2 Projection deformation curve

如圖2所示，圖中下方拋物線為“投影變形值為-25 mm”的曲線圖，上方拋物線為“投影變形值為+25 mm”的曲線圖。

綜上所述，建立城市坐標系時，可根據(jù)圖2的雙曲線選取中央子午線經(jīng)度和抵償高程面高程，“中央子午線經(jīng)度”應(yīng)選取在城市中心位置偏西20 km左右，“抵償高程面高程”應(yīng)選取低于城市平均高程100 m至150 m；如需要精準到具體鄉(xiāng)鎮(zhèn)和位置，可提取Y坐標值和高程值，代入投影變形公式進行精確計算。如此反復選取和計算，可最終確定中央子午線經(jīng)度和抵償高程面高程，以及其控制的范圍。

2 縱、橫坐標加常數(shù)的選取

大地坐標轉(zhuǎn)換為高斯投影坐標時，通常以赤道作為坐標橫軸，中央子午線經(jīng)線為坐標縱軸，由于中國處在北半球，投影后X坐標恒為正值，故X坐標的加常數(shù)一般設(shè)為 0 m；為了讓Y坐標值不出現(xiàn)負數(shù)，Y坐標加常數(shù)一般設(shè)為500 km，這是一般的做法。

然而，根據(jù)筆者多年工作經(jīng)驗證明，如果城市坐標系也采用國家標準的坐標加常數(shù)，則兩種坐標成果放在一起使用時，城市坐標系就沒有一個較好的辨識度，也存在一定的用錯坐標的隱患。為進一步說明此問題，給出如下算例：設(shè)T01點的大地經(jīng)緯度分別為“25°01′46.25845″、102°47′52.10156″，經(jīng)過3度帶高斯投影后，不同坐標系的直角坐標如表2所示。

表2 國家標準坐標系成果表Tab.2 Results of national standard coordinate systems

從表2可看出，同一點的3種坐標系(1954年北京坐標系、1980西安坐標系、CGCS2000)坐標的相似度較高，一般技術(shù)人員在使用時比較容易混淆。假設(shè)所選取的中央子午線經(jīng)度與標準3°帶經(jīng)線相差1°，經(jīng)計算投影后的Y坐標大約相差“106 200 m”(按每秒29.5 m計算，此值根據(jù)橢球半軸近似計算可得)；再經(jīng)抵償高程面投影改化后，其X坐標和Y坐標的變化值都不大；即各個坐標系高斯直角坐標值的辨識度不高。

綜上所述，建議在建立城市坐標系時，高斯投影的縱、橫坐標加常數(shù)都應(yīng)考慮一個適當?shù)臄?shù)值，不應(yīng)該(不用一刀切)采用與國家標準坐標系一樣的處理方法(橫坐標值加500 km)；加常數(shù)的選取應(yīng)充分考慮與其他坐標系(1954年北京坐標系、1980西安坐標系、CGCS2000)的辨識度，以便在使用過程中能夠清晰、準確地辨認。

3 坐標成果的使用及坐標轉(zhuǎn)換

城市坐標系一旦建立，并形成控制全市域范圍的首級控制網(wǎng)，其控制網(wǎng)點的成果應(yīng)形成一套完整的體系。即同一坐標系下，應(yīng)具備3種不同形式的控制網(wǎng)點成果，且連同高程成果一并納入。3種形式的坐標成果是：大地坐標(緯度B、經(jīng)度L、大地高H)，空間直角坐標(X、Y、Z)，高斯投影直角坐標(X北坐標、Y東坐標、H正常高)。這3種坐標成果可通過高斯投影正、反算公式相互轉(zhuǎn)換獲得，此處不再累述。

在各個坐標系之間，為了獲得嚴密的轉(zhuǎn)換關(guān)系(參數(shù))，應(yīng)采用七參數(shù)轉(zhuǎn)換法，數(shù)學模型為布爾沙模型[1，5]，計算公式為：

(11)

實踐證明，如果控制點成果或地理信息數(shù)據(jù)的范圍大于10 km2，應(yīng)采用“布爾沙模型”的七參數(shù)轉(zhuǎn)換法，才能夠獲得較高精度且分布均勻的轉(zhuǎn)換參數(shù)。以下算例是150 km2范圍的四等控制網(wǎng)，采用網(wǎng)內(nèi)18個控制網(wǎng)點進行七參數(shù)和四參數(shù)計算；采用網(wǎng)內(nèi)9個和網(wǎng)外6個同等級點進行精度檢核。七參數(shù)轉(zhuǎn)換法和四參數(shù)轉(zhuǎn)換法的精度統(tǒng)計對比情況見表3-6。

表3 七參數(shù)轉(zhuǎn)換法殘差分布表Tab.3 Residual error distribution of seven-parameters conversion method

表4 四參數(shù)轉(zhuǎn)換法殘差分布表Tab.4 Residual error distribution of four-parameters conversion method

表5 內(nèi)符合精度對比表Tab.5 Comparison of inside precision

經(jīng)過以上算例的對比，可得出“布爾沙模型”的七參數(shù)轉(zhuǎn)換法的優(yōu)點：

1)轉(zhuǎn)換精度較高、殘差分布均勻；

2)具有高程擬合的效果，網(wǎng)內(nèi)高程精度可達到“圖根水準”的要求；

表6 外符合精度對比表Tab.6 Comparison of outside precision

3)根據(jù)外符合精度的分析，“布爾沙模型”的七參數(shù)轉(zhuǎn)換法具有更高的穩(wěn)定性。因此，對于大型(大面積)區(qū)域的坐標轉(zhuǎn)換，建議采用“布爾沙模型”的七參數(shù)轉(zhuǎn)換法。

4 結(jié)束語

本文通過公式推導和算例分析，旨在說明建立城市坐標系至少需要綜合考慮3個方面的因素：中央子午線經(jīng)度和抵償高程面的選??；坐標加常數(shù)的目的和意義；坐標成果的使用及坐標系的轉(zhuǎn)換問題。由此保證城市坐標系統(tǒng)的完整性、嚴密性和可靠性，這樣在實際應(yīng)用時才能獲得高精度數(shù)據(jù)，成果也便于使用。