基于WNN的全彈性空間機(jī)器人自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂扑惴?/h1>
2022-01-15 08:17付曉東
中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào) 2021年5期
付曉東，陳 力
（福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州 350108）
空間機(jī)器人在維修或捕獲故障衛(wèi)星，為航天器補(bǔ)給物資等方面發(fā)揮著不可替代的作用，大型空間部件（如太陽能電池，無線電天線）的安裝，空間站建造等都離不開空間機(jī)器人，因此，其動力學(xué)模擬及運(yùn)動控制技術(shù)受科研工作者廣泛關(guān)注[1-7]?？臻g機(jī)器人在地面環(huán)境中加工、組裝、調(diào)試，機(jī)械加工裝配誤差只能減弱，難以消除，而且一旦進(jìn)入極端惡劣的太空環(huán)境，易受宇宙射線等的沖擊，這些建模誤差及外部干擾易導(dǎo)致控制性能減弱，甚至失控的發(fā)生?；？刂剖翘幚砭哂袇?shù)攝動、外部擾動等非線性因素的有效方法，具有強(qiáng)魯棒、易工程化等優(yōu)點(diǎn)[8]，但存在有限時(shí)間收斂、抖振現(xiàn)象和奇異性等問題。為解決這些問題，研究人員提出了終端滑?？刂芠9]、快速終端滑?？刂芠10]、非奇異終端滑?？刂芠11]，解決了傳統(tǒng)滑?？刂频牟糠秩秉c(diǎn)。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了魯棒非奇異快速終端滑?？刂破鳎諗克俣瓤?，且避免了奇異性，但在總控制器中引入H∞項(xiàng)補(bǔ)償系統(tǒng)不確定性和外部干擾，H∞項(xiàng)的引入導(dǎo)致控制器運(yùn)算量大，不易于航天實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[13]提出了自校正模糊PID非奇異快速終端滑?？刂?，有快速響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差小等優(yōu)點(diǎn)，但是采用計(jì)算量大的TDE算法來估計(jì)未知?jiǎng)恿W(xué)模型，而且所采用的PID控制增益影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。針對上述問題，本文設(shè)計(jì)了基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Wavelet neural network, WNN）的自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂扑惴?，利用WNN網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)上界，構(gòu)造的非奇異滑模面保證滑?？刂频姆瞧娈愋?，采用自適應(yīng)算法自動調(diào)整控制器參數(shù)，并且設(shè)計(jì)補(bǔ)償項(xiàng)，減少抖振，確保高精度跟蹤。
值得指出的是，空間機(jī)器人發(fā)射、運(yùn)行、維護(hù)成本很高，空間探測任務(wù)復(fù)雜、條件嚴(yán)苛，于是通常按照輕質(zhì)、承載力大、工作范圍廣的要求設(shè)計(jì)?？臻g機(jī)器人主要由基座、臂構(gòu)成，基座上固定有平行導(dǎo)軌，臂在導(dǎo)軌上移動工作。臂由若干桿鉸接而成，通常具有細(xì)長、結(jié)構(gòu)剛度偏低的特性，由安裝于鉸接處的諧波驅(qū)動柔輪驅(qū)動，而這種驅(qū)動器使電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角不同步，相當(dāng)于在兩者之間設(shè)置了力矩濾波器，引入了關(guān)節(jié)柔性。當(dāng)空間機(jī)器人受到外部太空激勵(lì)或執(zhí)行抓捕及后續(xù)一體化操作任務(wù)時(shí)，極易誘發(fā)導(dǎo)軌、關(guān)節(jié)、桿的彈性振動，從而影響運(yùn)動穩(wěn)定性。因此，為實(shí)現(xiàn)空間機(jī)器人的高精度、高穩(wěn)定性控制，建模時(shí)考慮基座、關(guān)節(jié)、臂的彈性特征很有必要，但是全彈性空間機(jī)器人運(yùn)動、振動控制勢必會增大建模、分解及控制器設(shè)計(jì)的難度。目前，針對彈性系統(tǒng)的研究已經(jīng)深入[14]，文獻(xiàn)[15]提出了柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人動力學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了基于觀測器的魯棒控制，但是并未考慮基座、臂桿柔性振動對系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[16]提出了彈性基座、柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人動力學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了高精度運(yùn)動控制算法，但是在建模分析及算法設(shè)計(jì)時(shí)均忽略了臂桿柔性。文獻(xiàn)[17]提出了柔性關(guān)節(jié)、柔性臂空間機(jī)器人動力學(xué)模型，但是將模型分解為慢變子系統(tǒng)與雙快變子系統(tǒng)，因此，導(dǎo)致運(yùn)動及振動控制器設(shè)計(jì)繁雜。文獻(xiàn)[18]提出了彈性基座、柔性臂空間機(jī)器人運(yùn)動控制及抑振方案，但是在模型設(shè)計(jì)時(shí)，未考慮關(guān)節(jié)柔性振動的影響，而且設(shè)計(jì)了基于混合軌跡的終端滑模算法，無法保證系統(tǒng)快速收斂。上述研究主要考慮基座、關(guān)節(jié)、臂部分構(gòu)件彈性的影響，而全彈性空間機(jī)器人的研究比較少見。
鑒于空天高精度控制對多重彈性振動抑制的必要要求以及空間機(jī)器人建模誤差及外部干擾的普遍存在性，本文針對基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于WNN結(jié)構(gòu)、混合軌跡法、減振線性二次最優(yōu)法的自適應(yīng)非奇異快速終端滑模復(fù)合控制算法。根據(jù)奇異攝動理論將全彈性系統(tǒng)分解為包含基座、關(guān)節(jié)彈性振動的快變子系統(tǒng)，包含基座、關(guān)節(jié)剛性運(yùn)動及桿彈性振動的慢變子系統(tǒng)。減振線性二次最優(yōu)法抑制快變子系統(tǒng)多重彈性振動，自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂茖?shí)現(xiàn)系統(tǒng)剛性運(yùn)動的高精度追蹤，滿足對建模誤差、外部干擾的不敏感性?；旌宪壽E法抑制多桿彈性振動，最后仿真校驗(yàn)了算法的可行性。
1 動力學(xué)建模及奇異攝動分解
1.1 基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人動力學(xué)建模
基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性影響下的漂浮基空間機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中，B0表示基座，Bi(i=1,2)為柔性桿，q0為基座姿態(tài)角，qi(i= 1,2)為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，qmi(i= 1,2)為關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角。將彈性基座、關(guān)節(jié)分別等效為線性彈簧、扭轉(zhuǎn)彈簧[19]，qb為基座彈性變量，σi=qmi-qi(i= 1,2)為關(guān)節(jié)柔性變量。柔性臂視作Euler-Bernoulli簡支梁，用假設(shè)模態(tài)法分析，并保留前兩階模態(tài)，vi（t）為t時(shí)刻桿Bi任意截面處橫向彈性變形。建立慣性坐標(biāo)系OXY及各分體連體坐標(biāo)系OjXjYj（j= 0,1,2），其中，O0與載體質(zhì)心重合，Oi(i= 1,2)在關(guān)節(jié)鉸幾何中心，OC為系統(tǒng)總質(zhì)心。
圖1 基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人Fig.1 Space robot with flexible-base two-flexible-link and two-flexible-joint
不計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)子質(zhì)量及重力，考慮外部擾動的影響，根據(jù)系統(tǒng)在慣性坐標(biāo)系中的幾何位置關(guān)系，結(jié)合質(zhì)心定理，拉格朗日方程得載體位置不控、姿態(tài)受控動力學(xué)模型：
1.2 模型奇異攝動分解
其中， I ∈R2×2為單位矩陣，Kc∈R2×2為對稱正定補(bǔ)償矩陣，un=unk+uns∈R2×1為待設(shè)計(jì)的控制器，式中unk為快變子系統(tǒng)控制器，uns為慢變子系統(tǒng)控制器。
根據(jù)動力學(xué)模型式(1)-(3)，快、慢變子變量，
總控制器式(4)，得包含qb、σ的快變子系統(tǒng)：
包含q、δ的慢變子系統(tǒng)：
2 控制算法分析
2.1 快變子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)
利用線性二次最優(yōu)算法同時(shí)抑制快變子系統(tǒng)式(5)中 bq、σ的振動，構(gòu)造性能指標(biāo)函數(shù)其中Rk∈R2×2為對稱正定矩陣，分別表示qk與unk的性能量度權(quán)重，現(xiàn)將快變子系統(tǒng)控制器（線性最優(yōu)雙重彈性減振控制器）設(shè)計(jì)為：
其中，Pk為黎卡提方程的解。
2.2 慢變子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)
2.2.1 魯棒非奇異快速終端滑模控制
定義變量：
其中，x∈Rn為任意矢量，?≥1為正常數(shù)，由式(10)得：
定義位置追蹤誤差e=q-qd，其中qd表示系統(tǒng)基座姿態(tài)、關(guān)節(jié)期望軌跡矢量。設(shè)計(jì)非奇異快速終端滑模面為：
式中，k1＞0，k2＞0，1＜β＜2，γ＞β。
滑模面式(12)對時(shí)間求導(dǎo)，并根據(jù)式(10)(11)得：
設(shè)計(jì)魯棒非奇異快速終端滑?？刂破鳎≧obust nonsingular fast terminal sliding mode control,RNFTSMC）為：
式中,us=-R0（ρ+δ）sgn(s)為切換控制器，uc=-R0Ks為補(bǔ)償控制器，補(bǔ)償系統(tǒng)不確定性引起的擾動。δ與K為任意正常數(shù)。
將式(15)代入式(13)得：
定理1：對于慢變剛性子系統(tǒng)式(9)，在設(shè)計(jì)的RNFTSMC控制律式(15)作用下，可確保系統(tǒng)剛性變量追蹤誤差e在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。
時(shí)間求導(dǎo)，并代入式(16)得：
其中，b1，b2為正常數(shù)，具體表達(dá)式如下所示：
為便于后文計(jì)算，式(17)計(jì)算得：
選取系統(tǒng)誤差從e≠0到e=0的趨近時(shí)間為tr，式(18)在 0～tr上取積分得：
若2b選取足夠大，可以確保下式成立：
基于上述分析可知，所設(shè)計(jì)的RNFTSMC，可以確保系統(tǒng)式(9)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。證畢。
2.2.2 基于WNN的自適應(yīng)非奇異快速終端滑模控制
NFTSMC的設(shè)計(jì)是假設(shè)總誤差Δu的最大上界ρ已知的，實(shí)際工作中，ρ值很難估算或求取，而且，為了確?？刂破鞯挠行?，當(dāng)Δu增大，ρ也增大，但是控制器中ρ值一旦確定，無法自行調(diào)整，導(dǎo)致抖振甚至控制失效，NFTSMC的局限性比較明顯。因此，本節(jié)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對ρ估計(jì)，目前，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)不確定性上限已獲得良好性能，考慮到WNN網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)少，逼近未知函數(shù)速度快，所以用來逼近ρ值。WNN在隱藏單元中包含有小波函數(shù)，結(jié)構(gòu)如圖2所示。
圖2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Wavelet neural network structure diagram
式中，mij為WNN節(jié)點(diǎn)伸縮參數(shù)，bij為節(jié)點(diǎn)平移參數(shù)。輸出值ρ表達(dá)式為ρ=WTΦ，其中。
設(shè)計(jì)基于WNN的自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂?Adaptive nonsingular fast terminal sliding mode control based on WNN, ANFTSMC-W)為：
更新律為：
其中，ωW，ωK為任意正常數(shù)，將式(23)(24)代入式(13)得：
定理2：對于子系統(tǒng)式(9)，在建模誤差與外部擾動完全未知的情況下，ANFTSMC-W控制律式(23)，及更新律式(24)，可確保系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂于滑模面s=0上。
證明：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)2V∈R為：
V2對時(shí)間求導(dǎo)，并代入式(23)(25)得：
將式(24)代入式(27)得：
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論得，慢變剛性子系統(tǒng)式(9)采用ANFTSMC-W控制律式(23)及更新律式(24)，可確保從初始狀態(tài)收斂到滑模面s=0上，結(jié)合定理1，得系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定，證畢。
2.2.3 改進(jìn)的WNN非奇異快速終端滑模控制
ANFTSMC-W只能實(shí)現(xiàn)慢變子系統(tǒng)基座姿態(tài)、關(guān)節(jié)q的軌跡精確追蹤，卻不能抑制臂彈性振動。為此使用虛擬力概念，修正原有的期望軌跡，構(gòu)造混合軌跡qh，設(shè)計(jì)改進(jìn)的ANFTSMC-W算法，實(shí)現(xiàn)q跟蹤及δ的抑振控制。引入虛擬力F∈R3×1，定義eh=qh-qd，生成eh的指令發(fā)生器如下所示：
其中，A,B∈R3×3為常正定對角矩陣。
令混合誤差er=q-qh，將控制器式(23)及更新律式(24)中qd、e及s分別替換為qh、er及sr，得改進(jìn)后的ANFTSMC-W為：
更新律為：
將控制器式(30)代入剛性子系統(tǒng)式(7)得：
設(shè)計(jì)虛擬力F為：
其中，Rs為性能指標(biāo)函數(shù)中F對應(yīng)的加權(quán)矩陣，Ps為對應(yīng)黎卡提方程的解。當(dāng)ηs=0或滿足條件式(35)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定[20]。
3 仿真試驗(yàn)與分析
為了驗(yàn)證本文提出的ANFTSMC-W的有效性，擬對圖1所示的存在建模誤差及外部擾動的全彈性空間機(jī)器人分別進(jìn)行彈性不控模式與彈性控制模式下的仿真研究。
全彈性空間機(jī)器人精確已知的模型參數(shù)值為：ρ1= 3.5kg·m ，ρ2= 1.1kg·m ，Jm1=Jm2= 0.1kg· m2，EI1=EI2= 100N/m2，km1=km1= 50Nm/rad ，kb= 500N/m 。對于存在建模誤差的參數(shù)，以誤差值占標(biāo)稱值的20%為指標(biāo)，即ξ=ξ0+0.2ξ0，其中ξ0為標(biāo)稱值，ξ為真實(shí)值。取基座標(biāo)稱質(zhì)量 (m0)0= 33kg ，標(biāo)稱轉(zhuǎn)動慣量 (J0)0= 25kg· m2，兩桿標(biāo)稱桿長(l1)0=(l2)0= 1.25m 。仿真起始，設(shè)系統(tǒng)彈性構(gòu)件（基座、關(guān)節(jié)、臂）均未變形，O0O1的距離l0= 1.5m ，初始構(gòu)形取為qb（0 ） = 0m ，q（0 ） =[ 0.7,0.95,1.2]Trad，δ（ 0）=0m ，qm（0 ） =[ 0.95,1.2]Trad ，各構(gòu)型高階項(xiàng)的初值全部取為 0，外部干擾選取為ud=[ 0 .5,0.5,0.5]T(N·m)。
取期望軌跡為qd=[ 0.5,1,1.5]Trad 。采用四階Runge-Kutta方法仿真，步長0.01 s，控制器參數(shù)選取為Kc=diag(80,80)，k1=k2= 0.1，γ=2.2，β=1.5，δ=ωW=ωK= 0.1。
3.1 彈性不控模式
關(guān)閉基座、關(guān)節(jié)彈性振動主動控制器unk，不采用抑制臂振動的虛擬力F，運(yùn)用式(4)(23)(24)構(gòu)成的算法仿真，結(jié)果如圖3-5所示，其中，圖3表示系統(tǒng)剛性軌跡q的追蹤曲線，圖4為快變子系統(tǒng)彈性變量qb、σ的振動曲線，圖5為慢變子系統(tǒng)彈性桿前兩階模態(tài)振動曲線。
圖3 軌跡跟蹤曲線Fig.3 Trajectory tracking curves
圖4 基座、關(guān)節(jié)彈性振動曲線Fig.4 Elastic vibration curves of base and joints
圖5 桿彈性振動曲線Fig.5 Elastic vibration curves of links
由圖3可知，基座姿態(tài)、關(guān)節(jié)1，關(guān)節(jié)2軌跡跟蹤振幅分別為0.01rad，0.02rad，0.005rad，收斂時(shí)間在2s以內(nèi)。軌跡跟蹤振幅小，收斂時(shí)間快，說明所設(shè)計(jì)的ANFTSMC-W控制律，在系統(tǒng)存在彈性影響的情況下，對系統(tǒng)建模誤差及外部干擾具有不敏感性，滿足快速收斂條件。由圖4-5可知，基座的彈性振幅在0.015m左右，關(guān)節(jié)2的彈性振幅在0.3rad左右，桿1與桿2的一階模態(tài)振幅均在0.01m左右。由于建模誤差及外部擾動等激勵(lì)作用，關(guān)節(jié)1及桿1的二階模態(tài)振動明顯增加。
3.2 彈性控制模式
開啟基座、關(guān)節(jié)彈性振動主動控制器unk、并引入虛擬力F，運(yùn)用式(4)(8)(30)(31)(34)構(gòu)成的算法仿真，結(jié)果如圖6-8所示，其中，圖6為系統(tǒng)剛性軌跡跟蹤曲線，圖7為qb、σ振動曲線，圖8為兩桿前兩階模態(tài)振動曲線。
圖6 軌跡跟蹤曲線Fig.6 Trajectory tracking curves
圖7 基座、關(guān)節(jié)彈性振動曲線Fig.7 Elastic vibration curves of base and joints
圖8 桿彈性振動曲線Fig.8 Elastic vibration curves of links
由圖6-8可知，采用本文的復(fù)合控制算法，q的跟蹤精度顯著提高，關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2的振動被抑制在±0 .1rad， ± 0.05rad 以內(nèi)，收斂時(shí)間在2s以內(nèi)，桿1、桿2的一階模態(tài)振動被抑制在±1.8mm以內(nèi)?；?、關(guān)節(jié)、臂的振動均得到有效抑制，并且穩(wěn)定后的振動維持在許可范圍內(nèi)。證實(shí)了本文提出基于WNN的自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂萍岸嘀貜椥詼p振控制構(gòu)成的復(fù)合控制算法具有跟蹤精度高、響應(yīng)速度快、避免奇異性(由所設(shè)計(jì)的非奇異滑模面決定)、對外界干擾和建模不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，并抑制多重彈性振動的特點(diǎn)。
4 結(jié) 論
針對存在參數(shù)建模誤差及外部干擾的基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人系統(tǒng)，提出了一種基于WNN的自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂扑惴ā２捎闷娈悢z動法分解全彈性空間機(jī)器人為慢、快變子系統(tǒng)。然后設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制算法，用WNN估計(jì)系統(tǒng)建模誤差與外部干擾的最大上界，用虛擬力抑制臂的振動，所設(shè)計(jì)的滑模面避免奇異值的產(chǎn)生。仿真結(jié)果表明，復(fù)合算法對系統(tǒng)建模誤差與外部干擾具有魯棒性，并且自主估計(jì)其有限上界，能主動控制系統(tǒng)基座、關(guān)節(jié)、臂多重彈性振動，且在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定、快速收斂。
由上述結(jié)論可知，文中所提出的算法能實(shí)現(xiàn)對全彈性空間機(jī)器人的運(yùn)動振動控制，未來將對如何利用全彈性空間機(jī)器人實(shí)現(xiàn)對非合作航天器的捕獲操作開展進(jìn)一步研究。
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付曉東，陳 力
（福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州 350108）
空間機(jī)器人在維修或捕獲故障衛(wèi)星，為航天器補(bǔ)給物資等方面發(fā)揮著不可替代的作用，大型空間部件（如太陽能電池，無線電天線）的安裝，空間站建造等都離不開空間機(jī)器人，因此，其動力學(xué)模擬及運(yùn)動控制技術(shù)受科研工作者廣泛關(guān)注[1-7]?？臻g機(jī)器人在地面環(huán)境中加工、組裝、調(diào)試，機(jī)械加工裝配誤差只能減弱，難以消除，而且一旦進(jìn)入極端惡劣的太空環(huán)境，易受宇宙射線等的沖擊，這些建模誤差及外部干擾易導(dǎo)致控制性能減弱，甚至失控的發(fā)生?；？刂剖翘幚砭哂袇?shù)攝動、外部擾動等非線性因素的有效方法，具有強(qiáng)魯棒、易工程化等優(yōu)點(diǎn)[8]，但存在有限時(shí)間收斂、抖振現(xiàn)象和奇異性等問題。為解決這些問題，研究人員提出了終端滑?？刂芠9]、快速終端滑?？刂芠10]、非奇異終端滑?？刂芠11]，解決了傳統(tǒng)滑?？刂频牟糠秩秉c(diǎn)。文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了魯棒非奇異快速終端滑?？刂破鳎諗克俣瓤?，且避免了奇異性，但在總控制器中引入H∞項(xiàng)補(bǔ)償系統(tǒng)不確定性和外部干擾，H∞項(xiàng)的引入導(dǎo)致控制器運(yùn)算量大，不易于航天實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[13]提出了自校正模糊PID非奇異快速終端滑?？刂?，有快速響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差小等優(yōu)點(diǎn)，但是采用計(jì)算量大的TDE算法來估計(jì)未知?jiǎng)恿W(xué)模型，而且所采用的PID控制增益影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。針對上述問題，本文設(shè)計(jì)了基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Wavelet neural network, WNN）的自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂扑惴?，利用WNN網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)上界，構(gòu)造的非奇異滑模面保證滑?？刂频姆瞧娈愋?，采用自適應(yīng)算法自動調(diào)整控制器參數(shù)，并且設(shè)計(jì)補(bǔ)償項(xiàng)，減少抖振，確保高精度跟蹤。
值得指出的是，空間機(jī)器人發(fā)射、運(yùn)行、維護(hù)成本很高，空間探測任務(wù)復(fù)雜、條件嚴(yán)苛，于是通常按照輕質(zhì)、承載力大、工作范圍廣的要求設(shè)計(jì)?？臻g機(jī)器人主要由基座、臂構(gòu)成，基座上固定有平行導(dǎo)軌，臂在導(dǎo)軌上移動工作。臂由若干桿鉸接而成，通常具有細(xì)長、結(jié)構(gòu)剛度偏低的特性，由安裝于鉸接處的諧波驅(qū)動柔輪驅(qū)動，而這種驅(qū)動器使電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角不同步，相當(dāng)于在兩者之間設(shè)置了力矩濾波器，引入了關(guān)節(jié)柔性。當(dāng)空間機(jī)器人受到外部太空激勵(lì)或執(zhí)行抓捕及后續(xù)一體化操作任務(wù)時(shí)，極易誘發(fā)導(dǎo)軌、關(guān)節(jié)、桿的彈性振動，從而影響運(yùn)動穩(wěn)定性。因此，為實(shí)現(xiàn)空間機(jī)器人的高精度、高穩(wěn)定性控制，建模時(shí)考慮基座、關(guān)節(jié)、臂的彈性特征很有必要，但是全彈性空間機(jī)器人運(yùn)動、振動控制勢必會增大建模、分解及控制器設(shè)計(jì)的難度。目前，針對彈性系統(tǒng)的研究已經(jīng)深入[14]，文獻(xiàn)[15]提出了柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人動力學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了基于觀測器的魯棒控制，但是并未考慮基座、臂桿柔性振動對系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[16]提出了彈性基座、柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人動力學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了高精度運(yùn)動控制算法，但是在建模分析及算法設(shè)計(jì)時(shí)均忽略了臂桿柔性。文獻(xiàn)[17]提出了柔性關(guān)節(jié)、柔性臂空間機(jī)器人動力學(xué)模型，但是將模型分解為慢變子系統(tǒng)與雙快變子系統(tǒng)，因此，導(dǎo)致運(yùn)動及振動控制器設(shè)計(jì)繁雜。文獻(xiàn)[18]提出了彈性基座、柔性臂空間機(jī)器人運(yùn)動控制及抑振方案，但是在模型設(shè)計(jì)時(shí)，未考慮關(guān)節(jié)柔性振動的影響，而且設(shè)計(jì)了基于混合軌跡的終端滑模算法，無法保證系統(tǒng)快速收斂。上述研究主要考慮基座、關(guān)節(jié)、臂部分構(gòu)件彈性的影響，而全彈性空間機(jī)器人的研究比較少見。
鑒于空天高精度控制對多重彈性振動抑制的必要要求以及空間機(jī)器人建模誤差及外部干擾的普遍存在性，本文針對基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于WNN結(jié)構(gòu)、混合軌跡法、減振線性二次最優(yōu)法的自適應(yīng)非奇異快速終端滑模復(fù)合控制算法。根據(jù)奇異攝動理論將全彈性系統(tǒng)分解為包含基座、關(guān)節(jié)彈性振動的快變子系統(tǒng)，包含基座、關(guān)節(jié)剛性運(yùn)動及桿彈性振動的慢變子系統(tǒng)。減振線性二次最優(yōu)法抑制快變子系統(tǒng)多重彈性振動，自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂茖?shí)現(xiàn)系統(tǒng)剛性運(yùn)動的高精度追蹤，滿足對建模誤差、外部干擾的不敏感性?；旌宪壽E法抑制多桿彈性振動，最后仿真校驗(yàn)了算法的可行性。
1 動力學(xué)建模及奇異攝動分解
1.1 基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人動力學(xué)建模
基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性影響下的漂浮基空間機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中，B0表示基座，Bi(i=1,2)為柔性桿，q0為基座姿態(tài)角，qi(i= 1,2)為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，qmi(i= 1,2)為關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角。將彈性基座、關(guān)節(jié)分別等效為線性彈簧、扭轉(zhuǎn)彈簧[19]，qb為基座彈性變量，σi=qmi-qi(i= 1,2)為關(guān)節(jié)柔性變量。柔性臂視作Euler-Bernoulli簡支梁，用假設(shè)模態(tài)法分析，并保留前兩階模態(tài)，vi（t）為t時(shí)刻桿Bi任意截面處橫向彈性變形。建立慣性坐標(biāo)系OXY及各分體連體坐標(biāo)系OjXjYj（j= 0,1,2），其中，O0與載體質(zhì)心重合，Oi(i= 1,2)在關(guān)節(jié)鉸幾何中心，OC為系統(tǒng)總質(zhì)心。
圖1 基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人Fig.1 Space robot with flexible-base two-flexible-link and two-flexible-joint
不計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)子質(zhì)量及重力，考慮外部擾動的影響，根據(jù)系統(tǒng)在慣性坐標(biāo)系中的幾何位置關(guān)系，結(jié)合質(zhì)心定理，拉格朗日方程得載體位置不控、姿態(tài)受控動力學(xué)模型：
1.2 模型奇異攝動分解
其中， I ∈R2×2為單位矩陣，Kc∈R2×2為對稱正定補(bǔ)償矩陣，un=unk+uns∈R2×1為待設(shè)計(jì)的控制器，式中unk為快變子系統(tǒng)控制器，uns為慢變子系統(tǒng)控制器。
根據(jù)動力學(xué)模型式(1)-(3)，快、慢變子變量，
總控制器式(4)，得包含qb、σ的快變子系統(tǒng)：
包含q、δ的慢變子系統(tǒng)：
2 控制算法分析
2.1 快變子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)
利用線性二次最優(yōu)算法同時(shí)抑制快變子系統(tǒng)式(5)中 bq、σ的振動，構(gòu)造性能指標(biāo)函數(shù)其中Rk∈R2×2為對稱正定矩陣，分別表示qk與unk的性能量度權(quán)重，現(xiàn)將快變子系統(tǒng)控制器（線性最優(yōu)雙重彈性減振控制器）設(shè)計(jì)為：
其中，Pk為黎卡提方程的解。
2.2 慢變子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)
2.2.1 魯棒非奇異快速終端滑模控制
定義變量：
其中，x∈Rn為任意矢量，?≥1為正常數(shù)，由式(10)得：
定義位置追蹤誤差e=q-qd，其中qd表示系統(tǒng)基座姿態(tài)、關(guān)節(jié)期望軌跡矢量。設(shè)計(jì)非奇異快速終端滑模面為：
式中，k1＞0，k2＞0，1＜β＜2，γ＞β。
滑模面式(12)對時(shí)間求導(dǎo)，并根據(jù)式(10)(11)得：
設(shè)計(jì)魯棒非奇異快速終端滑?？刂破鳎≧obust nonsingular fast terminal sliding mode control,RNFTSMC）為：
式中,us=-R0（ρ+δ）sgn(s)為切換控制器，uc=-R0Ks為補(bǔ)償控制器，補(bǔ)償系統(tǒng)不確定性引起的擾動。δ與K為任意正常數(shù)。
將式(15)代入式(13)得：
定理1：對于慢變剛性子系統(tǒng)式(9)，在設(shè)計(jì)的RNFTSMC控制律式(15)作用下，可確保系統(tǒng)剛性變量追蹤誤差e在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。
時(shí)間求導(dǎo)，并代入式(16)得：
其中，b1，b2為正常數(shù)，具體表達(dá)式如下所示：
為便于后文計(jì)算，式(17)計(jì)算得：
選取系統(tǒng)誤差從e≠0到e=0的趨近時(shí)間為tr，式(18)在 0～tr上取積分得：
若2b選取足夠大，可以確保下式成立：
基于上述分析可知，所設(shè)計(jì)的RNFTSMC，可以確保系統(tǒng)式(9)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。證畢。
2.2.2 基于WNN的自適應(yīng)非奇異快速終端滑模控制
NFTSMC的設(shè)計(jì)是假設(shè)總誤差Δu的最大上界ρ已知的，實(shí)際工作中，ρ值很難估算或求取，而且，為了確?？刂破鞯挠行?，當(dāng)Δu增大，ρ也增大，但是控制器中ρ值一旦確定，無法自行調(diào)整，導(dǎo)致抖振甚至控制失效，NFTSMC的局限性比較明顯。因此，本節(jié)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對ρ估計(jì)，目前，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)不確定性上限已獲得良好性能，考慮到WNN網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)少，逼近未知函數(shù)速度快，所以用來逼近ρ值。WNN在隱藏單元中包含有小波函數(shù)，結(jié)構(gòu)如圖2所示。
圖2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Wavelet neural network structure diagram
式中，mij為WNN節(jié)點(diǎn)伸縮參數(shù)，bij為節(jié)點(diǎn)平移參數(shù)。輸出值ρ表達(dá)式為ρ=WTΦ，其中。
設(shè)計(jì)基于WNN的自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂?Adaptive nonsingular fast terminal sliding mode control based on WNN, ANFTSMC-W)為：
更新律為：
其中，ωW，ωK為任意正常數(shù)，將式(23)(24)代入式(13)得：
定理2：對于子系統(tǒng)式(9)，在建模誤差與外部擾動完全未知的情況下，ANFTSMC-W控制律式(23)，及更新律式(24)，可確保系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂于滑模面s=0上。
證明：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)2V∈R為：
V2對時(shí)間求導(dǎo)，并代入式(23)(25)得：
將式(24)代入式(27)得：
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論得，慢變剛性子系統(tǒng)式(9)采用ANFTSMC-W控制律式(23)及更新律式(24)，可確保從初始狀態(tài)收斂到滑模面s=0上，結(jié)合定理1，得系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定，證畢。
2.2.3 改進(jìn)的WNN非奇異快速終端滑模控制
ANFTSMC-W只能實(shí)現(xiàn)慢變子系統(tǒng)基座姿態(tài)、關(guān)節(jié)q的軌跡精確追蹤，卻不能抑制臂彈性振動。為此使用虛擬力概念，修正原有的期望軌跡，構(gòu)造混合軌跡qh，設(shè)計(jì)改進(jìn)的ANFTSMC-W算法，實(shí)現(xiàn)q跟蹤及δ的抑振控制。引入虛擬力F∈R3×1，定義eh=qh-qd，生成eh的指令發(fā)生器如下所示：
其中，A,B∈R3×3為常正定對角矩陣。
令混合誤差er=q-qh，將控制器式(23)及更新律式(24)中qd、e及s分別替換為qh、er及sr，得改進(jìn)后的ANFTSMC-W為：
更新律為：
將控制器式(30)代入剛性子系統(tǒng)式(7)得：
設(shè)計(jì)虛擬力F為：
其中，Rs為性能指標(biāo)函數(shù)中F對應(yīng)的加權(quán)矩陣，Ps為對應(yīng)黎卡提方程的解。當(dāng)ηs=0或滿足條件式(35)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定[20]。
3 仿真試驗(yàn)與分析
為了驗(yàn)證本文提出的ANFTSMC-W的有效性，擬對圖1所示的存在建模誤差及外部擾動的全彈性空間機(jī)器人分別進(jìn)行彈性不控模式與彈性控制模式下的仿真研究。
全彈性空間機(jī)器人精確已知的模型參數(shù)值為：ρ1= 3.5kg·m ，ρ2= 1.1kg·m ，Jm1=Jm2= 0.1kg· m2，EI1=EI2= 100N/m2，km1=km1= 50Nm/rad ，kb= 500N/m 。對于存在建模誤差的參數(shù)，以誤差值占標(biāo)稱值的20%為指標(biāo)，即ξ=ξ0+0.2ξ0，其中ξ0為標(biāo)稱值，ξ為真實(shí)值。取基座標(biāo)稱質(zhì)量 (m0)0= 33kg ，標(biāo)稱轉(zhuǎn)動慣量 (J0)0= 25kg· m2，兩桿標(biāo)稱桿長(l1)0=(l2)0= 1.25m 。仿真起始，設(shè)系統(tǒng)彈性構(gòu)件（基座、關(guān)節(jié)、臂）均未變形，O0O1的距離l0= 1.5m ，初始構(gòu)形取為qb（0 ） = 0m ，q（0 ） =[ 0.7,0.95,1.2]Trad，δ（ 0）=0m ，qm（0 ） =[ 0.95,1.2]Trad ，各構(gòu)型高階項(xiàng)的初值全部取為 0，外部干擾選取為ud=[ 0 .5,0.5,0.5]T(N·m)。
取期望軌跡為qd=[ 0.5,1,1.5]Trad 。采用四階Runge-Kutta方法仿真，步長0.01 s，控制器參數(shù)選取為Kc=diag(80,80)，k1=k2= 0.1，γ=2.2，β=1.5，δ=ωW=ωK= 0.1。
3.1 彈性不控模式
關(guān)閉基座、關(guān)節(jié)彈性振動主動控制器unk，不采用抑制臂振動的虛擬力F，運(yùn)用式(4)(23)(24)構(gòu)成的算法仿真，結(jié)果如圖3-5所示，其中，圖3表示系統(tǒng)剛性軌跡q的追蹤曲線，圖4為快變子系統(tǒng)彈性變量qb、σ的振動曲線，圖5為慢變子系統(tǒng)彈性桿前兩階模態(tài)振動曲線。
圖3 軌跡跟蹤曲線Fig.3 Trajectory tracking curves
圖4 基座、關(guān)節(jié)彈性振動曲線Fig.4 Elastic vibration curves of base and joints
圖5 桿彈性振動曲線Fig.5 Elastic vibration curves of links
由圖3可知，基座姿態(tài)、關(guān)節(jié)1，關(guān)節(jié)2軌跡跟蹤振幅分別為0.01rad，0.02rad，0.005rad，收斂時(shí)間在2s以內(nèi)。軌跡跟蹤振幅小，收斂時(shí)間快，說明所設(shè)計(jì)的ANFTSMC-W控制律，在系統(tǒng)存在彈性影響的情況下，對系統(tǒng)建模誤差及外部干擾具有不敏感性，滿足快速收斂條件。由圖4-5可知，基座的彈性振幅在0.015m左右，關(guān)節(jié)2的彈性振幅在0.3rad左右，桿1與桿2的一階模態(tài)振幅均在0.01m左右。由于建模誤差及外部擾動等激勵(lì)作用，關(guān)節(jié)1及桿1的二階模態(tài)振動明顯增加。
3.2 彈性控制模式
開啟基座、關(guān)節(jié)彈性振動主動控制器unk、并引入虛擬力F，運(yùn)用式(4)(8)(30)(31)(34)構(gòu)成的算法仿真，結(jié)果如圖6-8所示，其中，圖6為系統(tǒng)剛性軌跡跟蹤曲線，圖7為qb、σ振動曲線，圖8為兩桿前兩階模態(tài)振動曲線。
圖6 軌跡跟蹤曲線Fig.6 Trajectory tracking curves
圖7 基座、關(guān)節(jié)彈性振動曲線Fig.7 Elastic vibration curves of base and joints
圖8 桿彈性振動曲線Fig.8 Elastic vibration curves of links
由圖6-8可知，采用本文的復(fù)合控制算法，q的跟蹤精度顯著提高，關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2的振動被抑制在±0 .1rad， ± 0.05rad 以內(nèi)，收斂時(shí)間在2s以內(nèi)，桿1、桿2的一階模態(tài)振動被抑制在±1.8mm以內(nèi)?；?、關(guān)節(jié)、臂的振動均得到有效抑制，并且穩(wěn)定后的振動維持在許可范圍內(nèi)。證實(shí)了本文提出基于WNN的自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂萍岸嘀貜椥詼p振控制構(gòu)成的復(fù)合控制算法具有跟蹤精度高、響應(yīng)速度快、避免奇異性(由所設(shè)計(jì)的非奇異滑模面決定)、對外界干擾和建模不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，并抑制多重彈性振動的特點(diǎn)。
4 結(jié) 論
針對存在參數(shù)建模誤差及外部干擾的基座、關(guān)節(jié)、臂全彈性空間機(jī)器人系統(tǒng)，提出了一種基于WNN的自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂扑惴ā２捎闷娈悢z動法分解全彈性空間機(jī)器人為慢、快變子系統(tǒng)。然后設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制算法，用WNN估計(jì)系統(tǒng)建模誤差與外部干擾的最大上界，用虛擬力抑制臂的振動，所設(shè)計(jì)的滑模面避免奇異值的產(chǎn)生。仿真結(jié)果表明，復(fù)合算法對系統(tǒng)建模誤差與外部干擾具有魯棒性，并且自主估計(jì)其有限上界，能主動控制系統(tǒng)基座、關(guān)節(jié)、臂多重彈性振動，且在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定、快速收斂。
由上述結(jié)論可知，文中所提出的算法能實(shí)現(xiàn)對全彈性空間機(jī)器人的運(yùn)動振動控制，未來將對如何利用全彈性空間機(jī)器人實(shí)現(xiàn)對非合作航天器的捕獲操作開展進(jìn)一步研究。
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