李 雪 于 洋 姜 濤 陳厚合 李國慶

基于最優(yōu)變量投影的電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩參數(shù)綜合辨識

李 雪 于 洋 姜 濤 陳厚合 李國慶

（現(xiàn)代電力系統(tǒng)仿真控制與綠色電能新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（東北電力大學(xué)） 吉林 132012）

準(zhǔn)確、有效地辨識電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式、主導(dǎo)振蕩模態(tài)和參與因子等低頻振蕩特征參數(shù)，對深入探究電力系統(tǒng)低頻振蕩誘因、提出科學(xué)合理的振蕩抑制措施具有重要價(jià)值。為此，該文提出一種基于最優(yōu)變量投影（OVP）的電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)和參與因子綜合辨識方法。該方法采用有限差分法（FDM）預(yù)處理電力系統(tǒng)的廣域量測信息；借助處理后的廣域量測信息構(gòu)建含系統(tǒng)關(guān)鍵動(dòng)態(tài)振蕩信息的低階狀態(tài)矩陣，進(jìn)而從低階狀態(tài)矩陣中提取電力系統(tǒng)的關(guān)鍵振蕩特征信息；結(jié)合廣域量測信息和關(guān)鍵振蕩特征信息構(gòu)建變量投影函數(shù)，通過OVP對其進(jìn)行求解，以辨識振蕩模式及其模態(tài)；引入累積能量權(quán)重從所辨識的振蕩模式及模態(tài)中分離電力系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)，并根據(jù)分離的主導(dǎo)振蕩模態(tài)實(shí)現(xiàn)參與因子的評估。最后，通過IEEE 68節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)和中國南方電網(wǎng)公司算例對所提方法進(jìn)行分析，驗(yàn)證了所提方法的準(zhǔn)確性和有效性。

同步相量量測 最優(yōu)變量投影 主導(dǎo)振蕩模式 主導(dǎo)振蕩模態(tài) 參與因子

0 引言

區(qū)域電網(wǎng)互聯(lián)規(guī)模不斷擴(kuò)大、高比例電力電子化設(shè)備投入使用、大規(guī)?？稍偕茉床⒕W(wǎng)發(fā)電，使得電力系統(tǒng)低頻振蕩問題更加復(fù)雜，已成為限制區(qū)域間聯(lián)絡(luò)斷面功率傳輸能力、威脅電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的主要因素之一[1-2]。因此，準(zhǔn)確辨識電力系統(tǒng)低頻振蕩的關(guān)鍵特征參數(shù)、深入分析電力系統(tǒng)低頻振蕩誘因、提出科學(xué)合理的低頻振蕩抑制措施，對提升含高比例可再生能源的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性具有重要的理論和工程研究價(jià)值[3]。

電力系統(tǒng)低頻振蕩的特征參數(shù)主要包括主導(dǎo)振蕩模式和主導(dǎo)振蕩模態(tài)。傳統(tǒng)基于模型的特征值分析法（Eigenvalue Analysis, EA）雖然可以有效辨識系統(tǒng)所有關(guān)鍵特征參數(shù)，但該方法的辨識準(zhǔn)確性依賴于所建模型精度和參數(shù)準(zhǔn)確性。對實(shí)際電力系統(tǒng)而言，構(gòu)建高精度、大規(guī)模的區(qū)域互聯(lián)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型十分困難，且模型參數(shù)也隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化，所辨識出的結(jié)果不能真實(shí)反映系統(tǒng)當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。因此，特征值分析法常用于電力系統(tǒng)低頻振蕩的離線分析。

同步相量測量單元（Phasor Measurement Unit, PMU）在電力系統(tǒng)大規(guī)模應(yīng)用，為基于廣域量測信息的電力系統(tǒng)低頻振蕩特征參數(shù)辨識提供了新機(jī)遇[4-6]。為從電力系統(tǒng)的廣域量測信息中辨識出系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式，文獻(xiàn)[7]于1990年首次將Prony算法應(yīng)用到電力系統(tǒng)低頻振蕩的振蕩模式識別中；文獻(xiàn)[8]進(jìn)一步引入差分正交匹配追蹤算法（Difference Orthogonal Matching Pursuit, DOMP）提高Prony在主導(dǎo)振蕩模式辨識中的抗噪能力；文獻(xiàn)[9]借助多元經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓∕ultivariate Empirical Mode Decomposition，MEMD）追蹤系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式的瞬變特性，且有效抑制了多振蕩模式間的模式混頻效應(yīng)；文獻(xiàn)[10]將連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform, CWT）與遞歸最小二乘相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了基于廣域量測信息的電力系統(tǒng)低頻振蕩模式辨識；文獻(xiàn)[11]引入自回歸滑動(dòng)平均模型（Auto-Regressive Moving-Average eXogenous, ARMAX）從電力系統(tǒng)的類噪聲信號中辨識出系統(tǒng)的區(qū)域間振蕩模式；文獻(xiàn)[12]采用快速迭代隨機(jī)子空間辨識方法（Fast iterative Stochastic Subspace Identification, FSSI）從電力系統(tǒng)的廣域量測信息中準(zhǔn)確、高效地辨識主導(dǎo)振蕩模式的振蕩頻率與阻尼比。

在基于廣域量測信息的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識方面，文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上首先引入奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）來估計(jì)系統(tǒng)模型階數(shù)，然后實(shí)現(xiàn)了與主導(dǎo)振蕩模式強(qiáng)相關(guān)的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識；文獻(xiàn)[14]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，提出了基于多通道CWT的電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)協(xié)同辨識方法；文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[11]基礎(chǔ)上進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了基于ARMAX的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識；文獻(xiàn)[16]基于文獻(xiàn)[12]的SSI辨識方法，提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的電力主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)辨識方法；文獻(xiàn)[17]采用多參考點(diǎn)復(fù)指數(shù)法（Poly-Reference Complex Exponential, PRCE）從電力系統(tǒng)廣域量測信息中提取系統(tǒng)區(qū)域間主導(dǎo)振蕩模式及對應(yīng)的振蕩模態(tài)。

在基于廣域量測信息的參與因子辨識方面，文獻(xiàn)[18]借助動(dòng)態(tài)模態(tài)解耦（Dynamic Mode Decomposition, DMD）辨識系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式及其模態(tài)，并結(jié)合各振蕩模式的能量權(quán)重，計(jì)算各發(fā)電機(jī)在主導(dǎo)振蕩模式下的參與因子，實(shí)現(xiàn)了基于廣域量測信息的參與因子辨識；文獻(xiàn)[19]在采用庫普曼模態(tài)分解（Koopman Mode Decomposition, KMD）辨識系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式基礎(chǔ)上，進(jìn)一步辨識出發(fā)電機(jī)及其勵(lì)磁系統(tǒng)在各主導(dǎo)振蕩模式下的參與因子，為電力系統(tǒng)低頻振蕩分析與抑制提供了豐富的信息。

上述分析方法雖在主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)和參與因子辨識方面開展了深入研究，但受線性處理、復(fù)雜辨識過程等因素的影響，其辨識結(jié)果易丟失系統(tǒng)較為重要的動(dòng)態(tài)振蕩信息，且抗噪能力較弱，在較高噪聲環(huán)境下辨識精度急劇降低，嚴(yán)重影響辨識結(jié)果的準(zhǔn)確性。針對該問題，本文提出一種基于最優(yōu)變量投影（Optimized Variable Projection, OVP）的電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)和參與因子的綜合辨識方法。該方法首先引入有限差分法（Finite Difference Method, FDM）對電力系統(tǒng)廣域量測信息預(yù)處理；然后，根據(jù)預(yù)處理的廣域量測信息構(gòu)建可反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)振蕩信息的低階狀態(tài)矩陣；進(jìn)一步，提取低階狀態(tài)矩陣的關(guān)鍵振蕩信息，構(gòu)建變量投影函數(shù)，借助OVP實(shí)現(xiàn)振蕩模式及模態(tài)的準(zhǔn)確辨識；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)各模式的累積能量權(quán)重篩選出主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)，并根據(jù)主導(dǎo)振蕩模態(tài)，計(jì)算出可表征各發(fā)電機(jī)振蕩靈敏度的參與因子；最后通過IEEE 68節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)和中國南方電網(wǎng)公司算例對所提方法進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

1 基于變量投影的電力系統(tǒng)低頻振蕩辨識

變量投影（Variable Projection, VP）最初是由蘇黎世大學(xué)的G. H. Golub教授和V. Pereyra教授提出，以解決非線性最小二乘中的變量分離問題[20]。本節(jié)將VP應(yīng)用于電力系統(tǒng)中，通過電力系統(tǒng)廣域量測信息及其隱含的系統(tǒng)關(guān)鍵振蕩信息構(gòu)建變量投影函數(shù)，進(jìn)而利用VP的非線性特性對變量投影函數(shù)進(jìn)行求解，獲取系統(tǒng)的振蕩模式與振蕩模態(tài)。該方法可有效避免量測信息因線性化處理而被濾除重要振蕩信息的不足，且在處理非線性、時(shí)變信號時(shí)具有較高的辨識精度和抗噪能力，因而在化學(xué)工程、光譜分析等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。采用VP辨識電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)振蕩信息的基本原理如下。

首先從PMU中獲取電力系統(tǒng)廣域量測信息，即

式中，1,2, …,?R1′N、+1,2, …,?R1′m為廣域量測信息；為量測通道；為量測信息采樣點(diǎn)數(shù)量。

定義含矩陣關(guān)鍵振蕩信息的特征值=[12…]的非線性函數(shù)()為

式中，()為含系統(tǒng)振蕩信息的向量，()=exp(t)；t為量測信息的第個(gè)采樣時(shí)間，=1, 2,…,。

式中，為系數(shù)矩陣。

借助最小二乘計(jì)算廣域量測信息重構(gòu)前后的殘差矩陣為

由于含有關(guān)鍵振蕩信息的與低頻振蕩特征參數(shù)聯(lián)系緊密，為通過準(zhǔn)確辨識出電力系統(tǒng)低頻振蕩特征參數(shù)，引入?()T將式（4）轉(zhuǎn)換為式（5）所示的非線性最小二乘問題以獲取的最優(yōu)解。

式（5）為基于矩陣和所構(gòu)建的變量投影函數(shù)。參考文獻(xiàn)[21]，借助Levenberg-Marquardt原理提升變量投影函數(shù)的收斂速度，并通過迭代更新來獲取其最優(yōu)解。Levenberg-Marquardt原理的核心為計(jì)算變量投影函數(shù)的Jacobi矩陣，表達(dá)式為

式中，1/=-，=()?()，?R′N為單位矩陣；為第個(gè)量測通道的量測信息，?R1′N。

求解變量投影函數(shù)得到的最優(yōu)解ovp=[1,ovp2,ovp…,ovp]和優(yōu)化所得最優(yōu)系數(shù)矩陣ovp，其中，,ovp即為振蕩模式對應(yīng)的特征值，并可根據(jù)ovp計(jì)算系統(tǒng)的振蕩模態(tài)。但在辨識過程中發(fā)現(xiàn)：VP對給定的要求極為嚴(yán)格，若不在合理的范圍內(nèi)，將極大地影響VP的收斂速度和辨識精度。

2 基于OVP的低頻振蕩特征參數(shù)提取

第1節(jié)基于VP實(shí)現(xiàn)了低頻振蕩信息的有效提取，而運(yùn)用VP辨識電力系統(tǒng)低頻振蕩特征參數(shù)的關(guān)鍵在于如何獲取較為合理的來提高辨識精度并增強(qiáng)魯棒性。為獲取較為合理的，本節(jié)引入OVP以實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)與參與因子的綜合辨識。

2.1 主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)辨識

如前所述，采用VP辨識系統(tǒng)振蕩模式及模態(tài)時(shí)，需預(yù)先提供合理的、含系統(tǒng)動(dòng)態(tài)振蕩信息的。若所提供的不在系統(tǒng)實(shí)際振蕩特征參數(shù)的合理范圍內(nèi)，將會(huì)導(dǎo)致變量投影函數(shù)迭代不收斂。為此，本節(jié)首先從廣域量測信息中提取系統(tǒng)的關(guān)鍵動(dòng)態(tài)振蕩信息，進(jìn)而為VP提供更為合適的初值。

首先，假設(shè)相鄰時(shí)間點(diǎn)量測信息+j與+1間存在線性映射關(guān)系，構(gòu)建表達(dá)式為

式中，為高階復(fù)雜矩陣，蘊(yùn)含量測信息的振蕩特性，其特征值和特征向量與低頻振蕩特征參數(shù)具有強(qiáng)相關(guān)性；0為殘差向量。

為有效分離矩陣1與2含有的噪聲信號或虛假振蕩信息，采用FDM變換式（8）得

借助SVD提取矩陣1含有的系統(tǒng)關(guān)鍵振蕩信息，并將其代入式（9）得矩陣2為

為便于計(jì)算，引入低階狀態(tài)矩陣近似描述高階復(fù)雜矩陣的關(guān)鍵振蕩信息，即

則可得含有系統(tǒng)固有振蕩信息低階狀態(tài)矩陣的表達(dá)式為

為獲取系統(tǒng)的關(guān)鍵振蕩信息，對特征值分解為

式中，α為式（2）中蘊(yùn)含系統(tǒng)振蕩信息的特征值；為α的特征向量。

參考文獻(xiàn)[22]，引入F-范數(shù)，將由矩陣和構(gòu)建的變量投影函數(shù)變換為

采用VP計(jì)算式（14）中的最優(yōu)解ovp，即振蕩模式對應(yīng)的特征值，則系統(tǒng)第個(gè)振蕩模式的振蕩頻率f與阻尼比為

式中，ovp,i為ovp的第個(gè)行向量。

受限于故障時(shí)間、類型、地點(diǎn)及量測噪聲等多重因素影響，根據(jù)式（15）辨識的振蕩模式中可能含有虛假振蕩模式和噪聲振蕩模式。為從含虛假振蕩模式和噪聲振蕩模式的振蕩模式辨識結(jié)果中準(zhǔn)確地分離出電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式，本文首先根據(jù)式（17）計(jì)算各振蕩模式的能量值E為

將各振蕩模式的能量值E按從大到小排序，計(jì)算排序后振蕩模式的累積能量權(quán)重s,k為

若前個(gè)振蕩模式的累積能量權(quán)重s,k大于所設(shè)定的累積能量權(quán)重閾值0，則可認(rèn)為該個(gè)振蕩模式即為系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式。由于振蕩模式與振蕩模態(tài)間的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)式（16）可進(jìn)一步從中有效篩選出主導(dǎo)振蕩模式所對應(yīng)的主導(dǎo)振蕩模態(tài)。

上述過程實(shí)現(xiàn)了電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)的有效辨識。顯然，由上述過程可知：所提OVP方法首先引入FDM對廣域量測信息進(jìn)行預(yù)處理，提取含系統(tǒng)動(dòng)態(tài)振蕩信息的特征值以解決VP所面臨的初值選取問題；然后，采用VP優(yōu)化前述所計(jì)算特征值，進(jìn)而辨識系統(tǒng)振蕩模式及模態(tài)，并通過s,k篩選出含系統(tǒng)關(guān)鍵振蕩信息的主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)。顯然，該方法僅采用有限個(gè)主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)即可有效表征出系統(tǒng)量測信息所隱含的關(guān)鍵振蕩信息，進(jìn)而為電網(wǎng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定在線監(jiān)測與控制提供參考信息。

2.2 參與因子辨識

進(jìn)一步，為給電網(wǎng)運(yùn)行和研究人員提供更為豐富的動(dòng)態(tài)振蕩信息，本文借鑒文獻(xiàn)[23]引入?yún)⑴c因子來評估主導(dǎo)振蕩模式下各發(fā)電機(jī)參與振蕩的程度，通過所計(jì)算的參與因子，使得主導(dǎo)振蕩模式與各發(fā)電機(jī)間的相關(guān)程度得以定量表征和描述。根據(jù)前述所篩選出的主導(dǎo)振蕩模式、振蕩模態(tài)及能量值，可得參與因子的表達(dá)式為

式中，為振蕩模式中臺發(fā)電機(jī)的參與因子向量，=[p1p2…p]T，p值越大，表明第臺發(fā)電機(jī)在第個(gè)振蕩模式下的振蕩參與度越高；反之，則越低。根據(jù)各發(fā)電機(jī)的振蕩參與度大小可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)振蕩源的準(zhǔn)確定位，進(jìn)而可針對參與度最高的前幾臺發(fā)電機(jī)上采取相關(guān)措施來抑制系統(tǒng)的低頻振蕩。

2.3 算法流程

綜上所示，本文所提基于OVP的電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)與參與因子綜合辨識方法計(jì)算流程如圖1所示，具體步驟如下：

（1）從PMU裝置中采集電力系統(tǒng)的狀態(tài)量測信息，然后構(gòu)建如式（1）所示的電力系統(tǒng)廣域量測信息矩陣。

（2）分別提取量測信息矩陣的前-1列構(gòu)建矩陣1和后-1列構(gòu)建矩陣2，通過式（9）獲取矩陣1和矩陣2。

（3）根據(jù)式（10）引入SVD分解矩陣1求得矩陣、、。

（4）通過式（12）利用矩陣2以及分解1所得子矩陣、、計(jì)算矩陣。

（5）采用特征值分解，計(jì)算矩陣的特征值α，并將矩陣和α作為初值代入式（14）中。

圖1 本文方法辨識流程

（6）借助OVP求解式（14），并通過式（15）和式（16）計(jì)算系統(tǒng)的振蕩模式和振蕩模態(tài)。

（7）根據(jù)式（17）和式（18）計(jì)算各振蕩模式的累積能量權(quán)重s,k，篩選含系統(tǒng)關(guān)鍵振蕩信息的主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)。

（8）根據(jù)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)及能量值，通過式（19）計(jì)算各發(fā)電機(jī)或母線的參與因子。

3 算例分析

針對所提基于OVP的電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)及參與因子綜合辨識方法，本節(jié)分別以IEEE 68節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)和中國南方電網(wǎng)為例分析、驗(yàn)證所提方法的準(zhǔn)確性和有效性。

3.1 IEEE 68節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)

IEEE 68節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)如圖2所示，該系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)G1～G9、G10～G13、G14、G15、G16分別屬于區(qū)域1～5，系統(tǒng)具體參數(shù)詳見文獻(xiàn)[24]。

圖2 IEEE 68節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)

本節(jié)中，IEEE 68節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)的故障設(shè)置如下：0.1s時(shí)支路46-49發(fā)生三相短路故障，0.16s后近節(jié)點(diǎn)49側(cè)斷路器跳開，0.18s后遠(yuǎn)節(jié)點(diǎn)46側(cè)斷路器跳開，采樣頻率為100Hz，仿真時(shí)間為1min。圖3為發(fā)生故障后發(fā)電機(jī)相對轉(zhuǎn)子角與角速度搖擺曲線，選取發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角和角速度的前30s數(shù)據(jù)作為輸入。

3.1.1 無噪聲環(huán)境下辨識結(jié)果分析

1）主導(dǎo)振蕩模式辨識

首先，根據(jù)式（1）構(gòu)建電力系統(tǒng)的廣域量測信息矩陣，提取矩陣的前-1列和后-1列分別構(gòu)建矩陣1和2，并由式（9）計(jì)算得矩陣1和2；根據(jù)式（10），引入SVD將矩陣1分解為子矩陣、、；根據(jù)式（12）中矩陣2及、、計(jì)算低階狀態(tài)矩陣，并采用特征值分解得到的特征值α；將矩陣和α作為初值代入式（14）所示的變量投影函數(shù)中，并通過VP求解式（14），進(jìn)而利用式（15）和式（16）辨識系統(tǒng)的振蕩模式和振蕩模態(tài)；由式（17）和式（18）計(jì)算各振蕩模式的能量值E及累積能量權(quán)重s,k，選取累積能量權(quán)重閾值0=85%。若累積能量權(quán)重s,k≥0，則認(rèn)為該個(gè)振蕩模式為含系統(tǒng)關(guān)鍵振蕩信息的主導(dǎo)振蕩模式。由于量測通道數(shù)為30個(gè)，所提方法共辨識出15組振蕩模式，因機(jī)電振蕩的振蕩頻率范圍為0.2～2.5Hz，濾除三組非機(jī)電振蕩頻率范圍的模式后，圖4給出了所保留的12組模式的能量值E。

圖4 OVP辨識各振蕩模式的Ei

顯然，由圖4結(jié)果可知：所辨識出的12組模式中，有四組模式的能量值明顯大于其他模式，其能量值分別為0.019 0、0.006 0、0.002 4和0.002 9，且其累積能量權(quán)重s,k=87.47%0=85%，故可認(rèn)為這四組模式對系統(tǒng)振蕩的影響程度最大，并將其視為系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式。

表1進(jìn)一步詳細(xì)給出了采用OVP辨識出的各振蕩模式的能量值E及累積能量權(quán)重s,k。顯然，由表1計(jì)算結(jié)果可知：前四組模式所對應(yīng)的累積能量權(quán)重s,k足夠大，可認(rèn)為是此次故障下系統(tǒng)被激發(fā)出的四組主導(dǎo)振蕩模式。

表1 OVP辨識的各振蕩模式E和s,k

Tab.1 Ei and Es,k of all modes identified by OVP

圖5進(jìn)一步給出了以圖3b的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速作為輸入，采用FFT進(jìn)行頻譜分析的結(jié)果。由圖5的頻譜分析結(jié)果可知：系統(tǒng)故障后共激發(fā)出四組振蕩模式，其振蕩頻率分別為0.268 6Hz、1.147 5Hz、1.599 1Hz和2.099 6Hz，該結(jié)果與圖4和表1所提OVP的主導(dǎo)振蕩頻率辨識結(jié)果一致，有效驗(yàn)證了所提OVP方法辨識系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩頻率的準(zhǔn)確性。

圖5 FFT的頻譜分析圖

圖6分別以振蕩頻率和阻尼比為橫、縱坐標(biāo)，對比了OVP、DMD、本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）、KMD和EA所辨識的主導(dǎo)振蕩模式。由圖6可知：DMD所辨識出模式1的阻尼比結(jié)果與EA相差較大；KMD所辨識出的四組主導(dǎo)振蕩模式偏差均較大；POD振蕩頻率辨識結(jié)果較準(zhǔn)，但其缺陷在于不能辨識系統(tǒng)的阻尼比；本文所提OVP與EA辨識結(jié)果近似重合，具有更高的辨識精度。

圖6 不同方法辨識的主導(dǎo)振蕩模式對比

表2詳細(xì)給出了圖6中OVP、DMD、POD、KMD和EA所辨識出的系統(tǒng)四組主導(dǎo)振蕩模式的振蕩頻率和阻尼比。表3進(jìn)一步以EA的辨識結(jié)果為基準(zhǔn)，給出了OVP、DMD、POD和KMD的辨識誤差。通過對比圖6、表2和表3的辨識結(jié)果可知：所提OVP方法的主導(dǎo)振蕩模式辨識結(jié)果與EA的辨識結(jié)果較為接近，均在合理范圍內(nèi)，而DMD和KMD的辨識誤差較大，其計(jì)算精度嚴(yán)重不足，POD的辨識誤差雖較小，但該方法不能辨識出振蕩模式的阻尼比信息，因此所提OVP相對DMD、POD和KMD具有更高的辨識精度。

2）主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識

在辨識出主導(dǎo)振蕩模式后，本節(jié)進(jìn)一步根據(jù)振蕩模式與式（16）所辨識振蕩模態(tài)間的對應(yīng)關(guān)系，篩選出主導(dǎo)振蕩模式所對應(yīng)的振蕩模態(tài)，結(jié)果如圖7所示。

表2 不同方法辨識的主導(dǎo)振蕩頻率和阻尼比對比

Tab.2 Comparison of the dominant oscillation frequencies and damping ratiosestimated by different methods

表3 主導(dǎo)振蕩模式誤差分析

Tab.3 Estimation error comparisons of dominant modes

圖7 OVP辨識的主導(dǎo)振蕩模態(tài)

由圖7的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識結(jié)果可知：主導(dǎo)振蕩模式1主要表現(xiàn)為位于區(qū)域1中的發(fā)電機(jī)G2～G9相對區(qū)域2～5中的發(fā)電機(jī)振蕩；主導(dǎo)振蕩模式2主要表現(xiàn)為發(fā)電機(jī)G8、G10、G11相對系統(tǒng)中其余發(fā)電機(jī)振蕩；主導(dǎo)振蕩模式3主要表現(xiàn)為位于區(qū)域2的發(fā)電機(jī)G11與系統(tǒng)中其他所有發(fā)電機(jī)相對振蕩；主導(dǎo)振蕩模式4主要表現(xiàn)為發(fā)電機(jī)G1與發(fā)電機(jī)G2～G16相對振蕩。

為驗(yàn)證所提OVP方法辨識系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模態(tài)的準(zhǔn)確性，圖8分別對比了所提OVP與DMD、POD、KMD和EA在上述四組主導(dǎo)振蕩模式中的振蕩模態(tài)辨識結(jié)果。

對比圖8的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識結(jié)果可知：雖然OVP、DMD、KMD和EA所辨識出的主導(dǎo)振蕩模態(tài)，因辨識原理不同導(dǎo)致辨識結(jié)果存在一定的偏差，但所揭示各主導(dǎo)振蕩模式下各發(fā)電機(jī)間的相對振蕩特性上是一致的；POD雖然在主導(dǎo)振蕩模式1和2中所辨識的主導(dǎo)振蕩模態(tài)結(jié)果與OVP、DMD、KMD及EA一致，但在主導(dǎo)振蕩模式3和4的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識中與其他四種方法略有不同。通過對比圖8中的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識結(jié)果可知：所提OVP方法可從電力系統(tǒng)廣域量測信息中準(zhǔn)確辨識出系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模態(tài)。

3）參與因子辨識

根據(jù)所辨識的主導(dǎo)振蕩模式、主導(dǎo)振蕩模態(tài)及主導(dǎo)振蕩模式的能量值E，本節(jié)進(jìn)一步根據(jù)式（19）估計(jì)了該次故障下各發(fā)電機(jī)在四組主導(dǎo)振蕩模式中的參與因子。圖9分別對比了OVP、DMD、POD、KMD和EA所辨識出的參與因子。

根據(jù)圖9的辨識結(jié)果，表4進(jìn)一步詳細(xì)給出了OVP、DMD、POD、KMD和EA所辨識出在各主導(dǎo)振蕩模式中具有較高參與度的發(fā)電機(jī)。由表4中結(jié)果可知：雖然OVP與POD在主導(dǎo)振蕩模式1和4中所辨識出的、具有較高參與度的發(fā)電機(jī)差異較大，與KMD在主導(dǎo)振蕩模式2中的參與因子結(jié)果不同，但所提OVP方法與DMD、EA在四種主導(dǎo)振蕩模式下辨識出的、具有較高參與度的發(fā)電機(jī)構(gòu)成上一致，驗(yàn)證了所提方法可從電力系統(tǒng)的廣域量測信息中準(zhǔn)確辨識出各主導(dǎo)振蕩模式中具有較高參與度的發(fā)電機(jī)。

表4 主振蕩發(fā)電機(jī)對比

Tab.4 Comparisons of the estimated dominant generators

3.1.2 抗噪能力分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的魯棒性，本節(jié)分別在圖3所示發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角和轉(zhuǎn)速信號中添加信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）為85dB、65dB、45dB、25dB的高斯白噪聲，以測試所提方法的抗噪能力。

1）主導(dǎo)振蕩模式辨識

表5分別給出了OVP、DMD、POD和KMD在不同信噪比下的主導(dǎo)振蕩模式辨識結(jié)果，表6進(jìn)一步以表2中OVP、DMD、POD和KMD的無噪聲辨識結(jié)果為基準(zhǔn)，給出各辨識算法在不同信噪比下的辨識結(jié)果相對誤差。

表5 不同方法辨識的主導(dǎo)振蕩模式對比（含噪聲）

Tab.5 Comparison of dominant modes estimated by different methods(with noise)

（續(xù)）

表6 不同方法辨識的主導(dǎo)振蕩模式誤差對比（含噪聲）

Tab.6 Error comparison of dominant modes estimated by different methods (with noise)

顯然，由表5和表6的對比結(jié)果可知：OVP在SNR=85dB、65dB和45dB的主導(dǎo)振蕩模式辨識結(jié)果與無噪聲環(huán)境下的辨識結(jié)果大致相同，而SNR=25dB時(shí)的阻尼比誤差最大，但僅為4.13%；DMD在SNR=65dB時(shí)的阻尼比誤差就已達(dá)到90%，而在SNR=45dB時(shí)僅能辨識出系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式1的振蕩頻率，當(dāng)SNR＜45dB時(shí)，DMD則不能辨識出系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式；POD雖然在SNR=85dB、65dB、45dB和25dB時(shí)均能準(zhǔn)確辨識出系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩頻率，且誤差較小，但不能給出主導(dǎo)振蕩模式的阻尼比信息，辨識結(jié)果較為單一；KMD在SNR=85dB、65dB時(shí)，其主導(dǎo)振蕩頻率和阻尼比的辨識誤差均在合理的范圍內(nèi)，但當(dāng)SNR=45dB時(shí)，辨識誤差已達(dá)到30%，SNR＜45dB時(shí)，主導(dǎo)振蕩模式辨識結(jié)果已與表2中KMD的無噪聲辨識結(jié)果相差較大。表5和表6的對比結(jié)果表明：所提OVP方法在電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式辨識中具有較強(qiáng)的抗噪能力。

2）主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識

前述分析對比了OVP、DMD、POD和KMD的主導(dǎo)振蕩頻率和阻尼比辨識結(jié)果，由于DMD在SNR=65dB時(shí)已不能較為精準(zhǔn)地辨識出系統(tǒng)的主導(dǎo)振蕩模式，因此本節(jié)在主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識方面通過POD和KMD與所提OVP方法進(jìn)行對比分析。

為測試所提OVP方法在主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識中的抗噪能力，本節(jié)進(jìn)一步在圖10～圖12中給出了OVP、POD和KMD在SNR=65dB、45dB和25dB 時(shí)的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識結(jié)果。通過圖10～圖12的對比結(jié)果可知：OVP在不同信噪比下所辨識主導(dǎo)振蕩模態(tài)與無噪聲環(huán)境的辨識結(jié)果一致，各發(fā)電機(jī)間的相對振蕩趨勢基本保持不變；POD在SNR=65dB和45dB時(shí)的主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識結(jié)果與無噪聲環(huán)境的辨識結(jié)果保持一致，但當(dāng)SNR=25dB時(shí)，所辨識的主導(dǎo)振蕩模式4的振蕩模態(tài)與無噪聲環(huán)境的辨識結(jié)果略有差異，而其他主導(dǎo)振蕩模態(tài)與無噪聲環(huán)境的辨識結(jié)果一致；KMD在SNR=65dB時(shí)所辨識主導(dǎo)振蕩模態(tài)與無噪聲環(huán)境的辨識結(jié)果差異較小，但當(dāng)SNR＜65dB時(shí)，所辨識出的四組主導(dǎo)振蕩模態(tài)受噪聲影響較大，其結(jié)果無法體現(xiàn)發(fā)電機(jī)間的相對振蕩特性。圖10～圖12對比結(jié)果表明：所提OVP方法相對POD和KMD在振蕩模態(tài)辨識中具有更強(qiáng)的抗噪能力。

圖10 OVP所辨識主導(dǎo)振蕩模態(tài)對比

圖11 POD所辨識主導(dǎo)振蕩模態(tài)對比

3）參與因子辨識

上述分析驗(yàn)證了所提OVP方法在辨識電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式和主導(dǎo)振蕩模態(tài)時(shí)的優(yōu)勢，為體現(xiàn)所提OVP方法的抗噪能力，下述分析給出了OVP、POD和KMD在不同信噪比下辨識的電力系統(tǒng)參與因子和各主導(dǎo)振蕩模式系統(tǒng)的主振蕩發(fā)電機(jī)群。

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提OVP方法在電力系統(tǒng)參與因子辨識中的抗噪能力，圖13～圖15分別給出了OVP、POD和KMD在SNR=65dB、45dB和25dB時(shí)的參與因子辨識結(jié)果，表7進(jìn)一步以圖13～圖15的辨識結(jié)果為基準(zhǔn)，給出了OVP、POD和KMD在SNR=65dB、45dB和25dB時(shí)辨識各主導(dǎo)振蕩模式中具有較高參與度的發(fā)電機(jī)。

圖14 POD所辨識參與因子對比

表7 不同方法辨識的主振蕩發(fā)電機(jī)（含噪聲）

Tab.7 Comparisons of the estimated dominant generators with different methods(with noise)

對比圖13～圖15和表7結(jié)果可知：OVP和POD在不同信噪比下的參與因子辨識結(jié)果與無噪聲環(huán)境的參與因子辨識結(jié)果相同；KMD在SNR=65dB和45dB時(shí)的參與因子辨識結(jié)果與無噪聲環(huán)境下的辨識結(jié)果相同，而當(dāng)SNR=25dB時(shí)，所辨識出的參與因子與無噪聲環(huán)境下的辨識結(jié)果已有較為明顯的差異。圖13～圖15和表7的對比結(jié)果表明：所提OVP方法在基于廣域量測信息的參與因子辨識中具有較強(qiáng)的魯棒性。

上述不同信噪比主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)及參與因子的辨識結(jié)果對比，有效驗(yàn)證了OVP方法相對DMD、POD、KMD具有更高的辨識精度和更強(qiáng)的魯棒性。

3.2 中國南方電網(wǎng)公司算例

3.1節(jié)驗(yàn)證了所提方法的準(zhǔn)確性與魯棒性，本節(jié)進(jìn)一步以中國南方電網(wǎng)公司為例，驗(yàn)證所提OVP方法辨識實(shí)際電網(wǎng)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)及參與因子的有效性和可行性。圖16為某次故障下云南、貴州和廣東六條母線的PMU實(shí)測頻率，其中，LP位于云南；XR-I和XR-II位于貴州；SD、SZ和ZQ位于廣東。

圖16 PMU實(shí)測頻率搖擺曲線

本節(jié)以PMU實(shí)測的10～60s的母線頻率作為所提方法的輸入。表8為OVP、DMD、POD和KMD方法從實(shí)測頻率中辨識出的系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式。由表8中結(jié)果可知：OVP所辨識主導(dǎo)振蕩模式1對應(yīng)的振蕩頻率為0.443 5Hz，阻尼比為2.577 1%；主導(dǎo)振蕩模式2對應(yīng)的振蕩頻率為0.356 8Hz，阻尼比為2.148 5%。而通過DMD、POD和KMD所辨識結(jié)果與所提方法辨識結(jié)果大致相同。

表8 實(shí)測頻率的主導(dǎo)振蕩模式辨識結(jié)果

Tab.8 Dominant modes estimated from the field measurement frequencies

圖17和圖18分別給出了OVP、DMD、POD和KMD方法在上述兩種主導(dǎo)振蕩模式下圖16中6條母線的主導(dǎo)振蕩模態(tài)及參與因子辨識結(jié)果。顯然，由圖17和圖18可知：主導(dǎo)振蕩模式1主要表現(xiàn)為位于云南的LP與位于貴州的XR-I、XR-II相對振蕩，且相對位于廣東的SD、SZ和ZQ具有較高的參與度，結(jié)果表明該主導(dǎo)振蕩模式應(yīng)為云貴振蕩模式；主導(dǎo)振蕩模式2主要表現(xiàn)為位于云南的LP與位于廣東的SD、SZ、ZQ相對振蕩，且相對位于貴州的XR-I、XR-II具有較高的參與度，即該振蕩模式應(yīng)為云廣振蕩模式。進(jìn)一步，參考文獻(xiàn)[25]可得：所提OVP方法的辨識結(jié)果與南方電網(wǎng)本次故障下的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定分析結(jié)果一致，有效驗(yàn)證了所提OVP方法的準(zhǔn)確性和有效性。

圖17 主導(dǎo)振蕩模態(tài)辨識結(jié)果

圖18 參與因子辨識結(jié)果

上述分析表明：所提OVP方法可從實(shí)際電力系統(tǒng)的廣域量測信息中準(zhǔn)確、有效地提取出系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)及參與因子，實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的綜合評估，為電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定評估和控制提供了更為豐富的參考信息。

4 結(jié)論

本文提出一種基于最優(yōu)變量投影的電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式、模態(tài)與參與因子綜合辨識方法，通過IEEE 68節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)仿真數(shù)據(jù)和中國南方電網(wǎng)公司實(shí)測數(shù)據(jù)對所提方法進(jìn)行分析、驗(yàn)證，相關(guān)結(jié)論如下：

1）所提最優(yōu)變量投影方法無需建立電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，僅通過廣域量測信息即可實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)主導(dǎo)振蕩模式及模態(tài)的綜合評估，相比傳統(tǒng)特征值分析法所辨識出的結(jié)果更能反映電力系統(tǒng)實(shí)際的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。

2）相比DMD、POD和KMD等辨識方法，所提方法在辨識電力系統(tǒng)低頻振蕩特征參數(shù)時(shí)具有更好的計(jì)算精度和抗噪能力，有利于定量綜合評估電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，提高了電力系統(tǒng)低頻振蕩分析的準(zhǔn)確性。

3）所提OVP可為電網(wǎng)調(diào)度運(yùn)行人員的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定實(shí)時(shí)監(jiān)測與協(xié)調(diào)防御提供豐富的參考信息，在基于廣域量測信息的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定綜合評估與預(yù)防控制中具有一定的應(yīng)用前景。

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[25] Jiang Tao, Yuan Haoyu, Li Guoqing, et al. Spatial-temporal decomposition approach for systematically tracking dominant modes, mode shapes and coherent groups in power systems[J]. IET Generation, Transmission & Distribution, 2017, 11(8): 1889-1900.

Estimating Dominant Oscillation Characteristics from Measurement Responses in Power Systems Utilizing Optimized Variable Projection

Li Xue Yu Yang Jiang Tao Chen Houhe Li Guoqing

（Key Laboratory of Modern Power System Simulation and Control & Renewable Energy Technology Ministry of Education Northeast Electric Power University Jilin 132012 China）

Estimating the accurate dynamic feature parameters of electromechanical oscillation, which include the dominant modes, mode shapes and participation factors, are very important for analyzing and damping the electromechanical oscillation in the bulk power grids. This paper develops a holistic assessment framework to estimate the dominant modes, mode shapes and participation factors from the synchrophasor measurements by using the optimized variable projection (OVP) in the power system. The synchrophasor measurements gathered from the PMUs is firstly preprocessed by finite difference method (FDM). Then, the preprocessed measurements are used to construct the low-order state matrix which contains the critical dynamic oscillation features of power systems. According to the constructed the low-order state matrix, the variable projection model is formulated, and the modes and mode shapes can be solved by optimized variable projection (OVP). For the estimated modes and mode shapes, cumulative energy weight of modes is developed to separate the dominant modes and their mode shapes of power systems from the estimated results. Further, the participation factors are estimated by using the separated dominant mode shapes. Finally, the proposed method is evaluated by the IEEE 68-bus test system as well as China Southern Power Grid. The results confirm that the proposed OVP based dynamic assessment approach performs great accuracy and effectiveness to estimate dominant modes and mode shapes from the synchrophasor measurements in bulk power grids.

Synchrophasor measurements, optimized variable projection, dominant modes, dominant mode shapes, participation factors

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.201498

TM712

國家自然科學(xué)基金（51607034, 51877033, 52061635103）和國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2016YFB0900903）資助項(xiàng)目。

2020-11-14

2021-03-02

李 雪 女，1986年生，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)安全性與穩(wěn)定性、電力系統(tǒng)高性能計(jì)算、電力市場。E-mail：xli@neepu.edu.cn

姜 濤 男，1983年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)安全性和穩(wěn)定性、可再生能源集成、綜合能源系統(tǒng)。E-mail：t.jiang@aliyun. com（通信作者）

（編輯 赫蕾）