張 晶，朱欣華，蘇 巖

（南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

本文研究的硅微諧振式加速度計(jì)（Silicon Resonant Accelerometer, SRA）是通過(guò)硅微機(jī)械加工工藝制作的一類典型慣性器件，其具有較大的線性量程與較高的標(biāo)度因數(shù)，同時(shí)，其敏感信號(hào)能夠在進(jìn)入電路前被調(diào)制在諧振器的工作頻率上，保證信號(hào)在傳輸和處理中不易受到后續(xù)電路各環(huán)節(jié)增益變化的影響。另外，由于導(dǎo)致其漂移的因素相對(duì)較少，更容易實(shí)現(xiàn)高的零偏穩(wěn)定性和標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性[1,2]，因此被認(rèn)為是更具前景的高性能小型化MEMS加速度計(jì)方案，并逐漸成為研究熱點(diǎn)[3]。但研究發(fā)現(xiàn)，由于現(xiàn)有的SRA主要采用幅度控制的測(cè)控方案，諧振器在振動(dòng)過(guò)程中的大變形產(chǎn)生的非線性效應(yīng)使得振動(dòng)頻率中耦合了振動(dòng)幅度[4-6]，繼而將電路中幅度噪聲轉(zhuǎn)換為頻率噪聲[7]，嚴(yán)重影響SRA的零偏不穩(wěn)定性。為保證輸出信號(hào)的信噪比，降低空氣阻尼的影響，SRA的封裝真空度在0.1 Pa～1 Pa之間，對(duì)應(yīng)的諧振器Q值在10000以上；SRA使用的硅材料是一種普遍被認(rèn)為線性度很好的材料，但Q值（品質(zhì)因數(shù)）越高，硅微諧振器的最大振幅越容易被放大，非線性變形越明顯，故產(chǎn)生的非線性幅頻耦合效應(yīng)越不可忽視[8]。

為了降低幅頻效應(yīng)的耦合，天津大學(xué)韓建鑫等建立了時(shí)滯速度反饋系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)阻尼系數(shù)的調(diào)節(jié)[9]，進(jìn)而通過(guò)人為降低Q值的方式提高諧振器振動(dòng)的線性范圍。但本文研究的SRA采用圓片級(jí)真空封裝工藝[10]，空氣阻尼是影響Q值的主要因素，而諧振器振動(dòng)時(shí)無(wú)法改變其空氣阻尼，即難以調(diào)節(jié)系統(tǒng)阻尼系數(shù)。意大利米蘭理工大學(xué)的Comi等研究學(xué)者，為了解決類似的問(wèn)題，提出T型質(zhì)量塊設(shè)計(jì)，通過(guò)改進(jìn)面外扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的諧振器與敏感質(zhì)量塊的約束方式，降低諧振器振動(dòng)時(shí)耦合的檢測(cè)質(zhì)量，從而提高諧振器線性振動(dòng)的范圍[11]?；诂F(xiàn)有研究，本文首先從驅(qū)動(dòng)力控制和諧振器音叉結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)兩個(gè)方面對(duì)諧振器非線性振動(dòng)進(jìn)行理論分析，指出抑制非線性振動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力控制范圍；進(jìn)一步地，基于特定Q值與SRA結(jié)構(gòu)，通過(guò)改變諧振器的邊界條件，降低諧振器的非線性剛度，提升線性振動(dòng)的最大振幅，有效增大驅(qū)動(dòng)力的控制范圍；最后，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)完成驗(yàn)證。

1 驅(qū)動(dòng)力控制對(duì)諧振 器非線性效應(yīng)的影響

1.1 諧振器非線性振動(dòng)的等效模型

本文研究的SRA簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖1，整體敏感結(jié)構(gòu)在x方向和y方向?qū)ΨQ設(shè)計(jì)，包含兩個(gè)諧振器、兩對(duì)微杠桿、質(zhì)量塊、支撐結(jié)構(gòu)和固定錨點(diǎn)。整體結(jié)構(gòu)在y、z方向的剛度很大，不易產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)；在x方向上剛度低，容易敏感該方向的加速度輸入。當(dāng)外界加速度作用在x方向上時(shí)，質(zhì)量塊沿x軸發(fā)生平動(dòng)，同時(shí)產(chǎn)生慣性力作用在微杠桿上；慣性力通過(guò)微杠桿得到放大并傳遞給諧振器，分別在兩個(gè)對(duì)稱的諧振器末端產(chǎn)生推力和拉力，使得一個(gè)諧振器因受壓振動(dòng)頻率降低，另一個(gè)諧振器因受拉振動(dòng)頻率增大，最終通過(guò)兩個(gè)諧振器的差分諧振頻率測(cè)算輸入加速度的大小。

圖1 SRA簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 SRA simplified structure diagram

基于SRA結(jié)構(gòu)對(duì)稱的特點(diǎn)，研究諧振器的非線性振動(dòng)可取四分之一結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，則對(duì)于單個(gè)諧振梁而言，其梁中部受到作用于梳齒結(jié)構(gòu)的靜電驅(qū)動(dòng)力P，約束可近似為一端固支，另一端在x方向連接剛度為ka的等效彈簧（微杠桿及質(zhì)量塊支撐梁組合的等效剛度），等效力學(xué)模型如圖2，所謂諧振梁的非線性振動(dòng)過(guò)程如圖2中虛線所示，在驅(qū)動(dòng)力P的作用下產(chǎn)生非線性變形。

圖2 SRA諧振器等效力學(xué)模型Fig.2 Equivalent mechanical model of SRA resonator

在恒定溫度環(huán)境下，諧振梁振動(dòng)的幅頻關(guān)系[12]（達(dá)芬方程）為：

其中，ωF為驅(qū)動(dòng)力變化的頻率，ωn為諧振梁橫向振動(dòng)的固有頻率，Xm為諧振器振動(dòng)的振幅，K1為梁振動(dòng)的等效1階剛度，K3為梁振動(dòng)的等效3階剛度（即非線性剛度），Q為諧振器的品質(zhì)因數(shù)，Pm為驅(qū)動(dòng)力的最大幅度。諧振器的振幅最大時(shí)，設(shè)Xm=Am，此時(shí)Am與驅(qū)動(dòng)力頻率ωF的關(guān)系：

定義驅(qū)動(dòng)力頻率與固有頻率的比值ωF/ωn為頻率比，定義Xm/(Pm/K1)為振動(dòng)過(guò)程中的振幅放大因子，理想情況下ωF=ωn時(shí)，諧振梁在驅(qū)動(dòng)力作用下實(shí)現(xiàn)共振，達(dá)到最大振幅比，但由于非線性剛度K3的存在，導(dǎo)致了式(1)所代表的非線性效應(yīng)成為SRA普遍存在的問(wèn)題。

1.2 通過(guò)驅(qū)動(dòng)力調(diào)節(jié)諧振器非線性振動(dòng)

實(shí)際工作過(guò)程中，SRA樣機(jī)選擇通用的±12 V電源，為保證偏置電壓穩(wěn)定，選擇10 V的電壓基準(zhǔn)芯片，所以樣機(jī)使用Vp=10 V的直流偏置電壓，改變驅(qū)動(dòng)力幅值Pm主要依靠控制交流驅(qū)動(dòng)電壓的幅值|Vac|，以|Vac|=10 mV為例，

其中，Ke為梳齒結(jié)構(gòu)的電容變化量。式(3)代入式(1)可得頻率比與振幅放大因子之間的關(guān)系，如圖3，在品質(zhì)因數(shù)為Q= 20832的高真空封裝環(huán)境[12]中，振動(dòng)過(guò)程的最大振幅放大了18000倍，但由于該振動(dòng)系統(tǒng)中的非線性剛度K3＞ 0（諧振器剛度硬化），當(dāng)ωF=ωn時(shí)，諧振器并沒(méi)有達(dá)到最大振幅比，頻率曲線向高頻的方向偏移，且虛線區(qū)域?qū)?yīng)的頻率范圍出現(xiàn)振動(dòng)幅值的滯回，從而產(chǎn)生不穩(wěn)定區(qū)域（即當(dāng)頻率比由小增大到圖3中“Jump-down”對(duì)應(yīng)的位置時(shí)，諧振器最大振幅會(huì)直接躍降為更大頻率比對(duì)應(yīng)的實(shí)線位置；反之，當(dāng)頻率比由大減小至“Jump-up”對(duì)應(yīng)的位置時(shí)，振幅也會(huì)躍升到更小頻率比對(duì)應(yīng)的實(shí)線位置），從而導(dǎo)致諧振頻率的不穩(wěn)定。

圖3 SRA諧振器在10 mV交流驅(qū)動(dòng)電壓下的頻率比與振幅放大因子之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between frequency ratio and amplitude amplification factor of SRA resonator under 10 mV AC driving voltage

對(duì)于SRA諧振器的非線性幅頻關(guān)系，Q值取決于器件的真空度，認(rèn)為保持恒定；K1與K3取決于諧振器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。式(3)可知，不同的交流電壓幅值|Vac|對(duì)應(yīng)不同的驅(qū)動(dòng)力幅值Pm，可調(diào)節(jié)諧振器的非線性振動(dòng)響應(yīng)，得到不同的諧振器的最大振幅Am。如圖4，列舉了不同交流驅(qū)動(dòng)電壓幅值|Vac|對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)，在結(jié)構(gòu)不變的前提下，|Vac|降低至1.5 mV時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)可以擺脫不穩(wěn)定滯回的現(xiàn)象；|Vac|降低至0.5 mV時(shí)，才能保證在ωF=ωn時(shí)產(chǎn)生近似于理想情況的最大振幅比，但此時(shí)諧振器最大振動(dòng)幅度只有0.028 μm，極易混入驅(qū)動(dòng)電路的幅度噪聲[13]。因此給設(shè)計(jì)者提出了要求：在不影響SRA指標(biāo)的前提下，盡可能從設(shè)計(jì)角度尋求降低非線性剛度的方法[14]，降低幅度與頻率的耦合程度，才能有效提高線性振動(dòng)對(duì)應(yīng)的最大振幅，減少幅度噪聲的對(duì)輸出信號(hào)的影響。

圖4 SRA諧振器在不同驅(qū)動(dòng)電壓下的幅頻響應(yīng)Fig.4 Amplitude-frequency response of SRA resonator under different driving voltage

2 抑制諧振器非線性效應(yīng)的結(jié)構(gòu)改進(jìn)方法

圖2所示的SRA諧振器約束條件對(duì)應(yīng)的非線性剛度K3為[12]：

其中，E為單晶硅的楊氏模量，A為諧振梁橫截面積，L為諧振梁的梁長(zhǎng)，ka為諧振梁一端約束的等效剛度（取決于杠桿結(jié)構(gòu)的輸出剛度），具體參數(shù)如表1。

由式(4)可知調(diào)整諧振梁長(zhǎng)、寬等參數(shù)可以調(diào)節(jié)K3，優(yōu)化杠桿結(jié)構(gòu)的輸出剛度，減小ka也可以調(diào)節(jié)K3；但SRA加速度計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)往往需要協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)，為了降低非線性剛度而降低杠桿的輸出剛度，則會(huì)影響杠桿的放大倍數(shù)及其他力學(xué)特性。為了避免二者的矛盾，本節(jié)通過(guò)改進(jìn)諧振梁的邊界條件：用C形梁式的諧振器代替原有加速度計(jì)結(jié)構(gòu)的I形梁，如圖5(a)，諧振梁“BC”由長(zhǎng)度為a的短梁“AB”以折疊的形式與框架和杠桿系統(tǒng)相連，使得諧振梁終點(diǎn)B、C不再完全約束在框架和杠桿系統(tǒng)上，在驅(qū)動(dòng)力P的作用下，B、C端的轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)自由。在恒溫狀態(tài)且沒(méi)有加速度輸入的前提下，對(duì)該C形梁的受力分析如圖5(b)，可得C形梁BC段的彎矩M（x,t）與軸向力F（x,t）分別為：

圖5 C形梁與I形梁的對(duì)比分析Fig.5 Comparative analysis of C-shaped beam and I-shaped beam

其中，a為“AB”段長(zhǎng)度，F(xiàn)為慣性力傳遞到諧振器端部的軸向力，RC為諧振梁“BC”端的虛擬力。由式(6)可得：

由于C形梁的彈性特性決定C、D點(diǎn)在x方向位移Cδ、δD不一致，所以軸向邊界條件為：

運(yùn)用卡式定理[15]的思想, 若想求得C端沿x方向的位移Cδ，假設(shè)C點(diǎn)受到沿x方向的虛力為RC，計(jì)算可得Cδ：

為了與I形梁形成對(duì)比，可假設(shè)C形梁振動(dòng)的末端同樣有等效彈性結(jié)構(gòu)，設(shè)其等效剛度為ka*，則

根據(jù)非線性剛度計(jì)算公式[12]可得C形梁的BC段等效非線性剛度：

其中，w、b分別是諧振梁的梁寬和結(jié)構(gòu)層的厚度。

對(duì)于結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的SRA加速度計(jì)，式(11)中諧振梁“AB”段長(zhǎng)度a與非線性剛度K3*的關(guān)系如圖6所示，在10 μm ＜a＜ 100 μm范圍內(nèi)，K3*遞減且在前40 μm內(nèi)減小幅度明顯?？紤]到諧振梁的壓桿穩(wěn)定，最終設(shè)計(jì)C形梁的連接梁長(zhǎng)a= 30 μm，其他相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。如圖7比較了相同結(jié)構(gòu)參數(shù)下I形梁和C形梁的非線性振動(dòng)效應(yīng)，C形梁的幅頻耦合效應(yīng)明顯弱于I形梁。對(duì)比圖4和圖7可以看出，確保C形梁諧振器擺脫不穩(wěn)定滯回現(xiàn)象的交流電壓幅值|Vac|，從1.5 mV增大到2.5 mV，相比I形梁提升了66%；與I形梁線性振動(dòng)對(duì)應(yīng)的0.5 mV相比，C形梁的|Vac|降低至1.3 mV時(shí)，在ωF=ωn時(shí)即可產(chǎn)生近似于理想情況的最大振幅比，線性振動(dòng)區(qū)域提高為原來(lái)的2.6倍，即在同等結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下，C形梁的非線性效應(yīng)可以得到較為有效的抑制。

圖6 C形梁的“AB”段連接梁長(zhǎng)度與非線性剛度的關(guān)系Fig.6 The relationship between the length of the "AB" section connecting beam of C-shaped beam and the nonlinear stiffness

圖7 C形梁與I形梁諧振器在不同驅(qū)動(dòng)電壓下的幅頻響應(yīng)Fig.7 Comparison of amplitude-frequency response for C-beam and I-beam resonator under different driving voltages

表1 I形梁與C形梁的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Related structural parameters of I-shaped beams and C-shaped beams

3 非線性實(shí)驗(yàn)

分別將I形梁和C形梁諧振器對(duì)應(yīng)的SRA樣機(jī)置于溫度恒定25℃（防止溫度變化造成諧振器固有頻率的漂移）溫箱內(nèi)的水平面上，設(shè)定無(wú)加速度輸入，電源、萬(wàn)用表、示波器和信號(hào)發(fā)生器等放置在溫箱外，并通過(guò)信號(hào)線伸入溫箱與讀出電路板的對(duì)應(yīng)接口相連，如圖8所示。

圖8 非線性實(shí)驗(yàn)設(shè)備搭建Fig.8 Non-linear experimental equipment construction

改變交流驅(qū)動(dòng)電壓的幅度|Vac|分別為：20、15、12、10、8、6、4、2、1 mV，每次改變驅(qū)動(dòng)電壓后進(jìn)行開(kāi)環(huán)掃頻，記錄該過(guò)程檢測(cè)電壓Vs出現(xiàn)的最大幅值，換算為諧振器的最大振幅Am，并記錄Am對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力頻率ωF，每次測(cè)試結(jié)果記錄如圖9所示，可見(jiàn)C形梁諧振器的幅頻耦合程度明顯低于I形梁諧振器。分別將I形梁和C形梁諧振器的每組結(jié)果代入式(2)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，求得非線性剛度實(shí)驗(yàn)值，與理論計(jì)算值對(duì)比，詳見(jiàn)表2?？梢?jiàn)，兩者誤差均在15%內(nèi)，驗(yàn)證了理論建模的可靠性。同時(shí)，對(duì)比兩種諧振器設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，I形梁諧振器K3=1.467×1012N/m3，C形梁諧振器K3*=0.496×1012N/m3，非線性剛度降低為原來(lái)的41%，較明顯地抑制了振動(dòng)幅度與頻率耦合的程度。

圖9 兩種結(jié)構(gòu)形式的諧振梁非線性剛度的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)Fig.9 Calibration experiment of nonlinear stiffness of resonant beams with two types of structures

表2 非線性剛度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of experimental results of nonlinear stiffness

4 結(jié) 論

本文針對(duì)SRA高Q值諧振器易受非線性振動(dòng)影響并惡化SRA的零偏不穩(wěn)定性的問(wèn)題，首先從源頭分析了諧振器非線性振動(dòng)產(chǎn)生的原因，然后從驅(qū)動(dòng)力控制的角度對(duì)非線性振動(dòng)產(chǎn)生的幅頻耦合效應(yīng)進(jìn)行了理論分析，指出了線性振動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力調(diào)節(jié)范圍；進(jìn)一步地，詳細(xì)討論了在結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的前提下，如何對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)，繼而有效降低非線性剛度。本文提出的C形梁諧振器的結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)方案，核心原理是通過(guò)改變諧振器與杠桿等部分的邊界約束條件，降低等效剛度ka，從而降低非線性剛度K3。借助C形梁的諧振器設(shè)計(jì)，非線性剛度降低為原來(lái)的41%，有效抑制了諧振器振動(dòng)幅度與頻率的耦合，增大了諧振器線性振動(dòng)的范圍。通過(guò)對(duì)比測(cè)試改進(jìn)前后的諧振器輸出，驗(yàn)證了理論分析與設(shè)計(jì)方案的可行性；同時(shí)，證明了諧振器的結(jié)構(gòu)改進(jìn)使其線性振動(dòng)的動(dòng)態(tài)范圍提升了66%，繼而有助于降低幅度噪聲對(duì)信號(hào)的影響。