江天炎，張 程，曾 帥，畢茂強，陳 曦

(1.重慶理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，重慶 400054，2.新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院，烏魯木齊 830047)

近年來，隨著可穿戴設(shè)備的研究進展，各類柔性傳感器得到了廣泛研究[1-3]。其中，具有柔性特征的敏感材料也成為該領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容。2004年，Geim團隊采用機械剝離的手段第一次獲得了單層石墨烯[4]。石墨烯材料的力學(xué)特性非常突出，除了它的楊氏模量非常高之外，石墨烯材料的硬度也很高，斷裂強度為130 GPa，彈性常量達到了5 N/m。石墨烯材料的這些性質(zhì)表明，使用石墨烯材料作為壓力傳感器的敏感單元在理論上有非常大的優(yōu)勢。目前已經(jīng)有研究表明，石墨烯材料在1%的應(yīng)力作用下便能作出反應(yīng)，使自身的帶隙打開而產(chǎn)生電能，從而實現(xiàn)力學(xué)與電學(xué)的直接轉(zhuǎn)換。室溫下，石墨烯材料的電子遷移率高達15 000 cm2/(V·s)[5]，熱導(dǎo)率為5 000 W/mK[6-7]，楊氏模量可達1 TPa[8]。這些優(yōu)異的性質(zhì)使得石墨烯在各類傳感器領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景[9-11]。

目前，不少學(xué)者在該領(lǐng)域的研究取得了進展。Smith A D等[12]研制了一種懸浮式的石墨烯壓力傳感器，在外施壓力的作用下，其靈敏度僅為2.66×10-5kPa-1，工作范圍為100 kPa。王萍萍等[13]提出了一種三維柔性石墨烯壓力傳感器，響應(yīng)時間為75 ms，恢復(fù)響應(yīng)時間為112 ms，但靈敏度只有0.013 kPa。李伊夢等[14]在2020年提出的石墨烯/PDMS仿生銀杏葉微結(jié)構(gòu)柔性壓阻式壓力傳感器具有1.56 kPa的靈敏度和20 kPa的工作量程。由此可以看出，現(xiàn)階段的石墨烯壓力傳感器難以同時滿足高靈敏度和大量程的需求，而這主要取決于敏感材料的各項特性與傳感器的結(jié)構(gòu)設(shè)計。因此，研究石墨烯材料的敏感特性及傳感機理具有重要意義。

本文中依據(jù)鼓泡試驗原理建立石墨烯矩形薄膜的數(shù)學(xué)模型，得到壓力載荷與最大形變、最大應(yīng)變之間的數(shù)學(xué)關(guān)系；通過有限元分析法對石墨烯敏感材料建模分析，獲取石墨烯矩形薄膜在壓力載荷作用下的載荷-最大形變及載荷-最大應(yīng)變關(guān)系；通過對比Beams球殼模型的解析解，驗證模型的準確性；基于石墨烯矩形薄膜的模態(tài)分析，仿真計算得到石墨烯矩形薄膜前6階的固有頻率及振型圖。討論了不同厚度石墨烯矩形薄膜的前6階固有頻率，為石墨烯壓力敏感器件的設(shè)計制作提供理論參考。

1 石墨烯薄膜力學(xué)特性建模

鼓泡試驗法(bulge test)是一種分析薄膜力學(xué)性質(zhì)的手段，Beams在此基礎(chǔ)上提出了薄膜的球殼模型，將薄膜受力形變后的模型視作薄壁球殼[15]。根據(jù)載荷與形變結(jié)果來確定材料的各項參數(shù)，仿真計算時依據(jù)材料的楊氏模量和泊松比等參數(shù)來計算模型的最大形變和應(yīng)變。

參考鼓泡試驗法建立石墨烯矩形薄膜的理論計算模型[16]，其中矩形薄膜的短邊為a，長邊為b，薄膜厚度為h。薄膜四邊固定，在垂直于薄膜的平面施加一個均布載荷p，薄膜受力形變?nèi)鐖D1所示，產(chǎn)生的最大形變w在薄膜中心處，薄膜的曲率半徑為R。

圖1 矩形薄膜截面示意圖

首先，依據(jù)鼓泡試驗原理可知[15]，外界施加的壓力p與矩形薄膜內(nèi)二向應(yīng)力σ保持平衡，所以有：

σ*2h*b=p*2R*b

(1)

化簡式(1)即可得到：

(2)

由于矩形薄膜受力后產(chǎn)生的形變量遠小于短邊長，因此薄膜的曲率半徑可表示為：

(3)

結(jié)合式(2)(3)，矩形薄膜內(nèi)二向應(yīng)力σ可表示為：

(4)

根據(jù)力學(xué)特性，薄膜表面張力可表示為：

(5)

薄膜的應(yīng)變大小可表示為：

(6)

然后，將式(3)代入式(6)計算，整理后可得矩形薄膜的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(7)

對于矩形薄膜而言：

(8)

根據(jù)二向應(yīng)變得到表面張力為：

(9)

結(jié)合式(7)(9)，可得壓力差導(dǎo)致的矩形薄膜表面張力為：

(10)

表面總張力為初始表面張力與壓力差導(dǎo)致的表面張力總和，即：

(11)

整理后得到矩形薄膜所受壓力與最大形變的關(guān)系為：

(12)

結(jié)合式(7)(11)，可得壓力與應(yīng)變之間的關(guān)系為：

(13)

其中：σ0為薄膜初始預(yù)應(yīng)力；v為泊松比；E為彈性模量；h為石墨烯薄膜厚度；ω為薄膜的最大形變。

由式(12)和(13)得到壓力p與薄膜形變、應(yīng)變的關(guān)系，這里通過給定薄膜的參數(shù)值，計算得到方程的解析解。取石墨烯矩形薄膜的短邊長a=9 μm，v=0.16，E=1 TPa，單層石墨烯厚度h=0.335 nm，σ0=0.3 GPa[17]，分別取壓力載荷p=0、0.1、0.2、0.3、0.5、1、2、3、4、5 MPa，根據(jù)式(12)(13)計算得到的不同厚度的石墨烯矩形薄膜載荷-最大形變和載荷-應(yīng)變關(guān)系如圖2、3所示。

圖2 不同厚度薄膜的載荷-最大形變關(guān)系

圖3 不同厚度薄膜的載荷-最大應(yīng)變關(guān)系

由圖2、3的結(jié)果可以看出：在較低的載荷作用下，石墨烯矩形薄膜最大形變的變化率較大；隨著載荷的增大，形變量和應(yīng)變量會逐漸趨于恒值，且隨著石墨烯厚度的增加，在相同載荷作用下其最大形變及最大應(yīng)變都在逐漸減小，說明石墨烯薄膜厚度越薄，對外界載荷的感應(yīng)越靈敏。

2 石墨烯薄膜有限元建模與仿真

2.1 有限元模型構(gòu)建

通過有限元仿真軟件COMSOL建立石墨烯矩形薄膜的有限元仿真模型。考慮到單層石墨烯材料的厚度很薄，結(jié)合Beams的球殼模型，采用軟件COMSOL中二維模型下的plate接口進行仿真計算。對于矩形薄膜而言，當其長寬比大于5時，矩形薄膜受力后的形變與長寬比無關(guān)[18]，因此在建模時取長寬比固定為6，即短邊長a=9 μm時，長邊b=54 μm，單層石墨烯厚度h=0.335 nm。設(shè)定石墨烯材料的屬性E=1 TPa、v=0.16、密度為2 200 kg/m3。在plate接口下還需將石墨烯設(shè)定為各向同性的線彈性材料，同時為其設(shè)定大小為0.3 GPa的初始預(yù)應(yīng)力。矩形薄膜四周取固定約束，在其表面施加一個均布載荷p。網(wǎng)格劃分時采取系統(tǒng)默認的較細化規(guī)格，研究計算時還需考慮到模型的幾何非線性。由于薄膜受載荷作用后的形變遠大于其厚度，屬于大撓度變形，因此需要在默認的穩(wěn)態(tài)求解器中選定幾何非線性，以保證計算結(jié)果的準確性。

依據(jù)矩形薄膜受力后的力學(xué)理論[19]可知：四邊固定支撐的矩形薄膜在載荷的作用下，最大形變?yōu)槟Ｐ椭行奶幍淖冃危畲髴?yīng)變發(fā)生在過模型中心點短邊的截線處，如圖4所示。

圖4 矩形薄膜截線位置示意圖

薄膜最大應(yīng)變?yōu)椋?/p>

ε=(Δl/l)*100%

(14)

式中：l為截線原始長度；Δl為形變量。

通過分析圖4中截線在變形前后的長短變化，能得出薄膜受力應(yīng)變。利用軟件結(jié)果后處理來構(gòu)建該條截線，導(dǎo)出截線上的坐標數(shù)據(jù)。利用Matlab擬合出該截線形變后的曲線，再利用曲線積分求出形變后的長度，便可求得應(yīng)變大小[20]。

仿真時設(shè)置載荷q值為0.1 MPa，計算得到的石墨烯矩形薄膜結(jié)果如圖5所示。從圖5中可以看出，仿真計算得到的最大形變?yōu)?.444 3。根據(jù)上述的應(yīng)變計算方法，先處理得到形變量Δl，最后得到的石墨烯矩形薄膜的最大應(yīng)變值為0.64%。對于一般型傳感器結(jié)構(gòu)，當石墨烯薄膜受到均勻的壓力時，位移主要發(fā)生在石墨烯薄膜的中心，應(yīng)力主要分布在石墨烯薄膜的邊緣。

圖5 形變位移仿真結(jié)果

2.2 薄膜厚度對最大形變及應(yīng)變的影響

考慮到不同石墨烯薄膜厚度對其敏感特性的影響，取薄膜層數(shù)為1、2、3、4層進行仿真計算。為與Beams模型解進行驗證，同樣取載荷p=0、0.1、0.2、0.3、0.5、1、2、3、4和5 MPa，在短邊長為a=9 μm的模型下進行仿真，得到的結(jié)果如圖6、7所示。結(jié)果表明，當施加的載荷在0.5 MPa以內(nèi)時，各條曲線的斜率較大，表明該階段石墨烯薄膜對載荷的反應(yīng)較靈敏，而且在相同載荷下，單層石墨烯薄膜的形變以及應(yīng)變都最大，表明單層石墨烯薄膜對載荷的反應(yīng)較顯著。

圖6 不同厚度薄膜的載荷-最大形變仿真結(jié)果

通過與Beams模型解的比較發(fā)現(xiàn)：兩者計算得到的載荷-最大形變及載荷-最大應(yīng)變結(jié)果趨于一致；計算得到的載荷-最大形變及載荷-最大應(yīng)變曲線的平均相對誤差分別為4%和3%，表明仿真模型的準確性；隨著薄膜層數(shù)的增加，平均相對誤差越小，其對載荷反應(yīng)的靈敏程度在減小。雖然隨著薄膜厚度的增加，石墨烯載荷-最大形變特性曲線的曲率變小使得非線性得到相應(yīng)改善，但對壓力的敏感程度相對降低。

圖7 不同厚度薄膜的載荷-最大應(yīng)變仿真結(jié)果

2.3 薄膜尺寸對最大形變及應(yīng)變的影響

討論石墨烯薄膜的尺寸對其力學(xué)特性的影響，分別取短邊長a=6、9、12、18。在單層石墨烯厚度下，施加載荷p=0、0.1、0.2、0.3、0.5、1、2、3、4和5 MPa，分析石墨烯薄膜的最大形變和應(yīng)變，得到結(jié)果如圖8、9所示。

圖8 不同尺寸薄膜的載荷-最大形變仿真結(jié)果

圖9 不同尺寸薄膜的載荷-最大應(yīng)變仿真結(jié)果

比較不同尺寸石墨烯矩形薄膜的仿真結(jié)果可知：矩形薄膜在固定的長寬比下，當施加同樣的載荷時，石墨烯薄膜的尺寸越大，產(chǎn)生的最大形變越大，最大應(yīng)變也越大，表明其對載荷的反應(yīng)越明顯；同樣地，當施加的載荷較小時，曲線的斜率較大，薄膜對載荷的反應(yīng)越靈敏。

通過與Beams模型進行對比，計算得到載荷-最大形變及載荷-最大應(yīng)變曲線的平均相對誤差分別為5%和2%，進一步驗證了模型的有效性。隨著薄膜尺寸的增大，平均相對誤差越來越小，但其對載荷反應(yīng)的靈敏程度在減小。對于石墨烯矩形薄膜，尺寸會影響石墨烯對載荷反應(yīng)的靈敏度，但過大的尺寸會使其靈敏程度減小。

綜合對比各曲線可知：對于石墨烯矩形薄膜而言，其尺寸越大、厚度越薄，顯現(xiàn)出來的力學(xué)特性越明顯。在載荷的作用下，產(chǎn)生的形變越大，相應(yīng)的應(yīng)變也越大，表明其對載荷的感應(yīng)顯著和靈敏。但是，在設(shè)計傳感器敏感單元時，并非尺寸越大、越薄越好，還需考慮器件的工作范圍。對于厚度更薄、尺寸更大的薄膜，其載荷反應(yīng)敏銳，但易受外力影響而變形。且薄膜越薄，其測量范圍相對更小，進而影響器件性能。因此，在制作石墨烯敏感器件時，需要考慮其制作工藝、運用場景來合理設(shè)計尺寸，使其滿足相應(yīng)工作場合的需要。

3 石墨烯薄膜模態(tài)分析

對于薄膜而言，在沒有預(yù)張緊力作用時，由于它不具有彎曲剛度，故形狀會與同它接觸的表面貼合一致[21]。假設(shè)其布置的位置存在孔洞，那么該處的膜便會凹陷變型，因此在上述研究中，添加一個大小為0.3 GPa的預(yù)張緊力來進行分析。由于預(yù)應(yīng)力會改變薄膜的固有頻率，故在0.3 GPa的預(yù)應(yīng)力下，研究石墨烯薄膜的固有頻率和各階振型，為設(shè)計石墨烯壓力敏感器件提供理論參考。

同樣，利用前文設(shè)計的有限元模型，選取短邊長a=9 μm、厚度h=0.335 nm的模型，仿真得到石墨烯薄膜的固有頻率和振型圖。這里取前6階為例，得到的振型圖如圖10、11所示。

圖10 石墨烯薄膜1～3階振型圖

圖11 石墨烯薄膜4～6階振型圖

從上述圖例中可以看出：每種振型對應(yīng)一個固有頻率，隨著階數(shù)的增加，對應(yīng)的振型也較復(fù)雜，相應(yīng)的固有頻率也隨著增大。這是因為各階的固有頻率與石墨烯矩形薄膜厚度有關(guān)[22-23]。表1給出了1～4層厚度石墨烯薄膜的固有頻率。隨著石墨烯矩形薄膜厚度的增加，對應(yīng)的各階固有頻率會隨之減小。因為固有頻率為物體本身的性質(zhì)，除了與物體厚度有關(guān)以外，與物體的尺寸及密度等同樣關(guān)系密切，因此在設(shè)計制造石墨烯壓力敏感器件時，要綜合考慮器件的尺寸及厚度，提升石墨烯薄膜自身的自振頻率。同時，需盡量保證器件接觸面的整潔度，使石墨烯敏感薄膜本身與結(jié)構(gòu)表面接觸有較大的預(yù)應(yīng)力，減小外界干擾信號對石墨烯敏感結(jié)構(gòu)的影響，在滿足器件自身穩(wěn)定的前提下，選取合適的厚度、尺寸來進行設(shè)計制造。

表1 不同層數(shù)石墨烯薄膜的固有頻率 Hz

4 結(jié)論

1)基于Beams球殼模型，得到石墨烯矩形薄膜最大形變與應(yīng)變的解析解、載荷-最大應(yīng)變與載荷最大形變的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2)在低載荷作用下，載荷-最大形變及載荷-最大應(yīng)變曲線斜率較大，石墨烯薄膜對載荷反應(yīng)較靈敏；石墨烯薄膜的尺寸越大、越薄，其對載荷的反應(yīng)越顯著，對應(yīng)的形變及應(yīng)變也越大；通過與Beams球殼模型得到的結(jié)果相對比發(fā)現(xiàn)，兩者的平均相對誤差在5%以下，表明了模型的有效性。

3)隨著石墨烯薄膜厚度的增加，各階的固有頻率隨之減小，但其所能承受的壓力范圍也越大，因此需要綜合考量薄膜厚度、尺寸來設(shè)計滿足需要的壓力敏感器件。

通過對柔性石墨烯薄膜壓力傳感器力敏特性的仿真，驗證了石墨烯薄膜模型的準確性。同時，對石墨烯矩形薄膜進行了模態(tài)分析，得到其前6階固有頻率與振型。分析了不同厚度石墨烯矩形薄膜的固有頻率，為設(shè)計制造石墨烯壓力敏感器件提供參考。