孟麗霞，于傲群，劉士明

（沈陽建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

1 引言

由眾多梁桿組成的復(fù)雜格構(gòu)式結(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于建筑鋼結(jié)構(gòu)、起重機(jī)械臂架、輸電塔架以及某些橋梁結(jié)構(gòu)中，其中變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)憑借自重輕、材料利用合理、容易實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度原則，在工程實(shí)際中應(yīng)用更加廣泛。結(jié)構(gòu)的軸壓穩(wěn)定性問題明顯區(qū)別強(qiáng)度問題，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)破壞由于事發(fā)前沒有明顯的征兆，一旦失穩(wěn)破壞即會(huì)對(duì)人身安全、社會(huì)經(jīng)濟(jì)造成不可逆的損害。因此，許多學(xué)者將結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析作為關(guān)注的焦點(diǎn)。現(xiàn)階段，采用有限單元法、靜力法等分析等截面實(shí)腹式構(gòu)件以及簡(jiǎn)單組合結(jié)構(gòu)的軸壓穩(wěn)定性問題已相對(duì)成熟[1-3]。而相較于等截面梁?jiǎn)卧芯浚壳白兘孛媪簡(jiǎn)卧膫鹘y(tǒng)做法是將其密分成多段等截面梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，這種方法已經(jīng)被證明是相當(dāng)?shù)托У摹Ｎ墨I(xiàn)[4]利用數(shù)值計(jì)算求解出一種具有軸向力和剪切變形的梁?jiǎn)卧_剛度矩陣。文獻(xiàn)[5]利用有限差分法對(duì)變截面懸臂梁?jiǎn)卧M(jìn)行了計(jì)算分析。文獻(xiàn)[6]基于Euler-Bernoulli梁理論研究了具有不同截面形狀的變截面梁?jiǎn)卧亻L(zhǎng)度的慣性矩變換，然后采用Bessel函數(shù)，獲得了包括軸向力影響的剛度矩陣。文獻(xiàn)[7]將變截面構(gòu)件載荷轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點(diǎn)載荷，采用增量割線剛度方法，推導(dǎo)出工程中常見截面類型統(tǒng)一表述的新型變截面梁?jiǎn)卧?/p>

文獻(xiàn)[8]提出一種TTH彎曲梁柱單元，并計(jì)入二階效應(yīng)影響對(duì)變截面工字梁?jiǎn)卧M(jìn)行研究。針對(duì)復(fù)雜格構(gòu)式結(jié)構(gòu)或桁架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析，目前主要采用有限單元法，一個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行一次建模，建模工作量大，計(jì)算效率不高。為了提高計(jì)算準(zhǔn)確率和效率，許多學(xué)者對(duì)格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和非線性變形進(jìn)行了深入的研究[9-13]。其中，在等截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)研究方面，學(xué)者們采用共旋坐標(biāo)法、弧長(zhǎng)法等對(duì)其進(jìn)行了研究[9-10]。在變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)研究方面，Theodore G.假設(shè)變形曲線，采用加遼金法獲得含有錐形截面的多跨梁與框架結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界力[11]。文獻(xiàn)[12]通過慣性矩等效方式將臂架從格構(gòu)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為實(shí)腹式梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)定性研究。文獻(xiàn)[13]利用多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行變截面梁?jiǎn)卧母唠A計(jì)算，采用五次Hermit插值獲得形函數(shù)，剛度矩陣具有較精確的表達(dá)形式，但其獲得的變截面梁?jiǎn)卧饣B續(xù)性不高，并且插值函數(shù)階數(shù)過高會(huì)導(dǎo)致收斂性較差，最終使得求解精確度降低。

使用三次樣條函數(shù)構(gòu)建變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧灰茍?chǎng)，基于非線性有限元法推導(dǎo)計(jì)及二階效應(yīng)的變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣，結(jié)合靜力凝聚法獲得一種新型的兩節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧?，利用該單元?duì)由梁桿組成的變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的軸壓穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

2 三次樣條變截面梁?jiǎn)卧灰茍?chǎng)

變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧鐖D1所示。單元長(zhǎng)度為l，在任意截面x處的截面慣性矩I(x)、面積A(x)與原點(diǎn)o處的截面慣性矩I0、面積A0的關(guān)系為：

圖1 變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧狥ig.1 The Lattice Beam Element with Variable Section

利用三次樣條插值推導(dǎo)變截面梁?jiǎn)卧芯€剛度陣時(shí)，對(duì)梁?jiǎn)卧M(jìn)行基本假定：

（1）梁?jiǎn)卧冃螘r(shí)，單元橫截面與變形前保持一致；

（2）遵循廣義Hooke定律，單元材料為各向同性；

（3）梁?jiǎn)卧獧M截面在變形后仍垂直于法線。

通過以上假定得到函數(shù)形式：

式中：λ—變截面構(gòu)件錐度的無量綱參數(shù)，λ＞-1。

圖2 三次樣條變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧枋鯢ig.2 Cubic Spline Description of Variable Section Lattice Beam Element

根據(jù)三次樣條插值定理，由于梁?jiǎn)卧獦訔l曲線等分為3份，每份樣條曲線的橫向位移場(chǎng)均可表示為三次多項(xiàng)式，并且多項(xiàng)式參數(shù)是由節(jié)點(diǎn)的邊界條件和單元變形的連續(xù)條件決定的，如下所示。

式中：ξ=x/l。結(jié)合上述條件，獲得變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧臋M向位移場(chǎng)形函數(shù)向量：

式（6）兩側(cè)同時(shí)對(duì)y取積分得：

3 變截面梁?jiǎn)卧芯€剛度矩陣

在大位移大轉(zhuǎn)角小應(yīng)變條件下，忽略格林應(yīng)變中與縱向位移相關(guān)的高階項(xiàng)得：

其中各變量的具體表達(dá)式詳見附錄。當(dāng)剛度矩陣式（17）中錐度系數(shù)λ→0且軸力P→0時(shí)，所得的變截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘖T即可轉(zhuǎn)化成傳統(tǒng)等截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘖′T：

4 算例分析

選取無量綱穩(wěn)定系數(shù)mcr=pcrl2/(EI2)，分析該懸臂變截面格構(gòu)式構(gòu)件的整體穩(wěn)定性。采用本文新型變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧?，將?gòu)件劃分為一個(gè)單元，得到對(duì)應(yīng)剛度矩陣：

由結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界力方程Det[KT]=0，獲得軸壓失穩(wěn)臨界力，進(jìn)而可得穩(wěn)定系數(shù)mcr，并與文獻(xiàn)[14]的理論精確解進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果，如表1所示。

表1 懸臂格構(gòu)式構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)mcr計(jì)算比較Tab.1 Comparison of Stability Coefficients mcr of Cantilever Lattice Structure

圖3 懸臂變截面格構(gòu)式構(gòu)件Fig.3 Cantilever Variable Section Lattice Structure

將該組合構(gòu)件中每個(gè)變截面段劃分為一個(gè)單元，其中變截面單元1和3利用這里獲得的新型梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝囘M(jìn)行計(jì)算，等截面單元2利用這里剛度陣令λ=0退化得到的等截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝囘M(jìn)行計(jì)算。通過剛度矩陣組裝集成求解可得到該梭形構(gòu)件的失穩(wěn)臨界力。計(jì)算出不同I1/I2和x/l情況下的mcr值，這里結(jié)果與文[14]理論結(jié)果對(duì)比，如表2所示。

圖4 簡(jiǎn)支梭形格構(gòu)式組合構(gòu)件Fig.4 The Combined Spindle Lattice Structure with Simple Support

表2 梭形格構(gòu)式構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)mcr計(jì)算比較Tab.2 Comparison of the Stability Coefficient mcr of the Combined Spindle Lattice Structure

由表1、表2結(jié)果可見，這里所推導(dǎo)的變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧芯€剛度矩陣在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析時(shí)，具有非常高的計(jì)算精度。本文獲得的新型梁?jiǎn)卧粌H可用于單構(gòu)件軸壓穩(wěn)定性分析，也可用于變截面、等截面組合構(gòu)件的軸壓穩(wěn)定性分析。同時(shí)，所形成的整體剛度陣與傳統(tǒng)兩節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧哂邢嗤碾A數(shù)，可以方便實(shí)現(xiàn)變截面梁到等截面梁的轉(zhuǎn)化。

5 結(jié)論

（1）基于有限元插值理論，采用三次樣條插值推導(dǎo)變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣，隨后結(jié)合靜力凝聚法消除單元節(jié)點(diǎn)的曲率自由度，推導(dǎo)出一種新型的變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧?；?）利用推導(dǎo)的變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噷?duì)變截面格構(gòu)式懸臂結(jié)構(gòu)和簡(jiǎn)支梭形格構(gòu)式組合結(jié)構(gòu)進(jìn)行軸壓穩(wěn)定性分析，計(jì)算結(jié)果與Timoshenko精確解幾近相同，表明這里方法可高效地分析由梁桿組成的復(fù)雜變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題；（3）這里凝聚后的變截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚺c傳統(tǒng)有限元法所得梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚨碾A數(shù)保持一致，可與傳統(tǒng)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚰山M裝，方便統(tǒng)一分析求解；且當(dāng)λ趨于0時(shí)，這里剛度陣可退化為計(jì)及二階效應(yīng)的等截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚒?/p>

附錄：