張?jiān)隼?呂達(dá) 趙燈 張強(qiáng)

(1、武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所,湖北 武漢 430000 2、武漢大學(xué),湖北 武漢 430000)

考慮到強(qiáng)耦合過(guò)程的費(fèi)時(shí)、費(fèi)力、不經(jīng)濟(jì)，目前多體或多場(chǎng)之間的耦合多屬于弱耦合問(wèn)題。每一次完成弱耦合都需要對(duì)耦合面數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，達(dá)到耦合面數(shù)據(jù)交互的目的[1]。為了尋求更高的插值精度和插值效率，廣大學(xué)者提出了大量的插值算法，大致可以分為兩類[2]：函數(shù)插值法和投影插值法。函數(shù)插值法是直接在高維空間構(gòu)建插值函數(shù)來(lái)傳遞耦合數(shù)據(jù)的一類流固耦合數(shù)據(jù)傳遞方法，包括最鄰近點(diǎn)插值法[3-4]、加權(quán)余量法[5]、基于徑向基函數(shù)(RBF)的插值法[6-7]、樣條函數(shù)法[8]等。投影插值法是先將待插值的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)以某種方法投影后再構(gòu)建插值函數(shù)傳遞耦合數(shù)據(jù)的一類流固耦合數(shù)據(jù)傳遞方法，包括映射點(diǎn)插值法[9]、常體積轉(zhuǎn)換方法[10]、載荷面法[11]、定義局部坐標(biāo)[12]和引入數(shù)據(jù)降維方法等距映射法ISOMAP[13]。

為了實(shí)現(xiàn)耦合面之間壓力的準(zhǔn)確傳遞，本文針對(duì)最臨界點(diǎn)插值法、最小二乘插值法和等距映射法，利用數(shù)據(jù)計(jì)算，分析了網(wǎng)格數(shù)目、網(wǎng)格質(zhì)量和耦合面邊界類型對(duì)插值精度和插值效率的影響規(guī)律，并提出了一種基于網(wǎng)格循環(huán)的插值策略，當(dāng)耦合面采用高階單元時(shí)，可以提高耦合面插值效率，對(duì)耦合面總壓力的傳遞具有較高的準(zhǔn)確率。

1 三種常見(jiàn)的數(shù)據(jù)插值算法

1.1 最鄰近點(diǎn)插值法(NN)

最鄰近點(diǎn)插值法(NN)實(shí)現(xiàn)方式較為簡(jiǎn)單，通過(guò)對(duì)耦合面網(wǎng)格所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行遍歷，將距離最近的節(jié)點(diǎn)載荷數(shù)據(jù)作為待插值節(jié)點(diǎn)的載荷數(shù)據(jù)。

為獲取待插值點(diǎn)M(x， y， z)的載荷數(shù)據(jù)，通過(guò)式(1)獲取該節(jié)點(diǎn)與源耦合面節(jié)點(diǎn)M′(xi， yi， zi)的距離

m 為源耦合面最大節(jié)點(diǎn)編號(hào)。若節(jié)點(diǎn)i 的載荷數(shù)據(jù)為N(xi，yi， zi)，則節(jié)點(diǎn)M的載荷數(shù)據(jù)為N(xi， yi， zi)。

1.2 最小二乘多項(xiàng)式插值法（L2）

通過(guò)選取與待插值點(diǎn)M(x， y， z)臨近的k 個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷數(shù)據(jù)，構(gòu)建如式(3)所示的多項(xiàng)式進(jìn)行數(shù)據(jù)插值，獲取待插值點(diǎn)的載荷數(shù)據(jù)。

首先，依據(jù)源耦合面內(nèi)k 個(gè)臨近節(jié)點(diǎn)構(gòu)建載荷矩陣方程P=AB，其中

1.3 等距映射法（ISOMAP）

等距映射法是基于多維尺度分析(MDS)的非線性降維算法，可以消除耦合面空間非線性對(duì)耦合數(shù)據(jù)傳遞的影響。該算法先采用鄰域歐式最短距離估計(jì)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，然后應(yīng)用多為尺度分析計(jì)算在和數(shù)據(jù)的低維插值載荷數(shù)據(jù)。該過(guò)程的實(shí)現(xiàn)可分為以下三個(gè)步驟。

（1）構(gòu)造鄰域圖。若源耦合面內(nèi)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，采用K- 鄰域判斷源耦合面內(nèi)任意兩節(jié)點(diǎn)(i， j)是否相鄰，若相鄰，則確定節(jié)點(diǎn)距離d(i， j)，并最終構(gòu)建鄰域圖G。

（3）構(gòu)建d 維插值。對(duì)矩陣Dm應(yīng)用MDS 算法構(gòu)建最小化目標(biāo)函數(shù)

2 三種插值算法的插值性能分析

如圖1 所示，本文擬定兩個(gè)物理場(chǎng)的耦合面尺寸均為100mm×100mm，源耦合面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)均勻分布，而待求耦合面的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)依據(jù)給定的平均單元尺寸均勻分布或自由生成。通過(guò)對(duì)比最鄰近點(diǎn)插值法、最小二乘多項(xiàng)式插值法和等距映射法三種插值算法的插值計(jì)算時(shí)間、插值誤差進(jìn)行對(duì)比，分析了不同耦合面網(wǎng)格尺寸、網(wǎng)格質(zhì)量和耦合邊界類型對(duì)三種插值算法的插值效率和插值精度的影響。

圖1 耦合面節(jié)點(diǎn)分布示意圖

2.1 網(wǎng)格尺寸

在分析單元尺寸對(duì)插值計(jì)算的影響時(shí)，本文設(shè)置待求耦合面采用網(wǎng)格自由劃分方式，更改耦合面單元尺寸，耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 耦合面網(wǎng)格尺寸設(shè)置

最鄰近點(diǎn)插值法、最小二乘多項(xiàng)式插值法和等距映射法三種插值算法的傳遞的總壓力和插值時(shí)間如圖2 所示。

圖2 網(wǎng)格尺寸對(duì)插值效率和插值精度的影響

當(dāng)兩個(gè)耦合面單元尺寸相近時(shí)，改變網(wǎng)格尺寸，插值時(shí)長(zhǎng)與耦合面節(jié)點(diǎn)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下呈現(xiàn)正相關(guān)，即T∝Nk。對(duì)于三種插值算法，指數(shù)k 分別為1.97，2.05，2.14。最鄰近點(diǎn)插值法在整個(gè)插值過(guò)程中，包含兩類循環(huán)：一種是對(duì)待求耦合面所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)，獲取每個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力值；另一種是對(duì)源耦合面所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)，獲取源耦合面內(nèi)待求節(jié)點(diǎn)的最鄰近節(jié)點(diǎn)。而第二種循環(huán)中嵌套在第一種循環(huán)中，導(dǎo)致了該算法的系數(shù)k 接近2。而最小二乘多項(xiàng)式插值法和等距映射法并不僅僅依靠最鄰近節(jié)點(diǎn)的壓力值而確定，會(huì)根據(jù)臨近多個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擬合，獲取待插值點(diǎn)附近的更加準(zhǔn)確的壓力分布，導(dǎo)致插值效率均低于最鄰近點(diǎn)插值法。

最鄰近點(diǎn)插值法在求解每個(gè)節(jié)點(diǎn)壓力時(shí)由較大誤差，導(dǎo)致了計(jì)算所得的總壓力大于源耦合面的總壓力，通過(guò)折算降低節(jié)點(diǎn)數(shù)目不等帶來(lái)的誤差后，最大誤差仍可達(dá)到34.9%。由于該插值算法中耦合面各節(jié)點(diǎn)互不干擾，獨(dú)立計(jì)算，當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)多于源耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)，多出的節(jié)點(diǎn)必然會(huì)增加耦合面的總壓力。最小二乘多項(xiàng)式插值法也存在類似的不足之處。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，源耦合面節(jié)點(diǎn)承受的壓力遠(yuǎn)高于節(jié)點(diǎn)數(shù)多的情形，多出的節(jié)點(diǎn)數(shù)目對(duì)總壓力的計(jì)算影響較大，導(dǎo)致了傳遞的總壓力隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而呈現(xiàn)先增大或降低的趨勢(shì)。而等距映射法會(huì)構(gòu)建鄰域圖，節(jié)點(diǎn)之間會(huì)相互影響，減弱多出的節(jié)點(diǎn)對(duì)計(jì)算的影響，插值精度也會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加而緩慢增加，但仍會(huì)增大傳遞的總壓強(qiáng)。

若以式(7)獲取的待插值點(diǎn)處壓力為準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，則第三組所有插值點(diǎn)的相對(duì)誤差如圖3 所示。

圖3 待插值節(jié)點(diǎn)壓力誤差

由圖3 可知，三種插值算法均能保證每個(gè)節(jié)點(diǎn)的相對(duì)誤差小于2%，但最鄰近點(diǎn)插值法的插值精度明顯弱于最小二乘插值法和等距映射法。對(duì)于同一套網(wǎng)格，利用三種算法計(jì)算的節(jié)點(diǎn)壓力的相對(duì)誤差的分布基本一致。由此圖可以推斷，網(wǎng)格質(zhì)量或者節(jié)點(diǎn)分布均勻性對(duì)插值精度具有顯著的影響。若降低耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)目，必然導(dǎo)致源耦合面節(jié)點(diǎn)之間梯度變大，會(huì)加劇插值點(diǎn)的相對(duì)誤差，特別是對(duì)最臨近點(diǎn)插值法。

2.2 網(wǎng)格質(zhì)量

為了研究耦合面節(jié)點(diǎn)的分布對(duì)插值過(guò)程的影響規(guī)律，在耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同的基礎(chǔ)上，選定了三種待求耦合面節(jié)點(diǎn)分布，網(wǎng)格質(zhì)量從左往右依次增加，示意圖如圖4 所示。在源耦合面上施加式(7)所示的壓力，三種插值算法的插值時(shí)長(zhǎng)和耦合面總壓力如圖5 所示。提下，等距映射法插值效率最低，最鄰近點(diǎn)插值法插值效率最高，高于等距映射法的兩倍。

圖4 不同網(wǎng)格質(zhì)量的待求耦合面節(jié)點(diǎn)分布

圖5 網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)插值效率和插值精度的影響

由圖5(b)可知，質(zhì)量較高的網(wǎng)格可以提高插值精度。在提供的三種網(wǎng)格中，三種插值算法僅對(duì)網(wǎng)格1 產(chǎn)生較大的插值誤差，大小分別為1.68%，0.46%和0.70%，而對(duì)網(wǎng)格2 和網(wǎng)格3 的插值誤差均低于0.01%。

在不同網(wǎng)格質(zhì)量下，每個(gè)節(jié)點(diǎn)壓力的相對(duì)誤差如圖6 所示，其中網(wǎng)格3 導(dǎo)致了相對(duì)誤差均為0，則并未附圖進(jìn)行說(shuō)明。從左往右分別利用了最臨近點(diǎn)插值法、最小二乘插值法和等距映射法進(jìn)行計(jì)算。

圖6 節(jié)點(diǎn)插值壓力的相對(duì)誤差

圖6 直觀地展現(xiàn)了網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)插值精度的影響。當(dāng)網(wǎng)格自由劃分時(shí)，節(jié)點(diǎn)一般會(huì)在靠近邊界的區(qū)域無(wú)規(guī)律分布，而恰好在該區(qū)域，節(jié)點(diǎn)的相對(duì)誤差較大，且變化明顯。針對(duì)網(wǎng)格2 和網(wǎng)格3，當(dāng)節(jié)點(diǎn)分布較為均勻時(shí)，節(jié)點(diǎn)的相對(duì)誤差普遍較小，插值更加準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

本文介紹了三種常見(jiàn)的數(shù)據(jù)插值算法，分析了網(wǎng)格尺寸、網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)插值性能的影響規(guī)律，并提出了一種利用網(wǎng)格遍歷的插值優(yōu)化策略，得到如下結(jié)論：

3.2 網(wǎng)格尺寸、網(wǎng)格數(shù)目對(duì)插值精度影響較大，三種插值算法對(duì)三種參數(shù)的敏感程度也不一致，且三種參數(shù)對(duì)三種插值算法在插值精度上的影響程度分別是最鄰近點(diǎn)插值法、最小二乘插值法和等距映射法。若以壓力作為傳遞參數(shù)，耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)目對(duì)傳遞的總載荷影響較大，待求耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)大于源耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)，導(dǎo)致了傳遞的總載荷增大，增大幅值近似于兩耦合面節(jié)點(diǎn)數(shù)之比。質(zhì)量高或節(jié)點(diǎn)分布均勻的網(wǎng)格，耦合面變化梯度較小均有利于降低整體節(jié)點(diǎn)的壓力相對(duì)誤差，提高插值精度。若網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少，甚至網(wǎng)格質(zhì)量不高時(shí)，最臨界點(diǎn)插值法的插值精度會(huì)急劇增高，在本文所計(jì)算的數(shù)據(jù)中，最高可達(dá)到34.9%。