陳松林，汪 魁，趙明階

(重慶交通大學河海學院，重慶 400074)

常見巖土材料具有典型的多孔特性，不同類型的巖土類材料僅在孔隙尺度分布特征上有所不同，其是由固體基質(zhì)和被固相所分割的內(nèi)部孔隙組成的一系列復雜多孔介質(zhì)材料，其內(nèi)部孔隙具有高度混沌特性?？紫兜膸缀谓Y(jié)構(gòu)、位置排列、尺寸分布以及它們之間的相互連接都對多孔介質(zhì)材料的微觀輸運性質(zhì)有很大的影響，而多孔介質(zhì)的微觀輸運特性與其宏觀導電性能密切相關。因此，對多孔介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)進行表征已成為其研究的重點領域之一。1942年，Archie[1]以儲層巖石的物理特性為基礎，最早將微觀幾何結(jié)構(gòu)與電導率建立聯(lián)系，得到了經(jīng)典的Archie方程。由于Archie方程為經(jīng)驗模型，在實際應用過程中有一定的局限性，并非所有的多孔介質(zhì)都遵循Archie方程所表征的電導率-孔隙度關系，且傳統(tǒng)的Archie方程對其參數(shù)的解釋有一定的疑問。由于Archie方程沒有考慮黏土礦物、封閉孔隙、各向異性和孔隙隨機分布的影響[2]，Revil等[3-4]認為只有在表面電導可完全忽略的飽和多孔介質(zhì)這一特殊情況下方程才能適用。在經(jīng)典Archie方程的基礎上，目前已有許多經(jīng)驗模型與理論模型被提出且應用于描述無黏土礦物影響的飽和多孔介質(zhì)的導電模型中[2]。

目前，研究人員從多孔介質(zhì)物理性質(zhì)的角度對Archie方程中的經(jīng)驗參數(shù)進行了解釋，發(fā)現(xiàn)參數(shù)與多孔介質(zhì)的物理結(jié)構(gòu)性質(zhì)有關[5-6]。Sahimi[7]得到經(jīng)驗參數(shù)m隨多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙網(wǎng)絡連通性的減小而增大的結(jié)論。Winsaner[8]提出了曲折度與結(jié)構(gòu)因子有一定的相關性。Choo等[9]研究發(fā)現(xiàn)，曲折度和結(jié)構(gòu)因子之間的相關性，并考慮了曲折度的影響從而對Archie方程進行了修正。焦乃林等[10]從微觀尺度著手，建立了同時考慮地層巖石電導率、顆粒電導率、地層水電導率及膠結(jié)指數(shù)的致密砂巖動態(tài)滲透率預測模型。Wei等[11]以多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)(如孔隙度、分形維數(shù))為基礎，得到巖石整體電導率的理論表達式，由表達式同樣得出多孔介質(zhì)電導率與其內(nèi)部物理幾何性質(zhì)相關的結(jié)論。韋偉[12]結(jié)合PSF(pore-soild fractal)模型，建立了非飽和巖石電導率與孔隙介質(zhì)微結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的理論關系。王京悉[13]認為儲層巖石孔隙的幾何形狀對其電導率的影響很大，在此基礎上建立了適用于多孔介質(zhì)的導電模型，同時以巖心數(shù)據(jù)和測井數(shù)據(jù)為基礎，將模型計算得到的飽和度與實測數(shù)據(jù)進行對比分析，兩者一致性較高。

巖石、土壤等天然多孔介質(zhì)均表現(xiàn)出一定分形特性。Mandelbrot[14]第一次提出了分形理論，以此解釋自然界中不規(guī)則且具有高度復雜的結(jié)構(gòu)。分形是具有非整數(shù)維形式的集合，這類集合在某種意義上附加有嚴格的或統(tǒng)計自相似屬性，其已被廣泛地用于模擬各種物理現(xiàn)象。Katz等[15]通過試驗數(shù)據(jù)的分析，首先提出了砂巖樣品內(nèi)孔隙空間是分形的觀點。在此基礎上，Yu等[16]研究發(fā)現(xiàn)分形模型有助于簡化多孔介質(zhì)的輸運特性，也進一步證明了多孔介質(zhì)的分形特性。不僅如此，分形理論在許多領域都引起足夠的重視并都得到了很好的運用，如油藏儲層孔隙結(jié)構(gòu)的表征[17]、多孔介質(zhì)滲透特性的研究[18]、土壤水力性質(zhì)的預測[19]、儲層裂縫形態(tài)分布[20-22]等。與傳統(tǒng)模型不同，分形模型可以對多孔介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)進行直接描述或試驗驗證。

即使目前各種經(jīng)驗模型與理論模型得到了快速發(fā)展，但電導率和內(nèi)部孔隙之間的關系卻十分復雜，尤其是在低孔隙度組成結(jié)構(gòu)中。研究人員從不同的角度對多孔介質(zhì)電導率模型進行研究，這極大地促進了對多孔介質(zhì)微觀物理結(jié)構(gòu)如何影響其宏觀電導性的理解?；诜中卫碚摚⒘诉m用于飽和多孔介質(zhì)的電導率模型，并以現(xiàn)有試驗數(shù)據(jù)為基礎，對推導電導率模型的正確性進行驗證，探究試驗數(shù)據(jù)與模型計算結(jié)果是否具有較高的一致性，從而進一步促進多孔介質(zhì)電導模型的發(fā)展。

1 方法原理

經(jīng)典Archie方程主要描述儲層巖石內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)與其宏觀電導率的變化關系，方程為

(1)

式(1)中：F為結(jié)構(gòu)因子；σw、σ分別為巖石內(nèi)部孔隙水的電導率及巖石的電導率；φ為儲層巖石的孔隙度；a、m均為經(jīng)驗參數(shù)。

由于Archie方程有一定的局限性，研究人員對其進行了一定的修正，其中考慮曲折度的影響所得到的修正公式為[9]

(2)

式(2)中：T為曲率。

在歐幾里得幾何中，規(guī)則物體的度量結(jié)果相對于所使用的度量單位是不變的，而自然界中許多物體，如海岸線、湖泊和島嶼等并不遵循歐幾里得描述特性，因為它們極其無序且不規(guī)則，其長度、面積的度量均與度量尺度有關。類似物體稱為分形，這些物體的維數(shù)稱為分形維數(shù)。分形物體的度量M(L)與測量尺度L滿足標定規(guī)律為[14]

M(L)～LDf

(3)

式(3)中：M為曲線的長度、曲面的面積、立方體的體積或物體的質(zhì)量；Df為所測物體的分形維度。

多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙系統(tǒng)同樣具有分形屬性，在此基礎上，Yu等[23]提出了多孔介質(zhì)孔隙系統(tǒng)直徑-數(shù)量關系式，可表示為

(4)

式(4)中：λ為孔隙直徑；N為孔隙直徑測量值L大于λ的總數(shù)；λmax為最大孔徑。

1.1 多孔介質(zhì)的分形維數(shù)

對于多孔介質(zhì)復雜系統(tǒng)，其內(nèi)部孔隙最小孔徑與最大孔徑通常相差兩個數(shù)量級以上。將最小孔徑λmin代入式(4)可得

(5)

式(5)中：Nt為孔隙直徑測量值L大于最小孔徑λmin的總數(shù)。

對式(4)兩邊取微分可得

(6)

將式(6)與式(5)兩者相除，可得

(7)

(8)

以謝爾賓斯基地毯模型為基礎，Yu等[16]得出在飽和多孔介質(zhì)中，孔隙度可以根據(jù)分形維數(shù)定義為

(9)

式(9)中：DE為歐幾里得維度，在三維空間里取DE=3。

孔隙分形維數(shù)Df可以通過幾種不同的方法獲得，如顯微圖形分析、核磁共振、保水性或毛細管壓力測量等，但目前沒有明顯的證據(jù)證明上述方法計算得到的Df值是否足夠精確。以式(9)為基礎，可以得到Df的理論表達式為

(10)

式(10)表明：當Df=3時，多孔介質(zhì)內(nèi)三維空間變成全孔隙空間(無固體顆粒存在)，此時孔隙度φ=1，因此Df值總是小于3。

1.2 電導率—孔隙率模型

在多孔介質(zhì)微觀輸運特性的研究中，研究人員多將多孔介質(zhì)簡化為一簇變截面毛細管組成的毛細管束，而彎曲的毛細流管束同樣被認為具有分形特性，則毛細管的直徑λ與長度L滿足的分形標度關系有[18]

(11)

式(11)中：L(λ)為彎曲毛細管的實際長度；L0為彎曲毛細管的直線距離；DT為毛細管曲率分形維數(shù)，對于三維空間，其取值范圍為1≤DT<3，DT=1對應于直毛細管，DT值越高，毛細管形態(tài)越曲折，DT=3則意味著曲折的毛細流管充滿了整個三維空間，而毛細管彎曲度越高，多孔介質(zhì)內(nèi)液體流動阻力也就越大。

將式(11)改寫為曲率T的表達形式為

T(λ)=L(λ)/L0=(L0/λ)DT-1

(12)

Feng等[24]認為使用平均曲率Tav代替式(12)中的T更合適，假設流體流經(jīng)所有內(nèi)部孔道并均勻分布，因此可以得到Tav的表達式為

(13)

式(13)將所有的孔徑范圍考慮在內(nèi)，因此其被嚴格地應用在飽和多孔介質(zhì)這一條件下。

Feng等[24]分別給出了二維空間與三維空間下L0/λmin的計算表達式，其中在三維空間下L0/λmin的表達式為

(14)

聯(lián)立式(9)與式(14)，可得

(15)

聯(lián)立式(13)與式(15)，可得Tav的表達式為

(16)

聯(lián)立式(2)與式(16)，即可獲得飽和多孔介質(zhì)的電導率模型，可表示為

(17)

由式(17)可知，電導率與多孔介質(zhì)孔隙度、孔隙內(nèi)流體電導率、曲率分形維度和孔隙分形維度有關。當毛細管為直管時，電導率模型可以簡化為σ=σwφ。Wei等[11]認為上述電導率模型中相關變量之間并不是相互獨立存在，變量之間存在著一定相關性，其中DT可以表示為

DT=(4-Df)+(3-Df)lg[Df/(Df-1)]/lgφ

(18)

Archie方程為分形多孔介質(zhì)的理論電導率模型的一種特殊情形存在，新的電導率模型雖然在表達形式上較為復雜，但其是以相應的物理幾何為基礎，更有助于進一步理解Archie方程中的經(jīng)驗參數(shù)與多孔介質(zhì)內(nèi)微觀結(jié)構(gòu)的性質(zhì)有關。

2 應用實例

經(jīng)過上述模型的推導，結(jié)構(gòu)因子F可表示為

(19)

為了對所提出電導率模型的準確性進行評估，選取兩組實測試驗數(shù)據(jù)[25-26]，兩組數(shù)據(jù)中不同樣本的具體參數(shù)取值如表1[25]、表2[26]所示。表1、表2中所有樣本均為砂巖且孔隙度均為完整砂巖體內(nèi)部孔隙之和與該巖樣體積的比值，表1中4種Price River砂巖為不同深度測井內(nèi)所得。

將表1中部分已知數(shù)據(jù)φ、Df、DT代入式(19)中，得到結(jié)構(gòu)因子F的計算值，將其與表1中結(jié)構(gòu)因子實測值F1進行對比，結(jié)果如圖1(a)所示。同理，將表2中部分已知數(shù)據(jù)φ、Df、DT代入式(19)中，得到結(jié)構(gòu)因子F的計算值，將其與表2中結(jié)構(gòu)因子實測值F2進行對比，結(jié)果如圖1(b)所示。

表2 不同樣本的參數(shù)值[26]Table 2 Parameter values of different samples[26]

由圖1可以看出，利用所建立的多孔介質(zhì)電導率模型計算得到的結(jié)構(gòu)因子與已有的實測數(shù)據(jù)結(jié)果吻合較好，特別是孔隙度較高時?？偟膩碚f，孔隙度與結(jié)構(gòu)因子呈現(xiàn)出相反的變化趨勢。

對于低孔隙度變化范圍，如圖1(a)，結(jié)構(gòu)因子的計算值與實測值之間存在一些不規(guī)則的分散性?？紤]到所選擇試驗樣本受內(nèi)部孔隙空間相互連通性的控制，而孔隙空間的連通性與彎曲度、滲流閾值以及液體輸運臨界路徑有關，這些因素一定程度上導致了低孔隙度變化范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)因子的計算值與實測值之間的顯著差異。Oren等[27]在對結(jié)構(gòu)因子與孔隙度的研究中也發(fā)現(xiàn)有相同的離散現(xiàn)象存在(顯著差異存在)。

圖1 結(jié)構(gòu)因子的計算值與實測值Fig.1 The calculated and measured values of structure factor

在某些情形下，孔隙分形維數(shù)Df未知，式(10)可以作為一種手段對其進行求解。選取表1中的孔隙度，通過式(10)計算出Df的值，其中λmin/λmax的值取0.01。將計算得到的Df，表1 中的φ、DT值代入式(19)中，得到結(jié)構(gòu)因子的計算值，同樣將其與表1結(jié)構(gòu)因子F1實測值進行對比，結(jié)果如圖2所示。

表1 不同樣本的參數(shù)值[25]Table 1 Parameter values of different samples[25]

圖2 結(jié)構(gòu)因子F的計算值與實測值[Df由式(10)所得]Fig.2 The calculated and measured values of structure factor F[the value of Df is derived from equation (10)]

由圖2可以看出，除了孔隙度值較低的情況外(如孔隙度小于0.13)，式(19)所建立的電導率模型與現(xiàn)有的實測數(shù)據(jù)吻合度很高，這也證明了通過式(10)計算Df值的方法具有較高的可行性。

事實上，考慮到多孔介質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)的復雜性，在低孔隙度范圍內(nèi)，尤其是當孔隙度小于0.13時，通過電導率模型計算得到的結(jié)構(gòu)因子和現(xiàn)有實測數(shù)據(jù)中的結(jié)構(gòu)因子表現(xiàn)出顯著的差異性現(xiàn)象，如圖1(a)、圖2所示，原因在于：① 孔隙度越小，多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙的相互連接就越復雜，其內(nèi)部整體結(jié)構(gòu)也越復雜，從宏觀上看，這導致了各種理論分形維數(shù)在測量精度上的不足；② 基于各種假設進行電導率模型推導的局限性，這種局限性可歸因于每個多孔介質(zhì)內(nèi)都有其獨特的孔隙幾何分布，是采用砂巖樣本進行模型的驗證。而目前對于多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)研究主要集中在很少的幾個結(jié)構(gòu)特征參數(shù)上，難以從整體上把握多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)的共性特征和差異性規(guī)律[28]。因此，目前還沒有通用的電導率模型能夠準確有效地解釋電導率與孔隙度之間的關系。

3 結(jié)論

(1)多孔介質(zhì)孔隙的分形維數(shù)反映其內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)的復雜程度。在多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙具有分形特征的基礎上，基于分形幾何理論，建立了飽和多孔介質(zhì)的電導率模型，模型考慮了曲折度的影響，而曲折度是孔隙度φ、孔隙分形維數(shù)Df、曲率分形維數(shù)DT的函數(shù)。利用現(xiàn)有實測數(shù)據(jù)對所推導的電導率模型進行驗證，發(fā)現(xiàn)基于電導率模型的計算結(jié)果與實測結(jié)構(gòu)因子的變化趨勢大致相同，證明所得電導率模型可得到較為準確的結(jié)構(gòu)因子數(shù)據(jù)。

(2)多孔介質(zhì)電導率和孔隙度之間的關系遠比已推導的各種經(jīng)驗模型更為復雜，特別是在低孔隙度范圍內(nèi)，如本文低孔隙度變化區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)因子F的計算值與實測值存在一定的差異現(xiàn)象。

(3)由于多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)的復雜性，目前還沒有一種通用的電導率模型能夠準確有效地模擬其內(nèi)部導電機制?，F(xiàn)有的經(jīng)驗模型、理論模型為我們從微觀輸運的角度了解多孔介質(zhì)的宏觀導電性提供了指引。而實際巖土材料組成結(jié)構(gòu)復雜多變，內(nèi)部孔隙尺度變化多樣，因此，本文所推得理論模型的普適性仍需更廣泛的檢驗與驗證。