汪濤, 陳梓浩, 程志偉, 鄧曉波, 梁軍利, 白建超

1.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院, 陜西 西安710072; 2.中航工業(yè)雷華電子技術(shù)研究所, 江蘇 無(wú)錫214063;3.西北工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 陜西 西安710072

脈沖壓縮體制雷達(dá)的發(fā)射波形設(shè)計(jì)和接收濾波器優(yōu)化是雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問題[1-3]。在復(fù)雜電磁環(huán)境中，雜波和噪聲分量會(huì)對(duì)雷達(dá)目標(biāo)探測(cè)造成旁瓣升高等不良影響。眾所周知，匹配濾波器(matched filter,MF)是假設(shè)接收信號(hào)中只包含高斯白噪聲和單點(diǎn)反射信號(hào)時(shí)，基于最大信噪比準(zhǔn)則所推導(dǎo)得出的最優(yōu)濾波器。以線性調(diào)頻信號(hào)為例，在其匹配濾波器的脈壓輸出中，主瓣的臨近區(qū)域會(huì)出現(xiàn)較高的距離旁瓣，造成微弱目標(biāo)淹沒。因此，有必要設(shè)計(jì)非匹配濾波器以抑制距離旁瓣來(lái)改善探測(cè)效果。

非匹配濾波器設(shè)計(jì)的研究大致分為如下2種：

1) 在固定雷達(dá)發(fā)射波形情況下的非匹配濾波器設(shè)計(jì)。常見的雷達(dá)發(fā)射波形有線性調(diào)頻波形、相位編碼波形等。在雷達(dá)發(fā)射機(jī)端配置固定的情況下，非匹配濾波器設(shè)計(jì)可以形成優(yōu)于匹配濾波器的旁瓣抑制效果。例如，Cilliers和Smit[4]基于p-范數(shù)設(shè)計(jì)非匹配濾波器，最小化積分旁瓣水平(integrated sidelobe level,ISL)或者峰值旁瓣水平(peak sidelobe level,PSL)，并探究非匹配濾波器的長(zhǎng)度和p-范數(shù)類型對(duì)探測(cè)效果的影響。De Maio和Rabaste等[5-6]使用二次約束二次規(guī)劃(quadratically constrained quadratic programming,QCQP)等凸優(yōu)化方法進(jìn)行非匹配濾波器設(shè)計(jì)，研究濾波器長(zhǎng)度等因素對(duì)旁瓣抑制效果的影響。

2) 雷達(dá)發(fā)射波形和非匹配濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)。Stoica等[7]提出了多個(gè)迭代優(yōu)化算法，通過構(gòu)造與ISL相關(guān)的加權(quán)矩陣，設(shè)計(jì)出具有良好自相關(guān)特性的恒模波形；Jiu等[8]結(jié)合當(dāng)前電磁環(huán)境中的干擾源先驗(yàn)信息，通過開展發(fā)射波形和非匹配濾波器的聯(lián)合設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)信干噪比的極大提升；Zhou等[9]通過開展波形和濾波器的聯(lián)合設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾的有效抑制。

現(xiàn)有方法[4-9]設(shè)計(jì)出的與波形長(zhǎng)度相同的非匹配濾波器得到的旁瓣層未達(dá)到滿意的效果。為獲得良好的旁瓣抑制效果，往往采用超過信號(hào)長(zhǎng)度2倍以上甚至更長(zhǎng)的非匹配濾波器序列。為改善上述情況，本文研究恒模波形和非匹配濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)問題。在設(shè)計(jì)過程中，非匹配濾波器長(zhǎng)度與波形長(zhǎng)度相同，以最小化旁瓣層作為優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合交替方向乘子法求解最優(yōu)非匹配濾波器，將目標(biāo)函數(shù)拆成多個(gè)子問題分開求解。此外，本文還將上述方法擴(kuò)展用于給定波形時(shí)的非匹配濾波器設(shè)計(jì)問題。在實(shí)際應(yīng)用中可以根據(jù)硬件平臺(tái)的自由度情況靈活選擇模型。

1 非匹配濾波器優(yōu)化模型構(gòu)造

1.1 恒模波形和非匹配濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)

令x=[x1,…,xM]T表示包含M個(gè)碼元的雷達(dá)發(fā)射信號(hào),w=[w1,…,wM]T表示與之長(zhǎng)度相同的非匹配濾波器序列。暫不考慮噪聲作用,采用非匹配濾波器脈壓后,長(zhǎng)度為2M-1的輸出結(jié)果可表示為

rMMF=|wHScx|2,c∈Ω

(1)

式中:M×M的選擇矩陣Sc的u行v列的元素滿足Sc(u,v)δ(v-u-c+M),δ(·)為狄拉克函數(shù);Ω={1,2,…,M,…,2M-1},[·]H表示共軛轉(zhuǎn)置,|·|表示絕對(duì)值。

設(shè)主瓣寬度為2N+1,[M-N,M+N]表示非匹配濾波器輸出的主瓣區(qū)域序號(hào)。把主瓣區(qū)域從Ω中去除即可得到旁瓣區(qū)域序號(hào)集合Υ。為最大限度地抑制旁瓣,本文考慮以最小化旁瓣峰值與主瓣峰值之比為目的,建立如下極小極大化優(yōu)化模型

(2)

式中,b=[1,01×M-1]T,引入其可以保證解出的w首元素為α,便于在實(shí)際過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)w的幅度調(diào)控。

1.2 針對(duì)固定發(fā)射波形的非匹配濾波器設(shè)計(jì)

當(dāng)波形x給定的情況下,上述模型退化為非匹配濾波器設(shè)計(jì)問題

(3)

2 聯(lián)合設(shè)計(jì)優(yōu)化模型求解

通過前述建模過程可以看出,公式(3)是公式(2)的簡(jiǎn)化拓展,因此在本節(jié)將著重闡述公式(2)的求解。假設(shè)w′和x′為公式(2)的最優(yōu)解,再令μ′=|(w′)Hx′|2,于是有下列歸一化過程

(4)

(5)

(6)

于是公式(5)被重新表示為

(7)

下面根據(jù)公式(7)構(gòu)建出拉格朗日增廣函數(shù)

(8)

s.t. |zd|=1

wHb=α

η≥|yc|,c∈Υ

η∈[ηL,ηU]

基于ADMM算法框架[10],給出求解公式(8)的迭代算法步驟(其中t代表迭代次數(shù)):

(9)

(10)

于是公式(9)就轉(zhuǎn)化為

(11)

然后可以得出

(12)

式中：j表示虛數(shù)單位；∠表示取[*]的相位。下面定義以η,yc(t+1)為變量的階躍函數(shù)[10]

(13)

結(jié)合階躍函數(shù)的性質(zhì),公式(11)就轉(zhuǎn)換為關(guān)于η的單變量問題

(14)

fk(η)=Akη2+Bkη+Dk

(15)

式中,Ak,Bk,Dk的取值分別為

(16)

對(duì)于第k個(gè)子區(qū)間,將存在以下3種情況:

(17)

(18)

(19)

通過對(duì)各個(gè)子區(qū)間進(jìn)行遍歷,可以得到K+1個(gè)Wk,設(shè)置We=min{Wk,k=1,…,K+1},e為最小值對(duì)應(yīng)的索引,于是

η(t+1)=δe

(20)

(21)

(22)

s.t.wHb=α

(23)

將上述表達(dá)式簡(jiǎn)化為

(24)

式中

結(jié)合約束條件構(gòu)建拉格朗日增廣函數(shù)

(26)

通過對(duì)w求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0可以得到

(27)

將其帶入到(24)式中的線性約束可以得出

(28)

(29)

易見公式(29)等價(jià)于下列形式

(30)

(31)

于是(30)式就變成關(guān)于k的單變量問題

(32)

可以解出

(33)

(34)

將公式(34)簡(jiǎn)化成

(35)

式中

(36)

(37)

4) 更新拉格朗日乘子

λc(t+1)=λc(t)+ρ(yc(t+1)-

(38)

λd(t+1)=λd(t)+ρ(zd(t+1)-

(39)

(40)

(41)

針對(duì)計(jì)算復(fù)雜度的分析,側(cè)重每次迭代過程中比較耗費(fèi)資源的乘法運(yùn)算和矩陣求逆。假定序號(hào)集合Υ中元素個(gè)數(shù)為F,總迭代次數(shù)為T0,則總計(jì)算復(fù)雜度為:Ο(F2T0+2N3T0+(F+2)MT0);文獻(xiàn)[7]中對(duì)比算法的計(jì)算復(fù)雜度為Ο(NT0lg(N));文獻(xiàn)[13]中對(duì)比算法的計(jì)算復(fù)雜度為Ο(10NT0)。

3 仿真及分析

3.1 針對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)的非匹配濾波器設(shè)計(jì)

線性調(diào)頻信號(hào)(linear frequency modulation,LFM)具有良好的脈壓性能和便捷的調(diào)制方式,其在雷達(dá)系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。帶寬B=10 MHz、時(shí)寬Tp=5 μs的LFM信號(hào),采樣頻率fs=2.5B。同時(shí)設(shè)置N=3,ρ=2,α=1,[ηL,ηU]=[10-7,1],最大迭代次數(shù)T=20 000。

在本實(shí)驗(yàn)中(實(shí)驗(yàn)1),將采用4種方法:匹配濾波器、加Hamming窗、QCQP方法產(chǎn)生的非匹配濾波器[11]、本文方法(方法1)得到峰值旁瓣輸出情況、3 dB主瓣寬度進(jìn)行對(duì)比。定義歸一化峰值旁瓣水平

(42)

通過圖1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,在設(shè)定的旁瓣區(qū)域上,匹配濾波器、QCQP[11]、Hamming窗以及本文方法的峰值旁瓣表現(xiàn)分別為-14.13,-34.27,-36.18,-38.16 dB;結(jié)合反映3 dB主瓣寬度的子圖表明,QCQP方法[11]和本方法可以實(shí)現(xiàn)與匹配濾波器相同的主瓣寬度,而本方法獲得的旁瓣更低。

圖1 4種方法輸出情況對(duì)比(實(shí)驗(yàn)1)

通過圖2迭代情況可以看出,本方法在1 000次迭代后就實(shí)現(xiàn)收斂,這說(shuō)明本文方法具備較好的收斂性。

圖2 歸一化旁瓣隨迭代次數(shù)變化趨勢(shì)(實(shí)驗(yàn)1)

根據(jù)前述采樣頻率計(jì)算出距離門ds=c/2fs,c為光速。以文獻(xiàn)[12]中擴(kuò)展目標(biāo)SR-71偵察機(jī)的散射特征為例,設(shè)置5個(gè)主散射點(diǎn)，距離分布和信噪比設(shè)置如表1所示(噪聲為高斯白噪聲)。

表1 主散射點(diǎn)時(shí)域特征

圖3結(jié)果表明:①匹配濾波器方法在散射點(diǎn)1和2的周圍出現(xiàn)很高的旁瓣,極易出現(xiàn)虛警;②加Hamming窗的方法雖然可以有效抑制旁瓣,但分辨率下降造成無(wú)法有效區(qū)分散射點(diǎn)1和2;③QCQP[11]方法雖實(shí)現(xiàn)旁瓣抑制和較高分辨率,但本文方法可以與之相比具有更低的旁瓣水平和同等的分辨率。④對(duì)于間距過近的散射點(diǎn)3和4,4種方法都無(wú)法分辨。

圖3 目標(biāo)特征提取情況(實(shí)驗(yàn)1)

3.2 恒模波形和非匹配濾波器的聯(lián)合設(shè)計(jì)

在本小節(jié)中(實(shí)驗(yàn)2),匹配濾波器方法和LFM信號(hào)仍將會(huì)被納入到對(duì)比范圍中,在此控制待設(shè)計(jì)波形與LFM具有相同的帶寬。新LFM信號(hào)的帶寬B=50 MHz、時(shí)寬Tp=2 μs,采樣頻率fs=2B。本文設(shè)計(jì)出來(lái)的相位編碼信號(hào),其帶寬為時(shí)寬的倒數(shù),碼元數(shù)M=100,其余參數(shù)設(shè)置為N=0,ρ=2,α=0.001 6,[ηL,ηU]=[10-6,10-2]。

通過圖4的結(jié)果可以看出,匹配濾波器、文獻(xiàn)[7]方法、文獻(xiàn)[13]方法及本文聯(lián)合設(shè)計(jì)方法(方法2)在設(shè)定旁瓣區(qū)域內(nèi)的峰值旁瓣分別為-13.49,-33.2,-39.09,-44.01 dB;同時(shí)說(shuō)明,通過結(jié)合發(fā)射端自由度開展恒模波形設(shè)計(jì),3 dB主瓣寬度將會(huì)得到顯著減小。從圖5迭代情況可以看出,在約1 000次迭代后,本方法基本達(dá)到收斂。圖7表明,設(shè)計(jì)出來(lái)的波形吻合恒模約束。

圖4 4種方法輸出情況對(duì)比(實(shí)驗(yàn)2) 圖5 歸一化旁瓣隨迭代次數(shù)變化趨勢(shì) 圖6 目標(biāo)特征提取情況(實(shí)驗(yàn)2)(實(shí)驗(yàn)2)

沿用表1散射點(diǎn)參數(shù),通過圖6的仿真結(jié)果可以看出:①匹配濾波器仍然表現(xiàn)出較高的旁瓣,散射點(diǎn)周圍的旁瓣會(huì)形成虛警;②本方法的目標(biāo)特征提取效果不僅具有超越實(shí)驗(yàn)1的分辨率,還具有低于文獻(xiàn)[7]及文獻(xiàn)[13]方法的旁瓣。

圖7 波形幅度(實(shí)驗(yàn)2)

4 結(jié) 論

根據(jù)雷達(dá)發(fā)射端可利用自由度情況，本文提出2種優(yōu)化模型，其以設(shè)定旁瓣區(qū)域內(nèi)峰值旁瓣水平最小化為目的實(shí)現(xiàn)旁瓣抑制。針對(duì)固定體制的發(fā)射端，本文設(shè)計(jì)出與發(fā)射波形等長(zhǎng)的非匹配濾波器；針對(duì)可進(jìn)行波形優(yōu)化的發(fā)射端，本文提出恒模波形和非匹配濾波器的聯(lián)合設(shè)計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本次提出的2種算法不僅具有良好的收斂性，而且在目標(biāo)探測(cè)上具有良好的分辨率和干擾抑制效果。