朱秀杰， 鄭 堅(jiān)， 熊 超， 殷軍輝， 鄧輝詠， 鄒有純

(陸軍工程大學(xué) 石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003)

格柵、波紋夾芯板具有輕質(zhì)高強(qiáng)的特點(diǎn)，很早之前便在包裝、建筑、機(jī)械和海洋工程中應(yīng)用[1]。采用樹脂基纖維增強(qiáng)復(fù)合材料制造的格柵/波紋夾芯板的結(jié)構(gòu)參數(shù)和鋪層參數(shù)的選擇空間廣闊，不僅能利用復(fù)合材料耐腐蝕性好、熱性能好、阻尼減振性好等特性來滿足多元化功能要求，更能發(fā)揮承載效率高的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢，最大限度減輕惰性質(zhì)量。含有復(fù)合材料的格柵/波紋夾芯結(jié)構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域盡管已經(jīng)拓展到了飛機(jī)、運(yùn)載火箭、人造衛(wèi)星和水下潛航器等工作環(huán)境苛刻、輕量化要求高的高端裝備上，但應(yīng)用的限制之一就是力學(xué)性能容易受彎曲載荷引起的結(jié)構(gòu)變形的影響[2-9]。計(jì)算此類結(jié)構(gòu)彎曲剛度能指導(dǎo)初步設(shè)計(jì)，提供優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，確定等代改進(jìn)、改型設(shè)計(jì)剛度參考值。

含有復(fù)合材料的格柵/波紋夾芯板在彎曲載荷下的力學(xué)特性備受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。Shi等[10]綜合采用四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)、解析計(jì)算和有限元模擬的方法確定并比較了C/C-SiC復(fù)合材料格柵夾芯板的跨中撓度；Fatih等[11]利用聲發(fā)射技術(shù)監(jiān)測了整體成形復(fù)合材料格柵夾芯結(jié)構(gòu)四點(diǎn)彎曲過程中的損傷狀態(tài)，并結(jié)合漸進(jìn)損傷有限元模型重點(diǎn)分析了面芯結(jié)合處和芯子壁板的變形、失效過程；Jiang等[9]利用ABAQUS有限元建模仿真和三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)探究了面板為碳纖維復(fù)合材料、波紋芯子為鋁合金的夾芯板的失效機(jī)理，發(fā)現(xiàn)該類型夾芯板的破壞過程分為彈性變形、面板斷裂、延性破壞和芯子穩(wěn)定變形4個(gè)階段，據(jù)此設(shè)計(jì)的芯子水平加強(qiáng)筋能顯著提高夾芯板的比吸能特性；Sun等[12]提出了一種基于彎曲強(qiáng)度和有限元連續(xù)損傷評估的設(shè)計(jì)方法，用于設(shè)計(jì)和分析幾何參數(shù)對梯度波紋桁架夾芯結(jié)構(gòu)承載能力和損傷分布的影響；Fan[13]對不同面板厚度的格柵夾芯板進(jìn)行三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，揭示了復(fù)合材料格柵夾芯板的面芯脫粘和局部屈曲兩種典型失效機(jī)制；吳啟凡等[14]通過三點(diǎn)彎曲和四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)研究了3種面板設(shè)置方式不同的復(fù)合材料格柵夾芯板的極限承載力和破壞形態(tài)，發(fā)現(xiàn)僅設(shè)置上面板的格柵結(jié)構(gòu)具備延性破壞特征，其彎曲承載力和剛度均顯著提高；王亞楠等[15]基于有限元仿真和試驗(yàn)分析了面板鋪層角度、格柵厚度、格柵等效密度等因素對夾芯板彎曲剛度的影響。

以上文獻(xiàn)多數(shù)采用有限元仿真、試驗(yàn)或二者結(jié)合的方法，較少采用理論計(jì)算的方法。原因是復(fù)合材料的各向異性、樹脂基體的斷裂脆性和損傷起始后的材料非線性使通過理論計(jì)算預(yù)測復(fù)合材料格柵/波紋夾芯板的彎曲峰值載荷、極限強(qiáng)度等重要設(shè)計(jì)參考值變得困難，而通過合理選擇失效準(zhǔn)則和剛度退化模式，有限元仿真卻可以實(shí)現(xiàn)對各種邊界、載荷條件下復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件失效模式和破壞過程的評估分析，輔之以少量試驗(yàn)驗(yàn)證后即可通過修改模型參數(shù)得到承載性能的變化規(guī)律，在時(shí)間允許的情況下降低試驗(yàn)成本。但正常工作狀態(tài)下的復(fù)合材料格柵/波紋夾芯板僅發(fā)生線彈性范圍內(nèi)的小變形，需要評估的彎曲剛度不涉及強(qiáng)度破壞問題，在一定邊界條件下按位移求解的三維彈性理論可實(shí)現(xiàn)對整個(gè)結(jié)構(gòu)位移、應(yīng)變和應(yīng)力的分析。相比之下，格柵/波紋夾芯板細(xì)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用有限元仿真計(jì)算彎曲剛度過程中的網(wǎng)格劃分和尺寸敏感性分析、重復(fù)多次建模等問題反而會降低效率。在理論計(jì)算方面，Wei等[16]區(qū)分了全復(fù)合材料蜂窩夾心板在三點(diǎn)彎曲載荷下的芯子凹陷、剪切屈曲、剪切斷裂、脫粘、胞元壁板凹陷和面板斷裂等6種失效模式，利用建立的解析模型繪制了以結(jié)構(gòu)參數(shù)為變量的三維失效機(jī)制圖來預(yù)測三點(diǎn)彎曲剛度、破壞載荷和失效模式；鄧忠民[17]提供了層壓梁的彎曲剛度計(jì)算式，但該方法僅適用于發(fā)生柱狀彎曲的層合板結(jié)構(gòu)，而且也沒有考慮橫向剪切變形的影響；李華東等[18]基于高階剪切理論建立了含有軟質(zhì)芯材復(fù)合材料格柵結(jié)構(gòu)彎曲分析理論模型，求解了面板為正交對稱鋪層的四邊簡支格柵夾芯板的彎曲撓度，該模型與一階剪切變形理論一樣有5個(gè)未知位移函數(shù)變量，而且平衡微分方程組中的常系數(shù)的計(jì)算十分繁冗。

綜合來看，全復(fù)合材料格柵、波紋夾芯板各有特點(diǎn)，目前還缺乏便于工程應(yīng)用的理論計(jì)算方法來對比分析二者的彎曲剛度。本文先基于均質(zhì)化理論將復(fù)合材料正交格柵、梯形波紋芯子等效為正交各向異性連續(xù)體，接著利用雙變量高階剪切精確板理論建立了橫向均布載荷作用下復(fù)合材料夾芯板的彎曲分析模型，經(jīng)有限元仿真驗(yàn)證模型有效性和準(zhǔn)確性之后，計(jì)算并對比分析四邊簡支、對邊簡支和自由兩種邊界條件下結(jié)構(gòu)參數(shù)、鋪層參數(shù)對彎曲剛度的影響規(guī)律，旨在為復(fù)合材料格柵/波紋夾芯板的工程應(yīng)用提供參考。

1 芯子等效彈性常數(shù)

圖1 (a，b)分別為本文研究的復(fù)合材料正交格柵夾芯板和梯形波紋夾芯板的示意圖，假設(shè)兩種芯子均可等效為正交各向異性連續(xù)性彈性體，如圖1(c)所示。

圖1 復(fù)合材料格柵/波紋夾芯板及其等效連續(xù)模型

復(fù)合材料格柵、波紋芯子層合壁板的應(yīng)變-內(nèi)力關(guān)系為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中波紋芯子的變形柔度系數(shù)Cij及行列式的值C的表達(dá)式為

2 復(fù)合材料夾芯板彎曲分析理論模型

2.1 位移場

根據(jù)雙變量高階剪切變形精確板理論，復(fù)合材料夾芯板的位移場為[22]

式中：f(z) =-z/4+5z3/(3h2)為表征橫向剪切變形的形函數(shù)；u0(x,y)、v0(x,y)為夾芯板中面上一點(diǎn)沿x、y方向上的位移；wb和ws分別為彎曲和剪切橫向位移。根據(jù)線彈性范圍內(nèi)的變形幾何關(guān)系，將式(9)代入后可得到

式(10)中物理量均由式(11)計(jì)算。

2.2 內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系

復(fù)合材料單層的本構(gòu)關(guān)系為

(12)

式中i=cc、gc。假設(shè)夾芯板承受的橫向均布載荷q(x,y)=q，根據(jù)能量法，復(fù)合材料夾芯板整體應(yīng)變能U和外力功V分別為

將式(12)代入式(15)，化簡后得到內(nèi)力和應(yīng)變的關(guān)系為

式(16)中各矩陣中的剛度系數(shù)定義為

i,j=1,2,4,5,6

(19)

2.3 平衡方程求解

由最小勢能原理δ(U+V)=0及式(14)得到平衡方程為

(20)

對于四邊簡支的夾芯板，將滿足其邊界條件的位移函數(shù)wb、ws以及均布載荷q均采用雙Fourier級數(shù)形式表示

(22)

式中：α=mπ/A，β=nπ/B，A、B分別為夾芯板x和y方向上的長度，m、n分別為對應(yīng)的半波數(shù)；Wbmn、Wsmn和qmn為待定系數(shù)，qmn的計(jì)算式為

(23)

將式(22)代入式(21)后推導(dǎo)出

由式(24)可求得復(fù)合材料波紋夾芯板的彎曲撓度w。假設(shè)與y軸平行的一組對邊為簡支約束，另一組對邊為自由狀態(tài)，相應(yīng)的位移函數(shù)及載荷q的展開式為

(25)

將式(25)代入式(21)平衡微分方程，有

(26)

自由邊(y=0,B)的邊界條件為

(27)

由式(26)可求出通解，再根據(jù)式(27)的邊界條件，即可求出通解中的待定系數(shù)，求解過程均可在Matlab中實(shí)現(xiàn)。

3 模型有效性與參數(shù)分析

3.1 模型適用范圍及驗(yàn)證

表1 碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料單層的材料參數(shù)

表2 鋪層方式及剛度系數(shù)的比值

(28)

圖2 算例CCSP和CGSP剛度系數(shù)的比值隨鋪層角度的變化

同時(shí)為了衡量復(fù)合材料波紋夾芯板結(jié)構(gòu)的輕量化效益，定義比彎曲剛度Ki

(29)

表3 CCSP和CGSP的彎曲剛度的理論解與有限元結(jié)果

3.2 鋪層參數(shù)對彎曲特性的影響

保持算例結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，基于驗(yàn)證過的理論模型，計(jì)算0≤θlf=θlc≤90°，θlf=30°、0≤θlc≤90°和θlc=30°、0≤θlf≤90°三種鋪層方式下兩算例的彎曲剛度隨鋪層角度的變化規(guī)律，如圖4所示?？砂l(fā)現(xiàn)SSSS邊界條件下，CCSP和CGSP的彎曲剛度均在45°鋪層取最大值，CCSP芯子壁板鋪層角度θlc的變化對彎曲剛度的影響程度要大于面板鋪層角度θlf，而CGSP正好相反，說明波紋芯子對彎曲剛度的增強(qiáng)效果更為明顯；SSFF邊界條件下，CCSP和CGSP的彎曲剛度隨鋪層角度增大而減小，在0°鋪層取最大值；CCSP和CGSP在SSSS邊界條件下的彎曲剛度遠(yuǎn)大于在SSFF邊界條件下，說明增強(qiáng)邊界條件可以提高彎曲剛度。

表4為兩種邊界條件下不同芯子鋪層數(shù)的兩算例的彎曲剛度、比彎曲剛度值?？煽闯鲭S著芯子壁板鋪層數(shù)增加，CCSP和CGSP的彎曲剛度顯著提高，而比彎曲剛度卻呈下降趨勢，輕量化效益降低。

圖3 復(fù)合材料格柵/波紋夾芯板的有限元仿真結(jié)果

圖4 鋪層角度對復(fù)合材料夾芯板彎曲剛度的影響

保持芯子的鋪層參數(shù)和除面板厚度以外的結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，繪制兩個(gè)算例的ki和Ki隨面板鋪層數(shù)nf的變化規(guī)律，如圖5所示?？煽闯鰞煞N邊界條件下，CCSP和CGSP的彎曲剛度和比彎曲剛度均隨面板鋪層數(shù)的增大而非線性增大，CCSP的比彎曲剛度一直大于CGSP。

表4 芯子壁板鋪層數(shù)對彎曲特性的影響

3.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對彎曲特性的影響

保持CCSP面板的所有參數(shù)和波紋芯子的鋪層參數(shù)不變，基于精確板理論模型分析，分析復(fù)合材料波紋芯子的3個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)hc,fc=kb和θc對彎曲剛度和比彎曲剛度的影響，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知， 增大芯子高度能顯著提高CCSP的彎曲剛度和比彎曲剛度；波紋水平段fc與傾斜段水平距離b的比值在0.5左右時(shí)，彎曲剛度取最小值；隨著fc與b比值的增大，CCSP的比彎曲剛度顯著增大；波紋傾角θc從15°增大到90°時(shí)，CCSP的彎曲剛度和比彎曲剛度均呈先減小后增大的趨勢。

類似地，保持CGSP的其他參數(shù)不變，繪制其彎曲剛度、比彎曲剛度隨格柵高度hc和格柵間距dx(dy=dx)的變化曲線，如圖7所示。

圖7 結(jié)構(gòu)參數(shù)對復(fù)合材料格柵夾芯板彎曲特性的影響

CGSP的彎曲剛度和比彎曲剛度隨芯子高度hc的增大而顯著增大；CGSP的彎曲剛度隨格柵間距dx增大而減小，當(dāng)格柵間距dx與板寬A的比值大于0.5時(shí)，格柵間距增大對彎曲剛度的影響程度較小，CGSP比彎曲剛度隨格柵間距的變化趨勢正好相反。

4 結(jié)論

基于雙變量高階剪切理論建立了全復(fù)合材料正交格柵/梯形波紋夾芯板彎曲分析模型，計(jì)算了這兩種夾芯板在四邊簡支、對邊簡支兩種邊界條件下的彎曲剛度，并通過有限元仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，還對比分析了鋪層參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對兩種夾芯板彎曲剛度、比彎曲剛度的影響規(guī)律。

(1) 四邊簡支復(fù)合材料格柵和波紋夾芯板的彎曲剛度均在45°鋪層取最大值，而對邊簡支和自由條件下二者在0°鋪層取最大值；波紋芯子對彎曲剛度的增強(qiáng)效果大于格柵芯子，復(fù)合材料梯形波紋夾芯板的輕量化效益更顯著。

(2) 隨著芯子鋪層數(shù)nc增大，兩種夾芯板的彎曲剛度增大，比彎曲剛度卻減小，輕量化效益下降；隨著面板鋪層數(shù)nf和芯子高度hc的增大，兩種夾芯板的彎曲剛度和比彎曲剛度均增大。

(3) 復(fù)合材料梯形波紋夾芯板的波紋水平段fc與傾斜段水平距離b的比值在0.5左右時(shí)，彎曲剛度取最小值；隨著fc與b比值的增大，比彎曲剛度顯著增大；波紋傾角θc從15°增大到90°時(shí)，彎曲剛度和比彎曲剛度均呈先減小后增大的趨勢。

(4) 復(fù)合材料格柵夾芯板的彎曲剛度隨格柵間距dx增大而減小，當(dāng)格柵間距dx與板寬A的比值大于0.5時(shí)，格柵間距增大對彎曲剛度的影響程度較小，比彎曲剛度的隨格柵間距的變化趨勢正好相反。