薛艷昉, 朱新才

(信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 信陽 464000)

1.引言

考慮如下一類擬線性薛定諤方程

其中V(x)是位勢函數(shù),g(x,u)是非線性項(xiàng).方程(1.1)描述的是高功率超短激光通道模型.關(guān)于擬線性薛定諤方程的駐波解的研究是目前的熱點(diǎn)之一.[3,8,10]但到目前為止, 針對方程(1.1)的結(jié)果不多.[1?2,4?6,9,11?12,14]其中文[2]在徑向位勢下, 借助Jeanjean的單調(diào)技巧得到一個(gè)正解; 文[4]在勢井位勢下, 通過擾動方法得到一個(gè)正的基態(tài)解.文[5]在周期位勢下, 通過山路引理, 得到一個(gè)正解; 文[9]在勢井位勢下, 討論非線性項(xiàng)滿足臨界的Berestycki-Lions 條件時(shí), 借助Pohozaev恒等式得到一個(gè)非平凡的基態(tài)解.上述文獻(xiàn)中, 有非線性項(xiàng)g(x,u)是冪函數(shù)的情形,[1,4,14]也有考慮g(x,u)是自治的情況, 即g(x,u)的表達(dá)式與x無關(guān)[2,11?12], 而當(dāng)非線性項(xiàng)g(x,u)非自治時(shí), 要求g(x,u)滿足某種單調(diào)性條件[5?6].而且很多文獻(xiàn)中g(shù)(x,u)滿足的條件與后面的變換(2.1)中涉及的函數(shù)f有關(guān)(見文[10-11]), 驗(yàn)證起來不太方便.鑒于此, 我們考慮g(x,u) =Q(x)|u|p?2u的情形,g(x,u)非自治, 不需要單調(diào)性條件且Q(x)的條件與后面的變換f無關(guān).即討論如下擬線性薛定諤方程

其中p>2, N ≥3,Q(x)滿足如下條件:

(Q)Q(x)∈C(RN,R), infx∈RN Q(x)=lim|x|→∞Q(x)=Q∞>0.

我們的主要結(jié)論如下:

定理1若Q(x)滿足條件(Q),p,γ滿足p ≥4,γ >0或者2< p <4,0< γ <則方程(1.2)存在非平凡解.

注1.1為簡便起見, 我們將積分∫RN h(x)dx簡記為∫RN h(x), 將Sobolev空間H1(RN)簡記為H.

2.預(yù)備知識

從形式上看, 方程(1.2)所對應(yīng)的能量泛函為:

借鑒文[3, 10]中的證明思想, 首先做變量替換v:=其中f的定義如下:

將上述變換帶入J(u), 得到下面的泛函

則I在H上有定義, 且I(v) =J(u) =J(F?1(v)).在假設(shè)條件(Q)下,I ∈C1(H,R)并且如果v是I的臨界點(diǎn), 那么u=F?1(v)是方程(1.2)的解(見文[3, 10]).

下面給出F?1,f的相關(guān)性質(zhì), 其具體的證明見文[11].

引理1函數(shù)F?1,f滿足下列性質(zhì):

定理1的證明主要用到下面的山路引理.

引理2(山路引理) 設(shè)E是實(shí)的Banach空間,S是E的閉子集, 并且將E分成E1,E2兩個(gè)不同的連通分支.如果I ∈C1(E,R)滿足下面的山路幾何結(jié)構(gòu):

(i) 0∈E1并且存在ρ>0,α>0, 使得I|S ≥α>0;

(ii) 存在e ∈E2,‖e‖>ρ, 使得I(e)<0.

那么存在序列{un}?E滿足:

其中c=infγ∈Γmaxt∈[0,1]I(γ(t)), Γ={γ ∈C([0,1],E):γ(0)=0,γ(1)=e}.

我們稱滿足(2.2)的序列{un}為泛函I的(PS)c序列.

3.主要結(jié)果的證明

定理1的證明我們分四步來完成定理1的證明.

第一步, 證明泛函I滿足山路幾何結(jié)構(gòu)(i).

對任意v ∈H, 根據(jù)條件(Q), 引理1中2)可得

其中M= maxx∈RN Q(x),Sp= infv∈H‖v‖表示v在Sobolev空間H中的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù),‖v‖p表示v在Lp(RN)中的范數(shù).因?yàn)閜>2, 所以得到泛函I滿足山路幾何結(jié)構(gòu)(i).

第二步, 證明泛函I滿足山路幾何結(jié)構(gòu)(ii).

根據(jù)條件(Q)以及引理1中2)得

取e=t0v, 當(dāng)t0>0足夠大時(shí), 得到泛函I滿足山路幾何結(jié)構(gòu)(ii).

第三步, 證明I的每個(gè)(PS)c序列有界.

由第一步和第二步的證明, 結(jié)合引理2知, 泛函I存在(PS)c序列.設(shè){vn} ?H是I在臨界水平c>0處的(PS)c序列, 即

也就是

并且對任意的φ ∈H, 有

選取φ=φn=F?1(vn)f(F?1(vn)),由引理1中2)5)可得|φn|≤C|vn|并且

因此φn ∈H.注意到{vn}?H是(PS)c序列, 故有

由引理1中5)知,

當(dāng)p ≥4,γ >0時(shí),0,h(γ)>0, 故有

當(dāng)2

由(3.2),(3.3),(3.4)以及引理1中2)知,‖vn‖有界.這樣就完成了第三步的證明.

第四步, 證明方程(1.2)有一個(gè)非平凡解.

由F?1,f的性質(zhì)及勒貝格控制收斂定理可以證明, 當(dāng)n →∞時(shí), 有〈I′(vn),φ〉 →〈I′(v),φ〉.又因?yàn)楫?dāng)n →∞時(shí), 有I′(vn)→0, 所以v是方程(1.2)的一個(gè)弱解.

若v0, 則定理1得證.

若v=0, 則{vn}也是I∞的(PS)c序列(見文[10]), 其中

首先證明: 存在α,R>0,{yn}∈RN, 使得

反證法, 假設(shè)對任意R>0, 有

則由Lions緊性引理(見文[13]中的引理1.21), 有vn →0于Lq(RN)(2< q <2?).再根據(jù)條件(Q)和引理1中3)得

且

一方面, 由引理1中2)3), 任意?>0, 存在δ >0, 使得當(dāng)|vn(x)|<δ時(shí), 有

另一方面,由引理1中2)4)知

根據(jù)(3.8), (3.9)以及?的任意性, 有

由(3.6), (3.10)可得

由(3.7), (3.11)可得, 當(dāng)n →∞時(shí), 有I(vn)→0, 與limn→∞I(vn)→c>0矛盾, 故(3.5)成立.

定義wn(x) :=vn(x+yn), 因?yàn)閧vn}是I∞的有界(PS)c序列, 而I∞具有平移不變性, 所以{wn}也是I∞的有界(PS)c序列.又因?yàn)?3.5)式成立, 所以存在函數(shù)w0,w ∈H使得wn ?w于H.類似前面的討論可得(w)=0.根據(jù)(3.3), (3.4)以及Fatou引理, 有

故0是I∞的臨界點(diǎn), 且I∞(w)≤c.定義山路水平c∞= infγ∈Γ∞maxt∈[0,1]I∞(γ(t)),其中?！?{γ ∈C([0,1],H) :γ(0) = 0,γ(1)0,I∞(γ(1))<0}.類似文[7]中的討論, 我們可以得到一條道路γ:[0,1]→H滿足

由c∞的定義可知

若Q(x)≡Q∞, 定理1得證.

若Q(x)≥Q∞且Q(x), 則由γ(t)∈?！?Γ得

矛盾！

綜上, 泛函I有非平凡的臨界點(diǎn), 從而方程(1.2)存在非平凡的解.定理1證畢.

關(guān)于擬線性薛定諤方程的可解性還有很多值得思考的問題, 例如: 在非線性項(xiàng)滿足更弱的Berestycki-Lions條件下, 是否也有非平凡解或者基態(tài)解的存在性？針對擬線性薛定諤方程是否可以類似文[15-16]考慮分?jǐn)?shù)維的情形？這些都值得我們?nèi)プ鲞M(jìn)一步的研究.