馬一帆 ，陳 強(qiáng) ，潘佳煊 ，虞 浪 ，錢孟波

（浙江農(nóng)林大學(xué)光機(jī)電學(xué)院，浙江 杭州 311300）

運(yùn)動(dòng)副兩構(gòu)件元素之間不可缺少的介質(zhì)空間被稱為運(yùn)動(dòng)副間隙，此處介質(zhì)可以為空氣、潤滑油甚至真空，運(yùn)動(dòng)副間隙是機(jī)構(gòu)間可以進(jìn)行相對移動(dòng)、機(jī)械系統(tǒng)自由度不為零的必要條件。此外，由于制造加工與裝配誤差、機(jī)械剛性或柔性變形、熱變形等問題也會(huì)造成間隙值在一定范圍內(nèi)變化[1]。因此，在設(shè)計(jì)中通常采取設(shè)定公差的方式對運(yùn)動(dòng)副間隙的存在進(jìn)行提前考慮。

間隙運(yùn)動(dòng)學(xué)是由現(xiàn)代先進(jìn)機(jī)械對高位置精度、高運(yùn)行速度、高工作強(qiáng)度、高可靠性、高經(jīng)濟(jì)性以及復(fù)雜多變的工作環(huán)境等要求共同促成的，已經(jīng)成為力學(xué)、機(jī)械工程、航空航天工程、車輛工程等眾多理工科領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[2]。間隙運(yùn)動(dòng)學(xué)在很多領(lǐng)域是多體動(dòng)力學(xué)發(fā)展的進(jìn)一步延伸，例如文獻(xiàn)[3]，對于機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)預(yù)測在考慮運(yùn)動(dòng)副間隙以后會(huì)變得更加準(zhǔn)確合理，同時(shí)也揭示了含間隙多體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的突出特征是變結(jié)構(gòu)、含碰撞、非線性、非連續(xù)。本文將間隙運(yùn)動(dòng)副理論引入農(nóng)業(yè)機(jī)械的平行四桿深度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)中用于提高機(jī)械的設(shè)計(jì)精度，使用Poincare理論對結(jié)果進(jìn)行混沌現(xiàn)象的定性[4]，再對具有混沌現(xiàn)象的非線性結(jié)果進(jìn)行分析，分析出設(shè)計(jì)中重要的角度值與公差值[5]。

1 主要工作內(nèi)容

1.1 工作內(nèi)容概況

本文選取農(nóng)用機(jī)械中的平行四桿深度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)為研究對象，主要工作內(nèi)容分為兩個(gè)部分：一部分是基于Adams軟件平臺(tái)進(jìn)行的含間隙運(yùn)動(dòng)副函數(shù)子程序二次開發(fā)，一部分是平行四桿深度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的模型創(chuàng)建、仿真及結(jié)果分析。主要步驟如圖1所示。

圖1 含間隙分析流程圖

1.2 含間隙運(yùn)動(dòng)副混合接觸力模型選取

從20世紀(jì)70年代開始，國內(nèi)外學(xué)者為了能夠精準(zhǔn)描述運(yùn)動(dòng)副間隙在實(shí)際工作中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，建立了一系列間隙運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般將法向接觸力模型分為三類：間隙運(yùn)動(dòng)副連續(xù)接觸模型[6]、間隙運(yùn)動(dòng)副經(jīng)典碰撞模型（三狀態(tài)模型）[7-8]、間隙運(yùn)動(dòng)副連續(xù)接觸力模型（二狀態(tài)模型）[9]。

本文采用二狀態(tài)間隙法向接觸力模型進(jìn)行子程序二次開發(fā)，間隙運(yùn)動(dòng)副連續(xù)接觸力模型將間隙運(yùn)動(dòng)副構(gòu)件間的彼此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)根據(jù)邊界條件分為自由分離階段和接觸碰撞階段兩類，所以又稱為二狀態(tài)模型。與三狀態(tài)模型相比最顯著的特征是所劃分的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)少了一個(gè)，但最本質(zhì)的區(qū)別則是建模所基于的平衡方程參數(shù)不同。二狀態(tài)模型基于力的約束來構(gòu)建平衡方程，每次構(gòu)件的相互接觸在開始和結(jié)束的時(shí)刻，其接觸位置的接觸力和形變量都為零，且過程中兩個(gè)量連續(xù)變化。該類模型的接觸區(qū)域是柔性的，穿刺深度和接觸力成非線性函數(shù)關(guān)系，可以計(jì)算出阻尼力、摩擦力、接觸力、形變速度、形變量等數(shù)據(jù)，是目前應(yīng)用最多的間隙動(dòng)力學(xué)模型。因此，本文選擇二狀態(tài)模型中使用較多的L-N模型對平行四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行含間隙動(dòng)力學(xué)仿真。

這類模型同時(shí)也存在著缺陷。一方面，需要頻繁地判斷接觸的發(fā)生與接觸類型，使得用于計(jì)算的數(shù)值方法必須在保持收斂的條件下具備高精度結(jié)果和高計(jì)算效率。另一方面，這類模型的計(jì)算精度并沒有三狀態(tài)模型精確。但對于難以計(jì)算界定臨界狀態(tài)的三狀態(tài)方法和較為古老的經(jīng)典模型而言，二狀態(tài)模型無論在計(jì)算效率還是結(jié)果精度上都有無法比擬的優(yōu)勢。

其中，δ˙(-)為初始碰撞速度，K為接觸剛度，ce為恢復(fù)系數(shù)，δ為穿刺深度。

關(guān)于混合接觸力模型中切向接觸力的部分。本文的含間隙碰撞接觸力模型中切向力部分沿用了經(jīng)典的庫倫接觸力摩擦模型，此種模型的主要影響變量是法向接觸力和摩擦系數(shù)。但是該模型用于本文的接觸力模型計(jì)算中是存在問題的，上文已經(jīng)說明在二狀態(tài)模型中位移和力是處于連續(xù)變化狀態(tài)的，但是庫倫模型存在不連續(xù)性，在高頻接觸-分離中大量的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算收斂性降低[10]。另外，隨著摩擦研究的發(fā)展，學(xué)者發(fā)現(xiàn)庫倫模型對材料屬性、外界影響、黏滑現(xiàn)象考慮不足，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果存在偏差[11-12]。雖然眾多學(xué)者在此方面進(jìn)行了研究，但是目前沒有一個(gè)完善的方法，需要進(jìn)一步研究。

1.3 含間隙平行四桿機(jī)構(gòu)模型創(chuàng)建

進(jìn)行構(gòu)件含間隙動(dòng)力學(xué)分析首先必須進(jìn)行間隙運(yùn)動(dòng)副子函數(shù)的二次開發(fā)，其過程分為四個(gè)步驟：

第一步：編寫F語言程序，模板程序中主要包含五個(gè)部分，外部變量定義、局部變量、參數(shù)定義、可執(zhí)行代碼、將可讀的變量名分配給傳遞的參數(shù)并調(diào)用SYSARY采集參數(shù)。

1）外部變量定義模塊為定義變量在計(jì)算機(jī)中儲(chǔ)存位置和儲(chǔ)存格式的模塊。外部變量定義模塊如圖2所示。

圖2 外部變量定義模塊

2）局部變量為實(shí)現(xiàn)設(shè)定好的計(jì)算變量，一部分的具體數(shù)值只可在程序中進(jìn)行修改，包括π值、指數(shù)e等。另一部分是計(jì)算中出現(xiàn)的定義變量，包括兩構(gòu)件尺寸、穿刺量、接觸點(diǎn)位置角等。

3）參數(shù)定義模塊與導(dǎo)入Adams后的用戶輸入?yún)?shù)界面相對應(yīng)，包含18個(gè)需要在仿真前用戶根據(jù)所計(jì)算運(yùn)動(dòng)副情況自主輸入的變量值，包括孔軸構(gòu)件的模型編號(hào)、孔軸半徑、法向接觸力等。

4）可執(zhí)行代碼為程序段的核心內(nèi)容，其中包括了二維、三維接觸及摩擦速度的判斷代碼，摩擦模式的判斷代碼，軸向接觸力、徑向接觸力、摩擦力計(jì)算代碼等核心代碼。

5）將可讀的變量名分配給傳遞的參數(shù)，調(diào)用SYSARY采集參數(shù)模塊為功能模塊，主要服務(wù)于計(jì)算程序中變量名的傳遞和數(shù)據(jù)賦值。

第二步：使用VS平臺(tái)對編寫的gfosub.f程序包進(jìn)行編譯，并將編譯后形成的gfosub.dll文件加載進(jìn)入Adams的函數(shù)庫完成對運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真平臺(tái)的二次開發(fā)。VS平臺(tái)編譯窗口如圖3所示。編譯過程如下。

圖3 VS平臺(tái)編譯窗口

1）首先需要編譯完成的f代碼，得到目標(biāo)文件（*.obj）。然后還需生成動(dòng)態(tài)鏈接庫文件（*.dll）。

2）將生成的dll文件加入到Adams庫中。

第三步：在Solidworks平臺(tái)中進(jìn)行對象建構(gòu)，也就是平行四桿深度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的三維模型建立工作，并將其導(dǎo)入至Adams平臺(tái)中添加約束與驅(qū)動(dòng)，播深調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)模型如圖4所示。此處需要使用自主編寫的子函數(shù)間隙旋轉(zhuǎn)副替代軟件平臺(tái)中自帶的旋轉(zhuǎn)副函數(shù)，主要步驟是在運(yùn)動(dòng)副銷構(gòu)件軸向兩端中心點(diǎn)添加一對一般力矢量并在孔軸構(gòu)件之間添加相互作用力。將仿真設(shè)置中執(zhí)行欄目下的求解庫改為C:/mysubroutine/gfosub.dll，并將一般力矢量的定義使用改為“子程序”，此時(shí)可以在用戶參數(shù)輸入根據(jù)程序定義輸入對應(yīng)計(jì)算參數(shù)量。一般力矢量用戶參數(shù)輸入界面如圖5所示。

圖4 播深調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)模型

圖5 一般力矢量用戶參數(shù)輸入界面

第四步：仿真參數(shù)設(shè)置，此處需要設(shè)置的仿真參數(shù)主要為仿真步長、仿真階數(shù)、最大迭代次數(shù)等變量。

2 結(jié)果與討論

2.1 含間隙平行四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)混沌現(xiàn)象

Poincare映射是對運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)是否具有混沌現(xiàn)象進(jìn)行定性分析的重要方法[4]，混沌理論描述了物體運(yùn)動(dòng)的不可預(yù)測性，對非線性系統(tǒng)意義非凡，產(chǎn)生混沌現(xiàn)象表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到影響。因此，本文使用Poincare映射對加入間隙后的深度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)角加速度數(shù)據(jù)結(jié)果和X方向軸心軌跡結(jié)果進(jìn)行分析，佐證在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)中考慮間隙的科學(xué)意義。

Poincare映射指多維相空間中選取一個(gè)適當(dāng)截面賦予共軛狀態(tài)變量，此截面稱為Poincare截面，將各Poincare截面點(diǎn)作為離散點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)，觀察形成的相軌跡線即可找出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。對于作周期運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)而言，在各個(gè)周期的相同時(shí)刻進(jìn)行取點(diǎn)，將一個(gè)周期作為一個(gè)Poincare截面，選取的時(shí)刻與對應(yīng)變量組成共軛狀態(tài)變量繪制圖形。本文分別對角速度（圖6a）和X方向中心點(diǎn)位移（圖6c）進(jìn)行Poincare映射圖繪制，由于Poincare映射對周期數(shù)具有一定要求，將仿真進(jìn)行了120周期運(yùn)行，每周期約2 500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，選取每個(gè)周期的第1 500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為Poincare截面，各點(diǎn)組成共軛狀態(tài)量（xk，ωk）與（xk，Xk），其中k表示周期數(shù)，x表示對應(yīng)時(shí)間點(diǎn)坐標(biāo)，ω表示對應(yīng)角速度坐標(biāo)，X表示對應(yīng)位移坐標(biāo)。除折線連接以外使用6次多項(xiàng)式對共軛點(diǎn)進(jìn)行擬合繪制，如圖6（b）與圖6（d）所示。

圖6 Poincare映射圖

從上圖可以看出，無論是位移還是角速度的Poincare映射結(jié)果折線圖都不在一條直線上，6次多項(xiàng)式擬合結(jié)果也顯示多項(xiàng)式系數(shù)與首項(xiàng)系數(shù)偏差較遠(yuǎn)，不是線性擬合曲線，這表明在加入間隙后仿真結(jié)果不具有周期解，運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

2.2 旋轉(zhuǎn)副間隙大小及轉(zhuǎn)速對動(dòng)力學(xué)特性的影響

間隙值是影響機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)表現(xiàn)的重要參數(shù)之一，圖7是在變間隙的影響下，以固定0.125 r/s的驅(qū)動(dòng)速度進(jìn)行仿真計(jì)算，去除了最初5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)并對數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行等間距取值后的Y軸映射結(jié)果圖。從圖中可知，運(yùn)動(dòng)副間空間的存在加大了啟動(dòng)階段的運(yùn)動(dòng)副非線性變化，尤其是前1.25 s時(shí)間段內(nèi)。此后，運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)明顯減小，說明在機(jī)構(gòu)行進(jìn)角度至56.25°之后，兩運(yùn)動(dòng)副元素由于垂直地面作用力的關(guān)系，相互運(yùn)動(dòng)空間被壓縮，力的非線性變化程度可以被認(rèn)為是相互運(yùn)動(dòng)自由程度的一種表現(xiàn)，此后的運(yùn)動(dòng)將存在卡死的風(fēng)險(xiǎn)，尤其是在運(yùn)動(dòng)角度α大于75°，也就是運(yùn)行至1.5 s時(shí)，力的非線性度降低和接觸力整體提升進(jìn)一步加劇。

圖7 間隙對接觸力的影響圖

由以上數(shù)值計(jì)算結(jié)果可得，在設(shè)計(jì)過程中，將α設(shè)置為60°較為合適，間隙值控制在0.1 mm附近時(shí)對機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)影響較小，也不會(huì)造成成本的過度增加。

圖8 是間隙大小為0.1 mm，驅(qū)動(dòng)速度設(shè)為0.125 πrad/s～1 πrad/s時(shí)，銷軸的軸心三維運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，其中Z軸方向是銷軸的運(yùn)動(dòng)軸向，X軸和Y軸是銷軸的運(yùn)動(dòng)徑向，為便于觀察軌跡圓的徑向運(yùn)動(dòng)圖形，對三維軌跡的徑向進(jìn)行投影，在底面繪制二維軌跡圓。

圖8 不同運(yùn)行速度下銷中心點(diǎn)的空間運(yùn)行軌跡圖

從圖中可以看出，驅(qū)動(dòng)速度的不同不會(huì)影響整體的運(yùn)動(dòng)趨勢。第一步，銷構(gòu)件受重力作用下墜，與孔構(gòu)件在垂直方向底部首次碰撞并發(fā)生回彈。第二步，由于主動(dòng)件傳力的作用，軸心點(diǎn)移動(dòng)向遠(yuǎn)離主動(dòng)件一側(cè)，背離主軸移動(dòng)。第三步，在所受合力及慣性的作用下，軸心點(diǎn)移動(dòng)接近近地點(diǎn)，期間兩構(gòu)件連續(xù)接觸。驅(qū)動(dòng)速度的增加將導(dǎo)致初次回彈軌跡幅度加深，表明了初次碰撞激烈程度的提升。設(shè)定極限強(qiáng)度時(shí)必須考慮設(shè)計(jì)的理論運(yùn)行速度，同時(shí)，由于更大的驅(qū)動(dòng)速度將帶來更大的穿刺量，且最大穿刺必定發(fā)生在相對固定的位置，因此會(huì)對軸銷構(gòu)件的圓度產(chǎn)生較大的影響。

3 總結(jié)與展望

在考慮了運(yùn)動(dòng)副間隙以后，可以明顯地觀察到平行四桿深度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)特性出現(xiàn)了難以控制的非線性特征。由于使用了二狀態(tài)模型進(jìn)行仿真，可以直觀地展現(xiàn)力的變化和穿刺現(xiàn)象。通過分析結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

1）考慮間隙后，機(jī)構(gòu)將產(chǎn)生非線性振動(dòng)現(xiàn)象，經(jīng)過本文的定性證明，含間隙機(jī)構(gòu)的振蕩具有混沌現(xiàn)象的特點(diǎn)。

2）為保證機(jī)構(gòu)工作的可靠性和機(jī)械制造的經(jīng)濟(jì)性，平行四桿深度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的間隙公差應(yīng)控制在0.08 mm左右。

3）平行四桿機(jī)構(gòu)活動(dòng)角α設(shè)計(jì)為60°是合理的，可以將構(gòu)件的位置精度誤差控制在一個(gè)合理的范圍內(nèi)，避免機(jī)構(gòu)卡死的發(fā)生，同時(shí)小于90°，不改變設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)趨勢。

4）本文的結(jié)果證明，運(yùn)行速度和間隙值對機(jī)構(gòu)的起始階段影響最為顯著，集中表現(xiàn)在初次碰撞時(shí)的穿刺量和碰撞接觸力，這對設(shè)計(jì)運(yùn)行速度和構(gòu)件的圓度公差提出了特別的要求。

5）完成了含間隙運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的全過程操作，包括了混合接觸力模型的選取建立、模型程序包編寫、子程序函數(shù)包二次開發(fā)、機(jī)構(gòu)虛擬模型創(chuàng)建及仿真、結(jié)果混沌定性分析以及參數(shù)的設(shè)計(jì)。

但是本文的研究使用的所有構(gòu)件均為剛性結(jié)構(gòu)，沒有對構(gòu)件的宏觀變形進(jìn)行考慮，需要進(jìn)行下一步研究完善。