陳 剛，唐明浩，張海峰，楊松普，賈晨凱

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

半球諧振陀螺是一種基于哥氏效應(yīng)敏感外界角速度的振動陀螺儀。相比傳統(tǒng)機(jī)械陀螺，它結(jié)構(gòu)簡單，核心工作部件只有石英諧振子和電極基座，并且依靠微幅振動工作，無機(jī)械磨損，使其具有造價(jià)低、可靠性高、壽命長的特點(diǎn)。與光學(xué)陀螺相比，它具有更佳的成本、尺寸、質(zhì)量和功耗比(C-SWaP)[1]。

半球諧振陀螺有力反饋和全角兩種工作模式。在力反饋模式中，振型被控制在振型角0°位置，力反饋控制力與哥氏力成正比，據(jù)此可以計(jì)算出陀螺敏感的角速度，此模式陀螺為速率陀螺。由于抑制哥氏力進(jìn)動的靜電力施力效率不高，可平衡的哥氏力范圍有限，因此陀螺測量動態(tài)范圍小。在全角模式中，振型在諧振子周向自由進(jìn)動，因?yàn)檎裥瓦M(jìn)動的角速度與外部輸入角速度相差布萊恩系數(shù)，可以通過檢測振型的進(jìn)動角增量計(jì)算陀螺敏感的角速度，此模式陀螺為速率積分陀螺。全角模式的高帶寬、大量程，以及穩(wěn)定的標(biāo)度因數(shù)使其能夠工作在高動態(tài)的環(huán)境中，但是其允許諧振子自由進(jìn)動的特性，也帶來了陀螺漂移隨振型位置變化的弊端，因此以主動驅(qū)動振型旋轉(zhuǎn)的方式調(diào)制掉漂移從而提高系統(tǒng)等效精度很有必要。

法國賽峰電子與防務(wù)公司是目前世界上最成功的半球諧振陀螺制造商之一，它在20世紀(jì)90年代開始研制半球諧振陀螺，指出能夠通過驅(qū)動振型進(jìn)動一周來調(diào)制漂移，這項(xiàng)技術(shù)是賽峰公司全角半球諧振陀螺成功的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)[2-5]。國內(nèi)外也有一些學(xué)者對半球諧振陀螺調(diào)制漂移這項(xiàng)技術(shù)進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[6]提出了振型自進(jìn)動技術(shù)，通過控制驅(qū)動力驅(qū)使振型進(jìn)動，減小阻尼不均漂移在陀螺輸出中的占比；文獻(xiàn)[7]提出了虛擬旋轉(zhuǎn)技術(shù)，分析了施加不同大小虛擬旋轉(zhuǎn)速度時(shí)對陀螺輸出的影響。

上述文獻(xiàn)缺乏對振型驅(qū)動機(jī)理的分析。本文從半球諧振陀螺理想運(yùn)動方程出發(fā)，推導(dǎo)了陀螺在理想和非理想情況下的橢圓參數(shù)控制方程，詳細(xì)說明了陀螺驅(qū)動振型進(jìn)動的機(jī)理，根據(jù)半球諧振陀螺的漂移特性，提出了一種主動驅(qū)動振型進(jìn)動的半球諧振陀螺旋轉(zhuǎn)調(diào)制方法。比較陀螺工作在全角模式和旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式下的陀螺漂移Allan方差，并從慣導(dǎo)系統(tǒng)的角度出發(fā)，通過半實(shí)物仿真對旋轉(zhuǎn)調(diào)制的效果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 諧振陀螺理想運(yùn)動方程

半球諧振陀螺二階振動模態(tài)的運(yùn)動方程是一個(gè)二階線性微分方程組[8]，如式(1)(2)。方程組的兩個(gè)方程分別描述了激勵模態(tài)和檢測模態(tài)，兩個(gè)模態(tài)通過外部輸入角速度Ω耦合。由相似系統(tǒng)理論可知，諧振子的運(yùn)動方程可以等效為二維彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型，如圖1。

圖1 二維彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型Fig.1 Two-dimensional spring-mass model

將等式兩邊都除模態(tài)質(zhì)量m：

并且方程有解：

其中，0ω為諧振子固有頻率，k為諧振子剛度，α為布萊恩系數(shù)，x，y分別為相互正交的檢測軸X，Y處的位移，a為振動波腹點(diǎn)的振幅，q為振動波節(jié)點(diǎn)的振幅，θ為振型角，fx，fy為諧振子受到的控制力。

可以將二維彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型表達(dá)為向量形式：

方程的解為：

令：

將上述定義帶入方程（5）（6）進(jìn)行整理：

或：

方程的解為：

由此得到向量形式的陀螺等效二維彈簧-質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程，這為推導(dǎo)陀螺振型進(jìn)動驅(qū)動控制方程提供了基礎(chǔ)。

2 諧振陀螺振型進(jìn)動驅(qū)動控制方程

在等效的二維彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為一個(gè)橢圓，a表示橢圓的長軸，對應(yīng)振動波腹點(diǎn)的振幅；q表示橢圓的短軸，對應(yīng)振動波節(jié)點(diǎn)的振幅；θ為橢圓長軸相對于電極坐標(biāo)系的夾角，對應(yīng)振型角；ω為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的頻率，對應(yīng)振動的頻率。稱這四個(gè)變量為橢圓參數(shù)；a、q、θ可以通過全角模式下檢測并計(jì)算得出，ω等于激勵力的頻率。

假設(shè)激勵力的頻率不等于固有頻率：

則式(9)變?yōu)椋?/p>

為了得到用橢圓參數(shù)為變量的方程，需要消去r。忽略a˙˙和q˙˙，用正交的振動相位和空間位置劃分各項(xiàng)：

其中φ= (ω0+δω)t。

將式(11)-(14)帶入式(8)，并忽略小量可得：

由式(15)可得橢圓參數(shù)相關(guān)量對應(yīng)著振動不同的位置和相位，當(dāng)施加對應(yīng)的控制力，就可以分別對橢圓參數(shù)進(jìn)行控制。將控制力構(gòu)造為：

一般使用穩(wěn)幅回路控制波幅點(diǎn)的振幅，將a控制為常值；由于q會引起橢圓參數(shù)控制力的交叉耦合，所以一般使用正交回路抑制波節(jié)點(diǎn)振幅，將其控制為0；頻率追蹤回路使諧振子始終振動在固有頻率。在這些條件的基礎(chǔ)上，令：

式(17)-(20)展現(xiàn)了陀螺中控制力對于橢圓參數(shù)的控制關(guān)系。稱aF為振幅控制力，F(xiàn)q為正交控制力，F(xiàn)p為進(jìn)動控制力；將式(20)稱為諧振陀螺振型進(jìn)動驅(qū)動控制方程，通過施加進(jìn)動控制力，可以主動地驅(qū)動振型旋轉(zhuǎn)，這是半球諧振陀螺旋轉(zhuǎn)調(diào)制的基礎(chǔ)。

3 控制方程誤差分析

在實(shí)際的諧振陀螺中，諧振子存在周向阻尼不均和因周向質(zhì)量不均引起的頻率裂解。諧振子分布在一周的阻尼不均勻，等效的作用效果是諧振子存在一個(gè)最大阻尼軸和與其正交的最小阻尼軸。在諧振子周向質(zhì)量不均分布函數(shù)中，對陀螺性能影響最大的是其中四次諧波引起的頻率裂解[9]，諧振子在自由振動狀態(tài)下會出現(xiàn)兩個(gè)相互正交的頻率軸，諧振子振動波腹處在這兩個(gè)軸時(shí)分別達(dá)到最大固有頻率和最小固有頻率。頻率裂解會使波節(jié)點(diǎn)振幅快速增長。為了減小陀螺在力反饋模式下的漂移，一般會通過修調(diào)的方式將剛度軸對準(zhǔn)電極軸，而阻尼軸和電極軸的夾角則不可控。

根據(jù)Lynch推導(dǎo)的諧振子不理想條件下存在質(zhì)量不均、阻尼不均等的諧振陀螺運(yùn)動方程[8]，將其寫成向量形式并忽略了輸入角速度的平方項(xiàng)，因?yàn)榇隧?xiàng)對頻率的影響忽略不計(jì)：

其中:

ω1、ω2、τ1、τ2分別對應(yīng)著振型在0 °時(shí)兩個(gè)模態(tài)的固有頻率和衰減時(shí)間。θτ、θω分別表示最大阻尼軸和最大剛度軸相對于電極坐標(biāo)系X軸的偏角?？梢詫⑹?21)寫為：

同樣地，將式(12)-(14)帶入式(23)，將各項(xiàng)以正交的空間位置和正交的相位劃分，并合并同類項(xiàng)。設(shè)ra為波幅點(diǎn)方向的單位向量，rq為波節(jié)點(diǎn)方向的單位向量。假設(shè)開啟了正交回路、穩(wěn)幅回路、頻率追蹤回路三條回路的控制。可以用向量求模的方式提取出空間方向上的量。用左乘式（23）可得：

用rqT左乘式(23)可得：

式(24)-(27)說明了諧振子在非理想情況下各個(gè)控制力和橢圓參數(shù)以及相關(guān)誤差的關(guān)系。振動波幅點(diǎn)的振幅會因?yàn)樽枘岫p，控制力Fa的作用是補(bǔ)充因阻尼損失的能量；控制力Fq抑制諧振子的頻率裂解而導(dǎo)致波節(jié)點(diǎn)的振幅隨時(shí)間增長。從非理想情況下諧振陀螺振型進(jìn)動驅(qū)動控制方程(27)中可得，諧振子的阻尼周向不均會導(dǎo)致陀螺存在和振型角相關(guān)的周期性漂移誤差。

4 諧振陀螺漂移旋轉(zhuǎn)調(diào)制方法

不同于光學(xué)陀螺慣導(dǎo)的旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)，半球諧振陀螺慣導(dǎo)無需旋轉(zhuǎn)框架，系統(tǒng)中的每一只陀螺在正常全角模式敏感外部角速度的同時(shí)，都處于主動驅(qū)動振型繞陀螺自身敏感軸進(jìn)動旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)漂移的調(diào)制，這也使得半球諧振慣導(dǎo)能以純捷聯(lián)的方式得到旋轉(zhuǎn)調(diào)制的效果。

諧振子的周向阻尼不均會引起陀螺漂移誤差ε，且該漂移誤差和振型角相關(guān)：

當(dāng)陀螺工作在全角模式時(shí)，振型會自由進(jìn)動到任意角度，這會導(dǎo)致陀螺漂移持續(xù)發(fā)生變化，降低陀螺輸出的穩(wěn)定性。陀螺振型因漂移產(chǎn)生進(jìn)動，這種情況下的陀螺漂移會表現(xiàn)以趨勢項(xiàng)為主的斜漂，使慣導(dǎo)解算產(chǎn)生更大的誤差。阻尼不均漂移誤差具有在振型角度[θ0，θ0+π]整周期均值為0的特性：

根據(jù)此特性，可以施加控制力Fp驅(qū)動振型進(jìn)動一周，從而達(dá)到消除漂移誤差的效果。對于慣導(dǎo)解算定位誤差來說，陀螺漂移的影響會隨時(shí)間積累，所以其關(guān)注在時(shí)間軸上對陀螺漂移的積分結(jié)果。對于不確定的阻尼軸θτ，當(dāng)振型角θ和時(shí)間成線性關(guān)系，即振型勻速進(jìn)動時(shí)，在時(shí)間軸上對陀螺漂移的整周期積分有最好的效果，假設(shè)θ=vt，v為振型進(jìn)動的速度：

圖2展示了半球諧振陀螺旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式的實(shí)現(xiàn)方法。檢測電極a、q檢測到的振動信號，分別由參考信號 cosω0t和 sinω0t解調(diào)并低通濾波，得到Cx、Sx、Cy、Sy四個(gè)直流信號量，參考信號的頻率由頻率追蹤回路提供；四個(gè)直流信號量經(jīng)過全角信號解算后得到四個(gè)橢圓參數(shù)：a、q、φ、θ。a表示波幅點(diǎn)振幅對應(yīng)的電壓信號，q表示波節(jié)點(diǎn)振幅對應(yīng)的電壓信號，φ表示參考信號和振動信號的相位差，θ表示振型角。a、q、φ分別為穩(wěn)幅回路、正交回路和頻率追蹤回路的控制量。振型角θ信號量輸入到旋轉(zhuǎn)調(diào)制控制回路后，經(jīng)PID控制，輸出進(jìn)動控制力Fp對應(yīng)的控制電壓，分配到A、Q激勵電極上，使得控制力作用在振型波節(jié)點(diǎn)上，驅(qū)動振型進(jìn)動。陀螺漂移隨振型進(jìn)動的變化如圖3所示。

圖2 半球諧振陀螺旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式原理框圖Fig.2 The principle block diagram of HRG rotation modulation mode

圖3 半球諧振陀螺漂移隨振型進(jìn)動變化Fig.3 The drift of HRG changes with the procession of the vibration mode

5 實(shí)驗(yàn)與半實(shí)物仿真定位試驗(yàn)

將半球諧振陀螺靜置在測試平板上。在室溫變化條件下，待陀螺穩(wěn)定后分別錄取常規(guī)全角模式和旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式下的陀螺長時(shí)間輸出數(shù)據(jù)。圖4展示了兩種工作模式下陀螺輸出的Allan方差，其中虛線代表常規(guī)全角模式，實(shí)線代表旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式，tΔ表示數(shù)據(jù)處理間隔時(shí)間。旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式下陀螺輸出的零偏不穩(wěn)定性較常規(guī)全角模式降低了一個(gè)數(shù)量級以上，更長的探底時(shí)間說明旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式在長時(shí)間會有更佳的性能。從圖4中也能明顯看出旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式對角隨機(jī)游走和速率斜坡也有明顯的抑制。

圖4 常規(guī)全角模式和旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式陀螺漂移Allan方差對比Fig.4 Comparison of Allan variance of gyro bias between conventional whole angle mode and rotation modulation mode

同樣在室溫變化條件下，將半球諧振陀螺設(shè)置為常規(guī)全角模式和旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式，錄取半球諧振陀螺慣導(dǎo)系統(tǒng)原始脈沖數(shù)據(jù)，進(jìn)行半實(shí)物慣導(dǎo)解算仿真，選取的全角模式和旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式的數(shù)據(jù)在同一諧振頻率變化趨勢和范圍，保證受溫度的影響相同。結(jié)果如圖5所示。以系統(tǒng)工作在全角模式下最大的定位誤差為基準(zhǔn)，旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式下的定位誤差減小了50%。

圖5 常規(guī)全角模式和旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式慣導(dǎo)半實(shí)物仿真定位誤差對比Fig.5 Comparison of semi-physical inertial navigation simulation positioning error between conventional whole angle mode and rotation modulation mode

6 結(jié) 論

本文從半球諧振陀螺等效的二維彈簧質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動模型出發(fā)，分別推導(dǎo)了半球諧振陀螺在理想情況下和非理想情況下工作在全角模式的橢圓參數(shù)控制方程，從機(jī)理上闡述了半球諧振陀螺驅(qū)動振型進(jìn)動的方法，說明了通過振型進(jìn)動旋轉(zhuǎn)調(diào)制陀螺漂移的可行性。在實(shí)驗(yàn)中，比較了全角模式和旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式下的陀螺漂移Allan方差以及慣導(dǎo)的半實(shí)物仿真結(jié)果，旋轉(zhuǎn)調(diào)制模式下的陀螺零偏穩(wěn)定性（Allan方差）相比常規(guī)全角模式下提高了一個(gè)數(shù)量級以上，慣導(dǎo)系統(tǒng)的定位精度（最大值）提高50%。本文在分析半球諧振陀螺的漂移特性時(shí)，只考慮了陀螺諧振子本體的誤差，較為理想。在實(shí)際的情況中還可能存在陀螺檢測電極與激勵電極增益不一致等誤差，也會對陀螺漂移產(chǎn)生影響[10]，更全面的陀螺漂移特性分析下的旋轉(zhuǎn)調(diào)制方法有待后續(xù)研究。